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F BS2 03 Sistemas
F BS2 03 Sistemas
F BS2 03 Sistemas
2º de Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 3: Sistemas Autora: Leticia González Pascual
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donde x1 , x2 ,xn son las incógnitas, los números aij son los coeficientes de las incógnitas y los bi son los términos
independientes.
El conjunto de números reales ordenados 1 , 2 , , n será solución del sistema si satisface todas las ecuaciones del
mismo.
Independientemente del número de incógnitas y ecuaciones, estos sistemas pueden clasificarse del mismo modo que los de
(2 × 2):
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Determinado S.C.D.
Compatible
Sistemas Indeterminado S.C.I.
Incompatible S.I.
Ejemplos:
x y z 3
El sistema 2 x y z 2 solo tiene una solución: x = y = z = 1, y es compatible determinado.
x 2 y 3z 0
x y z 3
El sistema 2 x y z 2 Tiene infinitas soluciones; aparte de la anterior: x = y = z = 1, podemos encontrar x =
x 2 y 1
–1, y = 0, z = 4, o x = 2, y = 3/2, z = –½ y muchas más. Es, por tanto, compatible indeterminado.
x y z3
El sistema 2 x y z 2 No puede tener solución, ya que la tercera ecuación se contradice con la primera (no
x y z 4
pueden verificarse simultáneamente). Es, por tanto, un sistema incompatible.
La diferencia fundamental estriba en la interpretación geométrica de los sistemas. Si una ecuación lineal en x e y es una
recta en el plano, al aumentar el número de incógnitas la figura geométrica cambia, pasando a ser un plano en el espacio de
tres dimensiones: :a x b y c z d y un hiperplano en dimensiones superiores.
2.2. Sistemas homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es HOMOGÉNEO cuando el término independiente de todas las ecuaciones
es igual a cero; es decir, bi 0 i :
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0
a x a 22 x 2 a 2n x n
21 1 0
a m1 x1 am2 x2 a mn x n 0
Todo sistema homogéneo es compatible, pues tiene al menos una solución, xi = 0 i.
x1 0
x 0
Se llama solución trivial de un sistema homogéneo a la matriz columna: 2
x 0
n
En general, la solución trivial no suele tener interés.
Si el sistema es compatible indeterminado se suele trabajar para dejar la solución en forma paramétrica, es decir, haciendo
que una (o más) de las incógnitas se comporte como un parámetro libre y expresando a las demás en función de ella.
Ejemplo:
x y z 0
El sistema 2 x y z 0 Tiene infinitas soluciones; aparte de la trivial: x = y = z = 0, podemos encontrar x =
x 2y 0
–2, y = –1, z = 3, o x = 2, y = 1, z = –3 y es, como antes, indeterminado.
Para expresarlo en forma paramétrica elegimos la incógnita que se pueda despejar más fácilmente, en este caso x.
x y z 0 x y z 0
Simplemente sumando miembro a miembro las dos primeras ecuaciones: 2 x y z 0 3 x 2 z 0
F2 F2 F1
x 2y 0 x 2y 0
xt
y 1 x
y podemos despejar y y z en función de x: 2 o bien y 12 t
z 2 x
3
z 3 t
2
2.3. Sistemas equivalentes
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Dos sistemas con el mismo número de incógnitas, aunque no tengan el mismo número de ecuaciones, se dice que son
equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero es solución del segundo, y viceversa.
Ejemplo:
x y z 3 3x 3 y 2 z 4
Los sistemas 2 x y z 2 y x y 3z 3 tiene ambos la misma solución: x = y = z = 1.
x 2 y 3z 0 x 4 y 3z 2
Para pasar de un sistema a otro equivalente, se pueden usar las siguientes Transformaciones de Gauss:
a) Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
b) Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero.
c) Suprimir una ecuación del sistema que sea combinación lineal de las demás.
d) Sustituir una ecuación por la suma de ella más otra ecuación multiplicada por un número real cualquiera.
e) Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella y de las restantes, siempre que el coeficiente de la
ecuación sustituida, en la combinación lineal, sea distinto de cero.
