Calculo
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Calculo
(Áreas - Volumen)
Quienquiera que haya tenido un negocio, conoce la necesidad de estimar costos con precisión.
Por ejemplo, un pintor debe de determinar cuánto de pintura utilizará en un trabajo. En este caso,
cono el pintor sabe cuántos m2 se pinta con un galón, entonces es necesario cuánto mide el área
que se desea pintar. No siempre es fácil calcular el área de una región, entonces para ello se debe
de hacer uso de las integrales definidas.
b
Área f ( x)dx
a
Área
x
a b
Nota:
1. La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un área
2. Cuando el área está bajo el eje X, la integral definida tiene signo negativo.
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
Ejemplo:
3
(3x x 6) dx
2
Calcular
1
Resolución:
1
3 3
x2 (3)2 (1)2
(3x x 6) dx = x = (3)3 6(3) c – [ (1)3 6(1) c ]
2
6x
3
2 2 2
1 1
3
(3x x 6) dx = 48.
2
1
Ejercicios
En los siguientes ejercicios use la integral definida para encontrar el área limitada por la curva,
el eje x y las líneas dadas.
1) y = 3x + 2, x = 5
2) y = x – 1, x = 2 ; x = 3
3) y = x2 , x= 2 ; x = 3
4) y = x2 + 2, x = -1 ; x = 2
5) y = x2 – 2x , x = -3 ; x = -1
6) y = 9 – x2
7) y = 1 – x – x3, x = –2, x = 0
8) y = 3 + 2x – x2
2
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región
comprendida entre dos curvas.
b
Como se recordará, si f es una función continua en el intervalo a, b , entonces f ( x)dx
a
representa también el área de la región comprendida entre la curva g, el eje x y los límites x = a y
x = b.
Si g ( x) f ( x) en el intervalo [ a; b], entonces el área de la región comprendida entre f y g estará
dada por:
b b b
A f ( x)dx g ( x)dx = A f ( x) g ( x) dx …. (A)
a a a
Gráficamente:
b b b
A f ( y )dy g ( y )dy = [ f ( y ) g ( y )] dy (B)
a a a
Ejemplos:
1. Encuentra el área limitada por la parábola y = 4x-x2 y la recta y = 0 .
Resolución:
En este caso, los límites de integración serán los puntos donde se
intersecan las curvas de las dos funciones. Estos puntos se obtienen
igualando las dos ecuaciones y resolviendo el sistema para el valor
de x, esto es:
4x–x2 =0, entonces x(4-x)=0 y finalmente x=0 y 4–x=0. Luego, el
área es del tipo (A), con f ( x) 4 x x 2 y g(x)=0
3
4
x3
4 4
A 4 x x 0 dx
2
4 x x dx 2 x 9u 2
2
0 0 3 0
Resolución:
Los límites de integración al resolver el sistema como el problema
anterior, son x=0 y x= 4.
A 6x x2 x2 2x dx 8x 2x dx
2
0 0
4
4
2x 3 64 2
0
8x 2x 2 dx 4x 2
3 0
3
u
Resolución:
La ecuación del eje x es y=0, entonces al igualar las dos ecuaciones para encontrar los Límites de
integración se obtiene:
2
Área en el intervalo [0, 2]: A1 ( x3 6 x 8 x) 0 dx
0
Área en el intervalo [2, 4]: A2 0 x 3 6 x 8 x dx
4
2 4
A ( x3 6 x 2 8 x) 0 dx 0 ( x3 6 x 2 8 x) dx 2 2 4u 2
0 2
En los siguientes ejercicios calcule el área de la región limitada por las siguientes funciones.
4
VOLUMEN
I. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje X.
1. f x 4 x 2 ; x 0, y 0
2. f x x; x 4, y 0
3. f x 9 x2 ; y 0
4. f x x 2 2 x 3; y 0
f x x 2 ; x 0, y 0
2
5.
6. f x x2 , f x x; 0 x 1
7. f x 1 x2 , f x 1 x2 , 0 x 1
8. f x x 2 3x 6, f x 3 x
9. f x x2 , f x 4 x2
f x x 1 , y 1
2
10.
II. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje Y.
1. f x 3 x, f x 2 x, x0
2. f x x 2 1, x 0, y 5
3. f x x2 , f x x, 0 x 1
4. f x 4 x, f x 4 x 2
5. f x x , f x x 2, y 0
6. f x 1 x2 , f x x2 1 ; x 0
7. f x x2 4, x 0, x 2, y 2
8. f x x 2 5x 4, y 0
9. f x x2 , f x x
10. f x sen x , y 0, 0 x 2