APLICACIONES DE LA

DERIVADA
Eneida Madai Zerda Arnez
Departamento de Ciencias Exactas
Facultad de Tecnología
Universidad Privada del Valle

2023 1
Máximos y Mínimos
Definición Sea c un número en el dominio 𝐷 de una función 𝑓. Entonces 𝑓(𝑐) es el
▪ valor máximo absoluto de 𝑓 sobre 𝐷 si 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 para toda 𝑥 en 𝐷
▪ valor mínimo absoluto de 𝑓 sobre 𝐷 si 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 para toda 𝑥 en 𝐷.

Un máximo o mínimo absoluto se llama a veces máximo o mínimo global. Los valores máximo y 2

mínimo de 𝑓 se llaman valores extremos de 𝑓.

Definición (Máximo y mínimo local)
Para un número 𝑐 en el dominio 𝐷 de una función 𝑓
▪ 𝑓 𝑐 es un máximo local si existe un intervalo abierto contenido en 𝐷 tal que 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓(𝑥)
▪ 𝑓 𝑐 es un mínimo local si existe un intervalo abierto contenido en 𝐷 tal que 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 .

Una función no siempre tiene un máximo o mínimo, por ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥 3

3
Teorema del valor extremo
Si 𝑓 es continua sobre un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓 alcanza un máximo absoluto
𝑓(𝑐) y un mínimo absoluto 𝑓(𝑑) en algunos números 𝑐 y 𝑑 en 𝑎, 𝑏 .

4
Teorema de Fermat
Si 𝑓 tiene un máximo o un mínimo local en 𝑥 = 𝑐, y si 𝑓′(𝑐) existe, entonces 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

En términos de números críticos, el teorema de Fermat puede replantearse como sigue:

• Si 𝑓 tiene un máximo o un mínimo en 𝑥 = 𝑐, entonces 𝑐 es un número crítico de 𝑓.
Definición. Un número crítico de una función 𝑓 es un número 𝑐 en el dominio de 𝑓 tal que 5

𝑓 ′ 𝑐 = 0 o 𝑓′(𝑐) no existe.
Método del intervalo cerrado
Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua 𝑓 sobre un
intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 :
1. Encuentre los valores de 𝑓 en los números críticos de 𝑓 en (𝑎, 𝑏).
2. Halle los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más
pequeño el valor mínimo absoluto.

6
Ejercicios.
Determine los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de 𝑓 en el intervalo dado.
1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 5, 0,3
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1, 0,3
3. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1, −2,3
4. 𝑓 𝑡 = 𝑡 2 − 4 3 , −2,3
1
5. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 , 0.2,4
𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2−𝑥+1 , 0,3
7. 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3 𝑡, −1,4
𝑡
8. 𝑓 𝑡 = , 0,2
1+𝑡 2
9. 𝑓 𝑡 = 2 cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, [0,2𝜋]
𝑡 𝜋 7𝜋
10. 𝑓 𝑡 = 𝑡 + cot 2
, ,
4 4
𝑥
11. 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 2 , −3,1
12. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 2 + 𝑥 + 1 , −1,1
7
13. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 arctan 𝑥, [0,4]
 COMO AFECTA LA DERIVADA A LA FORMA DE UNA GRÁFICA
¿Qué dice 𝑓′ respecto a 𝑓?
Una función se llama creciente sobre un intervalo 𝐼 si
𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 siempre que 𝑥1 < 𝑥2 en 𝐼
Una función se llama decreciente sobre un intervalo 𝐼 si
𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 siempre que 𝑥1 < 𝑥2 en 𝐼
Prueba creciente/decreciente
a) Si 𝑓 ′ 𝑥 > 0 sobre un intervalo, entonces 𝑓 es creciente sobre ese intervalo.
b) Si 𝑓 ′ 𝑥 < 0 sobre un intervalo, entonces 𝑓 es decreciente sobre ese intervalo.