Esta última transformación se conoce como Teorema Fundamental de equivalencia de sistemas.
Ejemplo:
Transformemos el sistema
x y z 3 x y z 3 x y z 3
2 x y z 2 F
F
x 2 y 3z 0 F
F
F
y 4 z 3
x 2 y 3z 0 2 x y z 2 F 2 F F 3 y z 4
2 3 2 2 1
3 1 3
3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
3.1. Método de Gauss o de eliminaciones sucesivas:
Este método consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente, aplicando las transformaciones de Gauss, hasta
conseguir un sistema escalonado, en el cual los coeficientes de las incógnitas que quedan por debajo de la diagonal del
sistema sean nulos. Así, por ejemplo, del sistema:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 x1 a12
a11 x2 a13
x3 b1
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 llegaríamos al sistema: x2 a23
a22 x3 b2
a x a x a x b x3 b3
a33
31 1 32 2 33 3 3
Para resolver el sistema no tenemos más que ir sustituyendo el valor de la variable obtenida en una ecuación en la ecuación
anterior, y así sucesivamente.
Este método nos permite saber además, según las ecuaciones que obtengamos, si el sistema tiene o no solución y cuantas
tiene.
Actividades resueltas
Analicemos el sistema
x y 2 z 1 x y 2 z 1 x y 2 z 1
E 2 2 E1
2 x 3 y 4 z 4 y 8 z 6 y 8z 6
E 3 5 E1 E3 4 E 2 45 z 45
5 x y 3 z 16 4 y 13 z 21
El último sistema, como se ve, es escalonado. De la última ecuación obtenemos que z = 1, y sustituyendo sucesivamente en
la segunda y en la primera obtenemos y = 2, x = 3. Se trata de un sistema compatible determinado (SCD).
Analicemos el sistema
x y 3z 4 x y 3z 4 x y 3z 4
E 2 2 E1
2 x y z 6 y 7 z 2 y 7 z 2
E 3 3 E1 E3 E 2 00
3 x 2 y 2 z 10 y 7 z 2
En este caso, después de realizar las transformaciones de Gauss, resulta un sistema con dos ecuaciones y tres
incógnitas, un sistema compatible indeterminado (SCI).
Se trata de un sistema uniparamétrico, donde una de las incógnitas hace de parámetro y puede tomar cualquier
valor. Las otras incógnitas tomarán valores dependiendo del valor que le demos al parámetro. Las soluciones se
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z k
x 2 4z
presentan de la forma: x 2 4k
y 2 7 z y 2 7k
(También podríamos haber observado que la tercera ecuación es suma de las otras dos)
Analicemos el sistema
x y z 3 x y z 3 x y z 3
E 2 2 E1
2 x y 3 z 6 y z 0 yz0
E3 4 E1 E3 2 E 2 0 3
4 x 2 y 6 z 9 2 y 2 z 3
Como se ve la última ecuación es imposible, por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible (SI).
(También podríamos haber observado que los coeficientes de la tercera ecuación son el doble de los de la segunda, pero el
término independiente no está duplicado, lo que genera un absurdo).
Se ha obtenido en los tres casos tres sistemas escalonados pero de distinto tipo:
En el caso A, tenemos tantas ecuaciones como incógnitas, y la última ecuación tiene solución. Se trata pues de un
sistema compatible determinado (SCD), que tendrá una única solución.
En el segundo caso, sistema B, tenemos más incógnitas que ecuaciones. Se trata de un sistema compatible
indeterminado (SCI) y tendrá infinitas soluciones. En este caso, las soluciones vienen dadas en función de un solo
parámetro, aunque puede haber sistemas con más de un parámetro.
En el tercer caso, sistema C, la última ecuación es imposible, por tanto el sistema no tiene solución. Se trata de un
sistema incompatible (SI).
