4

Unidad
Funciones
Competencias
2. Emplea las funciones exponenciales
y ­logarítmicas para representaciones
gráficas.
3. Utiliza las funciones polinomiales y
racionales para explicar fenómenos de
la realidad social, económica.

Para responder…
¿Cómo se relacionan las funciones con el
crecimiento de la población?

• ¿Cómo se calcula la tasa de crecimiento de

una población?
• ¿Cuál sería una función que relacione la can-
tidad de población actual con la cantidad de
población transcurrido cierto tiempo?

Las matemáticas en el tiempo

Babilonia. Elaboraron tablas con los
2500 cuadrados, los cubos y los inversos de los
a. C.
números naturales.

Egipto. Aparece el Papiro Rhind o Papiro

2000 Ahmes, con ejemplos de usos de funciones
a. C.
particulares.

Siglo Francia. Nicolás Oresme llega a la primera

XIV aproximación del concepto de función.

Italia. Galileo Galilei demostró que hay

Siglo tantos números naturales como cuadrados
XVII
perfectos.

Francia. René Descartes desarrolló las

Siglo ideas para representar en el plano relaciones
XVII
entre magnitudes.

Suiza. Leonhard Euler precisó que si algunas

cantidades dependen de otras, del tal modo
1755 que si estas últimas cambian también lo ha-
cen las primeras, entonces las primeras canti-
dades se llaman funciones de las segundas.

Francia. Edouard Goursat dijo que y es

1923 una función de x si a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.
Antes de comenzar… Recuerda
Pendiente de una • Cuando la pendiente es positiva, si la variable x crece, y también crece;
recta la función es creciente.
La pendiente de una recta,
m, mide la inclinación de la
recta respecto del eje x.

Para calcularla considera-

mos dos puntos, A(x, y) y
A9(x9, y9), por los que pasa
la recta.
Variación de y yl 2 y • Cuando la pendiente es negativa, al crecer la variable x, decrece y;
m 5 Variación de x 5 l la función es decreciente.
x 2x

• Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinación

tiene la recta.

Repasa
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(22, 3).

Parábola F es el foco de la parábola y d es la

La parábola es el lugar directriz.
geométrico de los pun-
tos que están a la misma A la distancia entre la directriz y el foco
­distancia de un punto fijo la llamamos p.
llamado foco, y de una r­ ecta,
• Eje: es la recta r que pasa por F y es
denominada directriz.
perpendicular a d.
d(P, F ) 5 d(P, d)
• Vértice: es el punto V, que es la inter-
sección del eje con la parábola.

Repasa
 ibuja sobre unos ejes de coordenadas algunas parábolas que tengan
D
como vértice el punto (0, 1).

116
© SANTILLANA
 Hipérbola F y F9 son los focos, los puntos fijos de la
La hipérbola es el lugar hipérbola.
geométrico de los puntos
tales que el valor absolu- V y V9 son los vértices de la hipérbola.
to de la diferencia de sus
• Eje: es la recta que une los focos, F y F9.
distancias a dos puntos
• Asíntotas: son las dos rectas a las que la
fijos, llamados focos, es
hipérbola se acerca indefinidamente sin
constante.
llegar a tocarlas, r y r9.
|d(P, F) 2 d(P, F9)| 5 k

Repasa
Dibuja, sobre unos ejes de coordenadas, una hipérbola de vértices
(1, 1) y (21, 21) y con asíntotas y 5 0 y x 5 0.

Ecuaciones de
segundo grado Forma Soluciones
Una ecuación de segundo
Completa

grado con una incógnita ax2 1 bx 1 c 5 0 2b 1 b 2 24ac 2b2 b 2 24ac

x1 5 x 25
Ecuaciones de 2.° grado

es una igualdad algebraica a, b, c Þ 0 2a 2a

que se puede expresar de la
forma ax2 1 bx 1 c 5 0, ax2 1 c 5 0 2c 2c
x 1 51 a x 2 52 a
siendo a, b y c números b50      
Incompletas

reales y a Þ 0. x1 5 0
ax2 1 bx 5 0
Puede tener dos o menos c50 x (ax 1 b) 5 0 " * 2b
x2 5 a
soluciones reales. Los mé-
todos de solución dependen ax2 5 0
x50
de la forma de la ecuación, b 5 0, c 5 0
si es completa o incompleta.
Repasa
Clasifica y resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a. x2 2 10x 1 21 5 0 b. 3x2 2 18x 5 0
En la gráfica de una función cuadrática los ceros de la función son
Discriminante aquellos valores en los cuales la parábola intersecta al eje x.
de una ecuación
cuadrática (D)
Obtener el valor del
­discriminante de una
­ecuación cuadrática          
ax2 1 bx 1 c 5 0, permite Para D . 0 existen Si D 5 0 existe Si D , 0 no exis-
determinar la cantidad de dos soluciones dis- una solución real ten soluciones rea-
soluciones o ceros de la tintas de la función de la función. les de la función.
ecuación. El discriminante
de una ecuación Repasa
cuadrática se obtiene como:
D 5 b2 2 4ac Halla el discriminante de las siguientes ecuaciones y determina la can-
tidad de soluciones reales que tendrán.
a. 3x2 1 9x 2 4 5 0 b. 9x2 1 30x 1 25 5 0

117
© SANTILLANA
 Funciones polinomiales de primer grado
Indicadores de logro Las funciones polinomiales de primer grado se denominan funciones afines y son
funciones del tipo f(x) 5 mx 1 n.
2.1. Representa, gráfica-
mente, la función ex- Su gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (0, n). Al número
ponencial y la función n se le llama ordenada en el origen.
inversa.
Características
2.2. Aplica funciones ex-
ponenciales y logarít- • El dominio de una función afín es ℝ.
micas en la resolución • Si m . 0, la función es creciente.
de problemas. • Si m , 0, la función es decreciente.

3.1. Representa, gráfica- Tipos de funciones afines

mente, funciones poli-
nomiales y racionales. En una función afín, f(x) 5 mx 1 n:

3.2. Realiza operaciones • Si m 5 0, la función y 5 n se denomina función constante, y su gráfica es una

algebraicas polinomia- recta paralela al eje x, que pasa por el punto (0, n).
les y racionales para • Si n 5 0, la función y 5 mx se denomina función lineal, y su gráfica es una recta
resolver problemas de de pendiente m, que pasa por el origen de coordenadas.
funciones.

Ejemplo 1. Identifica las funciones afines y menciona de qué tipo es

cada una.

• y 5 3x Es una función afín lineal.

3x21 No es una función afín porque es un cociente
• y 5 x12
de polinomios.
• y 5 24 Es una función afín constante.
• y 5 25x2 1 3 No es una función afín porque la variable x se
encuentra elevada al cuadrado.

Ejemplo 2. Representa gráficamente estas funciones.

Date cuenta
• y 5 22x 1 3 • y 5 22x • y 5 3
El factor m indica la pen-
diente de la recta. • Calculamos dos puntos de la recta.
y 522x13
x50
y53 A (0, 3)
x 51
y 51 B (1, 1)
La recta y 5 22x pasa por el punto C(0, 0).
y 522 " D ^ 1, 22 h
x 51
y 522x
y 5 3 pasa por cualquier punto cuya
segunda coordenada sea
3 A(0, 3), E(1, 3)

• Representamos los dos puntos

obtenidos en cada función y trazamos
la recta que pasa por ellos.

118
© SANTILLANA
Funciones polinomiales de segundo grado
Las funciones polinomiales de segundo grado se denominan funciones cuadráticas,
y son funciones del tipo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, con a Þ 0. Su gráfica es una parábola.

Características

• El dominio de una función cuadrática es R.

