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    Apunte - Analisis de Funciones

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    Gonza Vignoles
    El documento presenta un ejercicio de análisis de funciones donde se pide encontrar dónde la función f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 es creciente y decreciente. Explica los pasos para derivar la función, encontrar sus números críticos, y analizar el signo de la primera y segunda derivada en diferentes intervalos para determinar máximos, mínimos, puntos de inflexión y concavidad. Luego grafica la función para corroborar los resultados. Finalmente presenta un problema de tipo parcial sobre la posición, velocidad

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    Apunte - Analisis de Funciones

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    El documento presenta un ejercicio de análisis de funciones donde se pide encontrar dónde la función f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 es creciente y decreciente. Explica los pasos para derivar la función, encontrar sus números críticos, y analizar el signo de la primera y segunda derivada en diferentes intervalos para determinar máximos, mínimos, puntos de inflexión y concavidad. Luego grafica la función para corroborar los resultados. Finalmente presenta un problema de tipo parcial sobre la posición, velocidad

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    El documento presenta un ejercicio de análisis de funciones donde se pide encontrar dónde la función f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 es creciente y decreciente. Explica los pasos para derivar la función, encontrar sus números críticos, y analizar el signo de la primera y segunda derivada en diferentes intervalos para determinar máximos, mínimos, puntos de inflexión y concavidad. Luego grafica la función para corroborar los resultados. Finalmente presenta un problema de tipo parcial sobre la posición, velocidad

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    Cátedra de Análisis I

    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    Apunte. Análisis de Funciones.


    Ejercicio 1: Encuentre dónde la 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 es creciente y dónde es decreciente.

    RECUERDE

    Prueba creciente/decreciente:

    a) Si 𝑓 ′ (𝑐 ) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente sobre ese intervalo.

    b) Si 𝑓 ′ (𝑐 ) < 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente sobre ese intervalo.

    Debemos investigar donde 𝑓′(𝑥 ) > 0 y donde 𝑓′(𝑥 ) < 0.


    Encontramos 𝑓′(𝑥 ):

    Encontramos los factores de 𝑓′(𝑥 ):

    Buscamos los números críticos1 de 𝑓 (𝑥):

    Dividimos la recta real en intervalos cuyos extremos son los números críticos encontrados: -1, 0 y 2.
    Organizamos una tabla donde colocamos el signo de cada uno de los factores en el intervalo en cuestión y
    finalmente calculamos el signo que tiene 𝑓′(𝑥 ) realizando la multiplicación de los signos.
    Intervalo 12𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 1 𝑓′(𝑥 ) 𝑓 (𝑥 )
    𝑥 < −1 - - - - Decreciente sobre (−∞, −1)
    −1 < 𝑥 < 0 - - + + Creciente sobre (−1,0)
    0<𝑥<2 + - + - Decreciente sobre (0,2)
    𝑥>2 + + + + Creciente sobre (2, ∞)

    Recuerde que, si 𝑓 tiene un máximo o mínimo locales en c, entonces c debe ser un número crítico de 𝑓 (por el teorema
    de Fermat), pero no todo número crítico da lugar a un máximo o mínimo.

    1
    Un número crítico de una función 𝑓 es un numero x = c en el dominio de 𝑓 tal que 𝑓 ′ (𝑐) = 0 o 𝑓 ′ (𝑐) no existe.
    Cátedra de Análisis I
    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    RECUERDE

    Prueba de la Primera Derivada.

    Supongamos que 𝑥 = 𝑐 es un número crítico de una función continua 𝑓.

    a) Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en 𝑐, entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑐.

    b) Si 𝑓′ cambia de negativo a positivo en 𝑐, entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑐.

    c) Si 𝑓′ no cambia de signo en c (p. ej., si 𝑓′ es positiva por ambos lados de 𝑐 o negativa por ambos lados),
    entonces f no tiene ningún máximo o mínimo local en 𝑐.

    En este caso:

    𝑓′(𝑥) pasa de decreciente a creciente en x=-1 → mínimo local

    𝑓′(𝑥) pasa de creciente a decreciente en x=0 → máximo local

    𝑓′(𝑥) pasa de decreciente a creciente en x=2 → mínimo local

    Graficamos 𝑓 (𝑥 ) para corroborar los cálculos:


    Cátedra de Análisis I
    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    Utilizamos la segunda derivada 𝑓′′(𝑥).

    RECUERDE

    Prueba de la segunda derivada Supongamos que 𝑓′′ es continua cerca de 𝑥 = 𝑐.

    a) Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑥 = 𝑐.

    b) Si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑐) < 0, entonces f tiene un máximo local en 𝑥 = 𝑐.

    Calculamos 𝑓′′(𝑥):

    Numero Crítico (𝑐 ) 𝑓′′(𝑐 ) 𝑓 (𝑥 )


    −1 36 𝑓′′(𝑐 ) > 0 entonces 𝑓 tiene un mínimo local
    0 -24 𝑓′′(𝑐 ) < 0 entonces 𝑓 tiene un máximo local
    2 72 𝑓′′(𝑐 ) > 0 entonces 𝑓 tiene un mínimo local
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    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    Analizamos concavidad:

    RECUERDE

    Prueba de concavidad

    a) Si 𝑓 ′′ (𝑐) > 0 para toda 𝑥 en I, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba sobre I.

    b) Si 𝑓 ′′ (𝑐) < 0 para toda x en I, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo sobre I.

    Calculamos los valores de x para los cuales 𝑓 ′′ (𝑐) = 0:

    Dividimos la recta real en intervalos con estos números como extremos y completamos la siguiente tabla:
    Intervalo 𝑓 ′′ (𝑥) = 36𝑥 2 − 24𝑥 − 24 Concavidad
    (−∞, −0,548584) + Hacia arriba
    (−0,548584 , 1,21525) - Hacia abajo
    (1,21525 , ∞) + Hacia arriba
    Para saber el signo de 𝑓 ′′ (𝑥) en los intervalos debemos resolver la respectiva inecuación cuadrática2:
    Por ejemplo, para saber en qué intervalo 𝑓 ′′ (𝑥 ) < 0 resolvemos 36𝑥 2 − 24𝑥 − 24 < 0

    RECUERDE
    Un punto P sobre una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) se llama punto de inflexión si 𝑓 es allí continua y la curva cambia de
    cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P.

    Puntos de inflexión:
    x=-0,548584 ya 𝑓 que cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
    x= 1,21525 ya 𝑓 que cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

    2
    Consulte: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/inecuaciones/inecuaciones-cuadraticas.html
    Cátedra de Análisis I
    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    Analice la gráfica de 𝑓(𝑥) asegúrese de corroborar lo calculado:


    Cátedra de Análisis I
    Jorge Manzur – Jonathan Schuster

    Problema de tipo parcial:


    Un móvil se desplaza de forma que su movimiento se rige por la ecuación: 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 − 10𝑡 2 − 4𝑡 + 1, donde
    𝑠 esta en metros y 𝑡 en segundos.
    a. Hallar la función que exprese la velocidad y aceleración.
    b. Calcular velocidad y aceleración y posición a los 6 segundos.
    c. En el intervalo [0, 20], ¿cuándo es creciente y cuando decreciente 𝑠(𝑡)? Interprete físicamente
    el resultado.
    d. En el intervalo de tiempo [0 , 20] segundos, halle la velocidad máxima y la velocidad mínima.

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