8
Prueba de la primera derivada
Supongamos que 𝑥 = 𝑐 es un numero critico de una función continua 𝑓.
a) Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en 𝑐, entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑐.
b) Si 𝑓′ cambia de negativa a positiva en 𝑐, entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑐.
c) Si 𝑓′ no cambia de signo en 𝑐, entonces 𝑓 no tiene ningún máximo o mínimo local en 𝑐.

9
Ejemplo 1. Encuentre dónde la función 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 5 es creciente y dónde es decreciente.
¿Qué dice 𝑓′′ respecto a 𝑓?

En la figura se muestran gráficas de

dos funciones crecientes sobre
𝑎, 𝑏 , ambas graficas unen el punto
𝐴 al punto 𝐵 pero parecen
diferentes porque se doblan en
diferentes direcciones. ¿Cómo se
puede distinguir entre estos dos
tipos de comportamiento?

11
Definición
Si la gráfica de 𝑓 queda por arriba de todas sus rectas tangentes sobre un intervalo 𝐼,
entonces se dice que es cóncava hacia arriba sobre 𝐼. Si la grafica de 𝑓 queda por debajo de
todas sus rectas tangentes, se dice que es cóncava hacia abajo sobre 𝐼.

12
Prueba de concavidad
a) Si 𝑓 ′′ > 0 para toda 𝑥 en 𝐼, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba sobre 𝐼.
b) Si 𝑓 ′′ < 0 para toda 𝑥 en 𝐼, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo sobre 𝐼.

Definición
Un punto 𝑃 sobre una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) se llama punto de inflexión si 𝑓 es continua ahí y la
curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a
cóncava hacia arriba en 𝑃.

De acuerdo con la prueba de concavidad existe un punto de inflexión en cualquier punto

donde la segunda derivada cambia de signo.
13
Prueba de la segunda derivada
Supongamos que 𝑓′′ es continua cerca de 𝑐
a) Si 𝑓 ′ 𝑐 = 0 y 𝑓′′ 𝑐 > 0, entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑥 = 𝑐.
b) Si 𝑓 ′ 𝑐 = 0 y 𝑓 ′′ 𝑐 < 0, entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥 = 𝑐

Observación: La prueba de la segunda derivada es incierta cuando 𝑓 ′′ 𝑐 = 0. En otras

palabras, en tal punto puede haber un máximo, puede haber un mínimo, o podría no haber
máximo o mínimo. Esta prueba también falla cuando no existe. En estos casos, se debe
utilizar la prueba de la primera derivada. De hecho, aún cuando se aplican ambas pruebas, la
prueba de la primera derivada es a menudo más fácil de utilizar.

14
GRÁFICAS DE FUNCIONES

Guía para el trazo de curvas

En la lista siguiente se intenta proponer directrices que sirvan de guía para dibujar una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) a mano. No
todos los elementos de la lista son relevantes para cada función. Pero las directrices proporcionan toda la información
que usted necesita para hacer un trazo que muestre los aspectos más importantes de la función.

