Integrales Definidas
Integrales Definidas
Integrales Definidas
MATEMÁTICO
IN T E G R A L E S
DEFINIDAS
INTEGRAL DEFINIDA
LA INTEGRAL DEFINIDA
El estudio de la integral definida se inició históricamente con la resolución del problema el
cálculo de áreas de figuras planas. Si la figura es un polígono (irregular o no) se puede
descomponer en triángulos y el área del polígono es igual a la suma de las áreas de todos
esos triángulos.
b El área del polígono es igual a la suma de las áreas de los
a A1 c triángulos en que se dividió la figura.
A2
d
A3
e
Si la figura está limitada por arcos de curva ya no es posible en la mayoría de los casos,
calcular el área por fórmulas geométricas. En la antigüedad, los griegos trataron de resolver
el problema de obtener el área de un círculo que llamaron “cuadratura del círculo”: frase que
expresa que se deseaba encontrar un cuadrado o rectángulo cuya área fuera igual a la del
círculo considerado.
La resolución sistemática general del problema de cálculo de áreas dio origen al Cálculo
Integral.
b
LA INTEGRAL DE RIEMANN
Partición de un intervalo: Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de
puntos. P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b
[X0 ;X1 ] , [X1 ;X2 ] , [X2 ;X3 ] , …….[Xn-1 ;Xn ] cuya longitud es ∆xi
Para cada uno de los puntos que determina la partición se trazan paralelas al eje y y por la
intersección de la grafica con estas se trazan paralelas al eje x. Quedan determinados los
rectángulos R1 , R2 , R3 ,… Rn . El área de cada rectángulo es:
f (x ).x
i1
i i pero quedan zonas bajo la curva que no abarcan los rectángulos.
Tomando el máximo x 0 (pues los intervalos pueden tener diferente longitud) el área
bajo la curva de la función entre a y b es:
n
A máx xi lím 0
i 1
f ( xi ).x i n lím f ( x i ).xi
i 1
b
Entonces: Si existe este límite f(x) es integrable según Riemann. La suma se llama
Suma de Riemann.
Este teorema establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y
el cálculo integral. El diferencial surgió del problema de la tangente y el integral con el
problema del área. Isaac Barrow descubrió que estos problemas se relacionan. Se dio
cuenta que eran procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo proporciona la
relación inversa entre la derivada y la integral.
Newton y Leibniz aprovecharon esta relación y la emplearon para convertir el cálculo en un
método matemático sistemático. El teorema permitía calcular áreas e integrales con suma
facilidad sin tener que emplear límites de sumas.
Si f(x) es continua en [a;b] y F(x) es primitiva de f(x)
b
b
1) f (x)dx F(x) a F(b) F(a)
a
Regla de Barrow
Demostración:
x
x
Si g( x) f (t)dt g( x) F (t ) F ( x) F (a) aplicandoregla de Barrow
a
a
entonces: g´(x) F ( x) F (a)´ F´(x) 0 ( por ser la derivadade una constante)
g´(x) F´(x) f ( x) ( por definición de primitiva)
g´(x) f ( x)
h( x )
b) Si g ( x) f (t)dt
a
con a x b g´(x) f (h( x)).h´(x)
Demostración:
h( x )
h( x)
Si g( x) f (t)dt
a
g( x) F (t)
a
F (h( x)) F (a)
Ejemplos:
a) g( x) (t 3 5) 6 dt g´(x) ( x3 5) 6
1
1/ x
1 1
b) g( x) cos t dt g´(x) cos4 . 2
4
1 x x
Calcular:
2 2
x2
0 x.dx 2 2 0 2
0
1. La integral definida de una constante por una función es igual a ala constante por la
integral definida de la función
b b
k . f ( x)dx k . f ( x)dx
a a
b c b
f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
Demostración:
b
b
a f ( x)dx F ( x)
a
F (b) F (a)
c
c
f (x)dx F(x) a F(c) F(a)
a
b
b
c f ( x)dx F ( x)
c
F (b) F (c)
c b b
b c b
f ( x)dx 0
a
Demostración:
a
a
a f ( x)dx F ( x)
a
F (a) F (a) 0
Luego: f ( x)dx 0
a
b a
f ( x)dx f ( x)dx
a b
Demostración:
b a
b
f (x)dx F(x) a F(b) F(a) F(a) F(b) f (x)dx
a b
b a
6. La integral definida de una función constante es igual a la constante por la longitud del
intervalo de integración.
b
kdx k.(b a)
a
Si k 0 y a b el área es : A k .(b a )
Demostración:
b b b
kdx k dx k.x
a a a
k .(b a)
Ejemplos
a)
2 2 2
x2
0 5 x.dx 5 0 xdx 5.
