Matemática

Tema 01
Sistema de Ecuaciones lineales
Métodos de resolución
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A.1) sistema compatible determinado:
Un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto existe solo una solución. Además, se
de dos o más ecuaciones de primer grado, en el 𝑎1 𝑏
cual se relacionan dos o más incógnitas.
cumple: ≠ 1
𝑎2 𝑏2
La forma general de un sistema de ecuaciones
lineales es:
Sistema de 2x2 sistema de 3x3
Solución
a1 x +b1 y = c1 a1x+b1y+c1 z= d1
a2 x +b2 y = c2 a2x+b2y+c2 z= d2
a3x+b3y+c3 z= d3

donde las “a” , “b”, “c”, y “d” son números reales

y las “x”, “y”, y “z” son las variables (incógnitas)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 2X2

un sistema de 2x2(2 ecuaciones y 2 incógnitas) es
un sistema de la forma
𝑎 x + 𝑏1 y = 𝑐1 Vemos que tiene solución única, pues las
{ 1 dos rectas tienen único punto común
𝑎2 x + 𝑏2 y = 𝑐2

donde las “a1” , “a2”, “b1”, y “b2” ∈ ℝ, son los A.2) sistema compatible indeterminado:
coeficientes, c1 y c2 los términos independientes ; existe infinitas soluciones. Además, se
las “x”, “y” son las variables (incógnitas). 𝑎1 𝑏 𝑐
cumple: = 1= 1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
• Una solución del sistema es una pareja de
valore de la variable que satisface las dos
ecuaciones al mismo tiempo.
• Dos sistemas son equivalentes cuando
tiene las mismas soluciones
• Resolver un sistema es encontrar todas sus
soluciones.

Ejemplo: En el siguiente sistema de ecuaciones

lineales
2x +y = 5
{
x +3y = 5
x=2 y y= 1 ⟹CS= {(2; 1)} Vemos que tiene infinitas soluciones, pues
las dos rectas tienen todos los puntos
CLASIFICACIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES comunes
LINEALES
B. sistema incompatible: no existe alguna
A. Sistema compatible: existe alguna solución solución
 Ejemplo: resolver:
2𝑥 + 3𝑦 = 20 (𝑎)
además, se cumple:
𝑎1
=
𝑏1
≠
𝑐1 {
𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑥 − 2𝑦 = 3 (𝑏)
Paso 1: Despejamos la variable y en ambas
ecuaciones (a) y (b)
20−2x
y= (l1 )
3
x−3
y= (l2 )
2
Paso 2: Tabulando dos valores para cada ec.
(𝑙1 ) (𝑙2 )
x 1 4 x 5 -1
y 6 4 y 1 -2
Paso3: graficando en un plano cartesiano

Vemos que no tiene soluciones, pues las dos

rectas no tienen puntos en común

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES
son: método gráfico, método de reducción,
método de igualación, método de sustitución,
método de Gramer, método de Gauss- Jordán

A) MÉTODO GRAFICO

Para resolver un sistema de ecuaciones por el

Paso 4: CS= {(7;2)}
método gráfico se deben hacer los siguientes
pasos:
B) MÉTODO DE REDUCCIÓN:
1. Despejar la incógnita “y” de las dos ecuaciones
del sistema. PASO 1: Se elige la incógnita que se eliminará y se
2. Construir una tabla de valores para cada
preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por
ecuación.
3. Representar gráficamente las dos ecuaciones un numero tal que las ecuaciones resultantes
en el plano cartesiano. Se obtendrán dos rectas: tengan un coeficiente en común.
• Si las dos rectas se cortan en un punto,
(con signo contrario).
dicho punto de corte es la solución del
sistema de ecuaciones (Sistema Compatible PASO 2: Se suman las dos ecuaciones.
Determinado). PASO 3: Se resuelve la ecuación resultante,
• Si las dos rectas se superponen, el sistema
obteniendo el valor de la incógnita.
de ecuaciones tiene infinitas soluciones
(Sistema Compatible Indeterminado). PASO 4: Se reemplaza el valor obtenido en
• Si las dos rectas son paralelas (no se cualquiera de las dos ecuaciones.
cortan), el sistema de ecuaciones no tiene PASO 5: Se escribe la solución del SEL.
solución (Sistema Incompatible).
Ejemplo: resolver: 20 − 3y = 6 + 4𝑦
2𝑥 + 3𝑦 = 20 (𝑎) 20 − 6 = 4𝑦 + 3𝑦
{ 14 = 7𝑦
𝑥 − 2𝑦 = 3 (𝑏)
𝑦=2
PASO 1: Elegimos la variable “y” para eliminar, lo paso4: remplazando el valor obtenido en la ec.
multiplicamos por 2 y 3 para igualar sus (c)
coeficientes:
2 (con signo contrario)
3+2(2)
2 𝑥= (𝑐) 𝑥=7
4𝑥 + 6𝑦 = 40 (𝑎) 1
3 { paso 5: CS= {(7;2)}
3𝑥 − 6𝑦 = 9 (𝑏)
7𝑥 = 49
49
𝑥 = D) METODO DE SUSTITUCION
7
𝑥=7
Remplazando x en la ec. (b) PASO 1: Se elige cualquiera de las dos incógnitas
7-2y=3 y se despeja de una de las ecuaciones.
7-3=2y PASO 2: Se sustituye la expresión obtenida en la
Y=4/2 otra ecuación.
Y=2 PASO 3: Se resuelve la ecuación resultante,
CS= {(7;2)} obteniendo el valor de la incógnita.
PASO 4: Se reemplaza el valor obtenido en
C) METODO DE IGUALACION
cualquiera de las dos ecuaciones.
PASO 1: Se elige cualquiera de las dos incógnitas PASO 5: Se escribe la solución del SEL.
y se despeja en ambas ecuaciones.
Ejemplo: resolver:
PASO 2: Se igualan las dos expresiones, 3𝑥 + 2𝑦 = 1 (𝑎)
obteniendo una ecuación con una incógnita. {
𝑥 − 5𝑦 = 6 (𝑏)
PASO 3: Se resuelve la ecuación resultante,
obteniendo el valor de la incógnita. Paso 1: Despejamos la variable x en la ecuación
PASO 4: Se reemplaza el valor obtenido en (b)
cualquiera de las dos expresiones. 𝑥 = 6 + 5𝑦 (𝑐)
PASO 5: Se escribe la solución del SEL. PASO 2: sustituyendo x en la ecuación (a)
3(6 + 5𝑦) + 2𝑦 = 1
Ejemplo: resolver:
PASO 3: Resolvemos la ecuación
2𝑥 + 3𝑦 = 20 (𝑎)
{ 18 + 15𝑦 + 2𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = 3 (𝑏)
Paso 1: Despejamos la variable x en ambas 17𝑦 = 1 − 18
ecuaciones (a) y (b) 𝑦 = −1
paso4: Remplazando el valor obtenido en la ec.
𝑥=
20−3𝑦
(𝑐) (c)
2
3+2𝑦
𝑥= (𝑑) 𝑥 = 6 + 5(−1) (𝑐)
1
Paso 2: Se igualan las dos expresiones 𝑥 =6−5
𝑥=1
20 − 3𝑦 3 + 2𝑦
= paso 5: CS= {(1;-1)}
2 1
Paso 3: Resolvemos la ecuación
Problema 01
En el siguiente sistema compatible indeterminado. Cuales son las posibles soluciones de las ecuaciones

