UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LOS LLANOS OCCIDENTALES

“EZEQUIEL ZAMORA”
UNELLEZ GUASDUALITO

NÚMEROS NATURALES
(MÓDULO III)

Bachiller: Iraima Ortiz

C.I. Nº 18.685.417

GUASDUALITO, JULIO DE 2023

1
 Índice

Pp.
Portada
Introducción…………………………………………………………………………………...03
Desarrollo
Sistema de Números Naturales..…………………………………………………….04
Presentación Intuitiva .………………………………………………………………04
Notación…………….………………………………………………………………..05
Operaciones…………………....…………………………………………………….08
Prioridades en las operaciones………………………………………………………12
Números primos…….………………………………………………………………..12
Problemas de Aplicación……....…………………………………………………….13
Números compuestos…………………………………………………………………14
Máximo Común Divisor.……………………………………………………………..15
Mínimo Común Múltiplo……...……………………………………………………..17
Conclusiones…………………………………………………………………………………..21
Referencias…………………………………………………………………………………….22

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 Introducción

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser

humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de
madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los
símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente
trazos específicos sobre la arena .Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C.
donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales
en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado.

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya
que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el
tratamiento de las cantidades. Los números naturales son los números que usamos para
contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, "Números naturales" para
distinguirlos de otros números, como "un medio", "cuatro tercios", "tres punto siete", "menos
cinco"; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los
números negativos (-5). Por lo tanto, el presente trabajo busca dar conceptos y definiciones
relacionadas con el tema de los números naturales.

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 Sistemas Numéricos

Sistema de los Números Naturales:

Según Rodríguez (2023) los números naturales son “el conjunto de números que nos
permiten contar y ordenar cosas”. Son los primeros números que nos enseñan en el colegio,
cuando aprendemos a contar:

 Mediante los números cardinales podemos contar:

 En el parque hay 4 árboles.
 Tengo 3 monedas.
 Mediante los números ordinales podemos ordenar:
 El año que viene pasaré a segundo curso.
 Terminé el quinto en la carrera.
Presentación Intuitiva.

Para representar los números naturales en la recta numérica lo hacemos siguiendo los

siguientes pasos:

1. Dibujamos la recta, dividida en partes iguales y colocamos el 0 en la izquierda:

2. Vamos colocando números a la derecha del cero, aumentando su valor de uno en uno, de
izquierda a derecha:

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Y así podríamos seguir hasta el infinito 

Notación.

De acuerdo a Dugopolski (2009) los números naturales se denotan por el símbolo N y

se encuentran constituidos por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc.  En Notación de
Conjunto. Tal conjunto se describe como:

 N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . }  

Obsérvese, que los puntos suspensivos implican que este conjunto de números
continúan, es decir, son infinitos (nunca terminan).  También, a este conjunto se le conoce
como los Números Enteros Positivos.  Los números naturales proporcionan la base para el
desarrollo de otros conjuntos de números, así como para la consideración de varios usos de los
números.
         Los números naturales corresponden a los números desde el 1 al infinito.  Dentro de los
naturales tenemos algunos subconjuntos, a saber: 1) números pares, 2) números impares, 3)
números primos y 4) números compuestos.  Los números naturales que pueden dividirse
exactamente por 2, es decir, la división tiene un residuo de 0, se llaman los números naturales
pares.  Estos son los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...  Por el otro lado, los números naturales que
no pueden ser divididos exactamente por 2, se conocen como los números impares. 
Un número primo es un número natural mayor que 1, cuyos factores son el 1 y él mismo.  Los
números primos son 2, 3, 5, 7. 11, 13, 17, 19, 23, 29, entre otros.  En el otro extremo,
encontramos un número compuesto, el cual consiste de un número natural mayor que 1 que no
es primo. 

Los números naturales pueden utilizarse como números cardinales de conjuntos finitos
de elementos.  Los números naturales se utilizan también para asignar un orden a los
elementos de un conjunto finito.  Los números utilizados para asignar un orden a los
elementos de un conjunto reciben el nombre de Números Ordinales. 

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 Bajo los números naturales, cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un
antecesor.  El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se
obtiene restando uno (-1).

Orden en N.

Los números naturales representados en la recta están colocados de izquierda a

derecha, aumentando su valor de uno en uno, es decir, se van haciendo más grandes. Por
tanto, están colocados de menor a mayor, de izquierda a derecha.

El sentido de la ordenación y el de representación es el mismo:

Cuanto más a la izquierda está representado el número en la recta, será menor. El

menor número natural es el 1. El mayor, como hemos dicho antes, no existe porque los
números naturales son infinitos.

Propiedades.

Los números naturales poseen propiedades únicas que los diferencian de los demás
conjuntos numéricos, te invitamos a conocerlas.

