Taller No14
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Taller No14
TALLER No. 14
Empleando ejercicios de diferente exigencia se espera que el estudiante realice el razonamiento necesario para
resolverlos, efectúe las operaciones necesarias para obtener la respuesta, escriba de forma ordenada sus
procedimientos matemáticos, escriba los argumentos empleados para obtener la respuesta y/o justifique con
propiedad cualquier afirmación que haga.
CUESTIONARIO
1. Realice la gráfica de cada una de las funciones cuya ecuación se da a continuación. Además, indique:
- Las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con el eje y y con el eje x.
- Ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si tiene.
- Intervalos donde la función es positiva o negativa.
- Dominio y rango de la función.
- Indique las coordenadas de dos puntos que no sean los cortes de la gráfica con los ejes.
2x2 + 7x - 4 x-2 x 2 - 3x + 4
F ( x) = G ( x) = H ( x) =
x2 + x - 2 x2 - 1 2x2 + 4x
x 2 - 4x - 5 x 2 + 2x x 2 - 2x + 1
I ( x) = J ( x) = K ( x) =
x-3 x -1 x
x3 + 4 2x 3 + 2x 2
L( x) = M ( x) = N ( x) =
2x 2 + x - 1 x2 -1 2
x +1
f ( x) = 3x 4 - 2 x 3 - x 2 - 12x - 4 g ( x) = x 3 + 4 x 2 - x - 4
h( x) = x 3 - 9 x 2 + 23x - 15 i( x) = x 4 - 10x 2 + 9
j ( x) = - x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 + 16x k ( x) = 3x 4 - 10x 3 - 3x 2 + 8 x - 2
2. Halle la ecuación de una función polinómica, del menor grado posible, tal que cumpla con las condiciones
! #
siguientes: 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = − ", 𝑥 = − $, 𝑥 = 0 y en 𝑥 = 2 es un cero de multiplicad 2. Además, su gráfica
pasa por (8,25)
3. Halle la ecuación de una función racional que cumpla con las condiciones siguientes:
- 𝑓(𝑥) = 0 𝑒𝑛 𝑥 = −1; 𝑥 = 0; 𝑥 = 2
#
- 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (− , 0) ∪ (2, +∞)
"
# # #
- 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑥 ∈ =−1, − "> ; (0, ") ∪ (" , 2)
# #
- Las ecuaciones de las asíntotas son: 𝑥 = − ; 𝑥 = ; 𝑥 = 3; 𝑦 = 3
" "
4. La gráfica de una función g está descrita por las siguientes tres condiciones:
- Cuando 𝑥 ∈ [−4,0), 𝑦 ∈ [−4,2) y su gráfica es un segmento de recta.
- Es una porción de parábola que pasa por los puntos de coordenadas: (2,3); (0, −2); (4, −2) donde (2,3) es el
vértice y los otros puntos son extremos de la porción de parábola.
- Cuando 𝑥 ∈ [4, +∞), 𝑦 = 2 y su gráfica es un segmento de recta.
a. Realice una gráfica de la función g.
b. Realice una gráfica de la función f que se ha obtenido a partir de la gráfica de la función g haciendo varias
transformaciones y la expresión que la describe es: 𝑓(𝑥) = −3𝑔(𝑥) − 2
c. Halle el dominio y rango tanto de la función g como de la función f.
6. Suponga que se colocan $10000 en una cuenta de ahorros que gana intereses a una tasa de 2.5% compuesto
semestralmente, (a) ¿Cuál es el valor de la cuenta al final de cinco años? (b) Si hubiera generado intereses a una
tasa de 4.5% compuesto anualmente, ¿cuál sería su valor después de cinco años?
8. Encuentra la función inversa para cada una de las siguientes funciones dadas.
'&
a. 𝑓(𝑥) = "&(!
#(&
b. 𝑔(𝑥) = &("
c. ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)"
a. 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔 𝑏
b. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 – 𝑙𝑜𝑔 𝑦
c. 0.5𝑙𝑜𝑔𝑥 + 0.5𝑙𝑜𝑔𝑦
d. 𝑙𝑜𝑔 𝑎 – 𝑙𝑜𝑔 𝑥 – 𝑙𝑜𝑔 𝑦
e. −𝑙𝑜𝑔 𝑝 + 𝑙𝑜𝑔 𝑞 + 𝑙𝑜𝑔 𝑟 – 𝑙𝑜𝑔 𝑠
a. 𝑙𝑜𝑔 4
a. 𝑙𝑜𝑔 27
b. 𝑙𝑜𝑔 14
!
c. log √15
)*+ "
d. !
e. log 3,5
" #
f. 3 log , − 4 log '
g. log 18 − log 16
11. Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elemento químico) de acuerdo con la fórmula:
y = Ae -0.2 x , donde y es la cantidad remanente después de x años.
a. Si tenemos la cantidad inicial A = 80 gramos. ¿qué cantidad quedará después de 3 años?
b. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en descomponerse la mitad de la misma.
