Curva dual

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Ejemplo de curvas duales entre sí (consúltese a continuación propiedades)

En geometría proyectiva, una curva dual de una curva plana C dada es una

segunda curva en del plano proyectivo dual conjunto de líneas tangentes a C.
Existe una aplicación entre una curva y su dual, haciendo corresponder cada
punto al punto dual a su línea tangente. Si C es una curva algebraica, entonces
también lo es su dual y el grado de la curva dual se conoce como la clase de la
curva original. La ecuación de la curva dual de C, dada en coordenadas
lineales, se conoce como la ecuación tangencial de C.
La construcción de la curva dual es la base geométrica de la transformada de
Legendre en el contexto de la mecánica hamiltoniana.1

Índice

 1Ecuaciones
 2Grado
 3Polar recíproca
 4Propiedades de la curva dual
 5Generalizaciones
o 5.1Dimensiones superiores
o 5.2Polígono dual
 6Véase también
 7Referencias
 8Bibliografía

Ecuaciones[editar]
Sea f(x, y, z) = 0 la ecuación de una curva en coordenadas homogéneas, y
sea Xx + Yy + Zz = 0 la ecuación de una recta, con (X, Y, Z) siendo
las coordenadas de la recta. La condición de que la línea sea tangente a la
curva se puede expresar en la forma F(X, Y, Z) = 0, que es la ecuación
tangencial de la curva.
Sea (p, q, r) el punto de la curva, entonces la ecuación de la tangente en este
punto viene dada por
Entonces Xx + Yy + Zz = 0 es una tangente a la
curva si
Al eliminar p, q, r y λ de estas ecuaciones, junto
con Xp + Yq + Zr = 0, se obtiene la ecuación
en X, Y y Z de la curva dual.
0:04
A la izquierda: la elipse (x2)2
 + (y3)2
 = 1 con líneas tangentes xX + yY = 1 para
cualquier X, Y, como (2X)2 + (3Y)2 = 1.
A la derecha: la elipse dual (2X)2 + (3Y)2 = 1. Cada
tangente a la primera elipse corresponde a un punto en
la segunda (marcado con el mismo color)

Por ejemplo, sea C la cónica ax2 + by2 + cz2 =

0. Entonces, la curva dual se determina
eliminando p, q, r y λ de las ecuaciones
Las primeras tres ecuaciones se resuelven
fácilmente para p, q, r, y la sustitución en la
última ecuación produce
Despejando 2λ de los denominadores,
la ecuación de la curva dual es
Para una curva definida
paramétricamente, su curva dual
está definida por las
siguientes ecuaciones paramétricas:
El dual de un punto de
inflexión dará una cúspide y dos
puntos que comparten la misma
línea tangente darán un punto de
auto-intersección en el dual.

Grado[editar]
Si X es una curva algebraica
plana, entonces el grado de su
dual es el número de puntos de
intersección con una línea recta
en el plano dual. Dado que una
línea en el plano dual
corresponde a un punto en el
plano, el grado del dual es el
número de tangentes al X que se
pueden trazar a través de un
punto dado. Los puntos donde
estas tangentes tocan la curva
son los puntos de intersección
entre la curva y la curva
polar con respecto al punto
dado. Si el grado de la curva
es d, entonces el grado de la
polar es d − 1 y, por lo tanto, el
número de tangentes que se
pueden trazar a través del punto
dado es como máximo d(d − 1).
El dual de una línea recta (una
curva de grado 1) es una
excepción a esta regla y se
considera un punto en el espacio
dual (es decir, la línea original).
Se considera que el dual de un
solo punto es la colección de
líneas rectas a través del punto;
esto forma una línea en el
espacio dual que corresponde al
punto original.
Si X es suave, es decir, no
posee puntos singulares,
entonces el dual de X tiene el
grado máximo d(d − 1). Si X es
una cónica, esto implica que su
dual también es una cónica. Esto
también se puede ver
geométricamente: la aplicación
entre una cónica y su dual es
una relación uno-a-uno (ya que
ninguna línea recta es tangente
a dos puntos de una cónica, ya
que eso requeriría una curva de
grado 4), y la línea tangente
varía suavemente (ya que la
curva es convexa, por lo que la
pendiente de la línea tangente
cambia monótonamente: las
cúspides en el dual requieren un
punto de inflexión en la curva
original, lo que requiere un
grado 3).
Para curvas con puntos
singulares, estos puntos también
estarán en la intersección de la
curva y su polar y esto reduce el
número de posibles líneas rectas
tangentes. El grado del dual
dado en términos del valor de d y
del número y tipos de puntos
singulares de X es una de
las fórmulas de Plücker.