A) CS= {… (2; −1), (4; 2), (6; 4), … }

B) CS= {… (2; 1), (4; 2), (6; 6), … }
C) CS= {… (0; −4), (4; 2), (5; 4), … }
D) CS= {… (0; −4), (3; 0), (6; 4), … }
E) CS= {… (2; −1), (4; 2), (6; 5), … }

Problema 02
La grafica de que sistema de ecuaciones lineales es:

Ecuación ordinaria de la recta

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde:
B, es el punto de intercepto con el eje y
m es la pendiente de la recta
−2
𝑙1 : 𝑦 = 3 𝑥 + 4
3𝑦 = −2𝑥 + 12
2𝑥 + 3𝑦 = 12
2
𝑙2 : 𝑦 = 𝑥 − 4
1
−2𝑥 + 𝑦 = −4

2𝑥 + 𝑦 = 4 −2𝑥 − 𝑦 = 4
A) { } B){ }
2𝑥 − 3𝑦 = 2 𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 4 −2𝑥 + 𝑦 = −4
C) { } D) { }
2𝑥 − 3𝑦 = 12 2𝑥 + 3𝑦 = 12

−2𝑥 + 𝑦 = 4
E) { }
2𝑥 + 3𝑦 = 6
Problema 03
Si alguna de las soluciones de las ecuaciones
lineales E1 y E2, son las siguientes
E1: {…(2;3),(0;5),(3;2),… }
E2: {…(-1;0),(0;2),(2;6),… }
Determine el conjunto solución si son un sistema de
ecuaciones lineales de 2x2

A) (3;5) B) (2;4) C) (1;4) Punto

D) (4;1) E) (5;3) solución

Problema 04
Resolver:
2𝑥 + 3𝑦 = 4 (𝑎)
{
5𝑥 − 2𝑦 = −9 (𝑏)

A) CS= {(4;-1)} B) CS= {(1/2;1)}

C) CS= {(-1;-2)} D) CS= {(-1;2)}
E) CS= {(3;-1)}
Resolución:
Método de reducción

2→ 2𝑥 + 3𝑦 = 4 (𝑎)
{
3→ 5𝑥 − 2𝑦 = −9 (𝑏)
4𝑥 + 6 𝑦 = 8
15𝑥 − 6𝑦 = −27
19𝑥 = −19
𝑥 = −1
Remplazando en ec. (a):
2𝑥 + 3𝑦 = 4 (𝑎)
2(−1) + 3𝑦 = 4
3𝑦 = 4 + 2
𝑦=2

Problema 05
Resolver:
3𝑥 + 4𝑦 = 6 (𝑎)
{
2𝑥 + 5𝑦 = 11 (𝑏)
Hallar: x+y

A) 3 B)2 C)6 D) 4 E) 1
Resolución:
Método de reducción

−2 → 3𝑥 + 4𝑦 = 6 (𝑎)
{
3→ 2𝑥 + 5𝑦 = 11 (𝑏)
 −6𝑥 − 8 𝑦 = −12
6𝑥 + 15𝑦 = 33
7𝑦 = 21
𝑦=3
Remplazando en ec. (a):
3𝑥 + 4𝑦 = 6 (𝑎)
3x + 12 = 6
x = −2

Problema 06
Resolver:
3𝑥 + 2𝑦 = 2 (𝑎)
{
−2𝑥 − 3𝑦 = 2 (𝑏)
Hallar: 4x+y
A) 5 B)9 C)6 D) 13 E) 17
Resolución:
Método igualación
i. Despejamos la variable “x” en ambas ecuaciones (a) y (b)

2−2𝑦 −3𝑦−2
𝑥= (c) 𝑥= (d)
3 2

ii. igualamos la ecuación (c) con la (b)

2 − 2𝑦 −3𝑦 − 2
=
3 2
4 − 4𝑦 = −9𝑦 − 6
5𝑦 = −10
𝑦 = −2

iii. Remplazando x en la ec. (c)

2 − 2(−2)
𝑥=
3
𝑥=2
iv. Respuesta: 4x+y=4(2 )+-2 =6

Problema 07
Resolver:
1
𝑥− =8 (𝑎)
𝑦
3
2𝑥 − = 11 (𝑏)
{ 𝑦
Hallar: x +5y
A) 12 B) 32 C) 24 D) 36 E) 14

Resolución:
1
Cambio de variable: 𝑧 = 𝑦 y=1/5
𝑥−𝑧 =8 (𝑎)
{
2𝑥 − 3𝑧 = 11 (𝑏)
Método igualación
i. Despejamos la variable “x” en ambas ecuaciones (a) y (b)

8+𝑧 11+3𝑧
𝑥= (c) 𝑥= (d)
1 2
 ii. igualamos la ecuación (c) con la (d)
11 + 3𝑧
8+𝑧 =
2
16 + 2𝑧 = 11 + 3𝑧
5=𝑧
iii. Remplazando z en la ec. (c)

𝑥 = 13
1
iv. Respuesta: x +5y = 13 + 5 5=14

Problema 08
Hallar “x.y”, si:
1
𝑥+2 = (1)
2𝑦
1
𝑥−7= (2)
{ 𝑦

A) 2/7 B) 12/13 C)11/18 D) 11/14 E) 3/4

Resolución:
1
Cambio de variable: 𝑧 = 𝑦 y=-1/18
2𝑥 + 4 = z (1)
{
𝑥−7=z (2)
Método sustitución
i. Despejamos la variable “x” en una de las ecuaciones (1)

𝑧−4
𝑥= (c)
2

ii. Sustituimos la ecuación (c) en la (2)

𝑧−4
−7=𝑧
2
𝑧 − 4 − 14 = 2𝑧
−18 = 𝑧
iii. Remplazando z en la ec. (c)

𝑥 = −11
−1
iv. Respuesta: x.y =−11. 18 =11/18

Problema 09
Determine. (2x)2 ; si:
1 1
− = −1 (1)
𝑥 3𝑦
1 1
− = −2 (2)
{2𝑥 3𝑦

A) 1 B) 9 C) 8 D) 16 E) 36
Resolución:
 1 1
Cambio de variable: 𝑠 = 𝑥 ; 𝑧=𝑦
3s − z = −3 (1)
{
3s − 2z = −12 (2)

Método sustitución
i. Despejamos la variable “ z ” en una de las ecuaciones (1)