2
5.(2 0) 10
0
b)
1 1 1 1 1
x3 1 10
0 ( x 3).dx 0 x dx 0 3dx 3 3x 0 3 0 3 0 3
2 2
c)
2 1 2 1 2
e .dx e dx e dx e e e 1 e2 e e2 1
x x x x x
0 0 1 0 1
d)
3 3
x2 9 9
3 x.dx 2 0
2 2
3
e)
2 2 1 1
6.dx 6 x
1 1
6.(2 1) 6 6.dx 6 x
2 2
6.(1 2) 6
b
A f ( x)dx
a
Ejemplo:
El área bajo la curva de la función: f ( x ) x 2 en el intervalo [0,2] se calcula:
2 3 2
2 16 4
A x 2dx ( x 2) 2 2 3,447 u. sup
0
3 0 3 3
Si f(x) < 0 en el intervalo [a,b] (la curva de la función por debajo del eje x) la integral definida
resulta negativa.
Para calcular el área bajo la curva debe considerarse el valor absoluto de la integral definida
o el valor opuesto del resultado de la integral.
2
x3 2
2
8 4
0
2
( x 2 x ) dx 3 x 4 0
0 3 3
2 2
4 4 4
A ( x 2 2 x)dx o A ( x 2 2 x)dx u.sup
0
3 0 3 3
Es conveniente construir el gráfico si se desea calcular el área bajo la curva para evitar
resultados erróneos.
Sea calcular el área de una zona limitada por las curvas que representan las funciones f(x)
y g(x) ambas positivas
Los puntos de intersección entre las dos curvas tienen abscisas x0 y x1 con x0 < x1 y
f(x) > g(x)
x1 x1 x1
A1
x0
f ( x)dx A2 g ( x)dx
x0
A A1 A2 [ f ( x) g ( x)]dx
x0
Justificación:
representativo de ancho x y altura f(xi) – g(xi) (con f(x) >g(x) ) siendo un punto del i-ésimo
subintervalo. El área del rectángulo representativo es: Ai f ( xi ) g ( xi ).x
10
Ejemplo1:
Área encerrada entre las curvas de las funciones:
f ( x) x 2 4 x 2
g ( x) x 2 2 x 2
Puntos de intersección: (0;2) (3;5)
3 3 3
2 3
A f ( x) g ( x) dx [ x 4 x 2 x 2 x 2]dx [2 x 2 6 x]dx x 3 3 x 2 9u.s.
2 2
0 0 0 3 0
En general:
Si f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b] y f(x) > g(x) x [ a, b] , el área de la
región limitada por las curvas correspondientes a f y g entre las rectas verticales
x = a y x= b es: A f ( x) g ( x)dx
a
11
Ejemplo 2:
Área encerrada entre las curvas de las funciones:
f ( x) x 2 x 2
y las ordenadas x = 0 , x = 2
g ( x) x 2 2 x 2
2 2 2
A f ( x ) g ( x )dx [ x 2 x 2 x 2 2 x 2]dx [ 2 x 2 3 x 4]dx
0 0 0
2 3 2 2 26
3 x x 4 x u.s
3
2 0 3
La expresión se aplica aún cuando las curvas están por debajo del eje x, pero es necesario
que f(x) > g(x)
Ejemplo 3:
Área encerrada entre las curvas de las funciones:
f ( x) x 2 2 x 2
Puntos de intersección: (0;-2) (2;-2)
g ( x) x 2 2 x 2
2 2 2
2 2 8
A f ( x ) g ( x )dx [ x 2 2 x 2 x 2 2 x 2]dx [ 2 x 2 4 x ]dx x 3 2 x 2 u.s
0 0 0 3 0 3
12
La expresión se aplica aún cuando las curvas de las funciones no tienen puntos de
intersección.
