MARCO TEORICO

Se reconoce que los principales fundamente en hallar una determinada área en los
estudios matemáticos, se constituye sin lugar a dudas el de función. Esto quiere decir que
sin temor a equivocarnos que las ramas de las matemáticas de una u otra forma se ve
involucrado este determinado concepto.

Como se sabe se presentará de una manera, tal vez demasiado informal y en algunos
aspectos son relacionados hacia la determinación de los rasgos, esto con el fin en lograr
una aproximación al concepto de función. Posteriormente se formalizará un poco de punto
vista en cada detalle de los gráficos que se presentará más adelante.

Para introducir aquí la noción de integral de una función, se aplica el método de

agotamiento para el cálculo del área bajo la gráfica de la función sobre un intervalo. Dicho
método aproxima el área de un conjunto irregular mediante sumas de áreas de
rectángulos, de tal manera que en el “límite” se alcanza el área exacta del conjunto en
cuestión.

ALTERNATIVAS DE UNA INTEGRAL EN UNA FUNCION

Como sabemos su objetivo y método del problema es reconocer la integración dado en

una función sabiendo que F: [a,b]  R definiendo en un intervalo cerrado [a,b] o con el
intervalo abierto (a,b) ahora ¿cómo medir el área algebraica de la región del plano ubicada
entre el eje x y la gráfica de la función F?
Por área algebraica, se entiende el número real (positivo, negativo o nulo) obtenido
contando con un signo positivo las áreas por encima del eje x, y con un signo negativo las
áreas por debajo del eje x, como indicado en la figura anterior.

En matemática, el área algebraica de la región ubicada entre el eje x y la gráfica de f se

llama integral de la función f en el intervalo [a, b], y el proceso que permite determinar
dicha área se llama integración.

El método Para determinar la integral de la función f en el intervalo [a, b], el método de

Riemann consiste en aproximar (por defecto y por exceso) la región correspondiente por
regiones poligonales construidas a partir de rectángulos, y cuya área (algebraica) se
calcula fácilmente sumando las áreas (algebraicas) de dichos rectángulos.

Formalmente, cada par de aproximaciones (una por defecto y otra por exceso) es
construido a partir de una partición P = {a, a1, a2, . . . , an−1, b} del intervalo [a, b], cuyos
puntos definen los límites horizontales de los rectángulos que usaremos para construir
dichas aproximaciones.

Considerando particiones cada vez más finas del intervalo [a, b], se obtienen
aproximaciones cada vez más precisas del área deseada, la cual puede ser definida como
el “límite” de las áreas de todas las aproximaciones así definidas.

La teoría de la integración es una herramienta fundamental para calcular las áreas de las
regiones del plano definidas a partir de curvas. Sus orígenes se remontan a más de 2300
años, cuando los matemáticos griegos calculaban áreas por el método de exhaucción.

Este método consistía en aproximar las figuras curvas (tales como los círculos, las elipses
o las parábolas) por polígonos para obtener aproximaciones del área de dichas figuras.
Por ejemplo, la siguiente figura muestra cómo se puede aproximar un círculo por pares de
polígonos regulares (uno adentro, y otro afuera), para obtener aproximaciones por defecto
y por exceso de su área:
 Imagen 1: figuras geometricas
RESOLUCIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS CON EXCEL

Como todos sabemos, el origen de los cálculos está relacionado con los dos aspectos
siguientes problemas clásicos: problema de tangente y problema de área.

La geometría euclidiana básicamente nos permite encontrar el área de una región plana

El siguiente proceso es, partiendo de la definición del área del rectángulo, derive la
fórmula para el área de cada región estudiada: triángulo, Polígonos y otras áreas
relacionadas. Calcular el área de otras regiones fue algo difícil y los griegos desarrollaron
el método exhaustivo mediante el cual pudieron encontrar la fórmula. El área de la región
delimitada por la función cuadrática. Arquímedes utilizó esta tecnología, deducir la fórmula
para el área de una elipse, el área de la región delimitada por el círculo parabólico.

Este método o tecnología incluye valor aproximado del área la región intermedia rango de
valores de polígonos, algunos El registro y otros asuntos se limitan a dicha zona. El
concepto de límite, ¿Qué sucede en caso de una remisión? jugará un papel esencial en
investigación y resolución de problemas, encuentra el área integrando.

Por tanto, es el análisis de integrales, especialmente el cálculo de integrales. Definición,

método para obtener el área de una región acotada por una gráfica función f(x) y eje X en
un intervalo dado [a,b].