3+ 3𝑠
𝑧= (c)

ii. Sustituimos la ecuación (c) en la (2)

3𝑠 − 2(3 + 3𝑠) = −12
3𝑠 − 6 − 6𝑠 = −12
2=𝑠
iii. Remplazando z en la ec. (c)

𝑧 =9
1 1 1 1
Cambio de variable: 𝑠 = 𝑥 → 𝑥 = 2 ; 𝑧=𝑦→𝑦=9

iv. Respuesta: (2𝑋)2 = 12 =1

Problema 10
Cuál es el valor de “y” en el sistema de ecuaciones
𝑥 + 3√𝑦 = 27 (1)
{
7𝑥 − 2√𝑦 = 5 (2)

A) 16 B) 64 C) 25 D) 30 E) 36

Resolución:
Cambio de variable: 𝑧 = √𝑦
𝑥 + 3z = 27 (1)
{
7𝑥 − 2z = 5 (2)
2→ 𝑥 + 3z = 27 (𝑎)
{
3→ 7𝑥 − 2z = 5 (𝑏)
2𝑥 + 6𝑧 = 54
21𝑥 − 6z = 15
23x= 69
x=3
3 + 3z = 27
𝑧=8

Cambio de variable: 𝑧 = √𝑦 → 𝑦 = 82 = 64

Problema 11
Hallar 𝑥 𝑦 , luego de resolver:
𝑥+𝑦
=𝑥−1
2
𝑥−𝑦
=𝑦+1
2

A) 1 B) 8 C)4 D) 9 E) 16

Resolución:
Reduciendo la ecuación:
𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 − 2
{
𝑥 − 𝑦 = 2𝑦 + 2

−𝑥 + 𝑦 = −2
{
𝑥 − 3𝑦 = 2

Método igualación
i. Despejamos la variable “x” en ambas ecuaciones (1) y (2)

2+𝑦 2+3𝑦
𝑥= (c) 𝑥= (d)
1

ii. Igualamos la ecuación (c) con la (d)

2 + 𝑦 = 2 + 3𝑦
0 = 2𝑦
𝑦=0
iii. Remplazando y en la ec. (c)

𝑥=2

Hallar:𝑥 𝑦 = 20 = 1

Problema 12
Resolver:
𝑥 𝑦
+ =6
2 3
𝑥
+ 𝑦 = 11
3
Hallar y-x

A) 5 B)4 C)3 D) 1 E) 2
Resolución:
Reduciendo la ecuación:
3𝑥 + 2𝑦 = 36
{
𝑥 + 3𝑦 = 33

Método de reducción

−1 → 3𝑥 + 2𝑦 = 36 (𝑎)
{
3→ 𝑥 + 3𝑦 = 33 (𝑏)
−3𝑥 − 2𝑦 = −36
3𝑥 + 9y = 99
7y = 63
𝑦=9
Remplazando en ec. (a):

x= 6

Hallar y-x=3

Problema 13
Resolver:
3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = −3 (𝑎)
{ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7 (𝑏)
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 (𝑐)

Hallar 𝑥. 𝑦. 𝑧
A) - 2 B) 4 C) 2 D) -6 E) -8
Resolución:
Método de reducción
De (a) y (b)
3→ 3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = −3
{
4→ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
9𝑥 − 12𝑦 + 6𝑧 = −9
8𝑥 + 12𝑦 − 4𝑧 = 28
17𝑥 + 2𝑧 = 19 … . (d)

De (b) y (c)
→ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 7
{
3→ 𝑥−𝑦+𝑧 = 0
2𝑥 + 3 𝑦 − 𝑧 = 7
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 0
5x+2𝑧 = 7 … . (e)
De e y (d)
→ 17𝑥 + 2z = 19 (𝑑)
{
→ 5𝑥 + 2z = 7 (𝑒)
17𝑥 + 2z = 19
{
−5x − 2z = −7
12x =12
x=1
Remplazando en ec. (e):
2𝑧 = 2
𝑧=1
Remplazando en ec. (a):
3 − 4𝑦 + 2 = −3
3 + 2 + 3 = 4𝑦
2=𝑦
Hallar 𝑥. 𝑦. 𝑧=2

Problema 14
Resolver, luego hallar 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
{2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −2
A) 1 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Resolución:
Método de reducción
De (a) y (b)
 −1 → 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
{
→ 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11
−2x + 3y − z = 1
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11
4y − 4z = 12 … . (c)
y − z = 3 … . (c

De (b) y (c)
→ 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11
{
−2 → 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −2
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11
−2x − 4y − 6z = 4
−3y − 9z = 15 … . (d)
−y − 3z = 5 … . (d)

De © y (d)
→ y − z = 3 (𝑐)
{
→ −y − 3z = 5 (𝑑)
−4z = 8
{
z = −2

Remplazando en ec. (c):

𝑦+2=3
y=1
Remplazando en ec. (a):
2𝑥 − 3 − 2 = −1
𝑥=2
Problema 15
Resolver, luego hallar 𝑥 − 𝑦 + 𝑧

𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3
{ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −9
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −10
A) 1 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Resolución:
Método de reducción
De (a) y (b)
→ 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3
{
3→ 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −9
𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3
6𝑥 + 9𝑦 − 3𝑧 = −27
7𝑥 + 10𝑦 = −24 … . (c)

De (b) y (c)
−3 → 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −9
{
→ 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −10
−6𝑥 − 9𝑦 + 3𝑧 = 27
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −10
−5x − 7y = 17 … . (d)
De © y (d)
5→ 7𝑥 + 10𝑦 = −24 (𝑐)
{
7→ −5x − 7y = 17 (𝑑)
35x + 50y = −120
{
−35x − 49y = 119
y =−1
Remplazando en ec. (d):
7𝑥 = 10 − 24
x = −2
Remplazando en ec. (a):
−2 − 1 + 3𝑧 = 3
𝑧=2
hallar 𝑥 − 𝑦 + 𝑧=-2+1+2=+1