Para discutir el sistema tendremos en cuenta la forma de la última ecuación transformada:
x1 a12
a11 x2 a1n xn b1
x2 a2 n xn b2
a22
xn bn
ann
A la hora de despejar xn tenemos tres situaciones diferentes:
a 0; b
xn n
nn ann
xn bn ann
ann bn 0; 0 xn 0
a 0, b 0; 0 x b
nn n n n
La primera es trivial y no merece más explicación, el sistema puede resolverse.
En la segunda vemos que cualquier valor de xn satisface la ecuación. Por tanto hay infinitas soluciones y el sistema
es indeterminado.
Vemos que la última es claramente imposible (ningún valor multiplicado por cero puede dar un resultado diferente de
cero) y el sistema es incompatible.
Por tanto, el análisis de la última ecuación queda:
0;
ann SCD
x3 bn ann
ann bn 0; SCI
a 0, b 0; SI
nn n
Esto es precisamente lo que vimos en los tres ejemplos anteriores y que nos daban lugar a los tres tipos de sistemas. Por
tanto tendremos que ver qué hacen que el coeficiente de xn sea nulo y si esos valores coinciden o no con los valores que
hacen que el término independiente sea nulo.
Actividades propuestas
1. Analiza y resuelve mediante el método de Gauss los sistemas siguientes:
x 2 y 5 z 3 x 2 y 3 z 14 x 3 y z 6 x 9 y 5 z 33
a) 2 x 3 y z 3 b) x 3 y z 10 c) 3x y 4 z 7 d) x 3 y z 9
5 x 2 y 5 z 4 2 x y 6 z 22 2 x 2 y 3z 9 x yz 5
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am1x1 am 2 x2 amn xn bm
Para el que las matrices de coeficientes y ampliada son, respectivamente:
a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1
a
21 a a 2n a a 22 a2 n b2
A 22
A 21
*
a a bm
m1 am 2 amn m1 am 2 a mn
El teorema de Rouchè-Fröbenius dice: "La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz
ampliada".
Si estudiamos los rangos de las matrices nos podemos encontrar con las siguientes situaciones:
rg A n SCD
rg A rg A Sist. Compatible
*
rg A n SCI
rg A rg A Sist. Incompatible
*
De la última ecuación (2 a a ) z 1 a deducimos los valores del parámetro a que nos pueden hacer que el sistema
2
tenga o no solución, y en el caso de que tenga solución de que sea o no una única solución.
4.4. Análisis de un sistema por el método de Gauss
Analicemos de forma genérica un sistema en forma matricial. Comentábamos antes que estamos intentando convertir el
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1 x1 a12
a11 x2 a13
x3 b1
sistema: a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2 en el sistema equivalente: x2 a23
a22 x3 b2
a x a x a x b x3 b3
a33
31 1 32 2 33 3 3
En forma matricial se trata de convertir la matriz ampliada en:
a11 a12 a1n b1 a11 a12 a1n b1
* a 21 a22 a 2 n b2 * 0 a 2 n b2
a22
A A
a 0 bm
m1 am 2 amn bm 0 amn
Antes explicamos que para discutir el sistema analizamos la última ecuación. En este caso, analizamos la última fila, y
llegamos a dos situaciones diferentes:
a11 a12 a1 n b1
Caso 1: 0
a 22 a 2 n b 2
A* 0
con a mn
0 0
a mn b m
Observamos que los rangos de las matrices A y A* son iguales, e iguales al número de ecuaciones y todo dependerá del
número de incógnitas.
a 11 a 12 a 1 n b1
Caso 2: A * 0 a 22 a 2 n b 2
0 0 0 b m
Observamos que los rangos de las matrices A y A* no coinciden.