Existen varias técnicas para obtener la primitiva de una función, a saber, expresión
analítica y luego usando el teorema fundamental del cálculo, también conocida como regla
de Barrow, encuentre el valor de la integral definida, así se obtiene el valor del área del
área buscada. Por otro lado, hay casos en los que no es necesario obtener explícitamente
expresión analítica de la primitiva de la función, casos donde no es fácil obtener una
función primitiva e incluso casos en los que la expresión no se puede evaluar análisis
primitivos como funciones de tipo:

Desde un enfoque geométrico, el valor de la integral de una función en un intervalo es

igual al área de la región delimitada por su gráfica y el eje de las abscisas, considerando
con signo negativo el área de la región que queda por debajo del eje. La relación entre los
dos enfoques anteriores la proporciona el llamado “teorema fundamental del cálculo”, al
establecer que las operaciones de derivación e integración de funciones son procesos
inversos e igual la determinación que están compuesto sen( x n ¿ , cos( x n ¿ , con n ≥ 2;
sen(x)/x; cos(x)/x; √n x m√ 1−x , con ≥ 3 y m ≥ 2, etc.

Sabemos que se introducen las definiciones de área y de integral definida. En los gráficos,
se analizan los diferentes métodos de integración numérica y su aplicación directa en la
hoja de cálculo Excel. Y se programan en VBA algunos de los métodos especificados en
los cálculos anteriores, de forma que se calculen de forma automática los métodos para
cualquier función. Y finalmente los enunciamos las conclusiones obtenidas.

EL ÁREA Y LA INTEGRAL DEFINIDA

El problema que se quiere resolver es hallar el área de una región limitada por la gráfica
de una función F, continua y no negativa en un intervalo cerrado, por el eje de abscisas, X,
y por las rectas x=a y x=b.

Para conseguir una aproximación al área, en primer lugar se divide el intervalo [a,b] en n
subintervalos de amplitud, x = (b – a)/n, obteniendo de esta forma una partición

equiespaciada del intervalo [a,b], P= {Xo, X1, X2,…. Xn-1, Xn} tal que a=<X1<X2<…<Xn-
1<Xn= b.

Al ser la función continua, el Teorema de los Valores Extremos afirma que existe un
mínimo y un máximo en cada uno de los subintervalos obtenidos por la partición.

Sabemos que si Sean f(mi) y f(Mi), los valores mínimo y máximo de la función en cada
subintervalo i. En cada subintervalo se definen un rectángulo inscrito y otro circunscrito de
anchura x y altura f(mi) y f(Mi), deduciéndose que

Δx ∙ f(mi) ≤ Δx ∙ f(Mi) (1)

Se denominan suma inferior y suma superior de Riemann a la suma de
los rectángulos inscritos y circunscritos respectivamente y se tiene que:
n n

Suma inferior = Σ Δx ∙ f(mi) ≤ Σ Δx ∙ f(Mi) = Suma (2)

superior
 i=1 i=1

La amplitud de los subintervalos Δx = xi — xi–1 será tanto más pequeña

cuanto mayor sea el valor de n, y se puede afirmar que si f es continua y no
negativa en el intervalo [a, b], los límites de las sumas inferior y superior
cuando n → ∞ coinciden.
Por tanto, cuando n → ∞, o lo que es lo mismo, cuando Δx → 0 se tiene que:

Á rea = lim Σ ∆x ∙ f(ci), xi–1 ≤ ci ≤ xi (3)

∆x→0
i=1

límite que existe siempre para una función f continua, lo cual es el caso de estudio.

Es esta idea del área como límite de sumas la que da origen a la

definición de integral en un intervalo [a, b] o integral definida. Asimismo, de este
hecho proviene el símbolo de la integral, que es una S (de suma) alargada.
Dada f una función continúa definida en el intervalo [a, b], se define la integral
definida entre a y b de la función f como:
n
b
ƒ f(x) dx = lim Σ ∆x ∙ f(ci), xi–1 ≤ ci ≤ xi (4)
∆x→0
a
i=1

Y si la función f es positiva, la integral coincide con el área.