Problema 16
Resolver, luego hallar 𝑥. 𝑦 − 𝑧

4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 15
{ 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 4
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 6
A) 1 B) 4 C)3
D) 5 E) 2 Matemática
Tema 02
Métodos de Resolución de SEL
Cramer – Gauss_Jordan
REGLA DE CRAMER Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas obtiene al sustituir los coeficientes del 2º
de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que miembro (los términos independientes) en la 1ª
cumplan las dos condiciones siguientes: columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y
El número de ecuaciones es igual al número de en la enésima columna respectivamente.
incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes Un sistema de Cramer tiene una sola solución
es distinto de cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer. que viene dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo
Resolver:
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 35
{4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 34
Sea Δ el determinante de la matriz de 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 42
coeficientes. Calculamos la determinante del sistema
1 2 4
4 4 1
∆ s =|2 3 4|| = 16 + 48+4- 32- 3- 32
|
1 2 4
4 4 1
= 68- 67= 1
Y sean: Calculamos la determinante del
 35 2 4 −3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
34 4 1 { 4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
∆x =|42
| 3 4|| = 560+408+84– 672-105 - 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
35 2 4 Se acomodan los coeficientes y los resultados en
34 4 1 una matriz:
272= 1052 -1049= 3
Calculamos la determinante del −3 3 2 1
1 35 4 (4 1 −1|2)
1 −2 1 3
4 34 1
∆ y =|2 42 4|| =136 + 672 + 70 – 272 –
| En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que
1 35 4 convertir en un 1, según la matriz identidad, así que hay
4 34 1 que dividir entre -3, pero como una operación se aplica
42- 560= 878- 874= 4 a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que
dividir entre –3:
Calculamos la determinante del
1 2 35
𝑓1/−3 −3 3 2 1
4 4 34 (4 1 −1|2)
∆ z =||2 3 42|| = 168 + 420 +136 – 280 – 1 −2 1 3
1 2 35
1 −1 −2/3 −1/3
4 4 34 ~ (4 1 −1 | 2 )
102- 336= 724 –718= 6 1 −2 1 3
Dividimos: Después, como se ve en la matriz identidad, hay que
∆x 3 ∆y 4
X= = =3 Y= == =4 hacer 0 toda la columna debajo del 1, y se hace
∆s 1 ∆s 1 multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la
∆z 6 fila de abajo.
Z= = == =6
∆s 1 En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se
suma con la correspondiente
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN posición de la fila de abajo:
El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones
con matrices para resolver sistemas de 1 −1 −2/3 −1/3
ecuaciones de n número de variables. −4𝑓1 + 𝑓2 (4 1 −1 | 2 )
−𝑓1 + 𝑓3 1 −2 1 3
Para aplicar este método solo hay que recordar 1 −1 −2/3 −1/3
que cada operación que se realice se aplicara a ~ (0 5 5/3 | 10/3 )
toda la fila o a toda la columna en su caso. 0 −1 5/3 10/3
El objetivo de este método es tratar de convertir El siguiente paso para lograr una matriz identidad es
la parte de la matriz donde están los coeficientes obtener el siguiente 1, que en este
de las variables en una matriz identidad. Esto se caso iría en donde está el 5 en la segunda fila.
logra mediante simples operaciones de suma,
resta y multiplicación. Para lograrlo hay que dividir toda la segunda fila entre
5:
El procedimiento es el siguiente:
1 −1 −2/3 −1/3
Primero se debe tener ya el sistema de 𝑓2/5 (0 5 5/3 | 10/3 ) ~
ecuaciones que se quiere resolver y que puede 0 −1 5/3 10/3
ser de n número de variables
Por ejemplo:
 1 −1 −2/3 −1/3 1 0 01
(0 1 1/3 | 2/3 ) ~ (0 1 0|0)
0 −1 5/3 10/3 0 0 12

Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y Al encontrar la matriz identidad se encuentra la
abajo del 1, que en este caso sería, solución del sistema de ecuaciones, pues

para el que está arriba y abajo: esto se traduce a:

𝑓2 + 𝑓1 1 −1 −2/3 −1/3 x=1

(0 1 1/3 | 2/3 ) y=0
𝑓2 + 𝑓3 0 −1 5/3 10/3 z=2
las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma
1 0 −1/3 1/3
~ (0 simultánea. La comprobación es la siguiente:
1 1/3 |2/3)
0 0 2 4 −3(1) + 3(0) + 2(2) = −3 + 4 = 1
Multiplicar por 1/2 f3 nos permite encontrar el otro 1, { 4(1) + (0) − (2) = 4 − 2 = 2
el de la posición a33: (1) − 2(0) + (2) = 1 + 2 = 3

1 0 −1/3 1/3 Como puede verse el método Gauss-Jordan es una

(0 1 1/3 |2/3) herramienta útil en la resolución de
1/2𝑓3 0 0 2 4
este tipo de problemas y actualmente existen
1 0 −1/3 1/3 programas matemáticos que lo utilizan para
~ (0 1 1/3 |2/3)
0 0 1 2 una gran variedad de cálculos en una gran variedad de
áreas, tanto científicas como socioeconómicas.
Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23.
Multiplicar por -1/3 a f3 y sumarlo a f2

nos permitirá encontrar uno de ellos:

1
3
𝑓3 + 𝑓1 1 0 −1/3 1/3
1 (0 1 1/3 |2/3)
− 3 𝑓3 + 𝑓2
0 0 1 2

Problema 01
Resolver
4𝑥 + 3𝑦 = −1 (𝑎)
{
3𝑥 − 2𝑦 = 12 (𝑏)

A) (1;2) B)(2;-3) C)(-2;3) D) (-4;5) E) (5;-7)

Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
4 3
∆𝑠 = | | = −8 − 9 = −17
3 −2
Determinante de x
−1 3
∆𝑥 = | | = 2 − 36 = −34
12 −2
Determinante de y
 4 −1
∆𝑦 = | | = 48 + 3 = 51
3 12
Dividiendo:
∆x −34 ∆y 51
X= = =2 Y= = =-3
∆s −17 ∆s −17

Problema 02
Al resolverlo por la regla de Cramer:

2𝑥 + 3𝑦 = 20 (𝑎)
{
𝑥 − 2𝑦 = 3 (𝑏)

Cuál es la suma de:∆𝑠 + ∆𝑥 + ∆𝑦

A) -10 B)-20 C) 30 D) 40 E) -70

Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
2 3
∆𝑠 = | | = −4 − 3 = −7
1 −2
Determinante de x
20 3
∆𝑥 = | | = −40 − 9 = −49
3 −2
Determinante de y
2 20
∆𝑦 = | | = 6 − 20 = −14
1 3

suma de:∆𝑠 + ∆𝑥 + ∆𝑦=-7-49-14= -70

Problema 03
Al resolverlo por la regla de Cramer:

3𝑥 + 2𝑦 = 1 (𝑎)
{
𝑥 − 5𝑦 = 6 (𝑏)
Cuál es la suma de:∆𝑥 + ∆𝑦

A) 1 B)2 C) 3 D) 0 E) 5
Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
3 2
∆𝑠 = | | = −15 − 2 = −17
1 −5
Determinante de x
1 2
∆𝑥 = | | = −5 − 12 = −17
6 −5
Determinante de y
3 1
∆𝑦 = | | = 18 − 1 = 17
1 6
Problema 04
Al resolverlo por la regla de Cramer:
𝑥 + 𝑦 = 2 (𝑎)
{
3𝑥 + 2𝑦 = 8 (𝑏)

Hallar: (∆𝑠)𝑥+𝑦

A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
1 1
∆𝑠 = | | = 2 − 3 = −1
3 2
Determinante de x
2 1
∆𝑥 = | | = 4 − 8 = −4
8 2
Determinante de y
1 2
∆𝑦 = | | =8−6 = 2
3 8
Dividiendo:
∆x −4 ∆y 2
X= = =4 Y= = =-2
∆s −1 ∆s −1