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Operaciones en el conjunto de los números naturales

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un
determinado conjunto.  Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados
pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo
mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado
no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Por ejemplo, intenta restar  menos,  ¿crees que es posible representar el resultado de

esta operación con algún número natural?  Debido a lo anterior consideramos sobre el
conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación.  Si
quieres aprender más sobre ellas visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.

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El primer natural

Como hemos dicho que los naturales son los números sirven para representar la
cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, tomaremos el conjunto de los
naturales o ℕ a partir del , pues este número representa la cantidad de elementos que tiene
el conjunto vacío.

Esta propiedad es una de las más importantes del conjunto de los números naturales.

El sucesor de un número natural

Otra propiedad importante de este conjunto de números es que cada uno de sus

elementos tiene un sucesor.  Es decir, si tomamos como referencia determinado número
natural, podemos saber cuál es el siguiente y tener la certeza que entre el número y su
siguiente no habrá ningún otro.  Este número es llamado sucesor.  Si por ejemplo tomamos
como referencia el , sabemos su sucesor será él  y entre estos dos números no encontraremos
ningún otro.  ¡Aunque te parezca increíble no todos los conjuntos numéricos cumplen esta
sencilla propiedad!

Operaciones.

Suma o adición de números naturales

a+b=c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma
1. Interna: a + b 

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

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 (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5+5=2+8
10 = 10
3. Conmutativa: a + b = b + a
2+5=5+2
7=7
4. Elemento neutro: a + 0 = a
3+0=3
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al
resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta
1.No es una operación interna
2 − 5   

2. No es Conmutativa

5−2≠2−5

a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b 

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa: a · b = b · a
2·5=5·2
10 = 10

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4. Elemento neutro: a · 1 = a
3·1=3
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al
resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división
1. División exacta 

          15 = 5 · 3
2. División entera

            17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna
2 : 6   
4. No es Conmutativo.
6:2≠2:6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0:5=0
6. No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1. a0 = 1

10
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. Cociente de potencias con la misma base: am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n  
(25)3 = 215 
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23

Propiedades de las raíces

1. Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2    

2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto

Prioridades en las operaciones

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

Números primos

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene

únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números
compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y

11
del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo
ni compuesto.

Los 168 números primos menores que 1000 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 1
03, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 1
99, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,
313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431,
433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557,
563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661,
673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,
811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937,
941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 y 997 (sucesión A000040 en OEIS).

El primer número primo a partir del número mil es el 1009, después de diez mil es
el 10 007, a partir de cien mil es el 100 003 e inmediatamente tras un millón es el 1 000 003.

La propiedad de ser número primo se denomina primalidad.

En la teoría algebraica de números, los números primos se denominan

números racionales primos para distinguirlos de los números gaussianos primos. La
primalidad no depende del sistema de numeración, pero sí del anillo donde se estudia la
primalidad. Dos es primo racional; sin embargo tiene factores como entero gaussiano: 2 =
(1+i)*(1-i).

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama
de las matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas, de los números enteros.
Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis
de Riemann y la conjetura de Goldbach, resuelta por Harald Helfgott en su forma débil.

La distribución de los números primos es un asunto reiterativo de investigación en la

teoría de números: si se consideran números aisladamente, los primos parecieran estar
distribuidos de modo probabilístico, pero la distribución «global» de los números primos se
ajusta a leyes bien definidas.

Problemas de aplicación.

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Conjetura de Goldbach
Christian Goldbach (1690 – 1764), de origen suizo y contemporáneo de Euler,
conjeturó que todo número par mayor a 2  puede escribirse como suma de dos Números
Primos, hasta la fecha no se ha podido demostrar tal conjetura.
Ejemplos: 4 = 2 + 2,  26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13
Conjetura de los primos gemelos
En el conjunto de los números primos  encontramos  parejas de primos cuya distancia
es de dos unidades, Por ejemplo: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31. A estas parejas
primales se les conoce como primos gemelos. La conjetura de los primos gemelos dice que
son infinitos, tampoco ha podido ser demostrada hasta la fecha.
Hipótesis de Riemann
Riemann, Matemático Alemán y discípulo de Gauss, trabajaba con la Función Zeta, la
cual al ser llevada a  un escenario tridimensional mostraba una conexión con la distribución de
los Números Primos, emergía entonces una nueva Geometría. La Función Zeta podría
descifrar los secretos de los Números Primos, pero es necesario demostrar que la
correspondencia de su fórmula con los Números Primos se cumple al infinito, hasta la fecha
no se ha demostrado la famosa “Hipótesis de Riemann”, se obsequia un millón de dólares para
el que la demuestre.