Ejemplo 4:
Área encerrada entre las curvas de las funciones:
f ( x) x 2 2
y las ordenadas x = 0 , x = 1
g ( x) x
1 1
x3 x 2 1 17
A f ( x ) g ( x )dx [ x 2 2 x ]dx 2x u.s
0 0 3 2 0 6
13
Ejemplo:
Calcular el área encerrada por las curvas de las funciones:
f(x) = 3x³-x²-10x g(x) = -x²+2x
Resolviendo el sistema: f(x) = g(x) se encuentran los puntos de intersección entre las curvas:
(0;0) (-2;-8) (2; 0)
0 0
A1 g ( x) f ( x)dx (3x 12 x)dx 12
3
2 2
2 2
A2 f ( x) g ( x)dx (12 x 3 x 3 )dx 12
0 0
At A1 A2 24
Ejemplo:
y² =3 - x y y = x-1
14
1 1
y3 y2 9
Integración respecto de y A ( y 2 y 2)dy 2 y u. sup
2
3 2 2
2
2 3
19 2 9
Integración respecto de x A A1 2 A2 ( x 1 3 x )dx 2 3 x dx 2. u. sup
1 2
6 3 2
f (x)dx f (c).(b a)
a
El punto c puede no ser único. El teorema garantiza la existencia de por lo menos uno que
cumple con esa propiedad.
El cálculo del valor medio f(c) y el de c supone el cálculo de la integral definida de la función
en el intervalo [a;b].
Demostración
Caso 1: Si f es constante en el intervalo [a;b], el teorema es evidentemente cierto ya que se
puede tomar como c cualquier punto de [a;b]
Caso 2: Si f no es constante en [a;b], por las propiedades de la integral definida y de las
funciones continuas en intervalos cerrados existen m y M como los valores mínimo y
máximo de f en [a;b].
15
b b b
m dx f ( x)dx M dx
a a a
b
m.(b a ) f ( x)dx M .(b a ) dividiendo por (b a ) resulta :
a
b
1
b a a
m f ( x)dx M
b b
1
b a a
f ( x)dx f (c) f ( x )dx f (c ).(b a )
a
(La función es continua en [a,b] y como f(a) = m < f(b) = M la función debe tomar todos los
valores comprendidos entre f(a) y f(b) es decir entre m y M)
Interpretación Geométrica.
El producto f( c) .(b-a) corresponde al área de un rectángulo que tiene por base la amplitud
del intervalo [a,b] y por altura el valor que toma la función para x = c.
16
Si f(x) >0 el área bajo la curva de la función es equivalente al rectángulo de lados f (c) y
(b-a)
x2
Ejemplo: Para la función f ( x) en el intervalo [1,3]
2
3 3
1 x2 1 x3 27 1 13
f (c) .dx 2,16
21 2 2 6 1
12 12 6
El área bajo la curva comprendida en el intervalo [1,3] es equivalente al área del rectángulo
de base 2 y altura 2,1666... A = 4,3333..
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a;b] y P una partición del intervalo
cerrado [a, b] en subintervalos iguales de longitud ∆xi
P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b
Para cada subintervalo se traza la secante que une los puntos correspondientes a f(xi-1 ),
f(xi).
17
b n
f ( x)dx Ai A1 A2 A3 ....An
a i 1
b
y 0 y1 y y2 y yn x
f ( x)dx x 1 x ...... n 1 x y 0 y1 y1 y 2 y 2 ... y n
a
2 2 2 2
x
y 0 2 y1 2 y 2 ...... 2 y n1 y n x 0 y1 y 2 .....y n1 n
y y
2 2 2
y yn n 1
x 0 yi
2 i 1
b
y y n n 1
Luego: f ( x) dx x. 0 yi
a 2 i 1
Ejemplo:
( x 4 x).dx
2
Calcular por el método de los trapecios la
0
Considerando ∆x = 1 y0 = 0 y3 = 3
3
03
( x 4 x).dx 1. 3 4 1.8,5 8,5 u. sup
2
0 2
Considerando ∆x = 0,5 y0 = 0 y3 = 3
3
03
( x 4 x).dx 0,5. 1,75 3 3,75 4 3,75 0,5.17,75 8,875 u. sup .
2
0 2
18
3
x3 3
0 2 x 2 9 18 0 9 u. sup .
2
( x 4 x ).dx
3 0
19
BIBLIOGRAFÍA
Larson/Hostetler/Edwards. (2006), Cálculo I. Mc Graw-Hill Interamericana. 8va Edición.
Disponible en la biblioteca de la UNNOBA
Apostol, T. (2007), Calculus I, Calculo con funciones de una variable, con una
introducción al Algebra Lineal, Ed. REVERTE. Disponible en la biblioteca de la
UNNOBA
Stewart, J. (2001), Cálculo de una Variable trascendentes tempranas, International Thomson
editores 4ta Edición. Disponible en la biblioteca de la UNNOBA
20