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Unidad 5. Integrales Definidas
Unidad 5. Integrales Definidas
Unidad 5. Integrales Definidas
Pero qué hacemos cuando queremos calcular el área del círculo o en general de un recinto
plano no poligonal, por ejemplo:
En donde el recinto R está limitado por la función continua y positiva y = f(x) y el eje de las
abscisas en el intervalo [a ; b].
La resolución general del problema se encontró aplicando integrales definidas, que permiten
calcular áreas comprendidas ente curvas.
En cada uno de los sub-intervalos podemos determinar el valor mínimo y el valor máximo que
alcanza la función en dicho sub-intervalo, a los que llamamos mi y Mi respectivamente.
En el intervalo [x0 , x1] es m1 y M1
En el intervalo [x1 , x2] es m2 y M2
En el intervalo [x2 , x3] es m3 y M3
..................................................
En el intervalo [xn - 1 , xn] es mn y Mn
Formemos la suma de las áreas de los rectángulos determinados que llamaremos Sn.(suma
inferior) en el gráfico parte sombreada.
Formemos la suma de las áreas de los rectángulos determinados que llamaremos Sn. (suma
inferior) en el gráfico parte sombreada.
n
S n = ∑ mi Δx i
Sn= m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + … + mn xn i=1
Notemos que:
S ≤S
a) Si m1 M1, i = 1; 2; 3; ...;.,n n n
m1 m ; m2 m; ...; mn m
S n ≥ m (b − a) (1)
M1 M ; M2 M; ...; Mn M
S n ≤ M (b − a) (2)
m (b − a)≤S n ≤S n ≤ M (b − a)
Que interpretamos geométricamente:
En cada uno de los intervalos [xi- 1 ; xi] podemos elegir un punto interior que designaremos “i”;
y para cada uno estos puntos es posible determinar el valor de la función al que llamaremos
f(i).
Formemos la suma:
n
S n = ∑ f (ε i ) Δx i
S n = f (ε 1 ) Δx 1 + f ( ε 2 )Δx 2 + f (ε 3 ) Δx 3 +.. .+ f (ε n ) Δx n i=1
Sn está dado por la suma de las superficies de los rectángulos que tienen por base las
amplitudes Δx i de los sub-intervalos correspondientes a la partición y por altura
respectivamente los valores numéricos de la función f (i) en cada uno de los puntos i tomados
arbitrariamente.
Definición: Si existe el límite de esta suma cuando la norma de partición tienda a cero, dicho
límite recibe el nombre de integral definida de la función f(x) en el intervalo [a ; b].
n
b
∑ f (εi ) Δxi=∫a f ( x ) dx ¿
i=1
Recordemos que: norma de una partición () se denomina a la amplitud del mayor de los sub-
intervalos.
El signo fue introducido por Leibniz (1.646 - 1.716) y se denomina signo integral. Su forma,
una “S” alargada la eligió porque la integral es un límite de sumas.
Propiedades:
1) De acuerdo con la definición de integral definida, se demuestra que toda función continua
en un intervalo es integrable en el mismo.
a = b ∫a
f (x ) dx= 0
Area = ∫a f (x ) dx
b → extremo superior
Entonces geométricamente el área de la integral definida representa el área dentro del intervalo
[a ; b].
Ejemplo
Si 4 - x2 = 0
{x1= 2 ¿ ¿¿¿
Entonces la región está definida en el intervalo [2 , - 2].
Area = ∫− 2
2
( 4 − x ) dx
Ejercicios:
1. Graficar la región cuya área representa la integral definida dada, calcular la misma
mediante fórmulas geométricas.
4
Área = ∫1
4 dx
= área rectángulo = 3 .4 = 12 unidades
b) ∫0 ( x + 1) dx
f(x) = (x + 1) la región representa un trapecio de base = 3, h mayor = 4 y h
3 3. (1 + 4 )
∫0 ( x + 1) dx= Area trapecio = 2 = 7,5 unidades
menor = 1
Teorema del valor medio del cálculo integral: El área de una región determinada por una
función y el eje de las abscisas en un intervalo, está comprendida entre un rectángulo de altura
M y otro de altura m. El teorema que trataremos determina que entre estos dos rectángulos
existe otro rectángulo cuya área es exactamente igual a la región bajo la curva.
Teorema: Si f(x) es continua en el intervalo [a ; b], existe en este intervalo un punto c, donde
se verifica la siguiente igualdad:
b
∫a f (x ) dx= f (c)(b − a)
Demostración:
Caso 1: Si f(x) es constante en [a ; b] el resultado es evidente, puesto que c puede ser cualquier
punto de [a , b].
Caso2: Si f(x) no es constante en el intervalo [a ; b], alcanza en ese intervalo un valor mínimo y
un valor máximo que designaremos m y M respectivamente.
1 b
m≤ ∫ f (x ) dx ≤ M
b− a a
1 b
k= ∫ f ( x) dx
b−a a
Llamando: mkM
Como f(x) es una función continua en [a ; b] toma todos los valores intermedios entre m y M,
entonces:
b
El valor de f(c) es el valor medio de f en el intervalo [a ; b]. Su valor está determinado por
1 b
f (c)= ∫ f ( x) dx
b−a a
Ejemplos:
a) Hallar el valor medio de la función f(x) = x + 1 en el intervalo [0 , 3]
1 3
f (c)= ∫ ( x + 1 ) dx
3−0 0
3 1
∫0 ( x + 1) dx= 7,5 unidades (Sol. Pág. 97)
f (c)= . 7,5 = 2 ,5
3
4 2 2
1 2 1 x 3x 1 33
f (c)= ∫
3 −(−1) − 1
(x 3
− 3x + 3) dx= .| −
3 4 2
+ 3x| = . = 2,75
−1 3 4 f(c) = 2,75
Representemos:
Teorema fundamental del cálculo integral (de la Función Área): Dos partes muy
importantes del cálculo son: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. El primero surgió del
problema de la recta tangente a una función y el segundo del problema del cálculo del área.