Números compuestos.
Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se
puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

Ejemplos:

12 = 2 · 2 · 3

72 = 2 · 4 · 9

144 = 2 · 6 · 12

Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números

primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

13
Ejemplos:

12 = 2² · 3

72 = 2³ · 3²

144 = 24 · 3²

Máximo común divisor – MCD

En matemáticas, se denomina máximo común divisor o MCD al  mayor número

que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor
número solo tendremos en cuenta los divisores positivos. También podemos decir que
el máximo común divisor de dos números «A» y «B», es el número mayor que los
divide a los dos, tanto al número A como al número B.

Por ejemplo diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es

el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6

Para qué se usa el máximo común divisor

-MCD para simplificar fracciones

-Una de las utilidades que tiene el máximo común divisor es simplificar fracciones.

Por ejemplo, para simplificar la fracción 12/18, se calcula primero el Máximo

Común Divisor de 12 y 18 que es 6.

Después tenemos que dividir el numerador y el denominador de la fracción

inicial entre 6 para obtener la fracción simplificada que es 2/3.

-MCD para calcular el mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor también se puede utilizar para calcular el  mínimo

común múltiplo de dos números, su mcm.

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 Esto es porque el producto del máximo común divisor de dos números por el
mínimo común múltiplo (de los mismos números) es igual al producto de esos dos
números.

Ejemplo. Como hemos dicho antes MCD (12,18) = 6 como 12 × 18 = 216, su mínimo
común múltiplo tiene que ser 36 porque 6 × 36 = 216.

-MCD para resolver problemas

Sin duda, para lo que más vas a utilizar el MCD es para  resolver problemas.

Para saber cuál es el máximo común divisor de dos o más números existen
varios métodos, vamos a ver dos.

Método 1 para calcular el MCD

Es el que venimos utilizando en los ejemplos de más arriba. Para ello es importante
fijarnos muy bien lo que significa máximo común divisor.

 Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes.

 El divisor mayor será el MCD de esos números.

El inconveniente de este método es que un número grande puede tener muchos

divisores y escribirlos todos puede ser muy pesado. La ventaja que tiene es que si lo
tienes en cuenta, a veces no tendrás que calcular nada, fíjate, si te piden el máximo
común divisor de tres números y resulta que uno divide a los demás, ya tienes el
máximo común divisor. Por ejemplo el máximo común divisor de 36, 12, y 84. Como
12 divide a los tres, no podrá haber ningún divisor común mayor.

Método 2 para calcular el MCD

Descomposición de factores o descomposición en números primos.

 Descomponemos cada número en factores primos.

 Después, señalamos los factores comunes.

15
 A continuación, en cada uno de los comunes, escogemos el factor con menor exponente.

 Y por último, multiplicamos los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo:

Calculamos el M.C.D de 8 y 12.

Mínimo común múltiplo - mcm-

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es

múltiplo de dos o más números.

Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos.

Múltiplo

Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros
números.

Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos

hay que ir multiplicando el 2 y el 3 por 1, por 2, por 3, etc.

2x1=2

2x2=4

16
2x3=6

2x4=8

y así sucesivamente hasta infinitos números.

3x1=3

3x2=6

3x3=9

3 x 4 = 12

y así sucesivamente hasta infinitos números.

Múltiplo Común

Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más

números, es decir, es un múltiplo común a esos números.

Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de

3.

Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen

figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18.  Hay que tener en cuenta que los
múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada
número.

17
 Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes .

Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18,

el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.

Cómo calcular el mínimo común múltiplo

Se pueden utilizar dos métodos.

1. El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos
los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos
el múltiplo común más pequeño.

2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que
hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los
factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que
multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de esto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 2 2  x 3

18
8 = 2 3

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor

exponente, por lo tanto elegimos 2 3  y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 2 3  x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

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 Conclusiones

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya
que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el
tratamiento de las cantidades. Los números naturales, son usados para dos propósitos
fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada y
para especificar el tamaño de un conjunto finito. 

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número
natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de

dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es
mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se
puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números

naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del
divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir
cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división
peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Finalmente tenemos que estos son los más próximos a la realidad humana inmediata,
los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los
números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros
(que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las
operaciones de sustracción realizadas con los naturales. 

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 Referencias

Dugopolski. M. (2009). Intermediate Algebra (6ta. ed.). New York: McGraw-Hill. 760 pp.
Rodríguez, D. (2023). Números Naturales: Definición, Representación y Ordenación.
Disponible en: https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/numeros-aritmetica/numeros-
naturales-definicion-representacion-y-ordenacion/

Páginas Webs
https://edu.gcfglobal.org/es/los-numeros/algunas-propiedades-del-conjunto-de-los-numeros-
naturales/1/#
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:SdybLjSISgEJ:https://
www.masscience.com/numeros-primos-enigmas-y-aplicaciones/
&cd=22&hl=es&ct=clnk&gl=ve
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/divisibilidad/numeros-
compuestos.html
https://www.smartick.es/blog/matematicas/multiplicaciones-y-divisiones/mcd-maximo-
comun-divisor/

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