Recuperemos el ejemplo anterior:
x y az 1 1 1 a 1 1 1 a 1
Ejemplo:
x ay z 1 1 a 1 1 0 a 1 1 a 0
ax y z 1 a 1 1 0 2 a a 2 1 a
1 0
Analizamos el último término, que corresponde a la ecuación (2 a a ) z 1 a , y deducimos los valores del parámetro a
2
que nos pueden dar una solución válida. Como vimos, todo depende de cuándo ese parámetro es nulo, por tanto:
a 1
2 a a2 0
a 2
Con lo que deducimos:
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incógnitas cambiando, en cada caso, la columna correspondiente a la incógnita xi por los términos independientes. El
denominador en todos los casos es el determinante de la matriz de los coeficientes.
Podemos simplificar esas expresiones si representamos por 1, 2,… n, a los determinantes de los numeradores, la solución
genérica de un sistema de Cramer puede representarse como:
i
La solución de un sistema de Cramer puede calcularse como: xi
A
Siendo i el determinante que resulta de sustituir la columna de la incógnita i–ésima por la matriz de términos independientes:
a11 b1 a1n
a b2 a2 n
i 21
an1 bn ann
Esta nomenclatura genérica queda más clara cuando tenemos los sistemas con las incógnitas habituales (x, y, z,…):
a11 x a12 y a13 z b1
a 21 x a 22 y a 23 z b2
a x a y a z b
31 32 33 3
y
en el que podemos hallar las soluciones como: x x , y , z
z siendo:
A A A
b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a23 b1
x b2 a22 a23 , y a21 b2 a23 , z a21 a22 b2
b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3
En ocasiones se representa por al determinante del sistema, que sabemos que no puede ser nulo:
a11 a12 a13
A a 21 a 22 a 23 0
a 31 a32 a 33
Actividades resueltas
Expresa en forma matricial los siguientes sistemas y comprueba que son sistemas de Cramer.
y 2 z 3
4 x 3 y 5
a) b) 2 x y 3
3 x 4 y 2 x 3 y 4z 3
Resuélvelos utilizando aplicando la regla de Cramer.
4 x 3 y 5 4 3 x 5
a) Escribimos el sistema en forma matricial: A X B
3 x 4 y 2 3 4 y 2
4 4 5
De donde, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada quedan: A
3 3
A*
3 4 3 4 2
4 3
Veamos si es un sistema de Cramer: A 16 9 7 0 es un sistema de Cramer
3 4
Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
5 3 4 5
2 4 20 6 14 3 2 8 15 7
x 2 y 1
7 7 7 7 7 7
La solución es: x 2 ; y 1
y 2 z 3 0 1 2 x 3
(b) Escribimos el sistema en forma matricial: 2 x y 3 A X B 2 1 0 y 3
x 3 y 4z 3 1 3 4 z 3
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0 1 2
Veamos si es un sistema de Cramer: A 2 1 0 12 2 8 12 6 12 6 18 0 Es un sistema de
1 3 4
Cramer. Aplicamos la regla de Cramer:
3 1 2 0 3 2 0 1 3
x 3 1 0 36 , y 2 3 0 18 , z 2 1 3 18
3 3 4 1 3 4 1 3 3
18 18
Finalmente: x 36 2 , y 1 , z 1
18 18 18
Es decir, la solución del sistema queda: x 2 , y 1, z 2 .
Planteamiento de problemas
En este tema es fundamental saber plantear un problema a partir de un enunciado de texto. La clave para ello es saber LEER
y TRADUCIR adecuadamente toda la información que se da en un problema, ESCRIBIENDO correctamente lo que estamos
leyendo. Nunca se escribe demasiado y nunca un problema está demasiado explicado a la hora de intentar resolverlo.
Ejemplo:
Una determinada empresa hace una prueba de selección que consiste en un test de 90 preguntas. Por cada
acierto dan 6 puntos, por cada fallo quitan 2,5 puntos y por cada pregunta no contestada quitan 1,5 puntos. Para
aprobar hay que obtener por lo menos 210 puntos. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente para
obtener los 210 puntos y que el número de aciertos más el de preguntas no contestadas sea igual al doble del
número de fallos?
