2º de Bachillerato.

Matemáticas II

1º. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

 Números reales.
 Intervalos y entornos.
 Extremos de conjuntos de números reales.
 Funciones. Definición y terminología.
 Tipos de funciones.
 Operaciones con funciones.
 Funciones inversas.
 Funciones monótonas y acotadas. Extremos relativos y absolutos.

Antonio de Paz 1
 Tema 1º. Funciones Reales
Números reales.
Supondremos conocidos los números reales y las distintas operaciones que con ellos
se pueden realizar. (Conjunto de los números reales "R").
Los números reales se pueden interpretar geométricamente como puntos de una
recta, de la siguiente manera:

0 1 x y
Cada número real corresponde a uno y solo un punto de la recta y recíprocamente.
Por esta razón la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real y es
costumbre utilizar las expresiones "número real" y "punto" como sinónimos.
La relación de orden entre los números reales tiene una interpretación geométrica
simple. Si x  y el punto "x" está a la izquierda del punto "y".
Sea a  b , se dice que un punto x satisface las desigualdades a  x  b si y sólo
si x está comprendido entre a y b.
Se define el valor absoluto de un número real mediante la función:
 x si x  0
x 
- x si x < 0
Es fácil deducir los siguientes resultados:
x a  -a< x<a y distancia ( a ,b )  b  a siendo a y b 

Intervalos y entornos.
Intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos
entre a y b; a,b   x  / a  x  b . A este conjunto no pertenecen los extremos.

El intervalo cerrado de extremos a y b es a,b   x  / a  x  b . A este conjunto

si pertenecen los extremos.
De forma análoga se definen los intervalos semicerrados y semiabiertos.
Entorno abierto de centro x0 y radio r, es el conjunto:
E( xo ,r )  x  / xo  r  x  xo  r   ( x o  r , x o  r )
También se puede escribir: E( xo ,r )  x  / x  xo  r 

Las sucesiones son otros conjuntos de números reales.

Extremos de conjuntos de números reales.

Un conjunto A  está acotado superiormente si existe un número k  tal que
a  A  a  k . Al número k se le llama cota superior de A.
El conjunto A estará acotado inferiormente si a  A  a  k . En este caso k se
denomina cota inferior.
Diremos que A está acotado cuando lo esté superior e inferiormente.

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1 
 Ejemplo: A   /n  *
 cota inferior =0, cota superior =1
n 
Se llama supremo de un conjunto a la menor de sus cotas superiores e ínfimo a la
mayor de las inferiores. Si el supremo o el ínfimo pertenecen al conjunto se denominan
máximo y mínimo respectivamente.

Funciones. Definición y terminología.

Dados dos conjuntos A y B, una correspondencia de A en B f : A  B  es una
relación que a cada elemento de A le asocia uno y sólo uno de B.
El conjunto A se denomina inicial y el B final. Al conjunto de puntos de A que se
transforman en elementos de B se le llama dominio de definición o campo de existencia de
la aplicación y al conjunto de puntos de B que son imagen de alguno de A, recorrido.
f : A B y  f ( x) y  B, x  A
Se dice que "y" es la imagen de "x" mediante "f".
Si A y B son conjuntos numéricos “f” se denomina función.
Si en la definición anterior A y B son conjuntos de números reales, la función se
llama real de variable real. "x" es la variable independiente y representa los elementos del
dominio e "y" es la variable dependiente y representa a los elementos del recorrido.

Tipos de funciones.
Las funciones se pueden clasificar según diferentes criterios, algunos de ellos son
los siguientes:
 Explícitas: y  f ( x)

 Implícitas: f ( x,y )  0

 Analíticas : Vienen dadas por expresiones matemáticas.

Algebraicas
n
Polinómicas : y  a
k 0
kx
k

f ( x)
Racionales : y 
g( x )

Irracionales : y  n f ( x )

Trascendentes
Exponenciales
Logarítmicas
Trigonométricas

Antonio de Paz 3
 Tema 1º. Funciones Reales
 Empíricas: Se obtienen de resultados experimentales.
Además de esta clasificación las funciones pueden ser: pares, impares,
periódicas, escalonadas, definidas a trozos.

 Sobreyectivas: aquellas funciones f : A  B en las cuales f ( A )  B .

f : A  B es sobreyectiva si y  B  x  A / y  f ( x )

 Inyectivas: en estas funciones a cada elemento del conjunto imagen le

corresponde uno solo del conjunto origen.
f : A  B es inyectiva si x , x'  DD( f ) / x  x'  f ( x )  f ( x' )

 Biyectiva: si es sobreyectiva e inyectiva.

