FACULTAD DE INGENIERIA

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 2 Y 3 VARIABLES

Introducción
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto integrado por más de una ecuación lineal o de
primer grado.
Una manera de caracterizar un sistema de ecuaciones es definirlo por sus dimensiones. Si un
sistema consta de m ecuaciones y n variables, se dice que es un sistema de “ m por n “esto es,
que tiene las dimensiones m x n ( o es de orden m x n ) . Un sistema de ecuaciones con dos
ecuaciones y dos variables se dirá que es un sistema de 2 x 2 ( o de segundo orden), un sistema
de ecuaciones con tres ecuaciones y tres variables se dirá que es un sistema de 3 x 3 ( de tercer
orden ), etc.

Así tenemos
 6x  3y  15
  Sistema de dos ecuaciones y dos variables
 x  5y  3

 x  y  z  2

x  5y  2z  3  Sistema de tres ecuaciones y tres variables
 2x  y  z  4


OBSERVACIÓN

La expresión general de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es:

 a 11x 1  a 12 x 2  ... a 1n x n  b1
 a x  a x  ... a x  b
 21 1 22 2 2n n 2


 a m1 x 1  a m 2 x 2  ... a mn x n  b n


Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

Según el tipo de solución que se obtenga, se clasifican en:

A) Sistema compatible o consistente.- Aquel que tiene por lo menos una solución. Dentro de este
tipo encontramos los siguientes :
- Sistema compatible determinado.- Aquel que tiene una única solución.
Si se grafican las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de coordenadas rectangulares
ocurrirá que se intersecan en un punto. Por ello se dice también que el sistema es consistente e
independiente.
Ejemplo
 x  3y  7

 xy3
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- Sistema compatible indeterminado.- Aquel que tiene infinitas soluciones

Si se grafican las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de coordenadas rectangulares
ocurrirá que las rectas coinciden ( ambas ecuaciones representan la misma recta). Por ello se dice
también que el sistema es dependiente.
Ejemplo
 2x  3y  4

 4x  6 y  8

B) Sistema incompatible o inconsistente.- Aquel que no tiene solución.

Si se grafican las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de coordenadas rectangulares
ocurrirá que las rectas son paralelas. Por ello se dice también que el sistema es inconsistente.

Ejemplo

 2x  3y  4

 4x  6 y  12
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Sistema de ecuaciones lineales con dos variables

La expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables, es :

 a 11x  a 12 y  b1

 a 21x  a 22 y  b 2

donde los coeficientes son números reales

La solución de este sistema es un par ordenado ( x, y ) que verifica ambas ecuaciones.
Se dan a continuación varios métodos algebraicos para resolver tales sistemas.

A) Método de eliminación, adición o reducción

Paso 1: Escriba ambas ecuaciones en la forma Ax  By  C
Paso 2: Multiplique una o ambas ecuaciones por números adecuados de modo que la suma de los
coeficientes de x o y sea cero.
Paso 3: Sume las nuevas ecuaciones. La suma debe ser una ecuación con una sola variable.
Paso 4: Resuelva la ecuación del paso 3.
Paso 5: Sustituya el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones dadas y resuelva para la
otra variable.
Paso 6: Verifique la solución en ambas ecuaciones dadas.

Ejemplo
Resolver el sistema 2x  5y  1 ... (I)
3x  4y  10 . . . ( II )
Solución
Ambas ecuaciones están en la forma Ax  By  C
Si deseamos eliminar la variable x multiplicamos la primera ecuación por -3 y la segunda por 2.

- 6x  15y  3
6x - 8y  20

Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos :

- 23y  23
y  -1
Para encontrar x sustituimos y  -1 en la ecuación ( I )
2x  5 (-1)  1
x2
Una verificación mostrará que la solución del sistema es (2,-1)

B) Método de sustitución
Paso 1: Despeje una variable en cualquier ecuación ( si una variable tiene coeficiente 1 o  1 ,
selecciónela, ya que de esta manera el método de sustitución, por lo general, será mas fácil)
Paso 2: Sustituya la variable hallada en la otra ecuación. El resultado debe ser una ecuación con
una sola variable.
Paso 3: Resuelva la ecuación del Paso 2.
Paso 4: Sustituya el valor encontrado en el Paso 3 en la ecuación del Paso 1. Resuelva la ecuación
para determinar la variable restante..
Paso 5: Compruebe su solución en las dos ecuaciones del sistema.