Finalmente, el Teorema fundamental de cálculo, también denominado Regla

de Barrow, reveló la relación entre la derivación y la integración:
operaciones inversas.
Así, si F es una primitiva de f, es decir, si F’(x) = f(x), entonces

f(x) dx = F(b) — F(a) (5)

El objetivo por tanto es aproximar el valor del área, es decir, la integral definida de la
función en un intervalo dado, para ello vamos a utilizar técnicas de integración
numérica que consistirán básicamente en evaluar la función en determinados puntos,
puntos que serán los resultantes de hallar un polinomio de interpolación para la
función dada.
Se van a utilizar fórmulas del siguiente tipo:

f(x) dx ≃ Σ ci ∙ f(xi), (6)

i=0

que son obtenidas al aproximar la función f en el intervalo [a, b] por su

polinomio de interpolación, Pn(x).
Así, dada una partición P = {x0 , x1, x2 …, xn–1, xn} tal que a = x0 < x1 < x2 < ⋯ < xn–1
< xn = b, se denomina fórmula de integración numérica o de cuadratura

(7)
ƒ f(x)dx = Q[f] + E[f]

dónde E[f] es el error de truncamiento y

Q[f] = Σ cif(xi) (8)

i=0
será el valor aproximado del
área.
A los valores {x0 , x1, x2 …, xn–1, xn} se les denomina nodos de integración.

El grado de precisión de una fórmula de integración numérica es el

número natural n que verifica:
i. El error de truncamiento para los polinomios de grado i ≤ n
es 0, es decir, E(Pi) = 0.
ii. Existe un polinomio Pn+1(x) de grado n + 1 tal que E[Pn+1] G 0.

Fórmulas de newton-cotes
Según se ha visto las fórmulas de cuadratura pueden deducirse a partir de la
interpolación polinomial. Si el primer nodo de integración que se considera es a
= x0 y el último es b = xn, entonces se dice que la fórmula de cuadratura es
cerrada, en otro caso se dice que la fórmula de cuadratura es abierta.
 Formula abierta de 1 punto. Regla del punto medio:

El Teorema del Valor Medio para Integrales afirma que si f es

continua en [a, b], existe un número c ∈ [a, b], tal que
(9)
f(x)dx = (b — a)f(c)

A partir de (9) se define la Regla del Punto Medio que aproxima el área
mediante un rectángulo de base h = (b — a) y altura el valor de la función f
en el punto medio, y cuyo grado de precisión es 1:

∫ f ( x ) dx=h . f ( a+b
2 )
+ E £ ∈[a , b] (10)
a

Si f ∈ C2[a, b], es decir, es continua y tiene primera y segunda derivadas

continuas en [a, b], el error de truncamiento E[£] se expresa, de la forma:

3
h
E [ £ ]= f ´´ £ £∈[a , b] (11)
24

Reglas recursivas

Tal y como se ha ido comprobando cada vez que se subdivide el intervalo se han de
realizar nuevas evaluaciones de la función, duplicando parte del trabajo. Las reglas
recursivas van a basarse en sucesiones de aproximaciones realizadas para una cierta
partición, de forma que, con pocas evaluaciones nuevas, se obtenga la aproximación para
una nueva subdivisión. Se definen en primer lugar las Reglas del trapecio sucesivas, para
a partir de la sucesión obtenida, obtener mediante combinaciones lineales la Regla
recursiva del trapecio, la Regla recursiva de Simpson, y la Regla recursiva de Boole.
Se ha podido comprobar que mediante la hoja de cálculo Excel y los análisis que se
hicieron forma correspondiente es extremadamente sencillo encontrar soluciones
numéricas aproximadas al área limitada por una función f(x) y el eje de abscisas en un

intervalo dado [a,b]. El grado de exactitud de las aproximaciones obtenidas viene dado por
los distintos métodos numéricos que se han utilizado. Igualmente se ha mostrado que, con
una sencilla implementación en VBA, se pueden hallar también excelentes
aproximaciones a las soluciones de las integrales planteadas.

La programación se ha realizado de la forma más simple posible de forma que se pueda

replicar fácilmente el programa para cualquier método.

Finalmente se ha optado por generar programas que no dependan de la función a integrar,

sino que se adapten a cualquier función, tenga o no una primitiva explícita.

DETERMINACION DE UNA FUNCION DESDE EXCEL

La función ENCONTRAR en Excel es una función literal familiar que le ayuda a ordenar el
contenido de una hoja de cálculo de Excel. La principal ventaja de esta función es que no
distingue entre mayúsculas y minúsculas y le permite utilizar comodines estándar de Excel
("?" y "*") para caracteres individuales o cadenas de caracteres.

¿Para qué se usa esto?: La función ENCONTRAR en Excel se utiliza para devolver la
posición en la que se encuentra el carácter especificado en una cadena de texto.

