SEMANA 05 MECATRÓNICA

ESTUDIOS GENERALES: UNT 2021 II
ANÁLISIS MATEMÁTICO
CRITERIO DE SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS
RELATIVOS
Teorema. Sea 𝑐 un punto crítico de una función 𝑦 = 𝑓 (𝑥), donde 𝑓′(𝑐) = 0
y suponga que 𝑓′′(𝑥) existe, entonces:
• Si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑥) tiene un máximo relativo en 𝑥 = 𝑐.
• Si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓 (𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐.
• Si 𝑓′′(𝑐) = 0 entonces no se puede concluir.
Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos
relativos de: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 .
Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. No existe simetrías.
Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 + 2)
>0
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 𝑒⏞𝑥 (𝑥 + 2) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −2
𝑃. 𝐶. = {−2, 0}.
Hallando la segunda de derivada: 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥)

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez
𝑓′′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (2𝑥 + 2) ⟹ 𝑓′′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 2)
Evaluando los puntos críticos en 𝑓′′(𝑥):
>0
⏞
𝑓′′(−2) = − 2𝑒 −2 < 0 ⟹ 𝑓 (𝑥 ) tiene un máximo relativo en el punto
𝑥 = −2 el cual es 𝑓(−2) = 4𝑒 −2 .
𝑓′′(0) = 2 > 0 ⟹ 𝑓 (𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 0 el cual es
𝑓 (0) = 0.
Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar
1
extremos relativos de: 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
𝑥2
Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. Hay simetría con respecto al eje 𝑋.
Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0
2 2
−3 − 3 2𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑥 ( ) 𝑥 ( )
2 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 4 + 1 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = − 𝑥 4 + 1
1
1 + ( 2) 𝑥4
𝑥
−2𝑥
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ = 0 ⟹ −2𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
𝑥⏟4 + 1
>0

𝑃. 𝐶. = {0}.
Hallando la segunda de derivada:
𝑥 4 + 1 − 𝑥 (4𝑥 3 ) 2(3𝑥 4 − 1)
𝑓′′(𝑥) = −2 [ ] ⟹ 𝑓′′(𝑥) =
(𝑥 4 + 1)2 (⏟𝑥 4 + 1)2
>0
Evaluando el punto crítico en 𝑓′′(𝑥):
𝑓′′(0) = −2 < 0 ⟹ 𝑓 (𝑥) tiene un máximo relativo en 𝑥 = 0, el cual es:
𝜋
𝑓 (0) =
2
Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos
relativos de: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥.
Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (0; +∞). No hay simetrías.
Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0.
𝑥2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + ⟹ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 𝑥 (2 𝑙𝑛 𝑥 + 1)
𝑥
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 (2 𝑙𝑛 𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓), y
1 𝑙𝑛 𝑥
1
−2
1
−2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑙𝑛 𝑥 = − ⟹ 𝑒 =𝑒 ⟹𝑥=𝑒
2
1
𝑃. 𝐶. = {𝑒 −2 }.
Hallando la segunda derivada:
𝑓 ′′ (𝑥) = 2 𝑙𝑛 𝑥 + 3.
Evaluando el punto crítico en 𝑓′′(𝑥):
1 1
𝑓 ′′ (𝑒 −2 ) = 2 𝑙𝑛 𝑒 −2 + 3 = 2 > 0 ⟹
−1 −1
𝑓 (𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 𝑒 2 el cual es 𝑓 (𝑒 2 ) = −0,18.
CONCAVIDAD
Definición. La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en el punto
(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existen 𝑓′(𝑐) y un intervalo abierto 𝐼 con 𝑐 ∈ 𝐼 y tal que para
todo 𝑥 ≠ 𝑐 en 𝐼, el punto (𝑥, 𝑓 (𝑥)) de la gráfica está arriba de la recta
tangente a la gráfica en (𝑐, 𝑓 (𝑐)).
Definición. La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en el punto
(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existen 𝑓′(𝑐) y un intervalo abierto 𝐼 con 𝑐 ∈ 𝐼 y tal que para

todo 𝑥 ≠ 𝑐 en 𝐼, el punto (𝑥, 𝑓 (𝑥)) de la gráfica está debajo de la recta
tangente a la gráfica en (𝑐, 𝑓 (𝑐)).
Teorema. Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) una función diferenciable en algún intervalo abierto
𝐼 con 𝑐 ∈ 𝐼.
Si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces la gráfica de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia arriba
en el punto (𝑐, 𝑓 (𝑐)).
Si 𝑓′′(𝑐) < 0, entonces la gráfica de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia abajo
en el punto (𝑐, 𝑓 (𝑐)).