Dominio. A menudo resulta útil comenzar por determinar el dominio 𝐷 de 𝑓, es decir, el conjunto de valores de 𝑥
para los cuales 𝑓(𝑥) está definida.
Intersección. La intersección en 𝑦 es 𝑓(0) y esto indica dónde la curva cruza con el eje 𝑦. Para encontrar las
intersecciones con el eje 𝑥, se hace 𝑦 = 0 y se resuelve para 𝑥. (Se puede omitir este paso si la ecuación es difícil de
resolver.)
Simetría
(i) Si 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 en 𝐷, es decir, la ecuación de la curva no se modifica cuando 𝑥 se sustituye por −𝑥,
entonces 𝑓 es una función par y la curva es simétricas respecto al eje 𝑦. Esto significa que este trabajo se reduce a la
mitad. Si se conoce la parte de la curva donde 𝑥 ≥ 0, entonces solo se necesita reflejar respecto al eje 𝑦 para obtener
la curva completa. Algunos ejemplos son 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 4 , 𝑦 = |𝑥| y 𝑦 = cos 𝑥 .
(ii) Si 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en D, entonces 𝑓 es una función impar y la curva es simétrica respecto al origen.
Una vez más, se puede obtener la curva completa si se conoce la parte de la curva donde 𝑥 ≥ 0. [Gire 180∘ alrededor
del origen]. Algunos ejemplos simples de funciones impares son 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 𝑥 5 y 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥.
(iii) Si 𝑓 𝑥 + 𝑝 = 𝑓 𝑥 para toda 𝑥 en 𝐷, donde 𝑝 es una constante positiva, entonces 𝑓 se llama función periódica y el
número 𝑝 más pequeño se llama período. Por ejemplo, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tiene período 2𝜋 y 𝑦 = tan 𝑥 tiene período 𝜋. Si se sabe cómo
es la gráfica en un intervalo de longitud 𝑝, entonces se puede utiizar una traslación para trazar toda la gráfica.
Asíntotas
(i) Asíntotas horizontales. Recuerde que si lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑜 lim 𝑓 𝑥 = 𝐿, entonces la recta 𝑦 = 𝐿 es una asíntota de la
𝑥→∞ 𝑥→−∞
curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). Si resulta que lim 𝑓 𝑥 = ∞ (o −∞), entonces no se tiene una asíntota horizontal, pero sigue siendo
𝑥→∞
información útil para trazar la curva.
(ii) Asíntotas verticales. Recuerde que la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota si al menos uno de los enunciados siguientes es
verdadero:
lim+ 𝑓 𝑥 = ∞ lim− 𝑓 𝑥 = ∞
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
lim 𝑓 𝑥 = −∞ lim 𝑓 𝑥 = −∞
𝑥→𝑎+ 𝑥→𝑎−
Si 𝑓(𝑎) no está definida, pero 𝑎 es un punto final del dominio de 𝑓, entonces debe calcular lim− 𝑓(𝑥) o lim+ 𝑓 𝑥 , sea este
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
límite infinito o no.
Intervalos de crecimiento o decrecimiento. Calcule 𝑓′(𝑥) y encuentre los intervalos en los que 𝑓′(𝑥) es positiva (𝑓 es
creciente) y los intervalo en los que 𝑓′(𝑥) es negativa (𝑓 es decreciente).
Valores mínimo y máximo locales. Encuentre los números críticos de 𝑓 [los números 𝑐 donde 𝑓 ′ 𝑐 = 0 o 𝑓 ′ 𝑐 no
existen]. Después utilice la prueba de la primera derivada. Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en un número crítico 𝑐, entonces
𝑓(𝑐) es un máximo local. Si 𝑓′ cambia de negativa a positiva en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo local. Aunque es generalmente
preferible utilizar la prueba de la primera derivada, puede utilizar la prueba de la segunda derivada si 𝑓 ′ 𝑐 = 0 y 𝑓 ′′ 𝑐 ≠ 0.
Entonces 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 implica que 𝑓(𝑐) es un mínimo local, mientras que 𝑓 ′′ 𝑐 < 0 implica 𝑓(𝑐) es un máximo local.
 Valores de 𝑥 para los cuales
1 Dominio
𝑓(𝑥) esta definida

Con el eje 𝑥 𝑦=0

2 Intersección
Con el eje 𝑦 𝑥=0

Función par 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

GUIA
PARA 3 Simetría Función impar 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
TRAZO
DE Función periódica 𝑓 𝑥 + 𝑝 = 𝑓(𝑥)
CURVAS lim 𝑓 𝑥 = ±𝐿
Horizontales 𝒚 = 𝑳, si: 𝑥→∞