• El vértice es V a 2a , 2 4a k .
2b b 2 2 4ac

• Si a > 0, el vértice de la parábola es un mínimo.

• Si a < 0, el vértice de la parábola es un máximo.
• Cuanto mayor sea | a |, más cerradas están las
ramas de la parábola.

Vértice y eje de simetría según el tipo de función Date cuenta

En una función cuadrática, f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, con a Þ 0: El tipo de función determi-

• Si b 5 0 y c 5 0  y 5 ax2 tiene su vértice en el punto (0, 0) y su eje de simetría na la forma y la posición de
es el eje y. la parábola.
• Si b 5 0 y c Þ 0 y 5 ax2 1 c tiene su vértice en el punto (0, c) y su eje de
simetría es el eje y.
• Si b Þ 0 y c 5 0  y 5 ax2 1 bx tiene su vértice en el punto de coordenadas

a 2b , 2b k y su eje de simetría es la recta x 5 2a .

2
2b
2a 4a

Ejemplo 1. Determina el vértice y de cada parábola y si es un máximo o un

mínimo.
• y 5 4x2 El vértice de y 5 4x2 se ubica en el punto (0, 0) y es un
mínimo de la función porque 4 . 0.
• y 5 25x2 1 3 El vértice de y 5 25x2 1 3 se ubica en el punto (0, 3)
y es un máximo de la función porque 25 < 0.
Ejemplo 2. Representa gráficamente la función f(x) 5 22x2 2 4x 1 1.

• Calculamos el vértice de la parábola.

a 2b , 2 b 24ac k a 4 , 21628 k 5 ^ 21, 3 h

2
a 522, b 524, c 51
2a 4a 24 28
• Estudiamos si el vértice es un máximo (a , 0) o un mínimo (a . 0). Como
a 5 22 , 0, entonces (21, 3) es un máximo.

• Construimos una tabla con valores alrededor

del vértice y representamos la parábola.

x 23 22 21 0 1
f(x) 25 1 3 1 25

119
© SANTILLANA
 Funciones polinomiales de grado
mayor que 2
Para representar funciones del tipo f(x) 5 axn, con n $ 2 se tiene en cuenta los
Date cuenta valores de a y n.

Los valores de a y n deter- • Si n es par, la gráfica es una parábola. El

minan la forma de la curva signo de a determinará la posición del vér-
que representa una función tice y las ramas de la parábola.
polinomial.

• Si n es impar, la gráfica es una curva que

presenta una simetría central respecto de
un punto de la curva. El signo de a de-
terminará si dicha curva es creciente o
decreciente.
Recuerda

Las funciones cuadráticas

poseen exponente par, por Ejemplo 1. Grafica la parábola que corresponde a la función g(x) 5 22x4.
lo que su gráfica es una
parábola. • Se determina si el coeficiente a es positivo o negativo y si el exponente n es par
o impar. Como n es par y a es negativo, la gráfica es una parábola cuyo vértice
es un máximo.

• Se construye una tabla con valores

alrededor del vértice.

x 22 21 0 1 2
g(x) 232 22 0 22 232

• Se representa la función g(x).

Ejemplo 2. Representa la función f(x) 5 2x3.

• Se determina si el coeficiente a es positivo o negativo y si el exponente n es

par o impar.

Como n es impar, la gráfica es una curva que presenta una simetría central
respecto de un punto de la curva. Como a es positivo, la curva es creciente.

• Se construye una tabla con valores alrededor

del vértice.

x 22 21 0 1 2
f(x) 216 22 0 2 16

• Se representa la función f(x).

120
© SANTILLANA
Actividades Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones polinomiales de primer grado/3.1./Recordar
Representa las funciones sobre los mismos ejes de coordenadas. Halla el punto común a las dos
gráficas.

1. y 5 3x 2 1; y 5 5x 1 4 2. y 5 x 2 3; y 5 2x 1 2

El punto de intersección es: El punto de intersección es:

a 2 5 , 2 17 k a 5 ,2 1 k
2 2 2 2
Funciones polinomiales de segundo grado/3.1./Comprender
Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas y escribe las coordenadas del vértice.

3. y 5 23x2 2 x 2 1 4. y 5 x2 1 2x 2 2

V a2 6 , - 12 k
1 11
V (21, 23)
Funciones polinomiales de grado mayor que 2/3.1./Analizar
Resuelve.

5. Una granja de caracoles ha ajustado sus gastos de producción por x kilogramos de caracoles según la
función:

g ^ x h 5 2 000 1 200 000 x 3

1

Sus ingresos se rigen por la fórmula:

i ^ x h 5 8 000 1 2x 2 1 000 x 2 1 200 000 x 3

1 1

• Averigua cuál es el número de kilogramos de caracoles con el que se obtiene el beneficio máximo.
1
Los beneficios de la granja se obtienen a partir de la función: f(x) 5 i(x) 2 g(x) 5 6 000 1 2x 2 1 000 x 2 .

Es una función cuadrática, su gráfica es una parábola abierta hacia abajo, por ser el coeficiente de x2 un
b
valor negativo. Entonces la función alcanza su máximo en el vértice: x 52 2a 51 000 kg .

121
© SANTILLANA
Más práctica
Funciones polinomiales de primer grado y de segundo grado/3.1./Recordar
Representa en el mismo plano cartesiano. R.M.

6. Una función constante, una función afín y una 7. Cuatro parábolas que tengan como vértice el
función lineal. punto (0, 0).

Funciones polinomiales de primer grado/3.1./Recordar

Representa las funciones lineales y afines.
x 23 1
8. y 5 3 10. y 5 2 x 11

9. y 5 2x 1 4 11. y 5 22x

122
© SANTILLANA
 Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones polinomiales/3.1./Comprender
Representa las funciones en el intervalo [21, 1]. Después responde.

12. f(x) 5 x, f(x) 5 x2, f(x) 5 x3, f(x) 5 x4 13. ¿Cuáles son las propiedades de las gráficas
anteriores? R.M.

f(x) = x2 f(x) = x En todas las funciones, el dominio es R y el

punto de corte con los ejes es el origen de coor-
denadas. Las funciones de exponente par tienen
f(x) = x4
un mínimo absoluto en x 5 0 y son simétricas
f(x) = x3 respecto del eje de ordenadas. Las funciones de
exponente impar son crecientes y son simétricas
respecto del origen de coordenadas.

Funciones polinomiales de segundo grado/3.1./Comprender

Traza parábolas con las características dadas.

14. V(1, 29)

16. V a 2 , 4 k
3 9
Puntos de corte con el eje x: (22, 0) y (4, 0)
Punto de corte con el eje y: (0, 28)
Puntos de corte con el eje x: (0, 0) y (3, 0)
Punto de corte con el eje y: (0, 0)

17. V a 2 4 , 2 8 k
3 25
15. V(22, 0)
Punto de corte con el eje x: (22, 0) Puntos de corte con el eje x: (22, 0) y a 12 , 0 k
Punto de corte con el eje y: (0, 4) Punto de corte con el eje y: (0, 22)

Funciones polinomiales de grado mayor que 2/3.1./Comprender

Resuelve. R.M.

18. Andrea dice que la función y 5 2x4 1 3 tiene la misma forma que la función y 5 2x4. ¿Tiene razón o se
equivoca? Justifica tu respuesta.
Tiene razón, su forma es igual. Difieren en la ubicación en el plano cartesiano. Ya que la función
y 5 2x4 tiene su vértice en el origen de coordenadas y la función y 5 2x4 1 3 lo tiene en el punto (0, 3).

123
© SANTILLANA
 Teorema del residuo, teorema del factor
y regla de Ruffini
Existen algunos teoremas y reglas del álgebra que son útiles para resolver problemas
con funciones.