Observación. El recíproco del teorema no es válido.
PUNTO DE INFLEXIÓN.
Definición. El punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de la
función 𝑦 = 𝑓(𝑥), si la gráfica tiene una recta tangente en ese punto y si
existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏 ) donde 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏 ) tal que si
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏 ) entonces:
𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑥 > 𝑐; o
𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑥 > 𝑐.

Teorema. Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) una función diferenciable en algún intervalo abierto
𝐼 con 𝑐 ∈ 𝐼 y (𝑐, 𝑓 (𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función
𝑦 = 𝑓(𝑥). Entonces si 𝑓′′(𝑐) existe, se tiene que 𝑓′′(𝑐) = 0.
Observación. El recíproco del teorema no es válido.
Observación. La gráfica de una función puede tener un punto de inflexión
en el punto donde la segunda derivada no existe.

Ejemplo. Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la
5𝑥
gráfica de: 𝑓(𝑥) =
5𝑥 4 + 3
Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. Hay simetría con respecto al origen.
Hallar los puntos de inflexión: 𝑓 ′′ (𝑥) = 0; o 𝑓 ′′ (𝑥) ∄.
5𝑥 4 + 3 − 20𝑥 4 −15(5𝑥 4 − 1)
𝑓′(𝑥) = 5 [ ] ⟹ 𝑓′(𝑥) =
(5𝑥 4 + 3)2 (5𝑥 4 + 3)2
20𝑥 3 (5𝑥 4 + 3)2 − 2(5𝑥 4 + 3)(20𝑥 3 )(5𝑥 4 − 1)

𝑓′′(𝑥) = −15 [ ]⟹
(5𝑥 4 + 3)4
−15(20𝑥 3 )(5𝑥 4 + 3)(−5𝑥 4 + 5) 1500𝑥 3 (𝑥 4 − 1)

𝑓′′(𝑥) = ⟹ 𝑓′′(𝑥) =
(5𝑥 4 + 3)4 (5𝑥 4 + 3)3
1500𝑥 3 (𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 1)
𝑓′′(𝑥) = ⟹
(5𝑥 4 + 3)3
1500𝑥 3 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)

𝑓′′(𝑥) =
(5𝑥 4 + 3)3
>0
1500𝑥 3 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ⏞
(𝑥 2 + 1)
𝑓′′(𝑥) = 0 ⟹ =0
(5𝑥 4 + 3)3
⏟
>0

⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1.
𝑃. 𝑃. 𝐼. = {−1, 0, 1}.
𝑥 𝑓 (𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓′′(𝑥) Conclusión

𝑥 ∈ (−∞, −1) − 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia abajo
𝑥 = −1 5 0 𝑓 (𝑥) tiene punto de inflexión
−
8
𝑥 ∈ (−1, 0) + 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia arriba
𝑥=0 0 0 𝑓 (𝑥) tiene punto de inflexión
𝑥 ∈ (0, 1) − 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia abajo
𝑥=1 5 0 𝑓 (𝑥) tiene punto de inflexión
8
𝑥 ∈ (1, +∞) + 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia arriba

y
− −  
−
ANÁLISIS GENERAL DE UNA FUNCIÓN Y SU GRÁFICA
El análisis de funciones generalmente se reduce a la determinación de los
siguientes pasos:
1. Hallar el dominio natural de la función.
2. Hallar los puntos de discontinuidad de la función.
3. Determinar si existe simetrías.
4. Hallar las intersecciones con los ejes coordenados.
5. Hallar los puntos críticos de la función.
6. Hallar los intervalos de monotonía de la función.