Encuentre la vida media de esta sustancia en la que A = 80 gramos
#
12. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = − ! 𝑥 + 5, 𝑔(𝑥) = 3𝑥 " + 2𝑥 + 5, ℎ(𝑥) = 3𝑒 &-# − 4, 𝐼(𝑥) = −6 log(2𝑥 + 1) − 4
y 𝑙(𝑥) = √9 − 𝑥 "
13. Para las funciones del numeral 12, para las cuales que sea posible, halle la ecuación que permita expresar 𝑥 en
términos del valor de y. Realice la gráfica de esa ecuación intercambiando x por y y y por x.
14. Para cada caso, hallar la ecuación de la función de acuerdo con las condiciones dadas:
a. Es una función lineal que su gráfica pasa por los puntos de coordenadas: (−8,4) 𝑦 (5, −2)
b. Es una función cuadrática que su gráfica tiene vértice en el punto de coordenadas (7,6) y pasa por el
punto (11, −2)
c. Es una función exponencial de la forma: 𝑦 = 2&(. + 𝑏 cuya gráfica pasa por los puntos de coordenadas:
(3, 3) 𝑦 (5,6)
d. Es una función logarítmica de la forma: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 𝑎) + 𝑏 , cuya gráfica pasa por los puntos de
coordenadas: (0, −2); (90, −1)
e. Es una función polinómica de grado 3 tal que: 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = −3 , 𝑥 = −1, 𝑥 = 1. Además, su
gráfica pasa por (2,30)
16. Determine la veracidad de cada una de las siguientes afirmaciones. Escriba V en caso de ser verdadera o F en caso
de ser falsa. Debe justificar totalmente su respuesta. Respuesta sin justificación o justificación sin respuesta no se
le asignará ninguna calificación.
a. La expresión: ( ) ( )
y = 4 log x 3 - 1 + 3 log x 2 + 2 x + 1 -
1
2
log(x - 1)(x + 1)es equivalente con la expresión:
y = log(x - 1)
7/2
(x 2
)
+ x + 1 (x + 1)
4 11 / 2
1
b. La ecuación: 3 x - = 2tiene sólo una solución Real.
3x
c. La función con ecuación: f ( x) = -4 x 2 + 2 x + 1pasa por los puntos (0,1); æç ,1ö÷ y tiene vértice en el punto de
1
è2 ø
coordenadas æç , ö÷
1 5
è4 4ø
d. Si una función f(x) tiene como ecuaciones de sus asíntotas x = -3; y = 4y su gráfica pasa por el punto (- 11, 5)
entonces la función g(x)=f(x-4)+3 tiene como ecuaciones de sus asíntotas x = -7; y = 7 y su gráfica pasa por el
punto de coordenadas (- 7,8).
17. Se sabe que el ingreso se define como el precio de un artículo por la demanda que se hace de éste ( I = p × q). Si el
precio en dólares de un artículo se asigna según la demanda siguiendo la tabla siguiente:
p 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
q 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
18. Realice la gráfica de una función que cumpla con todas y cada una de las siguientes condiciones:
5
• f (- 1) = -
2
3 1
• f ( x ) = 0 para x = -3, x = - , x = - , x = 1, x = 3
2 2
3 1
• f (x ) > 0 para todo x Î (-¥,-3) È (-2,- ) È (- ,0) È (0,1) È (2,3)
2 2
3 1
• f (x ) < 0 para todo x Î (- 3,-2) È (- ,- ) È (1,2) È (3,+¥)
2 2
• Las ecuaciones de las asíntotas son: x = -2; x = 0; x = 2; y = - x + 2
• f (x )es decreciente para todo x Î (-¥,-2) È (- 2,-1) È (0,2) È (2,+¥)
• f (x )es creciente para todo x Î (- 1,0)
19. Pedro y Juan invirtieron, cada uno, cien mil dólares en dos entidades financieras distintas. Ambas entidades
ofrecieron un 18% de interés anual, pero con la siguiente diferencia: La entidad donde Pedro hizo la inversión iba
a liquidar los intereses correspondientes cada trimestre teniendo en cuenta, cada vez que iba a liquidar intereses, el
dinero ahorrado más los intereses ganados; la entidad donde Juan invirtió el dinero iba a liquidar los intereses cada
semestre teniendo en cuenta el dinero ahorrado más los intereses ganados, cada vez que iba a liquidar los intereses.
a. ¿Cuál es la diferencia, en tiempo, para que en cada entidad financiera se le cuadriplique el dinero tanto
a Pedro como a Juan?
b. ¿Cuánto tiempo tardará Juan en alcanzar el dinero acumulado por Pedro en 10 años?
21. Resuelva las siguientes ecuaciones teniendo en cuenta que las soluciones pueden pertenecer al conjunto de los
números complejos:
a. 𝑥 $ − 3𝑥 ! + 5𝑥 " − 𝑥 = 10
b. 3𝑥 ! − 5𝑥 " = 8 − 2𝑥
& " (/& # -!#& ! ($/& $ ,
c. !0
= #% − 𝑥