• Teorema del residuo. Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio

x 2 a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

• Teorema del factor. Un binomio de la forma x 2 a es un factor de la función po-

linomial ƒ(x) si y solo si ƒ(a) 5 0. En otras palabras, la función polinomial ƒ(x) es
divisible por un binomio de la forma x 2 a si y solo si ƒ(a) 5 0.

• Regla de Ruffini. Es un procedimiento para realizar en forma sintética la división

de polinomios cuando el divisor es de la forma x 2 a, siendo a un número entero.

Date cuenta Ejemplo 1. Comprueba que el polinomio (x4 2 2x3 1 x2 1 x 2 1) tiene por
factor (x 2 1).
Al dividir un polinomio
entre un binomio, el primer (x4 2 2x3 1 x2 1 x 2 1) es divisible por (x 2 1) si y solo si P(x 5 1) 5 0.
término del cociente será P(1) 5 14 2 2 ? 13 1 12 1 1 2 1 5 1 2 2 1 1 1 1 2 1 5 0
un grado menor que el pri- El binomio (x 2 1) es un factor de (x4 2 2x3 1 x2 1 x 2 1).
mer término del dividendo.
Ejemplo 2. Divide en forma sintética x3 1 3 entre x 1 1. Después comprue-
ba que se cumple el teorema del residuo.

• Escribimos los coeficientes de todos los térmi- 1 0 0 3

nos del dividendo, añadiendo un cero en el lu- 21
gar del coeficiente de cada término que falte. "
1
x3 1 3 5 1x3 1 0x2 10x 1 3
1 0 0 3
A la izquierda colocamos el término 21 (21)21(21) 1(21) 21
independiente del divisor cambiado de 1 21 1 2
signo, y ponemos el primer coeficiente en
la fila de resultados. "
Residuo

• Multiplicamos este coeficiente por el término independiente del divisor cambia-

do de signo, y se lo sumamos al siguiente coeficiente.
Repetimos el proceso hasta llegar al último coeficiente.

• Escribimos el resultado. Los primeros números que aparecen en la fila de re-

sultados corresponden a los coeficientes del cociente, y el último es el residuo.
(x3 1 3) 4 (x 1 1) 5 x2 2 x 1 1 Residuo: 2

• Comprobamos que se cumple el teorema del residuo.

El dividendo es f(x) 5 x3 1 3. El divisor es x 2 a 5 x 1 1. Por tanto a 5 21.
f(a) 5 f(21) 5 (21)3 1 3 5 21 1 3 5 2
Se cumple que f(a) es igual al residuo de la división.

124
© SANTILLANA
Actividades Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Teorema del residuo, teorema del factor y regla de Ruffini/3.2./Aplicar
Aplica el teorema del residuo a cada operación. Después verifica realizando la división sintética.

19. (4x5 2 12x3 2 20x 1 2) 4 (x 1 2) 23. (2x4 2 11x3 1 21x2 2 16x 1 4) 4 (x 2 1)

f(a) 5 f(22) 5 4(22)5 2 12(22)3 2 20(22) 1 2 f(a) 5 f(1) 5 2(1)4 2 11(1)3 1 21(1)2 2 16(1) 1 4

5 2128 1 96 1 40 1 2 5 138 2 128 5 10 5 2 2 11 1 21 2 16 1 4 5 27 2 27 5 0

4 0 212 0 220 2 2 211 21 216 4

22 28 16 28 16 8 1 2 29 12 24
4 28 4 28  24 10 2 29 12 24 0

20. (x3 2 3x2 2 6x 1 8) 4 (x 2 1) 24. (x2 2 8x 1 16) 4 (x 2 4)

f(a) 5 f(1) 5 (1)3 2 3(1)2 2 6(1) 1 8 f(a) 5 f(4) 5 (4)2 2 8(4) 1 16

51232618592950 5 16 2 32 1 16 5 32 2 32 5 0

1 23 26 8 1 28 16
1 1 22 28 4 4 216
1 22 28 0 1 24 0

21. (x3 1 8x2 1 17x 1 10) 4 (x 1 1) 25. (2x2 2 5x 1 2) 4 (x 2 2)

f(a) 5 f(21) 5 (21)3 1 8(21)2 1 17(21) 1 10 f(a) 5 f(2) 5 2(2)2 2 5(2) 1 2

5 21 1 8 2 17 1 10 5 18 2 18 5 0 5 8 2 10 1 2 5 10 2 10 5 0

1 8 17 10 2 25 2
21 21 27 210 2 4 22
1 7 10 0 2 21 0

22. (3x3 1 7x2 2 22x 2 8) 4 (x 2 2) 26. (x4 2 4x3 2 12x2 1 32x + 64) 4 (x 1 2)
f(a) 5
 f(2) 5 3(2)3 1 7(2)2 2 22(2) 2 8 f(a) 5
 f(22) 5 (22)4 2 4(22)3 2 12(22)2 1 32(22) 1

5 24 1 28 2 44 2 8 5 52 2 52 5 0 64 5 16 1 32 2 48 2 64 1 64 5 112 2 112 5 0

3 7 222 28 1 24 212 32 64
2 6 26 8 22 22 12 0 264
3 13 4 0 1 26 0 32 0
Teorema del residuo, teorema del factor y regla de Ruffini/3.2./Analizar
Analiza y responde. R.M.

27. ¿Cómo puedes comprobar que el polinomio (x6 2 1) es divisible por (x 1 1), sin realizar la división? Trabaja
en tu cuaderno. (x 2 1) es divisible por (x 1 1) si y solo si f(21) 5 0. P(21) 5 (21) 2 1 5 0.
6 6

(x 2 1) es divisible por (x 1 1).

6

125
© SANTILLANA
 Raíces de una función polinomial
Se llaman raíces o ceros de una función polinomial f(x) a los valores de x para los
cuales f(x) es igual a cero.

Un número a es raíz de una función polinomial f(x) si se cumple que el valor numé-
rico de f(a) 5 0.
a raíz de f(x) f(a) 5 0

Propiedades

• Para que un número entero a sea raíz de una función polinomial f(x) es necesario
que a sea divisor de su término independiente.
• El número de raíces de una función polinomial f(x) es siempre menor o igual que
su grado.

Recuerda Ejemplo 1. Comprueba si 2 y 3 son raíces de la función polinomial

f(x) 5 x3 2 8.
Por el teorema del factor, la
• f ^ x h 5 x 3 2 8 f^ 2 h 5 2 3 2 8 5 0  
x 52
función polinomial ƒ(x) es 2 es raíz de f(x)
divisible por un binomio de
• f ^ x h 5 x 3 2 8 f^ 3 h 5 3 3 2 8 ! 0  
x 53
la forma x 2 a si y solo si 3 no es raíz de f(x)
f(a) 5 0.
Ejemplo 2. Calcula las raíces de f(x) 5 x5 1 4x4 1 x3 2 6x2.

• Hallamos los divisores del término independiente.