7. Hallar los extremos relativos usando el criterio de la primera derivada, así
como los valores máximo y mínimo de la función.
8. Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
9. Hallar los intervalos de concavidad de la gráfica de la función.
10. Hallar las asíntotas de la gráfica de la función.
Ejemplo. Hacer un análisis general y graficar la función:
𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 (3 − 𝑥).
Solución: 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 3
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. La función es continua. No hay simetrías. No existen
asíntotas.
Hallar los puntos críticos: 𝑓 ′ (𝑥) = 0; o 𝑓′(𝑥) ∄.
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 3𝑥 2 ⟹ 𝑓′(𝑥) = −3𝑥 (𝑥 − 2)
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ −3𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥=2
𝑃. 𝑃. 𝐶. = {0, 2}.

Hallar los puntos de inflexión: 𝑓 ′′ (𝑥) = 0, o 𝑓′′(𝑥) ∄.
𝑓′′(𝑥) = 6 − 6𝑥 ⟹ 𝑓′′(𝑥) = −6(𝑥 − 1)
𝑓′′(𝑥) = 0 ⟹ −6(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1
𝑃. 𝑃. 𝐼. = {1}.

𝑥 − + 𝑓 (𝑥) decrece y cóncava hacia arriba
∈ (−∞, 0)
𝑥=0 0 0 + Mínimo Relativo y cóncava hacia
arriba
𝑥 ∈ (0, 1) + + 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia arriba
𝑥=1 2 + 0 𝑓 (𝑥) crece y tiene Punto de
Inflexión
𝑥 ∈ (1, 2) + − 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia abajo
𝑥=2 4 0 − Máximo Relativo y cóncava hacia
abajo
𝑥 ∈ (2, +∞) − − 𝑓 (𝑥) decrece y es cóncava hacia
abajo
Puntos de corte con los ejes coordenados:
Con el eje 𝑋: 𝑦 = 0
(0, 0)
𝑥 2 (3 − 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥=3⟹{ .
(3, 0)
Con el eje 𝑌: 𝑥 = 0
𝑓 (0) = 0 ⟹ (0, 0)

y

− − −    
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Hacer un análisis general y graficar la función:
2𝑥 2
𝑓 (𝑥) =
9 − 𝑥2
Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ − {−3, 3}.
La función no es continua 𝑥 = −3, 𝑥 = 3
Hay simetría con respecto al eje 𝑌.
Hallar los puntos críticos: 𝑓 ′ (𝑥) = 0, o 𝑓′(𝑥) ∄.
2𝑥(9 − 𝑥 2 ) − 𝑥 2 (−2𝑥) 4𝑥(9 − 𝑥 2 + 𝑥 2 )

𝑓′(𝑥) = 2 [ ] ⟹ 𝑓′ (𝑥 ) =
(9 − 𝑥 2 )2 (9 − 𝑥 2 )2

36𝑥 36𝑥
𝑓′(𝑥) = 2 ⟹ 𝑓′(𝑥 ) =
(𝑥 − 9)2 (𝑥 − 3)2 (𝑥 + 3)2
36𝑥
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ = 0 ⟹ 36𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
(𝑥 − 3)2 (𝑥 + 3)2
36𝑥
𝑓′(𝑥) ∄ ⟹ ∄ ⟹ (𝑥 − 3)2 (𝑥 + 3)2 = 0
(⏟𝑥 − 3)2 (𝑥 + 3)2
>0
⟹ 𝑥 = −3 , 𝑥 = 3 ⟹ 𝑃. 𝑃. 𝐶. = {−3, 0, 3}.
(9 − 𝑥 2 )2 − 2𝑥(9 − 𝑥 2 )(−2𝑥)
𝑓′′(𝑥) = 36 [ ]⟹
(9 − 𝑥 2 )4
36(9 − 𝑥 2 )(9 − 𝑥 2 + 4𝑥 2 ) 36(3𝑥 2 + 9)

𝑓′′(𝑥) = ⟹ 𝑓′′(𝑥) =
(9 − 𝑥 2 )4 (9 − 𝑥 2 )3
−108(𝑥 2 + 3) −108(𝑥 2 + 3)
𝑓′′(𝑥) = =
(𝑥 2 − 9)3 (𝑥 − 3)3 (𝑥 + 3)3