Hallar: (∆𝑠)𝑥+𝑦 = (−1)2 = 1

Problema 05
Al resolverlo por la regla de Cramer:
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
{0x + 2𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 0𝑧 = 1
Cuál es la suma de:∆𝑥 + ∆𝑦 + ∆𝑧

A) 10 B)12 C) 13 D) -8 E) -15
Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
2 −1 1
0 2 −1
∆𝑠 = ||1 −1 0 || = 0 + 0 + 1 − 2 − 2 − 0 = −3
2 −1 1
0 2 −1
Determinante de x
3 −1 1
1 2 −1
∆𝑥 = ||1 −1 0 || = 0 − 1 + 1 − 2 − 3 − 0 = −5
3 −1 1
1 2 −1
Determinante de y
2 3 1
0 1 −1
∆𝑦 = ||1 1 0 || = 0 + 0 − 3 − 1 + 2 − 0 = −2
2 3 1
0 1 −1
Determinante de z
2 −1 3
0 2 1
∆𝑧 = ||1 −1 1|| = 4 + 0 − 1 − 6 + 2 − 0 = −1
2 −1 3
0 2 1
 Dividiendo:
∆x −5 ∆y −2 ∆y −1
X= = = 5/3 Y= = = 2/3 z= = =1/3
∆s −3 ∆s −3 ∆s −3

suma de:∆𝑥 + ∆𝑦 + ∆𝑧=-5-2-1 =-8

Problema 06
Al resolverlo por la regla de Cramer:
𝑥+𝑦+𝑧 =1
{𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2
𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 5
Hallar el valor de: (∆𝑥 + ∆𝑦 + ∆𝑧)∆𝑠

A)8 B)25 C)27 D)4 E)64

Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
1 1 1
1 −2 3
∆𝑠 = ||1 0 1|| = −2 + 0 + 3 + 2 − 0 − 1 = 2
1 1 1
1 −2 3
Determinante de x
1 1 1
2 −2 3
∆𝑥 = ||5 0 1|| = −2 + 0 + 15 + 10 − 0 − 2 = 21
1 1 1
2 −2 3
Determinante de y
1 1 1
1 2 3
∆𝑦 = ||1 5 1|| = 2 + 5 + 3 − 2 − 15 − 1 = −8
1 1 1
1 2 3
Determinante de z
1 1 1
1 −2 2
∆𝑧 = ||1 0 5|| = −10 + 0 + 2 + 2 − 0 − 5 = −11
1 1 1
1 −2 2

Dividiendo:
∆x ∆y ∆y
X= = = Y= = = z= = =
∆s ∆s ∆s
Hallar el valor de: (∆𝑥 + ∆𝑦 + ∆𝑧)∆𝑠 = (21 − 8 − 11)2 = 4

Problema 07
Resolver:
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
{ + 3𝑦 + 4𝑧 = 2
5𝑥
𝑥+y− 𝑧 =1
 A)(4;3;-2) B)(2;8;-1) C) (-4;6;1) D)(2;-3;-1) E)(-3;-2;-1)
Resolución:
Regla de Gramer
Determinante del sistema:
3 2 1
5 3 4
∆𝑠 = ||1 1 −1|| = −9 + 5 + 8 − 3 − 12 + 10 = −1
3 2 1
5 3 4
Determinante de x
1 2 1
2 3 4
∆𝑥 = ||1 1 −1|| = −3 + 2 + 8 − 3 − 4 + 4 = 4
1 2 1
2 3 4
Determinante de y
3 1 1
5 2 4
∆𝑦 = ||1 1 −1|| = −6 + 5 + 4 − 2 − 12 + 5 = −6
3 1 1
5 2 4
Determinante de y
3 2 1
5 3 2
∆𝑧 = ||1 1 1|| = 9 + 5 + 4 − 3 − 6 − 10 = −1
3 2 1
5 3 2

Dividiendo:
∆x 4 ∆y −6 ∆z −1
X= = =-4 Y= = =6 z= = =1
∆s −1 ∆s −1 ∆s −1

Problema 08
Resolver
3𝑥 + 4𝑦 = 4 (𝑎)
{
2𝑥 − 5𝑦 = 18 (𝑏)

A)(1;6) B)(1;7) C) (4;-2) D)(1;4) E)(1;-5)

Resolución:
−𝑓2 + 𝑓1 ↦ 3 4 4
( | )
↦ 2 −5 18
↦ 1 9 −14
−2𝑓1 + 𝑓2 ↦ (2 −5| 18 )

↦ 1 9 −14
−1/23𝑓2 ↦ (0 −23| 46 )

−9𝑓2 + 𝑓1 ↦ 1 9 −14
( | )
↦ 0 1 −2
↦ 1 0 4
( | )
↦ 0 1 −2

𝑥=4 𝑦 = −2

Problema 09
 Al resolver:
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3
{2𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 5
4𝑥 + 9y − 4 𝑧 = 4
1 1 1
Hallar el valor de: + +
𝑥 𝑦 𝑧

A) 5/12 B) 10 C) 1/15 D) 20 E) 9
Resolución:
𝑓2 → 𝑓1 2 3 4 3
𝑓1 → 𝑓2 (2 6 8 |5)
→ 4 9 −4 4

1/2𝑓1 → 2 6 8 5
→ (2 3 4 |3)
→ 4 9 −4 4
→ 1 3 4 5/2
−2𝑓1 + 𝑓2 → (2 3 4 | 3 )
−4𝑓1 + 𝑓3 → 4 9 −4 4

𝑓2 + 𝑓1 → 1 3 4 5/2
→ (0 −3 −4 | −2 )
−𝑓2 + 𝑓3 → 0 −3 −20 −6
→ 1 0 0 1/2
−1/3 → (0 −3 −4 | −2 )
−1/16𝑓3 → 0 0 −16 −4
→
−4 1 0 0 1/2
𝑓3 + 𝑓2 → (0 1 4/3|2/3)
3 0 0 1 1/4
→

→ 1 0 0 1/2
→ (0 1 0|1/3)
→ 0 0 1 1/4

𝑥 = 1/2 𝑦 = 1/3 𝑧 = 1/4

1 1 1
Hallar el valor de:𝑥 + 𝑦 + 𝑧= 2+3+4=9

Problema 10
Resolver:
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
{3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1
−𝑥 + 2y + 2𝑧 = 9
Hallar x+y+z

A) 4 B)6 C)5 D) 13 E) 12
Resolución:

→ 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
{
→ 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1
5𝑥 − 𝑧 = 2
 → −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 9
{
−2 → −6𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 2

−7𝑥 + 6𝑧 = 11
30𝑥 − 6𝑧 = 12
23x =23
X=1

5−2 =z
3=z
3 + 𝑦 − 6 = −1
𝑦=2

Problema 11
Resolver:
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −6
{ 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
6𝑥 − 2y + 3 𝑧 = 12