Si una función polinomial no tiene término independiente, sacamos factor
común a la mayor potencia de x posible.

f(x) 5 x5 1 4x4 1 x3 2 6x2 5 x2(x3 1 4x2 1 x 2 6)

Factor común x2
D(26) 5 {61, 62, 63, 66}
Como hemos sacado factor común x2, f(x) tiene 0 como raíz.
• Para comprobar si a, que es divisor del térmi- 1 4 1 26
Date cuenta no independiente, es raíz de la función rea-
lizamos la división entre (x 2 a) por la regla 1 1 4 6
Existen casos en los que no de Ruffini. 1 5 6 0
es necesario aplicar la regla 22 22 26
de Ruffini para hallar las • Después de hallar la primera raíz, repetimos 1 3 0
raíces de una función. el proceso hasta que no podamos continuar.
23 23
Por ejemplo, para f(x) 5 Las raíces de la función son: {0, 1, 22, 23} 1 0
x4 2 1, verificamos que si
x4 2 1 5 0, entonces Comprobamos:
x 5 4 .1 f(0) 5 05 1 4(0)4 1 03 2 6(0)2 5 0
f(1) 5 15 1 4(1)4 1 13 2 6(1)2 5 1 1 4 1 1 2 6 5 6 2 6 5 0
Por tanto, las raíces de la f(22) 5 225 1 4(22)4 1 (22)3 2 6(22)2 5 232 1 64 2 8 2 24 5 64 2 64 5 0
función son {21, 1}. f(23) 5 235 1 4(23)4 1 (23)3 2 6(23)2 5 2243 1 324 2 27 2 54
5 324 2 324 5 0

126
© SANTILLANA
Actividades Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Raíces de una función polinomial/3.2./Recordar
Calcula las raíces enteras de estas funciones polinómicas.

28. x3 2 1 30. x4 2 8x2 2 9

1 0 0 21 1 0 28 0 29
1 1 1 1 23 23 9 23 9
1 1 1 0 1 23 1 23 0
3 3 0   3
1 0 1 0
O: si x 2 1 5 0, entonces x 5 1 .
3 3

Las raíces enteras son: {23, 3}.

La raíz entera de la función es 1.
31. 12x 1 2x3 1 4 1 9x2
29. x 2 9x 2 x 1 105
3 2

2 9 12 4
1 29 21 105 22 24 210 24
7 7 214 2105 2 5 2
1 22 215 0 22 24 21
5 5 15 2 1 0
1 3 0 1
2x 1 1 5 0 " x 52 2
23 23
1 0
La única raíz entera es 22.

La raíces enteras son {23, 5, 7}.

Raíces de una función polinomial/3.2./Comprender
Halla, sin aplicar la regla de Ruffini, las raíces de las siguientes funciones.

32. f(x) 5 4x2 2 36 34. f(x) 5 x4 2 16

4x2 2 36 5 0 x5 9 x4 2 16 5 0 x5 4
16

x1 5 23 x2 5 1 3 x1 5 22 x2 5 12

33. f(x) 5 28x2 1 40 35. f(x) 5 x3 1 64

240
28x2 1 40 5 0 x5 28 5 5 x3 1 64 5 0 x5 3
264

x1 5 22.236 x2 5 12.236 x 5 24
Raíces de una función polinomial/3.2./Evaluar
Resuelve.

36. Calcula un número entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente número le restamos ocho veces
su inverso obtenemos 23.
8
(x 1 1)2 2 x 5 23 x3 1 2x2 2 22x 2 8 5 0

El número entero es 4.

127
© SANTILLANA
 Funciones racionales
Las funciones racionales son aquellas funciones cuya expresión algebraica es un
cociente de polinomios: f (x) 5 P (x) , siendo el grado de Q(x) 6 0.
Q (x )

Una función de proporcionalidad inversa es una función racional cuya expresión

algebraica es del tipo f (x)5 kx , con k 6 0. Su gráfica es una hipérbola.

Características

• El dominio de la función de proporcionalidad inversa es R 2 {0}. No está defini-

da en x 5 0. Decimos que en x 5 0 hay una asíntota vertical.
• A medida que los valores de x crecen o decrecen, la función se acerca a y 5 0.
Decimos que en y 5 0 hay una asíntota horizontal.
• La gráfica de esta función no corta a los ejes de coordenadas.
• La función es impar, simétrica respecto del origen de coordenadas.
• Si k . 0, la función es decreciente y la gráfica esta en los cuadrantes I y III.
• Si k , 0, la función es creciente y la gráfica está en los cuadrantes II y IV.

Gráficas de funciones de
proporcionalidad inversa Ejemplo 1. Identifica las funciones racionales y establece si son funciones
de proporcionalidad inversa.
2
• f (x)5 x14 E
 s una función racional. No es de proporcionalidad inversa
porque en el denominador se halla un binomio.
2
• f (x)52 3x Es una función racional de proporcionalidad inversa, k 52 23 .
2x15
• f (x)5 3 No es una función racional porque el grado de 3 es 0.
x23
• f (x)5 x Es una función racional. No es de proporcionalidad inversa
porque en el numerador se halla un binomio.

Ejemplo 2. Representa gráficamente las funciones.

2 2
• f (x)5 x • g (x)52 x

• Estudiamos k para determinar los cuadrantes en los que está la función.

Si k 5 2 . 0 La gráfica de la función está en los cuadrantes I y III.

Si k 5 22 , 0 La gráfica de la función está en los cuadrantes II y IV.

• Construimos una tabla de valores y representamos la hipérbola.

x 22 21 1 2 3

f(x) 21 22 2 1 2
3

g(x) 1 2 22 21 2
23

128
© SANTILLANA
Representación gráfica de otras funciones racionales

Para representar funciones del tipo f^ x h 5 xkn se tiene en cuenta los valores de la
constante k y del exponente n. Date cuenta

• Si n es par, la gráfica es una hipérbola cuyas ramas son simétricas respecto al eje La gráfica de una función
y. El signo de a determinará los cuadrantes donde se ubicarán las ramas. racional se denomina
hipérbola.
Si k . 0, la gráfica presenta una rama
creciente en el cuadrante II y una
rama decreciente en el cuadrante I.
Si k , 0, la gráfica presenta una rama
decreciente en el cuadrante III y una
rama creciente en el cuadrante IV.

• Si n es impar, la gráfica es una hipérbola cuyas ramas son simétricas respecto al En el caso de una función
origen de coordenadas. El signo de a determinará los cuadrantes donde se ubica- de proporcionalidad inversa,
rán las ramas. la hipérbola presenta dos
ramas simétricas respecto
Si k . 0, la gráfica presenta ramas al origen de coordenadas, ya
decrecientes en los cuadrantes I y III. que n es impar.
Si k , 0, la gráfica presenta ramas
crecientes en los cuadrantes II y IV.

Ejemplo 1. Representa gráficamente la función f (x) 5 23 .

x
• Se determina si n es par o impar y si k es positivo o negativo.
n impar
f^ x h 5 3 " (
2
x k5220
• Se construye una tabla de valores con 22 # x # 2.
X 22 21 0 1 2
1 1
f(x) 2 4 22 Indeterminado 2 4

• Se representa la función f(x).

Ejemplo 2. Representa gráficamente la función g^ x h 52 x24 .

• Se determina si n es par o impar y si k es positivo o negativo.

n par
g ^ x h 52 4 " '
2
x k 522 1 0
• Se construye una tabla de valores con 22 # x # 2.
X 22 21 0 1 2
1 1
g(x) 2 8 22 Indeterminado 22 2 8

• Se representa la función g(x).

129
© SANTILLANA
Actividades
Funciones racionales/3.1./Recordar
Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.
3 1
37. y 5 x 38. y 52 2x

Representación gráfica de otras funciones racionales/3.1./Comprender

Representa estas funciones racionales y relaciónalas con las funciones de proporcionalidad inversa.
1 1
39. y 5 x 1 2 40. y 5
x2

Es una traslación horizontal de la función Es el producto por sí misma de la función

de proporcionalidad inversa: de proporcionalidad inversa:

f^ x h 5 x " f^ x 1 2 h 5 x 1 2 f^ x h 5 x " f^ x h ? f^ x h 5 2
1 1 1 1
x

Funciones racionales/3.1./Comprender
Sin representarlas, escribe la relación que hay entre cada una de las gráficas de estas funciones
12
y la de y 5 x .
12 12
41. y 5 x 1 4 43. y 5 x 1 1

La función se desplaza horizontalmente 4 unidades La función se desplaza verticalmente 1 unidad

a la izquierda. hacia arriba.