Las gráficas de algunos de los tipos de funciones de la clasificación anterior son
conocidas de cursos anteriores.

 Funciones algebraicas.

Constante: y  k Lineal: y  ax Afín: y  ax  b y  ax

La gráfica de estas tres funciones es una recta. La primera es una recta horizontal,
la segunda pasa por el origen y la última es una recta que corta al eje de ordenadas en el
punto ( 0 , b )
El coeficiente “a” es la pendiente de la recta, que como ya sabemos, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas.
Cuadrática: y  ax 2  bx  c . Su gráfica es una parábola.

Polinómicas de grado mayor o

igual que tres: y  an x n  an 1x n 1  ...  a1x  a0 . Si
el grado es par los límites cuando “x” tiende a
infinito y a menos infinito son iguales (infinito o
menos infinito) y el número de cortes con el eje de
abscisas es par (incluido el cero). Si el grado es
impar los límites anteriores son distintos y los
puntos de corte son impares

4 Antonio de Paz
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Otras funciones conocidas son las siguientes:

Valor absoluto: y  x Parte entera: y  E( x ) Signo de x: y  sig( x )

 Trascendentes.
Circulares:

y  sen x y  cos x y  tag x

y  cos ec x y  sec x y  ctag x

Se deben recordar los valores de las razones trigonométricas para algunos
ángulos, como son, 0º, 30º, 45º, 60º y 90º, (0,  6 ,  4 ,  3 ,  2 en radianes) así como los
de sus equivalentes en los demás cuadrantes.
Exponencial y logarítmica:

y  loga x 1a y  ax 1a

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y  loga x 0  a 1 y  ax 0  a 1

Hiperbólicas:
Se llaman seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Poseen
propiedades parecidas a las funciones circulares.

e x  e x e x  e x e x  e x
Sh ( x )  Ch ( x )  T h( x ) 
2 2 e x  e x
El dominio y el recorrido de cada una de estas funciones se deduce fácilmente a
partir de las gráficas.

Operaciones con funciones.

Con las funciones se pueden realizar todas las operaciones que se realizan con
números reales, por ejemplo:

 Producto de una función por un número.

 Suma de funciones.
 Producto de funciones.
 Cociente de funciones.

Todas estas operaciones se suponen conocidas y dan como resultado otra función.
Las gráficas se transforman cuando se hacen ciertas operaciones. Si se le suma la
constante a la función, la gráfica se desplaza hacia arriba, si el número es positivo y hacia
abajo si el número es negativo.
A la izquierda aparece la función original y a la derecha la gráfica de la función
transformada

6 Antonio de Paz
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f ( x) k
k 0


Si le sumamos una constante a la variable, la gráfica se desplaza hacia la

izquierda si el número es positivo y hacia la derecha si el número es negativo.

f ( x  k)
k 0


Si se trata del producto por un número las gráficas de las funciones se encogen o
se estiran según el número (mayor que uno) multiplique a la variable o a la función.

k  f ( x)
k 1


f (k  x)
k 1


k  f ( x)
k 1


Antonio de Paz 7
 Tema 1º. Funciones Reales

f (k  x)
k 1


Si le cambiamos el signo a una función. La gráfica se invierte en el sentido del eje

de ordenadas:
 y  x2

y  x 2 

Con el valor absoluto las funciones se transforman de distinta manera según se

aplique a la variable o a la función. En las graficas siguientes se puede ver lo que ocurre
con la función seno.

 

y  sen( x ) y  sen x

 Composición de funciones.
La composición consiste en aplicar una función al resultado de otra, es decir:
Dadas f(x) y g(x) la compuesta es ( f  g )( x )  f g( x )  . Esta operación no tiene la
propiedad conmutativa:
g f


3
g( x )   f ()  3
( f  g )( x )  3
 Ejemplo: Dadas las funciones f ( x )  sen( x ) y g( x )  x 2 calcula ( f  g )( x ) y
( g  f )( x )
( f  g )( x )  f g( x )   f ( x 2 )  sen( x 2 )

( g  f )( x )  g  f ( x )   g( sen x )  ( sen x ) 2

8 Antonio de Paz
 2º de Bachillerato. Matemáticas II
Función inversa (reciproca).
1
Dada una función f(x) se llama inversa de f(x) a otra función que se escribe f ( x) y
que verifica:
1 1
(f f )( x )  x y (f  f )( x )  x
Tienen las siguientes propiedades:

