Actividad 5

ACTIVIDAD 5.1.
3 “TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES”
Muchas veces hemos escuchado afirmaciones como esta: “El conductor llevo su
auto a un promedio de 214 km/h con ello recorrido los 1000 km de la carretera”.
¿Qué significado tienen conceptos como velocidad y promedio? ¿conoces algunos
otros conceptos similares?
Velocidad: la velocidad tiene una relación con el promedio porque cuando este
vehículo lleva recorriendo una distancia en un cierto determinado tiempo y eso un
aparato los puede medir dando el promedio de velocidad.
Otros conceptos serian el
Tiempo, presión, peso etc.
En tus estudios previos, siempre se te asigno un promedio, el cual se calculo

sumando las calificaciones y, al final, se dividió este resultado entre el número de
estas.
En general, cuando hay calificaciones repetidas es posible modificar el cálculo y
hacerlo así:
∑𝑁
𝑖=1 𝑁𝑖𝐶𝑖
𝑝= 𝑁
∑𝑖=1 𝑁𝑖
Donde Ci corresponde a cada una de las calificaciones y Ni, al numero de veces

que se repite cada calificación, N es el numero de calificaciones que se representan
y P será el promedio. La suma del denominador no será otra cosa mas que el
numero de materias, ¿o no? Por lo común, esta expresión se denomina promedio
ponderado.
Veamos la misma expresión, pero ahora los Ni, serán los números reales y no
enteros, como en la formula. Analicemos de nuevo la expresión y reescribámosla
teniendo en cuenta la notación.
De tal forma que ahora la expresión se vea así:
∑𝑁
𝑖=1 𝑑𝑖𝑓𝑖(𝑥)
𝑝=
∑𝑁𝑖=1 𝑑𝑖
¿Qué significado le darías a esta expresión? Claro que también es un promedio,

pero ¿Qué resultado encuentras? En este caso Ni que es el numero de veces que
se repite cada calificación ha sido sustituido por un diferencial y Ci que corresponde
a cada una de las calificaciones ha sido sustituida por una función
Observa que la suma del denominador es la distancia entre 𝑎 𝑦 𝑏 ¿Por qué?
Porque en este caso es la diferencia entre el intervalo cerrado [] en el que se este
evaluando ese promedio
Ahora, la expresión se puede simplificar así:
𝑁
1
𝑝= ∑ 𝑑𝑖𝑓𝑖(𝑥)
𝑎−𝑏
𝑖=1
¿Qué pasara si el número de rectángulos crece mientras el tamaño de sus bases

disminuye? Pues en ese caso el área no cambiaría en nada solamente que habrá
mas rectángulos que sumar para obtener su área
Claro, eso ya lo hemos visto antes, aunque se escribió de otro modo. Si N crece sin
límite, la sumatoria es el área bajo la curva. O sea que:
𝑏
1
𝑝= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎−𝑏
𝑎
Donde p sigue siendo un promedio, ve la expresión así:
𝑏
𝑝(𝑏 − 𝑎) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
1. ¿Qué área es obtenida por la integral?

1
El valor calculado es el que da el promedio de la altura (𝑝 = 𝑎−𝑏) esta en
el eje de la y en forma de rectángulo ya sea esta por exceso o por defecto
2. ¿Qué área tiene el rectángulo que se trazó?

El resultado que obtendríamos seria aplicando la fórmula de área para
rectángulo 𝑎 = (𝑝 + 𝑎)(𝑎 + 𝑏)
3. ¿Qué identifica la igualdad de la expresión entre el rectángulo y la

integral?
Que la integral trata de encontrar el área que se le esta indicando, pero
en esa curva hay una parte que falta calcular seria la parte sombreada,
pero hay otra parte que marca el rectángulo que no está siendo calculada
por lo que se podría decir que esta cumpliendo ese triangulo con calcular
toda el área de la curva.
4. ¿Porque p sigue identificando un promedio?
Por que en este caso p seria la altura promedio y así se podría conformar
el rectángulo y así calcular su área de esa curva.
5. ¿Existe un valor de 𝒇(𝒙) = 𝒑? ¿De manera general es único o puede

existir en varios?
En este caso sería único por que como se está sacando en promedio en
función de f(x) no pueden existir varias iguales a ella
6. ¿Cómo debe ser el área que no tuvo en cuenta el rectángulo,

respecto de la que tomo y no estaba bajo la curva?
Pues en ese caso puede que la parte no tomo pueda ser igual ala que le
falto y puede que se cumpla la función del rectángulo calculando el área.
7. Lo entendí como el valor promedio es la calculada de todas las alturas

sumadas y dividas entre si para obtener así esa altura y de esta forma
conformar el triangulo para saber si se está calculando esta área por
exceso o por defecto.
ACTIVIDAD 5.2.1 “TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO”
Al definir la antiderivada y emplear el mismo símbolo para la integral definida, ya se

orienta la dirección hacia el mismo rumbo, pero falta el elemento formal que permite
comprobarlo. A esto se le llama teorema fundamental del calculo considera la figura
5.11.
Se observa un área delimitada por la función 𝑓(𝑥), en el eje x y las rectas verticales
𝑎 𝑦 𝑥. Por la definición de la integral, esta área depende de donde se coloque la
recta 𝑥 y, por lo tanto, si se llama 𝐹(𝑥) a esa área bajo la curva se tendrá:
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
Además, si se considera un pequeño incremento también se tendrá:
𝑥+𝑥
𝐹(𝑥 + 𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
La diferencia entre esas dos áreas es el pequeño rectángulo ubicado

en x de altura f(x) y ancho x, donde se desprende
𝐹(𝑥 + 𝑥) − 𝐹(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑥 𝐹(𝑥 + 𝑥) − 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥)
𝑥
𝐹(𝑥 + 𝑥) − 𝐹(𝑥)

𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝐹´(𝑥)
𝑥0 𝑥
1. Esta última expresión corresponde al teorema fundamental del

cálculo. Exprésalo con tus propias palabras:
Dice que esta consiste intuitivamente en la afirmación de que la
derivación e integración de una función son operaciones inversas
esto significa que toda función acotada e integrable siendo
continua o discontinua en un numero finito de puntos verifica que
la derivada de su integral es igual a ella misma.
Este teorema tiene una segunda parte muy importante
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥 ∗ 1)𝑥1 + 𝑓(𝑥 ∗ 2)𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥 ∗ 𝑛)𝑥𝑛

𝑎
Para alguna x* es la base de cada rectángulo considerado para

aproximar la integral. Pero, precisamente de la discusión previa
se tiene que:
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)

𝑓(𝑥) ≈ ; 𝑓(𝑥)∆𝑥 = 𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)
∆𝑥
Por lo que considerando los extremos de cada pequeño intervalo

como 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … … . . , 𝑥𝑛 − 1, 𝑥𝑛 = 𝑏 y sustituyendo resulta la
conclusión del teorema
Como F(x) es una antiderivada de f(x); se concluye que el proceso

de integrar de manera definida se convierte en un proceso de anti
derivación y evaluación en los extremos del intervalo.
2. Enuncia este teorema tal como lo has entendido

Lo entendí como decir que es importante porque nos provee de
una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Su
mas profundo significado es que sirve de eslabón entre la
derivación e integración, entre derivadas e integrales. Este
𝑏
eslabón aparece claramente cuando escribimos ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) siendo F(x) una primitiva de f(x)
3. ¿Para qué crees que sea útil?

Este teorema nos puede ser útil cuando debemos calcular el área
de una curva y para evitarlos hacer todo el procedimiento tan largo
como lo es la suma de Riemann podemos integrar la función y
evaluarlo en el intervalo.
4. ¿Por qué crees que a pesar de que la integral es un límite en
la última expresión, este ya no se indicó?
Por que cuando analizamos que tanto el valor del área de bajo de
la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto
se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien
exactamente como el limite de una suma
5. Localiza en otras fuentes una forma diferente de realizar la

demostración del teorema fundamental del cálculo. Analiza
sus diferencias y semejanzas con relación a la forma que se
presento en esta actividad.
Otra forma de demostrar este teorema es que el cálculo nos
proporciona una poderosa herramienta para calcular integrales
definidas exactamente, pero es útil solo si podemos encontrar una
primitiva para la función que queremos integrar. Algunas veces
esto es una tarea sencilla pero otras veces difícil. Para poder usar
este teorema para calcular integrales definidas debemos
desarrollar procedimientos que nos ayudan a encontrar primitivas.
A esto se le llama “técnicas de integración”
Es bastante típico usar la letra F para la primitiva o antiderivada
de f. y usamos una notación para denotar la resta F(b)-F(a)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝐸𝑉𝐴𝐿𝑈𝐴𝑁𝐷𝑂𝐿𝑂 𝐸𝑁 𝑏 𝑦 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑎

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ACTIVIDAD 5.1.

3 “TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES”

En tus estudios previos, siempre se te asigno un promedio, el cual se calculo

Donde Ci corresponde a cada una de las calificaciones y Ni, al numero de veces

De tal forma que ahora la expresión se vea así:

¿Qué significado le darías a esta expresión? Claro que también es un promedio,

¿Qué pasara si el número de rectángulos crece mientras el tamaño de sus bases

Donde p sigue siendo un promedio, ve la expresión así:

1. ¿Qué área es obtenida por la integral?

2. ¿Qué área tiene el rectángulo que se trazó?

3. ¿Qué identifica la igualdad de la expresión entre el rectángulo y la

5. ¿Existe un valor de 𝒇(𝒙) = 𝒑? ¿De manera general es único o puede

6. ¿Cómo debe ser el área que no tuvo en cuenta el rectángulo,

7. Lo entendí como el valor promedio es la calculada de todas las alturas

Al definir la antiderivada y emplear el mismo símbolo para la integral definida, ya se

Además, si se considera un pequeño incremento también se tendrá:

La diferencia entre esas dos áreas es el pequeño rectángulo ubicado

𝐹(𝑥 + 𝑥) − 𝐹(𝑥)

𝐹(𝑥 + 𝑥) − 𝐹(𝑥)

1. Esta última expresión corresponde al teorema fundamental del

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥 ∗ 1)𝑥1 + 𝑓(𝑥 ∗ 2)𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥 ∗ 𝑛)𝑥𝑛

Para alguna x* es la base de cada rectángulo considerado para

𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)

Por lo que considerando los extremos de cada pequeño intervalo

Como F(x) es una antiderivada de f(x); se concluye que el proceso

2. Enuncia este teorema tal como lo has entendido

3. ¿Para qué crees que sea útil?

5. Localiza en otras fuentes una forma diferente de realizar la

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝐸𝑉𝐴𝐿𝑈𝐴𝑁𝐷𝑂𝐿𝑂 𝐸𝑁 𝑏 𝑦 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

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