12 12
42. y 5 x 2 2 44. y 52 x

La función se desplaza verticalmente 2 unidades La función es simétrica a la inicial y el eje de sime-

hacia abajo. tría es el eje de ordenadas.

130
© SANTILLANA
 Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones racionales/3.1./Comprender
9
Representa, en tu cuaderno, la gráfica de la función y 5 x . Después relaciona cada función
con su gráfica. Escribe entre los paréntesis la letra que corresponde.

a. c.

b. d.

9 c 9 d
45. y 5 x 1 2   ( ) 47. y 5 x 1 2   ( )

9 9
46. y 5 x 2 3   a
( ) 48. y 5 x 2 3   b
( )

Funciones racionales/3.1./Evaluar
Resuelve.

49. El número de alumnos afectados por una epide- 50. Representa la función y comprueba los resultados
mia de gripe se obtiene a partir de la función: que has obtenido en los apartados anteriores.

f^ x h 5 x 1 2
30x

Si x es el número de días transcurridos desde el

comienzo de la epidemia, ¿cuántos afectados hubo
el primer día? ¿En qué momento el número de
afectados fue 15?

El primer día hubo 10 afectados. Hubo 15

afectados dos días después del comienzo de

la epidemia.

131
© SANTILLANA
 Funciones con radicales
Las funciones con radicales son funciones en cuya expresión algébraica aparece la
Date cuenta variable x bajo el signo radical: f^ x h 5 2 g^ x h .

La función inversa de Características

f ^ x h 5 x es
f 21 ^ x h 5 x 2; por tanto, sus • Si n es un número par, su dominio es el intervalo en el que g(x) $ 0.
gráficas serán simétricas En f^ x h 5 n g^ x h, si n es par, solo se toma el resultado positivo de la raíz. Si tomá-
respecto de la recta y 5 x. ramos también el resultado negativo, f(x) no sería una función.

• Si n es impar, su dominio es ℝ.

Ejemplo 1. Representa gráficamente las funciones.

• f ^ x h 5 x •  g ^ x h 5 3 x

• Determinamos si n es par o impar para calcular su dominio.

• n 5 2 Dom f 5 [0, 1`) •  n 5 3 Dom g 5 R

• Construimos una tabla de valores y representamos la función.

• Si n es par, la gráfica de la función está en el cuadrante I.

• Si n es impar, la gráfica de la función está en los cuadrantes I y III.

• • 
Calculadora x 0 1 4 9 x 28 21 0 1 8

f(x) 0 1 2 3 g(x) 22 21 0 1 2
Para valuar en un punto
una función con radical de
la forma g ^ x h 5 x 2 2 ,
debes introducir en la
calculadora signos de agru-
pación. Por ejemplo, para
resolver g ^ 6 h 5 6 2 2 ,
pulsa:

  ( 6 2 2   ) 5 Ejemplo 2. Representa gráficamente g^ x h 5 x 2 2 .

f^ x h 5 x
El resultado será 2.
4 " g^ x h 5 f^ x 2 2 h
f^ x 2 2 h 5 x 2 2

Por tanto, la gráfica de g(x) se obtiene

trasladando la gráfica de f(x) dos unidades
hacia la derecha.

132
© SANTILLANA
Actividades Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones con radicales/3.1./Recordar
Relaciona cada función con su gráfica. Escribe entre los paréntesis la letra que corresponde.

a. c.

b. d.

51. f ^ x h 5 x 1 2   d
( ) 53. h ^ x h 5 3 x 2 2   c
( )

52. g ^ x h 5 x 2 5   ( )
a 54. i ^ x h 5 3 x 1 2   ( )
b
Funciones con radicales/3.1./Comprender
Halla el dominio de las funciones con radicales.

55. f ^ x h 5 3 x 2 2 4 57. g ^ x h 5 x 2 2 36

Dom f 5 ℝ Dom g 5 [2`, 26) < [6, 1`)

56. h ^ x h 5 x 1 7 58. i ^ x h 52 x 1 5

Dom h 5 [27, 1`) Dom i 5 [25, 1`)

Funciones con radicales/3.1./Evaluar
Resuelve.

59. Encuentra una función que al ingresar el área de un círculo indique su radio. ¿Qué clase de
función es?
1
x 5 rr 2 " r 5 r x
Si llamamos x al área del círculo:

Es una función con radical.

133
© SANTILLANA
 Función exponencial
Las funciones exponenciales son funciones del tipo f(x) 5 ax, donde a es un número
Date cuenta real positivo (a . 0) y distinto de 1 (a Þ 1).

Una función exponencial Características

muy utilizada es f(x) 5
ex, siendo e 5 2.718281… • El dominio de una función exponencial es ℝ.
Estas funciones aparecen • Su recorrido es (0, 1`).
habitualmente al descri- • Como a0 5 1 y a1 = 0, la función pasa siempre por
bir numerosos procesos los puntos (0, 1) y (1, a).
demográficos, económicos, • Si a . 1, la función es creciente.
biológicos, químicos… • Si 0 , a , 1, la función es decreciente.

Ejemplo 1. Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son cre-
cientes o decrecientes.

• f(x) 5 1.2 x 1.2 . 1 f(x) es creciente.

g^ x h 5 a 3 k
2 x 2
• 3 ,1 g(x) es decreciente.
• h(x) 5 0.8 0.8 . 1
x
h(x) es decreciente.
i^ x h 5 ^ 3 h
x
• 3 21 i (x) es creciente .

Ejemplo 2. Representa gráficamente estas funciones.

• f(x) 5 2 x •  g(x) 5 0.5x

• Consideramos las características de las funciones exponenciales.

Pasa por los puntos (0, 1) y (1, a).

• f(x) pasa por (0, 1) y (1, 2). •  g(x) pasa por (0, 1) y (1, 0.5).

Si a . 1, es creciente. Y si 0 < a < 1, es decreciente.

• a 5 2 > 1 f(x) creciente •  0 < a 5 0.5 < 1 g(x) decreciente

• Construimos una tabla de valores para cada función.

 
x 22 21 1 2 x 22 21 1 2

f(x) 0.25 0.5 2 4 g(x) 4 2 0.5 0.25

• Representamos todos los puntos y los unimos mediante una curva.

 

134
© SANTILLANA
Logaritmos y sus propiedades
Dados dos números reales positivos a y b (a Þ 1), el logaritmo en base a de b es el
exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b. Date cuenta

loga b 5 c ac 5 b Se puede considerar que el

logaritmo es la operación
Cuando los logaritmos son en base 10 se llaman logaritmos decimales, y no se inversa de la exponencial.
escribe la base, así: log b. ac
c log a b
b
Si la base es el número e 5 2.7182…, se llaman logaritmos neperianos o logarit-
mos naturales, y se escribe ln b.