4 Asíntotas lim 𝑓 𝑥 = ±∞
𝑥→𝑎+

5 Crecimiento y decrecimiento Verticales 𝒙 = 𝒂, si:

lim 𝑓 𝑥 = ±∞
𝑥→𝑎−
6 Máximos y mínimos
Concavidad y puntos de inflexión.
Calcule 𝑓′′(𝑥) y utilice la prueba de la concavidad. La curva es cóncava hacia arriba donde
𝑓 ′′ 𝑥 > 0 y cóncava hacia abajo donde 𝑓 ′′ 𝑥 < 0. Los puntos de inflexión se localizan donde
cambia de dirección la concavidad.
2𝑥 2
Ejemplo 1. Utilice la guía para trazar la gráfica de 𝑦 = .
𝑥 2 −1
Solución.
2𝑥 2
Sea 𝑓 𝑥 = . El dominio de 𝑓 es ℝ − −1,1 .
𝑥 2 −1
2 0 2
𝑓 0 = 2 =0
0 −1
Las intersecciones con el eje 𝑥:
2𝑥 2 2 =0⇒𝑥 =0
= 0 ⇒ 2𝑥
𝑥2 − 1
2 −𝑥 2 2𝑥 2
𝑓 −𝑥 = = =𝑓 𝑥
−𝑥 2 − 1 𝑥 2 − 1
La función dada es par.
Asíntotas horizontales:
2𝑥 2 2
lim = lim =2
𝑥→∞ 𝑥 2 − 1 𝑥→∞ 1
1− 2
𝑥
2
2𝑥 2
lim = lim =2
𝑥→−∞ 𝑥 2 − 1 𝑥→−∞ 1
1− 2
𝑥
La recta 𝑦 = 2 es la única asíntota horizontal.

Asíntotas verticales:
2𝑥2 2𝑥2
2𝑥 2 𝑥+1 2𝑥 2 𝑥+1
lim = lim+ =∞ lim = lim− = −∞
𝑥→1+ 𝑥 2 −1 𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1− 𝑥 2 −1 𝑥→1 𝑥−1
2𝑥2 2𝑥2
2𝑥 2 𝑥−1 2𝑥 2 𝑥−1
lim = lim + = −∞ lim = lim − =∞
𝑥→−1+ 𝑥 2 −1 𝑥→−1 𝑥+1 𝑥→−1− 𝑥 2 −1 𝑥→−1 𝑥+1
Las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 son asíntotas verticales.
crecimiento
2 2 2 2
′
4𝑥 𝑥 − 1 − 2𝑥(2𝑥 ) 4𝑥(𝑥 − 1 − 𝑥 ) 4𝑥
𝑓 𝑥 = = =− 2
𝑥2 − 1 2 𝑥2 − 1 2 𝑥 −1 2
Observamos que existe la derivada para todo punto del dominio 𝑓.
4𝑥
− 2 2 tiene el signo de −𝑥.
𝑥 −1
𝑓 ′ 𝑥 > 0 si 𝑥 < 0 y 𝑓 ′ 𝑥 < 0 si 𝑥 > 0.
𝑓 es creciente en los intervalos (−∞, −1) y −1,0 .
𝑓 es decreciente en los intervalos (0,1) y 1, ∞ .
De 𝑓 ′ 𝑥 = 0
4𝑥
− 2 =0
𝑥 −1 2
4𝑥 = 0
𝑥=0
El único número crítico 𝑥 = 0. Como la derivada cambia de positiva a negativa alrededor de 𝑥 = 0, en 𝑥 =
0 tenemos un valor máximo local.
4 𝑥2 − 1 2 − 4𝑥 2 𝑥 2 − 1 2𝑥 4 𝑥 2 − 1 𝑥 2 − 1 − 4𝑥 2 4 3𝑥 2 + 1 4(3𝑥 2 + 1)
𝑓 ′′ 𝑥 = − =− = =
𝑥2 − 1 4 𝑥2 − 1 4 𝑥2 − 1 3 𝑥−1 3 𝑥+1 3
𝑓 es cóncava hacia arriba en los intervalos (−∞, −1 ) y 1, ∞ .
𝑓 es cóncava hacia abajo en el intervalo −1,1 .
Ejemplo 3. Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 .
Formas indeterminadas y regla de L'Hôpital
𝑥2 − 𝑥 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥 1
lim = lim = lim =
𝑥→1 𝑥 2 − 1 𝑥→1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑥→1 𝑥 + 1 2
ln 𝑥
lim
𝑥→∞ 𝑥−1
no es posible la misma regla
entonces usamos :
Regla de L'Hôpital