Polar recíproca[editar]
Artículo principal: Inversión
(geometría)

Construcción de la curva dual (o

polar) de la parábola Γ0 (es una elipse
que pasa por el origen); la tangente
en M0 tiene por polo el punto M, punto
de contacto con la elipse de la recta
polar de M0

La curva dual puede visualizarse

como un lugar geométrico en el
plano en forma de polar
recíproca, que se define con
referencia a una cónica
fija Q como el lugar geométrico
de los polos de las líneas
tangentes de la curva C.2 La
cónica Q casi siempre se toma
como una circunferencia y en
este caso la recíproca polar es
la inversa de la podaria de C.
Construcción
Sea P un plano
proyectivo, C una sección
cónica (no degenerada) de este
plano y A un punto de P. Se
llama polar de A respecto a C a
la línea recta que une los puntos
de contacto de las tangentes a
esta cónica pasando por A.3
Para los cálculos y las
construcciones que siguen, se
considera el caso en el que P es
el plano euclidiano
real  extendido por la línea del
infinito, y se elige como cónica la
circunferencia unitaria , de
centro O y radio 1. En este caso,
la polar de A es la línea
recta D ortogonal a OA y que
pasa por el inverso de A,
representado por el punto B de
la línea media OA tal
que OA×OB=1. A la inversa, se
dice que la línea recta D tiene el
punto A como polo respecto a la
circunferencia. Finalmente, se
amplía esta construcción
tomando como polar de O la
línea del infinito, y para el polo
de una línea recta que pasa
por O el punto en el infinito de la
dirección ortogonal a esta línea.
Entonces, se puede definir muy
simplemente la curva dual de
cualquier curva regular: es la
unión de los polos de las
tangentes a la curva o, lo que es
equivalente, la envolvente de las
polares de los puntos de la
curva. Siendo la inversión una
transformación involutiva, se
comprueba fácilmente que el
dual de la curva dual no es otra
que la curva inicial, de ahí el
nombre de "transformación por
polares recíprocas" que se le da
a esta transformación.
En coordenadas cartesianas, el
punto (a, b) tiene como polar la
línea recta de
ecuación aX+bY=1, y la línea de
ecuación aX+bY+c=0 tiene por
polo el punto (-a/c, -b/c).

Propiedades de la
curva dual[editar]
Las propiedades de la curva
original corresponden a
propiedades duales en la curva
dual. En la imagen de la
derecha, la curva roja tiene tres
singularidades: un nodo en el
centro y dos cúspides en la parte
inferior derecha e inferior
izquierda. La curva negra no
tiene singularidades, pero tiene
cuatro puntos particulares: los
dos puntos superiores tienen la
misma línea tangente (una línea
horizontal), mientras que hay dos
puntos de inflexión en la curva
superior. Los dos puntos
superiores corresponden al nodo
(punto doble), ya que ambos
tienen la misma línea tangente,
por lo tanto, se asignan al mismo
punto en la curva dual, mientras
que los puntos de inflexión
corresponden a las cúspides,
que corresponden primero a las
líneas tangentes. yendo en una
dirección, luego en la otra
(pendiente creciente, luego
decreciente).
Por el contrario, en una curva
suave y convexa, el ángulo de la
línea tangente cambia
monótonamente y la curva dual
resultante también es suave y
convexa.
Además, ambas curvas tienen
una simetría de reflexión, que
corresponde al hecho de que las
simetrías de un espacio
proyectivo corresponden a
simetrías del espacio dual, y que
la dualidad de curvas conserva
esta propiedad, por lo que las
 curvas duales poseen el mismo
grupo de simetría. En este caso,
ambas simetrías toman la forma
de un reflejo especular de
izquierda a derecha. En este
caso, se trata de una disposición
arbitraria para identificar el
espacio y el espacio dual; en
general, son simetrías de
espacios diferentes.