 ( f  g ) 1( x )  ( g 1  f 1
)( x )

 (f 1 1
) ( x)  f ( x)

 Ejemplo: Las funciones y  x 2 e y  x son inversas una de la otra ya que:

x2  x y  x 2
x

Para que la reciproca de una función f(x) sea a su vez función es necesario que f(x)
sea inyectiva, por tanto, solo tienen función inversa las funciones inyectivas, es decir,
aquellas que para un valor de “y” le corresponde uno solo de la “x”. En el ejemplo anterior
la función y  x 2 no es inyectiva. Lo que se hace en estos casos es dividir la función en
trozos de modo que en cada uno de ellos si sea inyectiva. Para la función y  x 2 solo existe
inversa en 0 ,  , o bien en  ,0  .
Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la bisectriz
del primer cuadrante.

y  x2 y x x 0 y  x2 y x x 0

La función inversa se calcula cambiando la variable “x” con la “y” y despejando la

“y”
x 3
 Ejemplo: Calcula la inversa de la función f ( x ) 
x 2
x 3 y 3
Primer paso: y  x
x 2 y 2
Segundo paso: x( y  2 )  y  3  xy  y  3  2 x  y( x  1)  3  2 x 
2x  3 2x  3
y   f 1( x ) 
1 x 1 x

Antonio de Paz 9
 Tema 1º. Funciones Reales
Las funciones circulares no son inyectivas y sus inversas hay que definirlas en un
trozo de la recta en el que si lo sean:


2
1


2 1

1
2



2

     
y  sen x :  ,    1,1 y  arcsen x :  1,1   , 
 2 2  2 2

1


1

1 1
y  cos x : 0,   1,1 y  arccos x :  1,1  0,


2

2


2 

2

     
y  tag x :   ,    ,  y  arctag x :  ,     , 
 2 2  2 2

10 Antonio de Paz
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Funciones monótonas y funciones acotadas. Extremos relativos y absolutos.
 Monotonía.
Sea f(x) una función definida en ( a , b ) y sea “c” un punto de este intervalo, se dice
que f(x) es creciente en “c” si:
x  c  f ( x )  f (c ) f ( x)  f (c)
x E( c )   sig( x  c )  sig f ( x )  f ( c )   0
x  c  f ( x)  f (c) x c
Y es decreciente en “c” si:
x  c  f ( x )  f (c ) f ( x)  f (c)
x E( c )   sig( x  c )  sig f ( x )  f ( c )   0
x  c  f ( x )  f (c ) x c

 Cotas.
La función y  f ( x ) está acotada superiormente sí k  R /x  f ( x )  k .
Estará acotada inferiormente si en las mismas condiciones f ( x )  k .
Una función se dice acotada si lo está superior e inferiormente.

 Extremos.
Sea f(x) definida en ( a , b ) y sea c  ( a , b ) , se dice que f(x) tiene un máximo relativo
en “c” si x E( c )  f ( x )  f ( c ) . De forma parecida se define el mínimo relativo.
La función tendrá un máximo o mínimo absoluto en un punto cuando se verifiquen
las definiciones anteriores para todos los valores de su dominio.

Cota superior

Mr Ma
Mr

mr
mr mr
ma

Cota inferior

Antonio de Paz 11
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1) Realiza las siguientes operaciones con intervalos y representa la solución:
a)  3,4   0,5  b) 3,5   5 ,7  c)  3,4   0,5  d) 2,5   0,6 

e)  2,1  0,3  f) 2 ,5   3 ,    g)  , 3   1,3  h) E( 4,3 )  2 ,10 

2) Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente los siguientes entornos:

a) E(2,2) b) E(3,0.5) c) E(0.5,1)
3) Qué condición deben cumplir “a”, “b” y “r” para que E( a , r )  E( b, r )   .
4) Escribe en forma de intervalo y representa los siguientes conjuntos:
a) x  / x  5  3 b) x  / x  3 c) x  / 2  x  2

5) E ( a ,r )  E ( a ,r )  { a } es un entorno reducido del punto “a” , exprésalo como unión de
dos intervalos abiertos.
6) Halla el dominio de las siguientes funciones:
1
a) f ( x )  x 2  5 x  6 b) f ( x )  x 2  4 c) f ( x ) 
x 3
x
d) f ( x )  2
e) f ( x )  Ln ( x  5 ) f) f ( x )  x 2  1
x 9
x 2
g) f ( x )  3 x  3 h) f ( x )  i) f ( x )  Ln (( x  2 )( x  4 ))
5x 1
7) Se consideran las funciones f :  definida por f ( x )  x 2  1 , y la función g
definida para x  0 por g( x )  Ln ( x ) . Determina f  g .

