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Sem7 Cálculo II 2020-1 Teoremas Fundamentales de Cálculo
Sem7 Cálculo II 2020-1 Teoremas Fundamentales de Cálculo
Sem7 Cálculo II 2020-1 Teoremas Fundamentales de Cálculo
ASIGNATURA: CÁLCULO II
SEMANA 7
2020 - I
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Introducción
El Teorema Fundamental del Cálculo es el resultado central del Cálculo Integral.
Este teorema conecta la integración con la derivación, y nos permite calcular la
integral definida usando una antiderivada de la función en lugar de sumas de
Riemann y límites al infinito.
Leibniz y Newton, creadores del Cálculo Diferencial e Integral, explotaron esta
relación y empezaron el desarrollo matemático que fue el elemento base de la
revolución científica durante más de 200 años.
Empezaremos nuestro estudio presentando la versión integral del teorema del
valor medio, otro resultado importante del cálculo integral, y lo usaremos para
demostrar el teorema fundamental.
El teorema del valor medio para integrales
Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ . En las figuras se observa que el área de la región bajo la curva
𝑦 𝑓 𝑥 es mayor que el área del rectángulo inscrito, con altura 𝑓 𝑚 𝑚𝑖𝑛𝑓,
y menor que el área de un rectángulo circunscrito, con altura 𝑓 𝑀 𝑚𝑎𝑥𝑓.
𝑚 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑀 𝑏 𝑎 .
El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte
“entre” los rectángulos inscrito y circunscrito hay un rectángulo cuya área es
precisamente igual al área de la región bajo la curva, como se ilustra en la figura.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 , entonces existe un número 𝑐 en
el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 , tal que
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑐 𝑏 𝑎
DEMOSTRACION
Caso 1: Si 𝑓 es constante en el intervalo 𝑎, 𝑏 , el teorema es claramente válido
debido a que 𝑐 puede ser cualquier punto en 𝑎, 𝑏 .
Caso 2: Si 𝑓 no es constante en 𝑎, 𝑏 , entonces, por el teorema del valor
extremo o por el teorema de Weiertrass Cálculo I , 𝑓 toma su mínimo y
máximo valor en el intervalo 𝑎, 𝑏 . Sean
𝑓 𝑚 min 𝑓 y 𝑓 𝑀 max 𝑓 ,
Como 𝑓 𝑚 𝑓 𝑥 𝑓 𝑀 para todo 𝑥 en 𝑎, 𝑏 , tenemos:
𝑓 𝑚 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑀 𝑑𝑥
𝑓 𝑚 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑀 𝑏 𝑎
1
𝑓 𝑚 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑀
𝑏 𝑎
De acuerdo con la tercera desigualdad, puede aplicarse el teorema del valor medio
Cálculo I para concluir que existe alguna 𝑐 en 𝑎, 𝑏 tal que
1
𝑓 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 o 𝑓 𝑐 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .
𝑏 𝑎
1
𝑓 𝑐 ∆𝑥
𝑏 𝑎
𝐹 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑥 1
𝐹 𝑥 ℎ 𝐹 𝑥 3
ℎ
y probar que su límite cuando ℎ ⟶ 0 es el número 𝑓 𝑥 para cada 𝑥 en 𝑎, 𝑏 .
Cuando reemplazamos 𝐹 𝑥 ℎ y 𝐹 𝑥 por sus integrales definidas, el
numerador de la ecuación 3 se convierte en
𝐹 𝑥 ℎ 𝐹 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
a Si 𝑦 ,
c) Si 𝑦 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑦 𝑑 𝑑
3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑
3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥
3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
d si 𝑦 cos 𝑡 𝑑𝑡
Vemos que 𝑦 es una composición de dos funciones,
𝑦 cos 𝑡 𝑑𝑡 y 𝑢 𝑥
Por lo tanto, debemos aplicar la regla de la cadena cuando encontremos 𝑑𝑦/𝑑𝑥.
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
·
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑 𝑑𝑢
cos 𝑡 𝑑𝑡 ·
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑢
cos 𝑢 ·
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 · 2𝑥
2𝑥 cos 𝑥
TEOREMA Teorema fundamental del cálculo, parte 2
Si 𝑓 es continua en todos los puntos de 𝑎, 𝑏 y 𝐹 es cualquier antiderivada de
𝑓 en 𝑎, 𝑏 , entonces
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑏 𝐹 𝑎
Demostración
La parte 1 del teorema fundamental nos dice que existe una antiderivada de
𝑓, a saber
𝐺 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 0
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 .
/
4 /
4
4 1
4 1
8 1 5 4
EJEMPLO
Determinar el valor de 𝑑𝑥
Solución:
𝑥 0 , 2 𝑥 3
1 , 3 𝑥 6
3 2 , 6 𝑥 7
𝑥
𝑑𝑥 0𝑑𝑥 1𝑑𝑥 2𝑑𝑥
3
𝑥 6 7
𝑑𝑥 𝑥 2𝑥 6 3 2 7 6 2 3.
3 3 6
EJEMPLO
Determinar el valor medio de 𝑓 𝑥 3𝑥 2𝑥 en el intervalo 1,4 .
Solución:
El valor medio está dado por
1 1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 2𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎 4 1
1 4
𝑥 𝑥
3 1
1 48
64 16 1 1 16
3 3
EJEMPLO
A diferentes alturas en la atmósfera de la Tierra, el sonido viaja a distintas
velocidades. La velocidad del sonido 𝑠 𝑥 en metros por segundo puede
modelarse mediante
4𝑥 341 , 0 𝑥 11.5
295 , 11.5 𝑥 22
3
𝑥 278.5 , 22 𝑥 32
𝑠 𝑥 4
3
𝑥 254.5 , 32 𝑥 50
2
3
𝑥 404.5 , 50 𝑥 80
2
donde 𝑥 es la altura en kilómetros ¿Cuál es la velocidad media del sonido
sobre el intervalo 0, 80 ?
Solución:
Se empieza con la integración de 𝑠 𝑥 en el intervalo 0, 80 . Para hacer esto,
se puede dividir la integral en cinco partes.
. .
11,5
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 4𝑥 341 𝑑𝑥 2𝑥 341𝑥 3 657
0
22
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 295 𝑑𝑥 295𝑥 3 097.5
. .
11,5
3 3
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 278.5 𝑑𝑥 𝑥 278.5𝑥 2 987.5
4 8
3 3
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 254.5 𝑑𝑥 𝑥 254.5𝑥 5 688
2 4
3 3
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 404.5 𝑑𝑥 𝑥 404.5𝑥 9 210
2 4
Al sumar los valores de las cinco integrales, se obtiene
𝑠 𝑥 𝑑𝑥 24 640
De tal modo, la velocidad media del sonido entre los 0 y los 80 km de altitud es
1
Velocidad promedio 𝑠 𝑥 𝑑𝑥
80