Propiedades

• El logaritmo de 1 es siempre 0, y el logaritmo de la base es 1.

loga 1 5 0         loga a 5 1

• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

loga(b ? c) 5 loga b 1 loga c

• El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del

denominador.
log a a c k 5 log a b 2 log a c
b

• El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo

de la base de la potencia.
loga bn 5 n ? loga b

• Cambio de base en los logaritmos.

log c b
log a b 5 log a
c

Ejemplo 1. Resuelve estas operaciones con logaritmos. Calculadora

• log 0.1 1 log 10 5 log (0.1 ? 10) 5 log 1 5 0 La calculadora científi-

• log4 32 5 log4 (42 ? 2) 5 log4 42 1 log4 2 5 2 ? log4 4 1 log4 2 5 2 1 log4 2 ca nos permite obtener
  5 2 1 log 4 5 2 1 log 4 12 5 2 1 1 5 5 logaritmos decimales con
4 4
2 2 la tecla log y logaritmos
neperianos o naturales con
Ejemplo 2. Halla, con ayuda de la calculadora, estos logaritmos. la tecla ln .
• log 732
En algunas calculadoras
732     
log 5 2.8645…; o:   732   
log 5 2.8645… se debe utilizar la tecla indi-
• log e cada después del número
del que se desea conocer el
1     
SHIFT ex   log
    
5 0.43429…; o:  SHIFT
    1 
ex       
5 log 5 0.43429… logaritmo. En otras, se debe
• log3 2 utilizar antes del número.
log 2 0.3010…
log 3 2 5 5 0.4771… 5 0.6309…
log 3

135
© SANTILLANA
 Función logarítmica
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo f(x) 5 loga x, donde a es un nú-
Date cuenta mero real positivo (a . 0) y distinto de 1 (a Þ 1).

La función logarítmica, Características

y 5 1oga x, es la función
inversa de la función expo- • El logaritmo solo existe para valores positivos; por tanto, el dominio de la función
nencial, y 5 ax. logarítmica es (0, 1`).
• Su recorrido es (0, 1`).
• Como loga 1 5 0, la función pasa siempre por el
punto (1, 0).
• Como loga a 5 1, la función pasa siempre por el
punto (a, 1).
• Si a . 1, la función es creciente.
• Si 0 , a , 1, la función es decreciente.

Ejemplo 1. Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son cre-
cientes o decrecientes.
2
• g (x) 5 log x
2
3 3 ,1 g(x) es decreciente.
• h(x) 5 log7 x 7 . 1 h(x) es creciente.
• i(x) 5 log0.8 x 0.8 , 1 i(x) es decreciente.

Ejemplo 2. Representa gráficamente.

• f(x) 5 log2 x •  g ^ x h 5 log 21 x

• Consideramos las características de las funciones logarítmicas.

El dominio de ambas funciones es (0, 1`).

Pasan por los puntos (1, 0) y (a, 1).

•  g(x) pasa por ^1, 0h y a 2 , 1k .
1
• f(x) pasa por (1, 0) y (2, 1).

Si a . 1, es creciente. Y si 0 , a , 1, es decreciente.
• f(x) 5 log2 x es creciente. •  g^ x h 5 log x es decreciente.
1
2

• Construimos una tabla de valores para cada función.

• • 
x 3 4 5 x 3 4 5
f(x) 1.58 2 2.32 g(x) 21.58 22 22.32

• Representamos todos los puntos y los unimos mediante una curva.

136
© SANTILLANA
Actividades Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones exponenciales y logarítmicas/2.1./Recordar
Relaciona cada función con su gráfica. Escribe entre los paréntesis la letra que corresponde.

a. c.

b. d.

62. y 5 log 2 ` 3 j
x
60. y 5 2log2 (2x) ( d ) ( a )

61. y 5 a 3 k
4 x x
( c ) 63. y 5 2 3 (  b )
Funciones exponenciales/2.1./Comprender
Representa las funciones y responde.
65. A partir de las gráficas anteriores, ¿cómo serán las
64. y 5 a 2 k ; y 5 a 3 k
1 x 1 x
gráficas de las funciones y 5 ` 5 j e y 5 ` 10 j ?
1 x 1 x

Las gráficas de las funciones y 5 a 5 k y y 5 a 10 k

1 x 1 x

también son decrecientes y pasan por el punto (0, 1),

pero su decrecimiento es más lento si x , 0, y es más

rápido si x . 0, cuanto menor es el valor de la base.

Logaritmos y sus propiedades/2.2./Analizar
Resuelve.

66. Sabiendo que log 2 5 0.3010, log 3 5 0.4771 y log 7 5 0.8451, determina los logaritmos de-
cimales de los 10 primeros números naturales. Con estos datos, ¿podrías calcular log 3.5?
¿Y log 1.5?

log 4 5 0.6020; log 5 5 0.6990; log 6 5 0.7781; log 8 5 0.9030; log 9 5 0.9542; log 10 5 1; log 3.5 5 0.5441;

log 1.5 5 0.1761

137
© SANTILLANA
Más práctica
Funciones exponenciales y logarítmicas/2.1./Recordar
Realiza en tu cuaderno una tabla de datos para cada función. Después representa gráficamente estas
funciones.

67. y 5 22 x 71. y 5 0.1x

68. y 5 22x 72. y 5 222x

69. y 5 2log2 x 73. y 5 log 43 x

70. y 5 log2(2x) 74. y 5 log0.1 x

138
© SANTILLANA
 Aplicación de algoritmos Solución de problemas
Funciones exponenciales y logarítmicas/2.1./Recordar
Ayúdate con la calculadora y realiza una tabla de valores para cada función. Después traza la gráfica.

75. y 5 a 3 k
1 x
76. y 5 log3 x

x 22 21 0 1 2 x 1 2 3 4 5
f(x) 9 3 1 0.33 0.11 f(x) 0 0.63 1 1.26 1.46

Funciones logarítmicas/2.1./Comprender
A partir de la gráfica de la función logarítmica y = log3 x, explica cómo harías la representación gráfica de
las siguientes funciones.

77. y 5 log3 3x 5 1 1 log3 x 79. y 5 log 13 x 5 log 3 x

21

La función se traslada verticalmente 1 unidad La función es simétrica a ella y el eje de abscisas

hacia arriba. es el eje de simetría de ambas.

78. y 5 log 3 a x k 5 1 2 log 3 x 80. y 5 log 3 ` 9 j 5 log 3 x 2 2

3 x

Primero se dibuja la función simétrica a ella res- La función se traslada verticalmente 2 unidades

pecto del eje de abscisas y, después, se traslada hacia abajo.

verticalmente 1 unidad hacia arriba.

Funciones exponenciales/2.1./Analizar
Representa gráficamente las funciones y responde.

81. La evolución de una población viene deter-

minada por la función P(t) 5 100 ? 2t, y la de
los alimentos que necesitan sigue la función
A(t) 5 1 000t 1 1 000. ¿A partir de qué año la
población tendrá menos alimentos de los que son
necesarios?

A partir del sexto año.

139
© SANTILLANA
<Programación/>
Para la solución de problemas, en varias ocasiones es necesario guardar
información de un solo tipo de datos de muchas personas o cosas, para
después realizar procesos con esa información.

No siempre es posible crear una variable por cada dato que usaremos;
serían muchas líneas de código. Para esto existen los vectores.

Vectores
¿Qué haces cuando te preguntan por el nombre de tus amigos?, tú piensas y dejas que tu memoria
se encargue de darte los nombres.

Es como buscar cada información en un casillero diferente, en pseudocódigo ese casillero se lla-
ma vector; este tiene un tipo de dato y la información se tiene que ir guardando de uno en uno.
No puedes abrir una puerta, guardar algo y decir que eso quedó guardado en todos los casilleros,
tenemos que abrir cada puerta para guardar cosas una por una.

Ejemplo 1.

Se necesita hacer la planilla de 20 empleados de una empresa; calcular el aporte para el IGSS (4.5%)
y descontarlo de su sueldo. Después mostrar en pantalla el nombre del empleado, su sueldo y, al final,
mostrar cuánto es el total a pagar de planilla.

Solución: necesitas dos vectores, uno para los nombres de los empleados y otro, para el sueldo; y una varia-
ble que guarde el total a pagar de planilla.