8) Dada f ( x )  x 2 escribe la expresión algebraica de “g” en los siguientes casos:

a) g( x )  f ( x  1) b) g( x )  f ( x 2 ) c) g( x  5 )  f ( x ) d) g( x  5 )  f ( x  3 )
1 1 
9) Sea f ( x )  . Halla a) f  f ( x ) 
b) f  
1 x x
10) Dadas las funciones f ( x )  x 3 , g( x )  2 x y r ( x )  sen x . Halla:
a) ( f  g )( x ) b) ( g  r )( x ) c) ( r  f )( x ) d) ( g  f )( x ) e) ( r  g )( x )
11) Escribe las siguientes funciones como composición de las anteriores.
a) 2 senx b) sen( 2 x ) c) sen( x 3 ) d) ( sen x ) 3 e) sen( 2 x  x 3 )
12) Esboza las gráficas de las siguientes funciones:
a) y  x 2  x  2 b) y  e x 2 c) y  2  sen x d) y  sen( x  2 )
x
x 1 
e) y  sen( 2 x ) f) y  2sen x g) y  2 h) y   
2 
i) y  5 x j) y  log 2 x k) y  x  sen x l) y  x  cos x
13) Calcula las inversas de las siguientes funciones:
x2  5x
a) f ( x )  2 x  3 b) y  x 2  2 x  5 c) y  d) f ( x )  2 x  3  1
3
x x 1
2 2 
e) y  arccos( x  1) f) y  ln( x  1) g) y  3 x
2 h) f ( x )  x 2 1 x 4

8 x 4x

12 Antonio de Paz
 2º de Bachillerato. Matemáticas II
14) Esboza la gráfica de cada una de las siguientes funciones:
a) f ( x )  x  1  1 b) f ( x )  x  1  x  3 c) f ( x )  ( x  1) x  1
d) f ( x )  sen( x ) e) f ( x )  2 x  3  2 x f) f ( x )  x  2 x  2
g) f ( x )  x 2  1 h) f ( x )  1  x x i) f ( x )  x 2  5 x  6
 x  x , si x  1  x 2 , x 0
 
j) f ( x )   x , si 1  x  2 k) f ( x )   x 2 , 0  x 3
4  x , si 2  x  6x , 3x
 
 5 x  10 , x  1  x
3  6 , x 2
l) f ( x )   2 m) f ( x )  
x  2 x  2 , x  1  x 5
 , 2  x  10

15) Sean f ,g :  las funciones definidas, respectivamente, por f ( x )  x( x  1) y

g( x )  x . Halla las funciones f ( g( x )) y g( f ( x )) y esboza sus gráficas.

16) De las funciones cuyas gráficas aparecen más abajo, averigua:

a) Dominio b) Recorrido. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Extremos relativos y absolutos. e) Puntos de corte con los ejes. f) Cotas.

Antonio de Paz 13
 Tema 1º. Funciones Reales

17) Dibuja en cada cuadro la función que se indica arriba siendo f(x) la del primer cuadro

f ( x )  x /( x 2  9 )  f ( x)

f( x) f ( x)

f ( x)  2 f ( x  2)

f ( x ) f( x)

14 Antonio de Paz
 2º de Bachillerato. Matemáticas II

18) Dibuja en cada cuadro la función que se indica arriba siendo f(x) la del primer cuadro

 3 ; x 2
f ( x)    f ( x)
( 3 / 4 )( x  2 )  3 ; x 2
2

f( x) 2 f ( x)

f ( x)  2 f ( x  2)

f ( x ) f( x)

Antonio de Paz 15
 Tema 1º. Funciones Reales

19) Dibuja en cada cuadro la función que se indica arriba siendo f(x) la del primer cuadro

f ( x )  3e ( x / 3 )
2
 f ( x)

f( x) 2 (1/ 2 ) f ( x )

2 f ( x)  2 f ( x  2)

f ( x ) f ( 2x )

16 Antonio de Paz