Sabemos que hay variedades comandos que se facilitaran durante el desarrollo de una
función desde Excel por lo cual se ingiere los datos colectados del campo a Excel para
determinar su respectiva grafica.
Explicación de la función hallar en Excel (SEARCH)

Esta función tiene 3 argumentos:

 texto_buscado: Es un argumento obligatorio. Se refiere al texto que deseas buscar.

 dentro_del_texto: Es un argumento obligatorio. Indica el texto en el que desea

encontrar el valor del argumento texto_buscado.

 núm_inicial: Es un argumento obligatorio. Se refiere al número de carácter en el

argumento dentro_del_texto donde desea iniciar la búsqueda.

METODO O REGLAS PARA DETERMINAR UN TERRENO

En los cursos de Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una
función continúa haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que
si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada
de f(x) entonces:

∫ f ( x ) dx=F ( b ) −F (a)
a

El problema en la práctica se presenta, cuando se nos hace imposible mediante métodos

analíticos determinar la antiderivada requerida, aun cuando se trate de integrales
aparentemente tiene su propia determinación en algunos de ellos se puede decir que
2 2
∫ 1+x√ x dx, sabemos que son imposibles en resolver usando variedades de teoremas
1

Sabemos que son fundamentales del cálculo por lo cual, en estos tipos de casos se
requiere a recurrir la integración numérica que se permite en obtener las aproximaciones
casi exactas y en otras opciones se pueden resolver con el uso de métodos sabiendo que
en este módulo se referirá a la regla del trapecio que en fin de cuenta serán durante el
desarrollo del terreno.
Regla del trapecio

La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones
numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración
de Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno.

Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:

b b

A=∫ f (x)dx ≅ ∫ f 1(x)dx, donde

a a

f ( b )−f (a)
f1(x)=f(a)+ (x-a)
b−a
b

Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral ∫ f (x)dx, es decir

a

que
b

A= ∫ ¿ ¿ ]dx. Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula:
a

El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la

fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una
línea recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se muestra
en la figura.
ERROR DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Del ejemplo anterior se puede observar que, si la función a integrar no es lineal,

la regla del trapecio genera un error. La fórmula para calcular el error de
truncamiento local de una sola aplicación de la regla del trapecio viene dada
por:

El valor ξ se encuentra en algún lugar del intervalo [a, b]. Si la función a integrar
es lineal, entonces la regla del trapecio será exacta.

REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA

Para obtener una mejor aproximación de la integral con este método, la regla
del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b]
b−a
en n subintervalos, todos de la misma longitud h= .
n
A este método se le conoce con el nombre de la regla del trapecio compuesta.
Para aplicar este método se debe cumplir los siguientes pasos:

1. Dividir el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida.

2. Aproxime en cada subintervalo la función f(x) por una recta.
3. Aproxime el área bajo la curva f en el intervalo [a, b] mediante la suma
de las áreas de los trapecios.
4. Aplique la regla del trapecio compuesta que viene dada por:

El error estimado viene dado por la fórmula:

Con la regla del trapecio también es posible calcular integrales cuya

antiderivada no es posible obtener por los métodos analíticos tradicionales.
REGLA DE KEPLER (SIMPSON)
Además de la regla del trapecio, otra manera de obtener una estimación más
exacta de una integral es utilizar polinomios de orden superior para conectar
los puntos. Por ejemplo, se pueden conectar con un polinomio de tercer orden
los puntos f(a), f(b) y el punto medio entre ellos. A las fórmulas que resultan de
calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
Con la regla de Simpson es posible obtener una aproximación más precisa del
área bajo una curva ya que se conectan grupos sucesivos de tres puntos sobre
la curva mediante parábolas de segundo grado, y al sumar las áreas bajo las
parábolas se obtiene el área aproximada bajo la curva.

Esta regla a diferencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de

subdivisiones se obtiene una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una
curva de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del
trapecio.

Suponga que se tiene la función f(x) y los siguientes datos:

A Xm b
F(a) F( X m) F(b)
Donde X m es el punto medio entre a y b. Entonces es posible ajustar por
puntos f(a), f(b) y f( X m) una parábola. De la misma forma, si existen dos puntos
entre f(a) y f(b), entonces por esos cuatro puntos será posible ajustar una curva
de grado tres, y así sucesivamente.

En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real.