>0
⏞ 2 + 3) >0
−108 (𝑥
𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ⟹ = 0 ⟹ −108 ⏞
(𝑥 2 + 3) = 0 ⟹
(𝑥 − 3)3 (𝑥 + 3)3
𝑓′′(𝑥) ≠ 0.
−108(𝑥 2 + 3)
𝑓′′(𝑥) ∄ ⟹ 3 3
∄⟹ (𝑥 − 3)3 (𝑥 + 3)3 = 0
(𝑥 − 3) (𝑥 + 3)
⟹ 𝑥 = −3, 𝑥 = 3 ⟹ 𝑃. 𝑃. 𝐼. = {−3, 3}

(−∞, −3) − − 𝑓 (𝑥) decrece y es cóncava hacia abajo
𝑥 = −3 ∄ ∄ ∄ Existe Asíntota Vertical
(−3, 0) − + 𝑓 (𝑥) decrece y es cóncava hacia arriba
𝑥=0 0 0 + Mínimo Relativo y es cóncava hacia
arriba
𝑥 ∈ (0, 3) + + 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia arriba
𝑥=3 ∄ ∄ ∄ Existe Asíntota Vertical
(3, +∞) + − 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia abajo
Con el eje 𝑋: 𝑦 = 0.
2𝑥 2
= 0 ⟹ 𝑥 = 0 ⟹ punto (0, 0)
9 − 𝑥2
Con el eje 𝑌: 𝑥 = 0.
𝑓 (0) = 0 ⟹ punto (0, 0)
Hallando las asíntotas:
Asíntota Vertical

+
⏞2
2𝑥
lim = −∞
𝑥→−3− (
⏟3 − 𝑥) (⏟3 + 𝑥)
+ −
+
⏞2
2𝑥
lim = +∞ ⟹ 𝒙 = −𝟑
𝑥→−3+ (
⏟3 − 𝑥) ⏟
(3 + 𝑥 )
+ +
+ +
⏞2
2𝑥 ⏞2
2𝑥
lim = +∞, lim = −∞ ⟹ 𝒙 = 𝟑
𝑥→3− (
⏟3 − 𝑥) (⏟3 + 𝑥) 𝑥→3+ (
⏟3 − 𝑥) (⏟3 + 𝑥)
+ + − +
Asíntota Horizontal
2𝑥 2
lim = −2 ⟹ 𝒚 = −𝟐 , por la derecha e izquierda.
𝑥→±∞ 9 − 𝑥 2
Punto de corte de la asíntota horizontal con la curva:
2𝑥 2
2
= −2 ⟹ −2(9 − 𝑥 2 ) = 2𝑥 2 ⟹ −18 ≠ 0 ⟹ ∄ punto de corte.
9−𝑥
Situación de la gráfica de la función respecto a la asíntota horizontal:
2𝑥 2 18
𝑓 (𝑥) − (−2) = + 2 = ⟹
9 − 𝑥2 9 − 𝑥2

18
∗) < 0 ⟹ 9 − 𝑥 2 < 0 ⟹ 𝑥 ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
9 − 𝑥2
⟹ la gráfica de 𝑓 se encuentra debajo de la asíntota.
18
∗∗) 2
> 0 ⟹ 9 − 𝑥 2 > 0 ⟹ 𝑥 ∈ (−3, 3)
9−𝑥
⟹la gráfica de 𝑓 se encuentra arriba de la asíntota.
Ejemplo. Hacer un análisis general y graficar la función:
(𝑥 − 1)3
𝑓(𝑥) =
𝑥2
Solución:
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ − {0}. La función no es continua en 𝑥 = 0. No existen
simetrías.
Hallar los puntos críticos: 𝑓 ′ (𝑥) = 0, o 𝑓′(𝑥) ∄.
3 1
𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 3 + − 2 = 𝑥 − 3 + 3𝑥 −1 − 𝑥 −2
𝑥 𝑥
3 2
𝑓 ′ (𝑥) = 1 − 3𝑥 −2 + 2𝑥 −3 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 1 − + ⟹
𝑥2 𝑥3
𝑥 3 − 3𝑥 + 2 (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2)
𝑓′(𝑥) = ⟹ 𝑓′(𝑥) = ⟹
𝑥3 𝑥3
>0
⏞ >0
(𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2) ⏞
𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ = 0 ⟹ (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2) = 0
𝑥3
⟹ 𝑥 = −2, 𝑥=1
(𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2)
𝑓′(𝑥) ∄ ⟹ 3
∄ ⟹ 𝑥3 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
𝑥
⟹ 𝑃. 𝑃. 𝐶. = {−2, 0, 1}