Empezamos definiendo (y lo escribimos claramente):
x = nº de preguntas contestadas correctamente
y = nº de preguntas contestadas erróneamente
z = nº de preguntas no contestadas
A continuación, vamos troceando el problema:
El test consta de 90 preguntas, por tanto deducimos que: x y z 90
Por cada acierto dan 6 puntos, por cada fallo quitan 2,5 puntos y por cada pregunta no contestada quitan 1,5 puntos:
6 x 2,5 y 1,5 z 210
Para que el número de aciertos más el de preguntas no contestadas sea igual al doble del número de fallos:
x z 2y x 2y z 0
x y z 90
Planteamos el sistema: 6 x 2,5 y 1,5 z 210
x 2 y z 0
y, desde este momento, sólo tenemos que aplicar lo aprendido en el tema:
Planteamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.
Comprobamos si es un sistema de Cramer (que el determinante del sistema no sea nulo)
Resolvemos con el método de Cramer.
Actividad propuesta
2. Resuelve el sistema anterior y comprueba que el aspirante deberá contestar 50 preguntas
correctamente, 30 erróneamente y dejar 10 preguntas sin contestar para alcanzar los 210 puntos.
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RESUMEN
Ejemplos
Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas al conjunto de relaciones:
x y z 3
Sistema de a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
a x a 22 x 2 a 2n x n b2 2x y z 2
ecuaciones lineales 21 1 x 2 y 3z 0
a m1 x1 a m2 x2 a mn x n bm
x y z0
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es
Sistema homogéneo homogéneo cuando el término independiente de todas las 2x y z 0
ecuaciones es igual a cero. x 2 y 3z 0
Resolución por
A X B A1A X A1B I X A1B X A1 B
inversa
El teorema de Rouchè-Fröbenius dice: "La condición
rg A n SCD
Teorema de Rouchè- necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones
*
rg A rg A
y n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rg A n SCI
Fröbenius
rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la
rg A rg A S.I.
*
matriz ampliada".
a 2x a 1 y z 3
6. – Dado el sistema ax y z 3
x ay z 1
a) Estudia su compatibilidad según los valores de a.
b) Resuélvelo para el caso a = 1.
6x 9 y 2z 5
7. – Dadas las ecuaciones: se pide:
2 x 3 y z 4
a) Añade una ecuación para que el sistema resulte ser incompatible.
b) Añade una ecuación para que el sistema resulte ser compatible determinado.
2 x 3 y z 2
8. – Dado el sistema de ecuaciones se pide:
x 2 y 2z 1
a) Discute y resuelve, cuando sea posible.
b) Añade una ecuación lineal para que el sistema resultante tenga:
i) una solución ii) muchas soluciones iii) no tenga solución
9. – Discute y resuelve cuando sea posible los siguientes sistemas homogéneos:
x y 3z 0 2 x y 3 z 0 y x 3z y
a) 2 x 3 y z 0 b) 2 y z 0 c) x z 2 y x
3 x 2 y 4 z 0 2 x 3 y 4 z 0 z x 2 y 2z
y 2
10. – Sean las matrices A
x 1 1 3x
, B , C , D , E 1 4
x m y m 4x
a) Calcula cada uno de los tres productos A·B, E·D, D·E.
b) Si C 2AB D plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para
qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?
1 1 x 0 0 1 0
x 0 z
11. – Sean las matrices A 0 0 , B , C 0 y z , D 1 , E a
1 1 0 y 0 0 0
0 1
a
a) Sabiendo que AB C D 2 E , plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) en
función de a.
b) ¿Para algún valor de a el sistema tiene solución única?
c) Para a = 0 encuentra una solución del sistema con z 0
12. – El cajero automático de una determinada entidad bancaria sólo admite billetes de 50, 20 y de 10 euros. Los viernes
depositan en el cajero 225 billetes por un importe total de 7000 €. Averigua el número de billetes de cada valor
depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20
euros.