Inicio algoritmo planilla

Declaración de variables Sueldos[contador] 5 sueldo 2 sueldo 3 0.045

Nombres [20] tipo alfanumérico Total_planilla 5 total_planilla 1 sueldo
Sueldos [20] tipo real Contador 5 contador 1 1
Sueldo tipo real Fin contador
Total_planilla tipo real Contador 5 1
Contador tipo entero Para contador 5 1, hasta contador 5 20
Inicio Escribir (“Empleado:”, nombres[contador])
Contador 5 1 Escribir (“Sueldo:”, sueldos[contador])
Total_planilla 5 0 Contador 5 contador 1 1
Para contador 5 1, hasta contador 5 20 Fin contador
Escribir (“Ingrese nombre del empleado:”) Escribir (“total a pagar de planilla es”,
Leer (nombres[contador]) total_planilla)
Escribir (“Ingrese sueldo del empleado”) Fin algoritmo
© SANTILLANA

Leer (sueldo)

140
 Ejemplo 2.

Realiza el algoritmo que busque en tu memoria el nombre de tus cinco mejores amigos.

• Paso 1: piensa ¿quiénes son tus mejores amigos?

• Paso 2: tu memoria empieza por dar el primer nombre
• Paso 3: tu memoria busca el segundo nombre
• Paso 4: tu memoria busca el tercer nombre
• Paso 5: tu memoria busca el cuarto nombre
• Paso 6: tu memoria busca el quinto nombre
• Paso 7: tú contestas la pregunta con los nombres que te dio tu memoria

Actividades
1. En un salón de clases hay 30 alumnos, el colegio necesita saber cuál es el promedio de notas de
cada alumno en dos materias, solo de esta unidad (Matemáticas 1 Comunicación y lenguaje)/2.
Después, mostrar el nombre del estudiante y su promedio.

Inicio algoritmo promedio_estudiantes Leer (notas_mate)

Escribir (“Ingrese nota de Comunicación
Declaración de variables y lenguaje”)
Nombres [30] tipo alfanumérico Leer (notas_com)
Promedios [30] Promedios[contador] = (notas_mate +
Notas_mate, notas_com tipo real nota_com) / 2
Contador tipo entero Fin contador
Inicio Contador = 1
Contador 5 1 Para contador = 1, hasta contador = 30
Para contador = 1, hasta contador = 30 Escribir (“Estudiante:”, nombres[contador])
Escribir (“Ingrese nombre del estudian- Escribir (“Promedio:”, promedios[contador])
te:”) Fin contador
Leer (nombres[contador]) Fin algoritmo
Escribir (“Ingrese nota de Matemáticas”)

2. Realiza el algoritmo de la serie de Fibonacci y guarda los datos en un vector.

fn 5 fn 2 1 1 fn 2 2, f0 5 0, f1 5 1, n 5 20

Inicio algoritmo Fibonacci serie[2] 5 1

para i 5 3, hasta i 520
Declaración de variables serie[i]5 serie[i 2 1] 1 serie[i 2 2]
serie[20] tipo entero i 5 i 1 1
i tipo entero Fin i
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Inicio Fin algoritmo

serie[1] 5 0

141
 Solución de problemas
Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales
Estrategia tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula: P 5 1 1 t 2110
1 10
con t P (0, 30),
donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días
• Realizar una gráfica. transcurridos desde el tsunami. ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas al cabo de
Cuando en un problema tres semanas? ¿Hasta qué día estuvo desbordada la capacidad hospitalaria de una
es necesario verificar si el isla, si su capacidad es de 2 000 camas?
valor de una función en
un punto es correcto, se 1. Comprende
puede realizar una gráfica
de la función en los pun- Preguntas. Datos.
tos del entorno. Al trazar • ¿Cuántas personas habrá hospitaliza- • La fórmula: P 5 1 1 t 2110
1 10
la gráfica uniendo los das al cabo de tres semanas? • t 5 21 días
puntos, esta debe pasar • ¿Hasta qué día estuvo desbordada la • P 5 2 (equivale a 2 000 personas)
por el punto del que se capacidad hospitalaria de una isla, si • ¿Me sirven todos los datos para
quería verificar el valor. su capacidad es de 2 000 camas? resolver el problema?

2. Piensa qué hacer

• Se aplica la fórmula con t 5 21 para conocer la cantidad de personas hospitali-
zadas al cabo de tres semanas.
• Se despeja t de la fórmula con P 5 2 para saber hasta qué día estuvo desborda-
da la capacidad hospitalaria.
• Todos los datos me sirven para resolver el problema.

3. Calcula
110 110
P 511 " P 511 2 5 1.243 5 1 243 personas
t 2 1 10 21 1 10
110
11 2 52 t2 1 120 5 2t2 1 20 t2 2 100 5 0 t 5 610
t 1 10

4. Comprueba
Para comprobar que los valores obteni-
dos son correctos, se puede realizar una
gráfica de la función 110 .
P 511 2
t 1 10

5. Responde
• Al cabo de tres semanas habrá 1 243 personas hospitalizadas.
• Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días la
capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día.

142
© SANTILLANA
1. Un capital de Q5 000.00 está depositado en 4. ¿Cuál será la tasa de crecimiento de una pobla-
un banco, y produce un interés anual del 2%. ción si en dos años la cantidad de habitantes
¿Cuánto dinero hay al cabo de n años? ¿Y al aumentó de 15 000 a 15 759? ¿Qué tipo de
cabo de tres años? función se utiliza para calcularla?

15 759
r5 15 000 2 1 5 0.025
C 5 5 000 ? 1.02n

C 5 5 000 ? 1.023 5 Q5 306.04 Se utiliza una función con radical.

2. Para calcular la cantidad de población (Pf) 5. Una ciudad A con 50 000 habitantes tiene una
transcurrido cierto tiempo (t), suponiendo una tasa de crecimiento de 0.03 y otra ciudad B de
tasa de crecimiento constante (r) y conociendo la 35 000 habitantes tiene una tasa de crecimiento
población inicial (Pi), se utiliza la función Pf 5 de 0.05. Calcula la cantidad de habitantes de
Pi(1 1 r)t. ¿Cuál será la cantidad de población ambas ciudades después de 5 y 20 años.
dentro de 5 años y dentro de 10 años, en una
ciudad que actualmente tiene 30 000 habitan-
tes, si la tasa de crecimiento es 0.04?

Pf 5 30 000 ? 1.045 < 36 500 habitantes 5 años: 57 964 habitantes y 44 670 habitantes

Pf 5 30 000 ? 1.0410 < 44 407 habitantes 20 años: 90 306 habitantes y 92 865 habitantes

3. ¿Cuál será la cantidad de población actual de 6. Una colonia de 500 bacterias se reproduce de
una isla si se calcula que dentro de 2 años habrá manera que su población se triplica cada hora.
55 125 habitantes y la tasa de crecimiento es Determina la función que representa la cantidad
0.05? Determina la función para calcularla, si la de bacterias después que transcurrieron t horas
variable es la tasa de crecimiento. y la cantidad de bacterias después de 4 horas.

55 125
Pi 5
1 1 r2 Pf 5 500 ? 3t
55 125
Pi 5 5 50 000 habitantes Pf 5 500 ? 34 5 40 500 bacterias
1 1 0.05 2

143
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 Evaluación 4
Nombre _____________________________________________________ Fecha __________________

Marca la respuesta correcta en el cuadro que está al final de la evaluación.