Ejemplo
Resolver el sistema 2x  5y  1 ... (I)
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3x  4y  10 . . . ( II )
Solución
Despejamos x de la ecuación ( I )
- 1 - 5y
x
2
Sustituimos el valor de x en la ecuación ( II )
- 1 - 5y
3( )  4 y  10
2
Resolviendo la ecuación se tiene
- 3 - 15y - 8y  20
y  1
Sustituimos el valor de y  1 en la ecuación ( I )
2x  5(-1)  1
x2
Una verificación mostrará que la solución del sistema es (2,1)

C) Método de igualación
Paso 1:Despejamos en ambas ecuaciones la misma variable, y luego las igualamos para obtener
una ecuación con una sola variable.
Paso 2: Resolvemos la ecuación del paso 1 para hallar el valor de esta variable
Paso 3: Sustituimos el valor encontrado en el Paso 2 en cualquiera de las ecuaciones originales.
Resuelva la ecuación para determinar la variable restante.
Paso 4: Compruebe su solución en las dos ecuaciones del sistema.

Ejemplo
Resolver el sistema 2x  5y  1 ... (I)
3x  4y  10 . . . ( II )
Solución
Despejamos x en ambas ecuaciones
 1  5y
De ( I ) x
2
10  4 y
De ( II ) x
3
Igualando
 1  5y 10  4 y

2 3
3(-1 - 5y)  2(10  4y)
y  1
sustituimos el valor de y  1 en la ecuación ( I )
2x  5(-1)  -1
x2
Una verificación mostrará que la solución del sistema es (2,1)
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Sistema de ecuaciones lineales con tres variables

La expresión general de este sistema es :

 a 11x  a 12 y  a 13z  b1

 a 21x  a 22 y  a 23  b 2
 a xa ya  b
 31 32 33 3

donde los coeficientes son números reales

La solución de este sistema es una terna ordenada ( x, y,z ) que verifica las ecuaciones.

Los métodos utilizados para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables se
pueden aplicar sin cambios sustanciales a este sistema. El procedimiento a seguir es transformar
el sistema inicial en un sistema de dos ecuaciones con dos variables y seguidamente transformar
éste último en una ecuación lineal con una variable.
Existen varios métodos algebraicos para resolver tales sistemas.

A) Método de eliminación, adición o reducción

Paso 1: Para un sistema de tres ecuaciones se eligen dos pares de ecuaciones con tres variable y
se debe eliminar una variable a la vez de cada par de ecuaciones. Aunque usted es quien decide
cual variable eliminar, la metodología es la misma en todos los sistemas
Paso 2: Luego de realizar el paso 1 resolvemos el sistema de ecuaciones con dos variables que
nos queda por los métodos estudiados anteriormente.

Ejemplo
Resolver el sistema de ecuaciones
x  y  z  1 …… ( I )
4x  3y  2z  16 …… ( II )
2x  2y  3z  5 …… (III)
Solución
Nuestro plan para este sistema será eliminar la variable z , primero de las ecuaciones (I) y (II) y
luego de las ecuaciones (I) y (III)

Trabajamos en la ecuación (I) y (II)

x  y  z  1 Multiplicamos cada lado de la ecuación por 2

4x  3y  2z  16

2x  2y  2z  2
4x  3y  2z  16

6x  y  14 …… (IV)
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Trabajamos en la ecuación (I) y (III)

x  y  z  1 Multiplicamos cada lado de la ecuación por  3

2x  2y  3z  5

 3x  3y  3z  3
2x  2y  3z  5

 x  5y  8 …… (V)

Ahora trabajamos la ecuación (IV) y (V) por los métodos estudiados anteriormente y obtenemos la
solución del sistema.

6x  y  14 …… ( I V)
 x  5y  8 …… ( IV)
Resolviendo el sistema de dos variables obtenemos:
x  2 , y  2 y z  1

Los siguientes métodos se deja para investigación del estudiante

B) Método de sustitución
C) Método de igualación

OBSERVACIÓNES

-Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables tales
como: método gráfico, determinantes (Regla de Cramer) y mediante matrices.