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13. – Se dispone de tres billeteras A, B y C con billetes de 10, 20 y 50 euros respectivamente. Si pasamos 5 billetes de B a A,
el número de billetes en ésta es igual a la suma de los otros dos, pero si pasamos 10 billetes de A a C, el número de
billetes en ésta también es igual a la suma de los otros dos. Averigua cuántos billetes hay en cada billetera si se sabe que
en total hay 1550 euros.
14. – La suma de las tres cifras de un número es 18. La cifra de las unidades es igual a la suma de las decenas más las
centenas. Si se invierte el orden de las cifras el número aumenta en 594 unidades. ¿De qué número se trata?
15. – Un examen de Matemáticas II va a consistir en un test de 60 preguntas. Por cada acierto se darán 5 puntos, por cada
fallo se quitarán 2 puntos y por cada pregunta no contestada se quitará 1 punto. Para aprobar hay que obtener por lo
menos 150 puntos. ¿Cuántas preguntas habrá que contestar correctamente para obtener los150 puntos y que el número
de fallos más el quíntuple del número de preguntas no contestadas sea igual al número de aciertos?
16. – En el mercado podemos encontrar tres alimentos preparados para gatos que se fabrican poniendo, por kilo, las
siguientes cantidades de carne, pescado y verdura:
Alimento Migato: 600 g de carne, 300 g de pescado y 100 g de verdura
Alimento Catomeal: 300 g de carne, 400 g de pescado y 300 g de verdura
Alimento Comecat: 200 g de carne, 600 g de pescado y 200 g de verdura
Si queremos ofrecer a nuestro gato 470 g de carne, 370 g de pescado y 160 g de verdura por kilo de alimento, ¿qué
porcentaje de cada uno de los compuestos anteriores hemos de mezclar para obtener la proporción deseada?
17. – Calcula las edades de una familia (padre, madre e hija), sabiendo que entre los tres suman 70 años, que hace cuatro
años la edad del padre era siete veces la edad de la hija y que dentro de quince años la edad de la hija será la cuarta
parte de la suma de las edades del padre y de la madre.
18. – Una persona invirtió 72000 € repartidos en tres empresas y obtuvo 5520 € de beneficios. Calcular la inversión realizada
en cada empresa sabiendo que en la empresa B hizo el triple de inversión que en la A y C juntas, y que los beneficios de
las empresas fueron del 10 % en la empresa A, el 8 % en la empresa B y el 5 % en la empresa C.
19. – Se tienen tres tipos de café: el de la clase A, que cuesta 6 €/kg, el de clase B, que cuesta 8 €/kg y el de la clase C que
cuesta 10 €/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 80 kg de café a 7 €/kg. ¿Cuántos kg de cada clase se deben
poner si del primer tipo debe entrar el doble del segundo más el tercero?
20. – Calcula las edades actuales de una madre y sus dos hijos, sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces
la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las
edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor
tendrá 42 años.
21. – En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el
precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que se vende el
anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros
y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto.
Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera
obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los demás.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por
ejemplo m) donde las incógnitas ( x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú.
b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema?
c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular
las unidades vendidas de los otros 2.
22. – En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tres estaciones de servicio (A,
B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 1,20 euros/litro y el precio de la
gasolina en B de 1,18 euros/litro, pero ha olvidado el precio en C. (Supongamos que son ”m” euros/litro). También
recuerda que:
‐ la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó en 46,80 € al gasto en C.
‐ el número de litros de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C.
‐ el gasto de litros en A superó al de B en 12,60 euros.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de ”m”) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera.
b) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de ”m”. ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido
la gasolina en la gasolinera C?
23. – En una cafetería los ocupantes de una mesa abonaron 4 € por 2 cafés, 1 tostada y 2 refrescos, mientras que los de otra
mesa pagaron 9 € por 4 cafés, 3 tostadas y 3 refrescos.
a) ¿Cuánto tienen que pagar los clientes de una tercera mesa si han consumido 2 cafés y 3 tostadas?
b) Con los datos que se dan, ¿se puede calcular cuánto vale un café? Justifica las respuestas.