Suponga que 𝑓 y 𝑔 son derivables y 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 sobre un intervalo abierto 𝐼 que contiene 𝑎 (excepto
posiblemente en 𝑎). Suponga que
lim 𝑓 𝑥 = 0 𝑦 lim 𝑔 𝑥 = 0
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
o que
lim 𝑓 𝑥 = ±∞ 𝑦 lim 𝑔 𝑥 = ±∞
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
0 ∞
(En otras palabras, se tiene una forma indeterminada de tipo o .) Entonces
0 ∞

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)
lim = lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
si existe el límite del lado derecho (o es ∞ o −∞).
NOTA 1. La regla de L'Hôpital indica que el límite de un cociente de funciones igual al límite del cociente de
sus derivadas, siempre que se cumpla con las condiciones dadas. Es especialmente importante verificar las
condiciones impuestas a los límites de 𝑓 y 𝑔 antes de utilizar la regla de L'Hôpital.
NOTA 2. La regla de L'Hôpital también es válida para límites unilaterales y límites al infinito o al infinito
negativo; es decir, "𝑥 → 𝑎" se puede sustituir por cualesquiera de los símbolos 𝑥 → 𝑎+ , 𝑥 → 𝑎− , 𝑥 → ∞ o
𝑥 → −∞.
ln 𝑥
Ejemplo 1. Encuentre lim .
𝑥→1 𝑥−1
Solución.
lim ln 𝑥 = ln 1 = 0
𝑥→1
lim 𝑥 − 1 = 1 − 1 = 0
𝑥→1
Entonces
ln 𝑥
lim
𝑥→1 𝑥 − 1
0
es un forma indeterminada del tipo .
0
Por la regla de L'Hôpital:
𝑑 1
ln 𝑥 ln 𝑥 1
lim = lim 𝑑𝑥 𝑥
= lim = = 1.
𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥→1 𝑑 𝑥→1 1 1
𝑥−1
𝑑𝑥
 𝑒𝑥
Ejemplo 2. Calcule lim .
𝑥→∞ 𝑥 2
Solución.
lim 𝑒 𝑥 = ∞
𝑥→∞
lim 𝑥 2 = ∞
𝑥→∞
∞
Tenemos que el límite dado es una indeterminación del tipo .
∞
Por la regla de L'Hôspital:
𝑑 𝑥
𝑒 𝑥 (𝑒 ) 𝑒𝑥
lim = lim 𝑑𝑥 = lim
𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥→∞ 𝑑 𝑥→∞ 2𝑥
(𝑥 2 )
𝑑𝑥
𝑥 𝑒𝑥 ∞
Como 𝑒 → ∞ y 2𝑥 → ∞ cuando 𝑥 → ∞, tenemos que lim es una forma indeterminada del tipo .
𝑥→∞ 2𝑥 ∞
Luego por la regla de L'Hôpital:
𝑑 𝑥
𝑒 𝑥 𝑥
𝑒 (𝑒 ) 𝑒𝑥
lim = lim = lim 𝑑𝑥 = lim = ∞.
𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥→∞ 2𝑥 𝑥→∞ 𝑑 𝑥→∞ 2
(2𝑥)
𝑑𝑥
 𝑒𝑥
Ejemplo 3. Calcule lim .
𝑥→∞ 𝑥 2
Solución.
lim 𝑒 𝑥 = ∞
𝑥→∞
lim 𝑥 2 = ∞
𝑥→∞
∞
Tenemos que el límite dado es una indeterminación del tipo .
∞
Por la regla de L'Hôspital:
𝑑 𝑥
𝑒 𝑥 (𝑒 ) 𝑒𝑥
lim = lim 𝑑𝑥 = lim
𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥→∞ 𝑑 𝑥→∞ 2𝑥
(𝑥 2 )
𝑑𝑥
𝑥 𝑒𝑥 ∞
Como 𝑒 → ∞ y 2𝑥 → ∞ cuando 𝑥 → ∞, tenemos que lim es una forma indeterminada del tipo .
𝑥→∞ 2𝑥 ∞
Luego por la regla de L'Hôpital:
𝑑 𝑥
𝑒 𝑥 𝑥
𝑒 (𝑒 ) 𝑒𝑥
lim = lim = lim 𝑑𝑥 = lim = ∞.
𝑥→∞ 𝑥 2 𝑥→∞ 2𝑥 𝑥→∞ 𝑑 𝑥→∞ 2
(2𝑥)
𝑑𝑥