A) (3;3;5) B) (2;8; -1) C) (1/2;3;5) D) (2; -3; -1) E) (-3; -2; -1)
Resolución:
𝑓2 → 𝑓1 4 −1 −1 −6
𝑓1 → 𝑓2 (2 2 −1| 2 )
→ 6 −2 3 12
→ 2 2 −1 2
−2𝑓1 + 𝑓2 → (4 −1 −1|−6)
−3𝑓1 + 𝑓3 → 6 −2 3 12

1/2𝑓1 → 2 2 −1 2
−1/5𝑓2 → (0 −5 1 |−10)
→ 0 −8 6 6
−𝑓2 + 𝑓1 → 1 1 −1/2 1
→ (0 1 −1/5|2)
8𝑓2 + 𝑓3 → 0 −8 6 6
→
1 0 −3/10 −1
→
5 (0 1 −1/5 | 2 )
𝑓3 → 0 0 22/5 22
22

3
𝑓3 + 𝑓1 → 1 0 −3/10 −1
10
1 (0 1 −1/5 | 2 )
𝑓3 + 𝑓22 → 0 0 1 5
5
→
→ 1 0 0 1/2
→ (0 1 0| 3 )
→ 0 0 1 5

X=1/2 y=3 z=5

Problema 12
resolver:
 𝑥+𝑦−𝑧 =2
{3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥+𝑦+𝑧 =0

A) (2;2;-1) B) (1; 0;-1) C) (3; 0;-1) D) (1; 3;-1) E) (2; 0;-1)

Resolución:

Problema 13
Resolver:
2𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 7
{ + 2𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥
5𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = 9
Hallar x+y+z

A) 16 B) 12 C) 15 D) 13 E) 14
Resolución:
→ 2 6 1 7
→ (1 2 −1|−1)
→ 5 7 −4 9
Problema 14
Resolver:
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −3
{ + 2𝑦 − 𝑧 = −6
𝑥
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1

Hallar x+y+z

A) -4 B)-1 C)5 D) 13 E) 8
Resolución:
→ 1 3 1 −3
→ (1 2 −1|−6)
→ 2 1 3 1

Problema 15
Resolver:
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
{ + 2𝑦 − 2𝑧 = −2
𝑥
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 5

Hallar (x+z)y

A) 16 B)1 C)27 D) 36 E) 8
Resolución:
→ 2 1 1 1
→ (1 2 −2|−2)
→ 1 1 −3 5

Problema 16
Resolver:
𝑥+𝑦+𝑧=0
{ + 2𝑦 − 𝑧 = −3
𝑥
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0

Hallar (x+z)y
 A)-8 B)1 C)-27 D)4 E)-1

Matemática
Tema 03
Aplicación de Sistema de
Ecuaciones Lineales
del número de niños menos el triple de los
adultos es 76 visitantes.
Un sistema de ecuaciones lineales puede
utilizarse para representar problemas del RESOLVERLO POR EL METODO DE IGUALACION
mundo real. Cuando hay dos variables y le
dan dos datos acerca de cómo se relacionan Resolución:
esas variables, se utiliza un sistema de i. Identificando las variables:
ecuaciones. Los siguientes ejemplos le X: n° de niños que ingresaron al parque de
mostrarán algunos problemas comunes que las leyendas el día lunes
pueden resolverse utilizando un sistema de Y: n° de adultos que ingresaron al parque de las
ecuaciones. leyendas el día lunes

Ejemplo 1: ii. Determine las ecuaciones:

Por estas fiestas patrias, la municipalidad de 3𝑥 + 2𝑦 = 261 (𝑎)
{
lima, estaba promocionando las visitas guiadas 4 𝑥 – 3𝑦 = 76 (𝑏)
al parque de la leyenda para conocer la
diversidad de animales que hay. Muchos niños iii. Despejamos la variable “x” en ambas
y padres de familia, de diversos lugares, ecuaciones (a) y (b)
261−2𝑦
acudieron y aprovecharon estas promociones X= 3
(c)
por motivos de distracción y conocimiento de X=
76+3𝑦
(d)
los animales que hay. Las visitas son de lunes a 4

domingo. iv. igualamos la ecuación (c) con la (b)

261−2𝑦 76+3𝑦
¿Determine las cantidades de niños y adultos 3
= 4
que visitan el parque de las leyendas el día
lunes? Si Pedrito, que trabaja en el área de 4(261 – 2Y) = 3(76+3y)
promoción y turismo de la municipalidad, dice 1 044 -8y =228 + 9y
que: el triple de los niños que visitaron el lunes
el parque de las leyendas más doble de los 1044 -228 = 9y+ 8y
adultos son 261 niños. A demás el cuádruplo
 816=17y x: precio de un asiento en clase A

Y=
816 Y: precio de un asiento en clase B
17
ii. Determine las ecuaciones:
Y=48
32𝑥 + 50𝑦 = 14 600 (𝑎)
v. Remplazando y en la ec. (c) {
10 𝑥 + 40𝑦 = 7000 (𝑏)
RESOLVERLO POR LA REGLA DE CRAMER
261−2(48)
X= (c) iii. Calculamos la determinante del sistema
3
261−96
X= 32 50
3
∆ s =| | = 1280 - 500= 780
10 40
165
X= 3 iv. Calculamos la determinante del
X=55
14600 50
∆ x =| | =584 000- 350 000
vi. Conjunto solución: (x,y)= ( 55, 48) 7000 40
= 234 000
vii. Respuesta: Fueron 55 niños y 48 adultos los
que ingresaron el día lunes al parque de las v. Calculamos la determinante del
leyendas 32 14600
∆ y =| | =224 000 - 146 000
10 7000
Ejemplo 2: = 78000
Un avión dispone de 32 asientos en clase A y vii. Dividimos:
de 50 asientos en clase B cuya venta supone ∆x 234000
un total de S/14 600. Sin embargo, sólo sea X= = =300
∆s 780
han vendido 10 asientos en clase A y 40 en
∆y 78000
clase B, obteniendo un total de S/7 000. y= = = 100
∆s 780
¿Cuál es precio de un asiento en cada clase? vii. Respuesta: los asientos en clase A cuesta 300
soles y los asientos en la clase B cuesta 100
Resolución: soles
i. Identificando las variables:

Problema 01
En una granja de patos y vacas, se sabe que: la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas
es 402. ¿Cuál es la diferencia entre el número de vacas y patos?