Observe que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los
tres puntos.
Así entonces para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson
se utiliza la siguiente fórmula:

El error estimado viene dado por la fórmula:

Observe que Ex involucra la cuarta derivada, por lo que la regla es exacta para
polinomios de grado menor o igual a tres.

Regla de Simpson 3/8

De la misma manera como se hizo en la regla de trapecio, la regla de Simpson
se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de
b−a
la misma longitud h= . Cuando el número de subdivisiones que se haga
n
sea igual a tres, entonces el método recibe el nombre de la Regla de Simpson
3
3/8. Se le da ese nombre debido al factor h que aparece en la fórmula.
8
Suponga que se tiene la función f(x) y los siguientes datos:

A Xm Xn b
F(a) F( X m) F( X n) F(b)

Donde X m, X n son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo
[a, b].
En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real.
Observe que se calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los
cuatro puntos.
Para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson 3/8 se utiliza
la siguiente fórmula:

Es importante señalar que para la regla de Simpson 3/8 compuesta, el número

de subintervalos solo puede ser un múltiplo de 3, en caso contrario no es
posible aplicar la regla.

El error estimado viene dado por la fórmula:

Cálculo de áreas
El cálculo de áreas es uno de los problemas más frecuentes en matemática.
Por ejemplo, considere el área A bajo la curva de f de la figura adjunta,
donde f(x) y los límites inferior y superior (a y b) son valores conocidos.

En la solución de este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de

resultados:

 Soluciones algebraicas, en las cuales se obtiene una fórmula precisa del

área solicitada.
  Soluciones numéricas, donde se hace un cálculo numérico y lo que se
obtiene es una estimación del área.

Aunque estamos más habituados a las soluciones numéricas porque son

exactas, lo cierto es que, en la gran mayoría de los problemas donde se
necesite calcular un área, el cálculo de estas integrales por los métodos
analíticos es prácticamente imposible, por lo que debemos recurrir a la
integración numérica.

∫ e−x dx
2

Por ejemplo, la integral se define como sabemos que

0

es de mucha utilidad en probabilidad y física, se puede calcular mediante integración

numérica, obteniendo una buena estimación. El cálculo de la integral anterior se hizo
en Máxima y en Derive.

Cálculo del área de una superficie de revolución generada por la

curva y=f(x)

En un mundo globalizado es necesario que los sistemas educativos permitan el

desarrollo de competencias educativas y profesionales, que potencien el uso
de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en todas las
actividades del quehacer cotidiano. Por eso, es importante que el futuro
profesor de matemática no solo tenga conocimiento
de softwares especializados, sino que también los utilice en la mediación
pedagógica para el tratamiento de los contenidos. Software como: Maple,
Derive, Maxima, Winplot, Mathematica, Matlab, Wolfram alfa, entre otros; son
muy útiles en matemática, por lo tanto, es primordial que el docente o u otro
personal capacitado para realizar estos proyectos que serán servidos más
adelante los integre en su trabajo académico.

El cálculo diferencial e integral, son dos de las disciplinas de la matemática que

más aplicaciones tienen en el mundo cotidiano; por ejemplo, con el cálculo
integral se pueden determinar diferentes valores, como: áreas entre curvas,
volúmenes de sólidos, el trabajo realizado por una fuerza variable, entre otros.
Específicamente, en el campo de la ingeniería, se puede calcular la tensión de
los cables de los puentes colgantes, de las líneas de transmisión, de los cables
que sujetan a los teleféricos, de los contravientos para torres altas, por citar
algunos ejemplos.

Discusión sobre la situación problemática

Se propuso en elaborar en esta zona ya que se presenta con varios requisitos

que fueron propuesto en la elaboración en el lugar presentado en la figura 1.

Figura 1
Se discutió en cómo se elaboraría, en pocas palabras de qué forma geométrica
saldría en la zona, se resurgió variedades hipótesis o maneras en como
realizar así que la alternativa mas eficaz es hallar los puntos fijos que fueron
propuesto en cada lado para así determinar las coordenadas del área.

Sabemos que para hallar el área más eficaz es anotar los resultados que
acudieron durante el desarrollo y transcribir en la plataforma Excel para que
sus resultados sean concreto y fijos.

Después de obtener los resultados que fueron obtenidos en los puntos fijos se
realizar la dicha grafica con los puntos X y Y para así determinar que defectos
tiene la zona propuesta. Se ira reconociendo en forma expresiva en la
aplicación AutoCAD de como salió basando los resultados que se obtuvieron
en la zona elegida.