- Rango de una matriz A denotada por rg(A) es igual al número de filas no nulas

- Teorema ( de Roché – Frobenius ).

Sea AX  B un sistema de m ecuaciones y n incógnitas y sea A \ B la matriz de dimensión
m x (n  1) llamada matriz ampliada

 a 11 a 12 ......... a 1n b1 
 
 a 21 a 22 ......... a 2 n b2 
. 
A \ B   
. 
 
. 
a b n 
 m1 a m 2 ......... a mn

Entonces:

I) Si rg(A)  rg A \ B el sistema es incompatible

II) Si rg(A)  rg A \ B el sistema es compatible, y además:
a) Si rg(A)  rg A \ B  n el sistema es compatible determinado
b) Si rg(A)  rg A \ B  n el sistema es compatible indeterminado
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Ejercicios : Sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables

Resolver cada sistema de ecuaciones de dos variables

2x  y  5 x  y  8
1.  2. 
5x  2 y  8 x  y  4

5x  4 y  3 5x  y  13
3.  4. 
2x  3y  8 2x  3y  12

3x  24 4x  5y  3
5.  6. 
x  2 y  0  2 y  4

3x  6 y  2 2x  y  1
7.  8. 
5x  4 y  1 4x  2 y  3

2x  y  13 x  2 y  4
9.  10. 
3x  2 y  7 2x  4 y  8

 5x  3y 1 1
 3  y 1  2 x  3 y  3
11.  12. 
 5x  3y  x  2  1 x  2 y  1
 4  4 3

1 1 4 3
x  y  8 x  y  0
 
13.  14. 
3  5  0 6  5  2
 x y  x 2 y
 4 1 17  5 1
x 1  y  2  4 3  x   3
  y
15.  16. 
 3  2 5  1  4
 1
 x  1 y  2 2  x  3 y

Resolver cada sistema de ecuaciones de tres variables

x  2 y  3z  5 x  y  z  5
 
17. x  y  z  0 18. x  y  2
3x  4 y  2z  1 2 x  2 y  2 z  3
 
R. X  (5,3,2) t R. X  (2,1,4) t
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x  2 y  z  5 x  y  z  1
 
19. 2 x  y  3z  2 20.  x  2 y  3z  4
3x  y  4z  5 3x  2 y  74  0
 
R. X  (3,4,0) t R. X  (2,3,0) t

2 x  y  2 z  1 3x  4 y  z  4
 
21. x  2 y  z  0 22. x  2 y  z  4
3x  y  z  2  6x  8y  2z  8
 
R. Inconsistente R. Infinitas soluciones

x  y  z  1
 x  y  z  20
23. 2x  3y  z  2 24. 
3x  2 y  0 2x  3y  z  1

R. Inconsistente R. Infinitas soluciones

3x  2 y  z  5 4 x  y  z  w  3
 
25. 2 x  y  2z  4 26. x  y  w  5
x  5z  15  2 x  z  w  4
 
R. Inconsistente R. Infinitas soluciones

27.Hallar el valor o valores de m para que el sistema tenga solución única

x  2 y  3z  2

 x  my  z  4
2x  4 y  (m  3)z  3


28. En cada uno de los siguientes casos, determine el valor de la constante k de manera que el
sistema:
i)Tenga solución única
ii)Tenga infinitas soluciones
iii)No tenga soluciones

x  y  kz  2 x  y  kz  0
 
1. 3x  4 y  2z  k 2. x  ky  z  1
2 x  3 y  z  1 kx  y  z  2
 
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Ejercicios adicionales

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones


5 x  3 y  3 
 3 x  y  2  2x  3y  7  3
27.  28. 

 25x  9 y  81  2 x  y  2  3 2x  3y  7  14
 3

 xy  x  y  23
 x  y  2x  4 y  2  4 
29.  30. xz  x  z  41
 x  2 y  2x  2 y  2 2  2
  yz  y  z  27


x  y  z  15
x  y  w  16 5xy  12( x  y)
 
31.  32. 5zy  18( y  z)
x  z  w  18 13xz  36( x  z)
 y  z  w  20 

 xy
 m n mn  ay  bx  c
x  a  y  b  b  a 
  xz
33.  34.  b
 r  s  rs  az  cx
 x  a y  b b  a  yz
 bz  cy  a