A) 13 B) 10 C) 6 D) 5 E) 8
Resolución:
i. Identificando las variables:
p: nº de patos
v: nº de vacas
ii. Determine las ecuaciones:
 p + v = 132 (𝑎)
{
2p + 4v = 402 (𝑏)
Resolución
−2 → p + v = 132 (𝑎)
{
2p + 4v = 402 (𝑏)
→ −2p − 2v = −264 (𝑎)
{
2p + 4v = 402 (𝑏)
2v=138
V=69
P=63
69-63=6

Problema 02
𝑎
Si se suma 7 al numerador y al denominador de una determinada fracción 𝑏, se obtiene la
fracción 2/3. Si en vez de sumar 7 se resta 3 al numerador y al denominador, se obtiene la
𝑎+7
fracción 1/4. Encontrar dicha fracción. Halle el valor de 𝑏+1

A) 9/4 B) 8/3 C) 3/2 D) 4/3 E) 1

Resolución:
𝑎 𝑎+7 2
sea la fracción: → =
𝑏 𝑏+7 3
→ 3𝑎 + 21 = 2𝑏 + 14
→ 3𝑎 − 2𝑏 = −7

𝑎 𝑎−3 1
→ =
𝑏 𝑏−3 4
→ 4𝑎 − 12 = 𝑏 − 3
→ 4𝑎 − 𝑏 = 9
−7 + 2𝑏
𝑎=
3
9+𝑏
𝑎=
4
−7 + 2𝑏 9 + 𝑏
=
3 4
−28 + 8𝑏 = 27 + 3𝑏
5𝑏 = 55
𝑏 = 11
9 + 11
𝑎= =5
4

𝑎 5
=
𝑏 11
𝑎 + 7 12
= =1
𝑏 + 1 12
Problema 03
La edad de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la cuadriplicaba.
¿Cuál será la suma de sus edades dentro de 2 años?

A) 32 B) 74 C)57 D) 69 E) 64
Resolución:
i. sea:
p: edad del padre
h: edad de la hija
ii. Determine las ecuaciones:
𝑝 = 3ℎ + 2
𝑝 − 5 = 4(ℎ − 5)

3ℎ + 2 − 5 = 4(ℎ − 5)
3ℎ − 3 = 4ℎ − 20
17 = ℎ
𝑝 = 3(17) + 2 = 53

19+55=74

Problema 04
En el aula de tercer grado, hay doble número de alumnos que en el aula de cuarto grado.
Además, se sabe que, si se pasan 8 alumnos de tercer grado a cuarto grado, ambas aulas tendrán
el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en ambas aulas?

A)55 B) 62 C) 45 D) 53 E) 48
Resolución:
i. sea:
t: nº de alumnos del tercer grado.
c: nº de alumnos del cuarto grado.
ii. Determine las ecuaciones:
𝑡 = 2𝑐
𝑡−8=𝑐+8

2𝑐 − 8 = 𝑐 + 8
𝑐 = 8 + 8 = 16
T=32
32+16=48

Problema 05
En un almacén hay botellas de aceite de 5 litros y 2 litros. En total hay 1000 litros de aceite y
323 botellas. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de botellas de 5 litros y de 2 litros?

A)85 B) 72 C) 55 D) 95 E) 87
Resolución:
i. sea:
x: nº de botellas de 5 litros.
y: nº de botellas de 2 litros.
ii. Determine las ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 = 323
5𝑥 + 2𝑦 = 1000
 −2𝑥 − 2𝑦 = −646
{
5𝑥 + 2𝑦 = 1000
3x=354
X=118
Y=205
205-118=87

Problema 06
Hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la
primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera

A) 362 B)263 C) 184 D)563 E) 542

Resolución:
̅̅̅̅̅ el número de tres cifras
i. sea: 𝑎𝑏𝑐
ii.Las ecuaciones:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 11
𝑎 + 𝑐 = 5 → 𝑎 = 5 − 𝑐=2
𝑏 = 2𝑐 = 6
5 − 𝑐 + 2𝑐 + 𝑐 = 11
2𝑐 = 6
𝑐=3
̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐 = 263

Problema 07
Si Alex compro 12 cuadernos y 8 bolígrafos pagando por ellos 48 soles y su amigo José, compro
10 cuadernos y 15 bolígrafos pagando 50 soles ¿cuál fue la diferencia del precio del cuaderno
y del bolígrafo?

A) 1,5 B) 2,5 C) 3 D) 4,5 E) 2

Resolución:
i. sea:
x: precio del cuaderno
y: precio del bolígrafo
ii.Las ecuaciones:
12𝑥 + 8𝑦 = 48
10𝑥 + 15𝑦 = 50

3 → 3𝑥 + 2𝑦 = 12
{
−2 → 2𝑥 + 3𝑦 = 10
→ 9𝑥 + 6𝑦 = 36
{
→ −4𝑥 − 6𝑦 = −20
5x=16
X=3,20 soles
10(3,2) + 15𝑦 = 50
15𝑦 = 18
Y=1,20 soles

Problema 08
En una granja hay doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas que de
perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay? si en total son 96 animales.
A) 20 gatos, 18 perros y 58 gallinas
B) 18 gatos, 24 perros y 54 gallinas
C) 16 gatos, 8 perros y 72 gallinas
D) 10 gatos, 18 perros y 68 gallinas
E) 12 gatos, 20 perros y 64 gallinas
Resolución:
i. sea:
x: nº de gatos
y: nº de perros
z:nº de gallinas
ii.Las ecuaciones:
𝑥 = 2𝑦
𝑧 = 3(𝑥 + 𝑦) = 9𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 96
2𝑦 + 𝑦 + 9𝑦 = 96

𝑦=8
𝑥 = 16
𝑧 =72

Problema 09
Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda) cuya
diagonal mide 13 metros.
Calcular cuánto mide el área de dicho rectángulo
A) 48 B)72 C) 36 D) 54 E) 60
Resolución:
i. sea:

13 x
y
perímetro: 2𝑥 + 2𝑦 = 34
𝑥 + 𝑦 = 17
Por teorema de Pitágoras: 𝑥 + 𝑦 = 169
2 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 289
2𝑥𝑦 = 289 − 169
2𝑥𝑦 = 120
𝐴 = 𝑥𝑦 = 60

Problema 10
Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:
➢ Hay pelotas verdes, rojas y amarillas.
➢ El número de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco veces el número de las amarillas.
➢ El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas.
➢ El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123.
¿Cuántas pelotas verdes había en el parque infantil?