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AUTOEVALUACIÓN
x y z 6
Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x - z y
y - x z
1.- Su matriz de coeficientes es:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a) 1 2 2 b) 1 2 2 c) 1 2 2 d) 1 2 2
2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1
2.- Su matriz ampliada es:
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
a) 1 2 2 5 b) 1 2 2 5 c) 1 2 2 5 d) 1 2 2 5
2 1 1 11 1 2 1 11 2 1 1 11 1 2 1 11
3.- Si aplicamos el método de Gauss la nueva matriz ampliada obtenida es:
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
a) 0 3 1 1 b) 0 3 1 1 c) 0 1 3 1 d) 0 1 1 1
0 0 0 2 0 0 3 16 0 0 10 4 0 0 1 20
4.- El sistema es:
a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible d) tiene tres soluciones
2 x y 4 y
Dado el siguiente sistema de ecuaciones
5 2 y z 3 x
5.- Su forma matricial es:
x
1 x 4 y 2 3 0 0
a) c)
2 2 3 x 0
b) y
3 2 y 5 3 2 1 z 5 3 2 y 5
6.- Al añadir la ecuación indicada el sistema es compatible determinado
a) 3 y 2 x 7 b) x y 7 c) x 5 y z 5 d) 3x 2 y z 7
7.- Al añadir la ecuación indicada el sistema es compatible indeterminado
a) 3 y 2 x 7 b) x y 7 c) x 5 y z 5 d) 3x 2 y z 7
8.- Al añadir la ecuación indicada el sistema es incompatible
a) 3 y 2 x 7 b) x y 7 c) x 5 y z 5 d) x y z 7
9.- Indica la afirmación que es correcta:
a) Los sistemas homogéneos tienen siempre infinitas soluciones.
b) Dos sistemas son equivalentes si coincide alguna de sus soluciones.
c) Un sistema es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz
ampliada.
d) Todos los sistemas se pueden resolver por el método de Cramer.
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(8) Juan y Luis son dos amigos que en total tienen 10 hijos. Un tercer amigo, Javier, tiene m hijos más que Juan y m veces
los de Luis.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de hijos de Juan y Luis.
¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única?
b) Si Javier tiene el doble de hijos que Luis, ¿cuántos hijos tiene Luis?
(9) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando
hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer
más, su número igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
b) Resolver el problema.
ax ay z 2
(10) Considere el sistema 3x 2 y 2 z a
ax 3 y z 2
a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real a.
b) Resuélvalo, si es posible, en el caso a 1.
a 1x 2 y a 1z 1 a
(11) Dado el sistema a 1 y a 1z 2
x y az a
a) Estudie su compatibilidad según los valores de a.
b) Resuélvalo cuando a 0 .
1 1 1 2
(12) La matriz ampliada asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es: A 2 1 4 0
*
1 1 2 5
a) Obtener las ecuaciones del sistema.
b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema.
c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qué número.
1 2 1 1
(13) La matriz de los coeficientes de un sistema es 1 a a y la de términos independientes 1
1 4 a 1 2a
a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución?
b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿Tenía más soluciones el
sistema?
c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga solución única y, para dicho valor, resuélvelo.
x 1 z 1
1
(14) Sean las matrices A 2 x 1 , B , C 2 z y D 0 donde x, y, z son desconocidos.
x 1 y z 1
3
a) Calcular las matrices (A·B) + C y 3D
b) Sabiendo que AB C 3D , plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z.
c) Estudiar la compatibilidad del sistema ¿Cuántas soluciones tiene?
d) Encontrar, si es posible, una solución.
1 2 1 0 0
(15) Sean las matrices A 1 1 2 B a C 0 donde a es desconocido.
3 3 a a 0
a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B.
¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución
única?
b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el
sistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos
de ellas.
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