Problemas de optimización
En esta sección aplicaremos la derivada para resolver problemas de optimización. Para ello, debemos
determinar la función objetivo y aplicar las técnicas desarrolladas en el capítulo para determinar el valor
máximo o el valor mínimo de la función objetivo.
Ejemplo:
El costo total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es:
921600
𝐶 𝑥 = 4𝑥 + 720 +
𝑥
Determine el tamaño del pedido que minimiza el costo total.
Ejemplo 2. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 metros, cuya área sea tan
grande como sea posible.
Solución.
Sean 𝑥 y 𝑦 las dimensiones del rectángulo.
El perímetro del rectángulo es:
2 𝑥 + 𝑦 = 100
𝑦 = 50 − 𝑥
El área del rectángulo es:
𝐴 = 𝑥𝑦 = 𝑥 50 − 𝑥
Tenemos que al ser 𝑥 y 𝑦 los lados de un rectángulo, ambos son positivos, así que 0 < 𝑥 < 50.
Entonces debemos de hallar el máximo de la función 𝐴 = 50𝑥 − 𝑥 2 en el intervalo 0 < 𝑥 < 50.
𝑑𝐴
= 50 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐴
=0
𝑑𝑥
50 − 2𝑥 = 0
2𝑥 = 50
𝑥 = 25
Entonces 𝑥 = 25 es el número crítico de 𝐴.
𝑑𝐴
= 50 − 2𝑥 = −2 𝑥 − 25
𝑑𝑥
 𝑑𝐴 𝑑𝐴
Como > 0 para 0 < 𝑥 < 25 y para 25 < 𝑥 < 50, tenemos que 𝐴 25 = 25 50 − 25 = 25 25 =
𝑑𝑥 𝑑𝑥
625 es el valor máximo absoluto de la función 𝐴.

Entonces el área del rectángulo es máxima cuando el rectángulo es un cuadrado de lado 25 metros.

Ejemplo: Una caja abierta de volumen máximo se va a construir a partir de una pieza cuadrada de
material, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando los bordes
(vea la figura).
Ejercicios.
1.Encuentre dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto es un mínimo.
2.Encuentre dos números positivos cuyo producto es 100 y cuya suma es un mínimo.
3.La suma de dos números positivos es 16. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de sus cuadrados?
4.¿Cuál es la distancia vertical máxima entre la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 y la parábola 𝑦 = 𝑥 2 para −1 ≤ 𝑥 ≤ 2?
5.Un agricultor quiere cercar un área de 15.000 𝑚2 cuadrados en un terreno rectangular y luego dividirlo
por la mitad, con una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿Cómo puede el agricultor hacer esto
para minimizar el costo de la cerca?
6.Una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior, debe tener un volumen de 32.000 𝑐𝑚3 .
Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material utilizado.
7.Si se dispone de 1.200 𝑐𝑚2 de material para hacer una caja con una base cuadrada y sin tapa; encuentre el
mayor volumen posible de la caja.