A)75 B) 123 C) 82 D) 121 E) 132

Resolución:
sea:
x: nº de pelotas verdes
y: nº de pelotas rojas
z: nº de pelotas amarillas
𝑥 + 𝑦 = 5𝑧 →
𝑥 = 3𝑧
𝑦 = 123 − 𝑧
3𝑧 + 123 − 𝑧 = 5𝑧
123 = 3𝑧
 𝑧 = 41
𝑥 = 123
Y=82
Problema 11
Una familia consta de una madre, un padre y un hijo. La suma de las edades actuales de los 3
es de 80 años. Dentro de 22 años, la edad del hijo será la mitad que la de la madre. Si el padre
es un año mayor que la madre, ¿Cuál es la diferencia entre la edad del padre y del hijo?
A)28 B) 35 C) 24 D) 30 E) 32
Resolución:
sea:
x: edad de la madre
y: edad del padre
z: edad del hijo
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 80 … . . (𝑎)
𝑥 + 22
𝑧 + 22 = … … (𝑏)
2
𝑦 = 𝑥 + 1 …. ©
De ec. (b)
2𝑧 + 44 = 𝑥 + 22
2𝑧 + 22 = 𝑥
Remplamdo x en ec. (a)
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑧 = 80 … . . (𝑎)
2𝑥 + 1 + 𝑧 = 80
2(2𝑧 + 22) + 1 + 𝑧 = 80
4𝑧 + 44 + 1 + 𝑧 = 80
5𝑧 + 45 = 80
5𝑧 = 35
𝑧=7
X=36 y =37
la diferencia entre la edad del padre y del hijo: 37-7=30

Problema 12
Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando
un total de 7500 soles. El precio de una almohada es de 16 soles, el de una manta es de 50
soles y el de un edredón es de 80 soles. Además, el número de almohadas compradas es igual
al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones
ha comprado el hotel?

A) 100 almohadas, 70 mantas y 30 edredones

B) 50 almohadas, 80 mantas y 70 edredones
C) 80 almohadas, 70 mantas y 50 edredones
D) 60 almohadas, 80 mantas y 60 edredones
E) 120 almohadas, 50 mantas y 30 edredones
Resolución:
sea:
x: nº de almohadas
y: nº de mantas
z: nº edredones

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 200 ….(a)
16𝑥 + 50𝑦 + 80𝑧 = 7500…(b)
𝑥 = 𝑦 + 𝑧…..(c)
Entonces: x=100; Y+z=100….(d)
 Remplazando en ec (b)
16𝑥 + 50𝑦 + 80𝑧 = 7500
1600 + 50𝑦 + 80𝑧 = 7500
50𝑦 + 80𝑧 = 5900
5𝑦 + 8𝑧 = 590…(e)
De ec. (d) y (e )
−5 → 𝑦 + 𝑧 = 100
{
5𝑦 + 8𝑧 = 590

−5𝑦 − 5𝑧 = −500
{
5𝑦 + 8𝑧 = 590
3𝑧 = 90
𝑧 = 30
𝑦 = 70

Problema 13
Una empresa otorga un monto de S/ 2 720 000 por concepto de becas para 100 estudiantes,
hijos de sus empleados. La empresa establece tres tipos de becas diferentes, en función de sus
niveles educativos: A, B y C. Para el nivel A el monto es de S/ 40 000; S/16 000 para los del
nivel B y S/20 000 para los del nivel C. Si para el nivel A destina 5 veces más dinero que para
el nivel B, ¿Cuántos estudiantes hay en cada nivel?

A) 50 en nivel A, 20 en nivel B y 30 en nivel C

B) 50 en nivel A, 30 en nivel B y 20 en nivel C
C) 60 en nivel A, 20 en nivel B y 20 en nivel C
D) 40 en nivel A, 20 en nivel B y 40 en nivel C
E) 45 en nivel A, 25 en nivel B y 30 en nivel C
Resolución:
sea:
x: nº de estudiantes del nivel A
y: nº de estudiantes del nivel B
z: nº de estudiantes del nivel C

𝑥+𝑦+𝑧 =
𝑥+𝑦+𝑧 =
=

Problema 14
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 500 soles por 10 tarros de leche, 7 kg
de jamón serrano y 15 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo sabiendo
que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 tarro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que
3 litros de aceite más 1 tarro de leche.
A) leche S/10, aceite S/7 y Jamón S/15
B) leche S/3, aceite S/11 y Jamón S/45
C) leche S/4, aceite S/12 y Jamón S/40
D) leche S/3,5, aceite S/10 y Jamón S/30
E) leche S/4,2, aceite S/12 y Jamón S/45
Resolución:
sea:
x: precio del tarro de leche
y: precio de kg de jamón
z: precio de litro de aceite
10𝑥 + 7𝑦 + 15𝑧 = 500
𝑧 = 3𝑥
𝑦 = 3𝑧 + 𝑥=10x
 10𝑥 + 7𝑦 + 15𝑧 = 500
10𝑥 + 7(10𝑥) + 15(3𝑥) = 500
10𝑥 + 70𝑥 + 45𝑥 = 500
125𝑥 = 500
𝑥 = 4 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝑦 = 40 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝑧 = 12 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠

Problema 15
En un circo hay 11 animales carnívoros entre tigres, leones y panteras. Se sabe que cada león
como tres kilos de carne al día, que cada tigre come dos kilos al día y cada pantera también
dos kilos. Si en total se necesitan 25 kilos de carne al día y se sabe que el número de panteras
es el triple que el número de tigres. ¿Cuántos leones, panteras y tigres hay?

A) 4 leones, 1 panteras y 6 tigres

B) 3 leones, 6 panteras y 2 tigres
C) 4 leones, 2 panteras y 5 tigres
D) 5 leones, 1 panteras y 5 tigres
E) 3 leones, 3 panteras y 5 tigres
Resolución:
sea:
x: nº de leones
y: nº de panteras
z: nº de tigres
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 25
𝑦 = 3𝑧

−3𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = −33
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 25
−𝑦 − 𝑧 = −8
𝑦+𝑧 = 8
3𝑧 + 𝑧 = 8
𝑧=2
𝑦=6
𝑥=3

Problema 16
En una heladería, por un helado, dos zumos y 4 batidos nos cobraron 35 soles. Otro día, por
4 helados, 4 zumos y un batido nos cobraron 34 soles. Un tercer día por 2 helados, 3 zumos
y 4 batidos 42 soles. ¿cuál es el precio de cada uno?

A) helados/2, zumo S/4 y batidos S/8

B) helados/3, zumo S/4 y batidos S/6
C) helados/3, zumo S/5 y batidos S/7
D) helados/4, zumo S/4 y batidos S/8
E) helados/5, zumo S/5 y batidos S/8

Resolución:
sea:
x: precio de helado
y: precio de zumo
 z: precio de batidos

𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 35
4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 34
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 42
Por la regla de Cramer:
Determinante de S

1 2 4
4 4 1
∆𝑠 = ||2 3 4|| = 16 + 48 + 4 − 32 − 3 − 32 = 68 − 67 = 1
1 2 4
4 4 1
Determinante de x
35 2 4
34 4 1
∆𝑥 = ||42 3 4|| = 560 + 408 + 84 − 672 − 105 − 272 = 3
35 2 4
34 4 1
Determinante de y
1 35 4
4 34 1
∆𝑦 = ||2 42 4|| = 136 + 672 + 70 − 272 − 42 − 560 = 4
1 35 4
4 34 1
Determinante de y
1 2 35
4 4 34
∆𝑧 = ||2 3 42|| = 168 + 420 + 136 − 280 − 102 − 336 = 6
1 2 35
4 4 34

Dividiendo:
∆x 3 ∆y 4 ∆y 6
X= = =3 Y= = =4 z= = =6
∆s 1 ∆s 1 ∆s 1