′(
𝑥 3 − 3𝑥 + 2 3 2
𝑓 𝑥) = 3
= 1 − 2
+ 3
= 1 − 3𝑥 −2 + 2𝑥 −3 .
𝑥 𝑥 𝑥
6(𝑥 − 1) 6(𝑥 − 1)
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 −3 − 6𝑥 −4 = 6𝑥 −4 (𝑥 − 1) = ⟹ 𝑓′′(𝑥 ) =
𝑥4 𝑥4
6(𝑥 − 1)
𝑓′′(𝑥) = 0 ⟹ = 0 ⟹ 6(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 1.
𝑥4
6(𝑥 − 1)
𝑓′′(𝑥) ∄ ⟹ 4
∄ ⟹ 𝑥4 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
𝑥
⏟
>0
𝑃. 𝑃. 𝐼. = {0, 1}.

𝑥 𝑓 (𝑥 ) 𝑓′(𝑥) 𝑓′′(𝑥) Conclusión

(−∞, −2) + − 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia abajo
𝑥 = −2 −6,75 0 − Máximo Relativo y es cóncava abajo
(−2, 0) − − 𝑓 (𝑥) decrece y es cóncava hacia abajo
𝑥=0 ∄ ∄ ∄ 𝑓 (𝑥) tiene Asíntota Vertical
𝑥 ∈ (0, 1) + − 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia abajo
𝑥=1 0 0 0 𝑓 (𝑥) tiene Punto de Inflexión
(1, +∞) + + 𝑓 (𝑥) crece y es cóncava hacia arriba
Con el eje 𝑋: 𝑦 = 0.

(𝑥 − 1)3
2
= 0 ⟹ (𝑥 − 1)3 = 0 ⟹ 𝑥 = 1 ⟹ punto (1, 0)
𝑥
Con el eje 𝑌: 𝑥 = 0.
𝑓 (0) = ∄ entonces no existe punto de corte.
Asíntotas:
Asíntota Vertical
− −
⏞
(𝑥 − 1)3 ⏞
(𝑥 − 1)3
𝑙𝑖𝑚 = −∞, 𝑙𝑖𝑚 = −∞ ⟹ 𝒙 = 𝟎 .
𝑥→0− ⏟2
𝑥 𝑥→0+ ⏟2
𝑥
+ +
Asíntota Horizontal
(𝑥 − 1)3
𝑙𝑖𝑚 = ∞ ⟹ ∄ asíntota horizontal.
𝑥→±∞ 𝑥2
Asíntota Oblicua: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Dividir algebraicamente:
(𝑥 − 1)3 𝐜𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 3𝑥 − 1
= ⏞
𝑥 − 3 + ( )⟹ 𝒚=𝒙−𝟑
𝑥2 𝑥2
Punto de corte de la asíntota oblicua con la gráfica de la función:

(𝑥 − 1)3
2
= 𝑥 − 3 ⟹ 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 ⟹ 3𝑥 − 1 = 0 ⟹
𝑥
1 8 1 8
𝑥= ⟹ 𝑦 = − ⟹ Punto de corte es ( ; − ).
3 3 3 3
Situación de la gráfica de la función respecto a la asíntota oblicua:
(𝑥 − 1)3 3𝑥 − 1
𝑓 (𝑥) − (𝑥 − 3) = − (𝑥 − 3 ) = ⟹
𝑥2 𝑥2
3𝑥 − 1 1
∗) < 0 ⟹ 3𝑥 − 1 < 0 ⟹ 𝑥 < ⟹
⏟2
𝑥 3
>0
⟹ la gráfica de 𝑓 se encuentra por debajo de la asíntota.
3𝑥 − 1 1
∗∗) > 0 ⟹ 3𝑥 − 1 > 0 ⟹ 𝑥 > ⟹
⏟2
𝑥 3
>0
⟹ la gráfica de 𝑓 se encuentra por arriba de la asíntota.