Funciones polinomiales de primer grado/3.1./Recordar Teorema del residuo, teorema del factor y regla de Ruffinni/3.2./Aplicar
1. La gráfica de una función polinomial de primer 5. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división?
grado es una: (x4 2 2x3 1 x2 1 x 2 1) 4 (x 2 1)
a. recta. a. 21 c.  1
b. parábola. b. 0 d.  2
c. hipérbola. Raíces de una función polinomial/3.2./Analizar
d. curva con simetría central. 6. Observa las divisiones sintéticas y responde.
Funciones polinomiales de segundo grado/3.1./Comprender
2. ¿Qué características presenta la gráfica de la 1   5   2 28
función 3x2 1 4? 24 24 24   8
a. Es una parábola cuyo vértice es un mínimo 1   1 22 0
ubicado en el punto (0, 0) y su eje de simetría 22 22   2
es el eje y. 1 21 0
b. Es una parábola cuyo vértice es un máximo ¿Cuáles son las raíces enteras de la función
ubicado en el punto (0, 0) y su eje de simetría y 5 x3 1 5x2 1 2x 2 8?
es el eje y. a. 24 y 22 c.  24, 22 y 21
c. Es una parábola cuyo vértice es un mínimo b. 24, 22 y 1 d.  24, 22 21 y 1
ubicado en el punto (0, 4) y su eje de simetría Funciones racionales/3.1./Recordar
es el eje y. 7. ¿Qué clase de funciones son las de forma
P^ x h
d. Es una parábola cuyo vértice es un máximo f^ x h = ?
Q^ x h
ubicado en el punto (0, 4) y su eje de simetría
es el eje y. a. Racionales
Funciones polinomiales de grado mayor que 2/3.1./Evaluar b. Polinomiales
3. ¿Cuál es la gráfica de la función y 5 22x3? c. Fraccionarias
a. c. d. De proporcionalidad inversa
Funciones racionales/3.1./Aplicar
8. ¿Cuál será la cantidad de población actual de
una ciudad si se calcula que dentro de 5 años
habrá 24 333 habitantes y la tasa de crecimien-
b. d. to es 0.04?
a. 20 000 habitantes
b. 23 397 habitantes
c. 25 306 habitantes
Teorema del residuo, teorema del factor y regla de Ruffin-
ni/3.2./Recordar d. 29 605 habitantes
4. La regla de Ruffini: Función logarítmica/2.2./Evaluar
a. dice que la función polinomial ƒ(x) es divisi- 9. ¿Cómo se relaciona la gráfica de la función
ble por un binomio de la forma x 2 a si y solo g(x) 5 log2 x 2 1 con la de la función
si ƒ(a) 5 0. f(x) 5 log2 x?
b. establece que el número a es raíz de una fun- a. La gráfica se traslada verticalmente una
ción polinomial ƒ(x) si se cumple que el valor unidad hacia arriba.
numérico de ƒ(a) 5 0. b. La gráfica se traslada verticalmente una
c. dice que si se divide la función polinomial unidad hacia abajo.
ƒ(x) entre el binomio x 2 a donde a es un c. La gráfica se traslada horizontalmente una
número real, el residuo es igual a ƒ(a). unidad hacia la derecha.
d. es un procedimiento para realizar en forma sin- d. La gráfica se traslada horizontalmente una
tética la división de polinomios cuando el divisor unidad hacia la izquierda.
es de la forma x 2 a, siendo a un número entero.

144
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Representación gráfica de otras funciones racionales/3.1./Analizar Función exponencial/2.1./Comprender
9. ¿Cuál de las afirmaciones acerca de las siguien- 11. ¿A qué función corresponde la siguiente gráfica?
tes gráficas es falsa?

a.  f(x) 5 4x x c.  f(x) 5 log4 x

b. f^ x h 5 a 4 k
1
d. f (x)5log 1 x
4
Función exponencial/2.1./Evaluar
12. ¿Cuál es la función cuyo recorrido es (0, 1`), es
creciente y pasa por los puntos (0, 1) y (1, a)?
a.  f(x) 5 ax
b. f ^ x h 5 x a
k
a. Todas son hipérbolas cuyas ramas se encuen-
c. f ^ x h 5 a a k
1 x
tran en diferentes cuadrantes.
b. Todas representan funciones racionales de la d.  f(x) 5 loga x
forma f^ x h 5 xkn . Logaritmos y sus propiedades/2.2./Recordar
c. Algunas representan funciones racionales y 13. ¿Cuál es la fórmula para realizar el cambio de
otras, funciones con radicales. base de un logaritmo?
d. Algunas representan funciones racionales en log c a
las que el grado del polinomio del denomina- a. log a b 5
log c b
dor es par y otras, impar.
Función exponencial/2.1./Recordar log c b
b. log a b 5
10. ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden log c a
a funciones exponenciales? c. logab 5 logc a 1 logcb
I. II. III. d. logab 5 logc b 2 logca
Función logarítmica/2.2./Comprender
14. ¿Qué tipo de función presenta las siguientes
características?
Solo existe para valores positivos de x; pasa
siempre por los puntos (1, 0) y (a, 1); si a . 1, la
función es creciente; 0 , a , 1, es decreciente.
a. I y II c.  II y III a. Polinomial c.  Exponencial
b. I y III d.  I, II y III b. Con radical d.  Logarítmica

Clave: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. a b c d 4. a b c d 7. a b c d 10. a b c d 13. a b c d

2. a b c d 5. a b c d 8. a b c d 11. a b c d 14. a b c d

3. a b c d 6. a b c d 9. a b c d 12. a b c d 15. a b c d

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 Resumen
Funciones fundamentales

Su gráfica es una recta. Si m . 0, la

función es creciente; si m , 0, es
De primero grado f(x) 5 mx 1 b
decreciente.

Su gráfica es una parábola. El signo

Polinomial De segundo grado f(x) 5 ax2 1 bx1 c
de a determina la posición del vértice.

f(x)  5  anxn  1  an21xn21   Si n es par, la gráfica es una parábola.

De grado mayor que 2
1...1 a con n P N y n . Si n es impar, la gráfica es una curva
que presenta una simetría central
respecto de un punto.

P^ x h
f^ x h 5
Q^ x h
Racional Su gráfica es una hipérbola.

La gráfica es una hipérbola cuyas ramas son

f^ x h 5 x
De proporcionalidad k simétricas respecto al origen de coordenadas. El
inversa signo de k determinará los cuadrantes donde se
ubicarán las ramas de la hipérbola.

f^ x h 5 n g^ x h
Si n es impar, su dominio es R. Si n es par, solo se
Con radicales
toma el resultado positivo de la raíz.

Si 0 , a , 1, la función es decreciente. Si a . 1,
Exponencial f(x) 5 ax, con a . 0 y a ± 1
la función es creciente.

Si 0 , a , 1, la función es decreciente. Si a . 1,
Logarítmica f(x) 5 logax, con a . 0 y a ± 1
la función es creciente.

Glosario
función. Relación entre dos con- plano cartesiano. Plano que variable. Una cantidad que
juntos en la que a cada elemento utiliza un sistema de coordenadas cambia de valor. Las cantidades
del primer conjunto le correspon- rectangulares. Está formado por variables se representan por medio
de un único elemento del segun- 2 rectas llamadas ejes, que se de literales, generalmente las últi-
do. Las funciones reales son las unen formando un ángulo recto. mas del abecedario. En la función
que asocian a cada número real El punto donde se unen las rectas y 5 f(x), la variable independiente
x, un único número real y 5 f(x). es el punto (0, 0), llamado origen. es x, ya que puede tomar diferen-
Suelen representarse gráficamen- Se utiliza para ubicar puntos en tes valores asignados. La variable
te en un plano cartesiano. el plano. Cada punto se ubica dependiente es y, cuyo valor
mediante sus distancias al eje depende de la variable x.
horizontal y al eje vertical.

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