Esta relación se establece en el bien nombrado. Teorema Fundamental del Cálculo o Teorema
de la función Área, que proporciona la vinculación entre la derivada y la integral.
Si f es una función integrable desde un punto fijo a a otro x variable, donde la integral definida
está en función de x (límite superior). Designado el límite superior para x, para evitar toda
confusión designaremos a la variable de integración con t.
x
Designaremos F(x) = ∫a
f (t ) dt
x
Función área = ∫ f ( t ) . dt
a
Es importante tener presente esta igualdad, ya que da la relación entre derivadas e integrales,
porque si f es cualquier función continua, entonces F es una función diferenciable de x siendo
su valor de x:
d d x
F ( x)= ∫a f (t ) dt
dx dx
El siguiente teorema generaliza el resultado:
x
F(x) = ∫a
f (t ) dt
Teorema: Si f(x) es continua y , se verifica que F'(x) = f(x)
Demostración: para demostrar aplico la regla general de derivación.
x
Siendo F(x) = ∫a
f (t ) dt
x+∆ x
1) F (x+Δx) = ∫ f ( x ) . dx
a
x+∆ x x
2) F (x+Δx)-F(x)= ∫ f ( x ) . dx−∫ f ( x ) . dx =
a a
x+∆ x
F (Δx) = ∫ f ( x ) . dx
x
x +∆ x
F (∆ x) 1
3) ∆ x =¿
∆x
∫ f ( x ) . dx
x
{∫ }
x+ ∆ x
f ( x ) . dx ⇒ lo expreso de otra manera . Por elteorema del valor medio del calculo integral .
x
F (∆ x ) 1
∆x
=
∆x
[ ( x + ∆ x −x ) . f ( ε ) ]
F( ∆ x)
4) lim = lim f ( ε )
∆ x →0 ∆x ∆ x →0
F’(x) = f(x)
b
Regla de Barrow: dada una integral definida ∫ f ( x ) . dx , que hallando su primitiva F(x) y
a
Demostración:
x
F(x) = ∫ f ( x ) . dx ⇒ F ´ ( x ) =∫ f ( x )
a
F(x) = G(x) + c
⇓
x=a
F(a) = ∫ f ( x ) . dx=0
a
x=b
b
F (b) ∫ f ( x ) . dx=0
a
= Área de la G(x) en el [a ; b]
a
a)
3 x 2 3 32
0
( )
∫0 ( x + 1) dx=| 2 + x| = 2 + 3 − 0 = 152 = 7,5 unidades
π π
b)
∫2
0
cos x dx=|sen x|02 = sen ( π2 )− sen (0)= 1 − 0 = 1
c)
2 1 ( 2t − 1)3 2 1 9 1 1 28 14
( ( ))
∫0 ( 2t − 1 ) dt= 2 | 3 |0= 2 3 − − 3 = 2 − 3 = 3 unidades
2
Nota: ∫0
2
( 2t − 1) dt
se resuelve por sustitución.
t=x
Calculo de áreas planas: cálculo de áreas entre dos curvas (o funciones):
Dadas dos curvas que responden a las funciones y = f(x); y = g(x)
El área de la región limitada por las curvas se puede calcular como diferencia de dos integrales
definidas:
b b b
Área = ∫a
¿ f ( x) dx −∫a g( x) dx= ∫ [ f ( x ) −g ( x ) ] dx
a
Para calcular a y b hay que determinar los puntos de intersección de las curvas, teniendo en
cuenta que las mismas tienen igual ordenada.
1. Calcular el área de la región sombreada en el siguiente gráfico:
42
2 3 x 16
A =∫ x dx=| | = = 4 unidades
0 40 4
2. Calcular el área de la región sombreada en el gráfico:
( )
32
2 x 8 4
A =∫0 ( 2x − x ) dx=|x − | = 4 − − 0 = unidades
2 2
3 0 3 3
x +1=5x –4=0
2 2
{x1= 2 ¿ ¿¿¿
b) Calculemos el área:
32
2 2 x 32
A =∫− 2 [ 5 −(x + 1)] dx=∫− 2 (4 − x ) dx=|4x − | = = 10,6 unidades
2 2
3 −2 3
x – x = - x 2x - x = 0
2 2 {x1= 0 ¿ ¿¿¿
2 x3 2 4
A =∫0 ( 2x − x ) dx=|x − | = unidades
2 2
b) 3 0 3
5. Hallar el área de la región sombreada: Al estar la región limitada superiormente por dos
rectas distintas, debemos subdividir la región en dos áreas: Al y A2 una para [- 2 ; 0] y la
otra para [0 ; 4 ].
2 4
0 4 x
A =∫− 2 (2x + 4) dx+∫0 (− x + 4) dx=|x +
2
4x |0− 2 +|− + 4x | =
2 0
A = 0 - (4 - 8) + (-8 + 16) - 0 = 4 + 8 = 12 u
6. Determinar el área encerrada por las siguientes funciones: y2 = x ; x - y = 2
En este caso nos conviene integrar respecto a la variable y.
2 32
2 y y
A =∫− 1 ( 2 + y − y ) dy|2y + − | = 4,5 unidades
2
b) 2 3 −1