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ESTUDIOS GENERALES: UNT 2021 II

Teorema. Sea 𝑐 un punto crítico de una función 𝑦 = 𝑓 (𝑥), donde 𝑓′(𝑐) = 0

y suponga que 𝑓′′(𝑥) existe, entonces:

• Si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑥) tiene un máximo relativo en 𝑥 = 𝑐.

• Si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓 (𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐.

• Si 𝑓′′(𝑐) = 0 entonces no se puede concluir.

Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos

relativos de: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 .

Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. No existe simetrías.

Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0

𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 ⟹ 𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 + 2)

Hallando la segunda de derivada: 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥)

Evaluando los puntos críticos en 𝑓′′(𝑥):

𝑓′′(0) = 2 > 0 ⟹ 𝑓 (𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 0 el cual es

Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar

Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. Hay simetría con respecto al eje 𝑋.

Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

Hallando la segunda de derivada:

Evaluando el punto crítico en 𝑓′′(𝑥):

𝑓′′(0) = −2 < 0 ⟹ 𝑓 (𝑥) tiene un máximo relativo en 𝑥 = 0, el cual es:

Ejemplo. Usar el criterio de la segunda derivada para hallar los extremos

relativos de: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥.

Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (0; +∞). No hay simetrías.

Hallar los puntos críticos cuando 𝑓′(𝑥) = 0.

𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 (2 𝑙𝑛 𝑥 + 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓), y

Hallando la segunda derivada:

Evaluando el punto crítico en 𝑓′′(𝑥):

Definición. La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en el punto

todo 𝑥 ≠ 𝑐 en 𝐼, el punto (𝑥, 𝑓 (𝑥)) de la gráfica está arriba de la recta

tangente a la gráfica en (𝑐, 𝑓 (𝑐)).

Definición. La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en el punto

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

tangente a la gráfica en (𝑐, 𝑓 (𝑐)).

Teorema. Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) una función diferenciable en algún intervalo abierto

Si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces la gráfica de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia arriba

en el punto (𝑐, 𝑓 (𝑐)).

Si 𝑓′′(𝑐) < 0, entonces la gráfica de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) es cóncava hacia abajo

en el punto (𝑐, 𝑓 (𝑐)).

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

Definición. El punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de la

función 𝑦 = 𝑓(𝑥), si la gráfica tiene una recta tangente en ese punto y si

existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏 ) donde 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏 ) tal que si

𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑥 > 𝑐; o

𝑓′′(𝑥) > 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′′(𝑥) < 0 si 𝑥 > 𝑐.

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

Teorema. Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) una función diferenciable en algún intervalo abierto

𝐼 con 𝑐 ∈ 𝐼 y (𝑐, 𝑓 (𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función

𝑦 = 𝑓(𝑥). Entonces si 𝑓′′(𝑐) existe, se tiene que 𝑓′′(𝑐) = 0.

Observación. El recíproco del teorema no es válido.

Observación. La gráfica de una función puede tener un punto de inflexión

en el punto donde la segunda derivada no existe.

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

Solución: 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ. Hay simetría con respecto al origen.

Hallar los puntos de inflexión: 𝑓 ′′ (𝑥) = 0; o 𝑓 ′′ (𝑥) ∄.

20𝑥 3 (5𝑥 4 + 3)2 − 2(5𝑥 4 + 3)(20𝑥 3 )(5𝑥 4 − 1)

−15(20𝑥 3 )(5𝑥 4 + 3)(−5𝑥 4 + 5) 1500𝑥 3 (𝑥 4 − 1)

1500𝑥 3 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)

Prof. Lucy Salazar Rojas Prof. Wilson Maco Vásquez

𝑥 𝑓 (𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑓′′(𝑥) Conclusión