Generalizaciones[editar]
Dimensiones
superiores[editar]
De manera similar, al generalizar
a dimensiones superiores, dada
una hipersuperficie, el espacio
tangente en cada punto produce
una familia de hiperplanos y, por
lo tanto, define una
hipersuperficie dual en el
espacio dual. Para cualquier
subvariedad cerrada X en un
espacio proyectivo, el conjunto
de todos los hiperplanos
tangentes a algún punto de X es
una subvariedad cerrada del
dual del espacio proyectivo,
llamado variedad dual de X.
Ejemplos

 Si X es una hipersuperficie

definida por un polinomio
homogéneo F(x0, ..., xn),
entonces la variedad dual
de X es la imagen
de X según el gradiente
que se genera en el espacio proyectivo dual.

 La variedad dual de
un punto (a0: ..., an) es
el hiperplano
Polígono
dual[editar]
Artículo
principal: Polígono dual
La construcción de la
curva dual funciona
incluso si la curva
es poligonal (o
está definida a
intervalos, pero la
correspondencia
resultante está
degenerada (si hay
componentes lineales)
o mal definida (si hay
puntos singulares).
En el caso de un
polígono, todos los
puntos en cada borde
comparten la misma
línea tangente y, por
lo tanto, se asignan al
mismo vértice del
dual, mientras que la
línea tangente de un
vértice está mal
definida y se puede
interpretar como todas
las líneas que pasan a
través de él con un
ángulo comprendido
entre las dos aristas
que comparten el
vértice. Esto
concuerda tanto con
la dualidad proyectiva
(las líneas rectas se
asignan a los puntos y
los puntos a las líneas
rectas) como con el
límite de las curvas
suaves sin
componente lineal:
cuando una curva se
aplana hacia un
borde, sus líneas
tangentes se asignan
a puntos cada vez
más cercanos; a
medida que una curva
se agudiza hasta
convertirse en un
vértice, sus líneas
tangentes se separan
más.

Véase
también[editar]
 Polígono dual
 Transformada de
Hough
 Aplicación de
Gauss

Referencias[edit
ar]

1. ↑ Véase (Arnold,
1988)
2. ↑ Edwards, J.
(1892). Differential
Calculus. London:
MacMillan.
pp. 176.
3. ↑ La definición
rigurosa del
concepto de polar
usa la razón
anarmónica (y se
aplica incluso en el
caso en el
que C es la unión
de dos rectas
líneas distintas).
Aquí se supone de
hecho que el
campo base es
algebraicamente
cerrado; en el caso
real, por ejemplo,
se demuestra que
la polar es siempre
una línea real,
incluso cuando las
tangentes son
imaginarias.

Bibliografía[edit
ar]

 Arnold, Vladimir
Igorevich
(1988), Geometric
al Methods in the
Theory of
Ordinary
 Differential
Equations,
Springer, ISBN 3-
540-96649-8.
 Hilton, Harold
(1920), «Chapter
IV: Tangential
Equation and
Polar
Reciprocation», Pl
ane Algebraic
Curves, Oxford.
 Fulton,
William (1998), Int
ersection Theory,
Springer-Verlag, IS
BN 978-3-540-62046-
4.
 Walker, R. J.
(1950), Algebraic
Curves, Princeton.
 Brieskorn, E.;
Knorrer, H.
(1986), Plane
Algebraic Curves,
Birkhäuser, ISBN 9
78-3-7643-1769-0.

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