Cálculo Integral

Universidad Politécnica de Chiapas.

Ingeniería en Tecnología de Manufactura.

Macías Rosales Sergio Armando.

Grado: 3 Grupo: A

Docente: Ing. Roberto Adrián González Domínguez.

Suchiapa, 23 de marzo del 2019.

Introducción

En este trabajo se presentará a continuación todo lo visto del primer corte de la

materia Cálculo Integral, teniendo en cuenta el ciclo de actividad que tuvimos en el
aula de clases, explicando brevemente los pasos llevados para la elaboración de
cada ejercicio que se presentó también las investigaciones que formaron parte del
desarrollo de nuestra integración de estudiante, así tomando en cuenta las partes
que componen las propiedades de la integración, fórmulas de integrales,
trigonometría y las propiedades de los exponentes y logarítmicas.

Los ejercicios de clases son tomados en cuenta como un aprendizaje de primera

por él Ingeniero Roberto, como las participaciones de los alumnos del 3.-A de la
Ingeniería en Tecnologías de Manufactura, las investigaciones solicitadas son
necesarias para que se lleven a cabo la realización de dicho trabajo, donde definirá
el alumno, con sus propias palabras la utilización de cada concepto y ejercicios que
son requeridas en el desarrollo de sus habilidades.

Cada fórmula de lo que vimos en el primer corte estarán de acuerdo a los ejercicios
que tuvimos tanto en clases y en las notas que nos dio el profesor, este trabajo se
hizo a fin de que el profesor supiera hasta donde hemos aprendido incluyendo los
conceptos como nuestro marco teórico.

También en este trabajo realizamos los ejercicios de PDF que nos mandó el
profesor contribuyendo nuestra capacidad para resolver dichos ejercicios, tomando
en cuenta todo lo visto del primer corte y sabiendo las formulas que nos ayudan a
lograr dicho ejercicio, cada uno lleva una explicación de los pasos realizados de la
forma en que se resolvió y tomando así el tiempo dedicado para que este trabajo
sea presentable.

Este trabajo es tomado en cuenta para dicho porcentaje, teniendo en cuenta nuestro
nuestra dedicación y tiempo que nos llevo en realizar los ejercicios y las
investigaciones que hicimos antes y durante las clases para fomentar un poco de
información en nuestra mente.
Cabe destacar que durante las clases las dudas fueron no tanto resueltas, las
investigaciones y cada nota del cuaderno son necesarios para contribuir y lograr
este trabajo a la hora de la entrega en las clases de Cálculo Integral.
Marco Teórico

• Antiderivadas

una antiderivada o primitiva, se dice que una función F es una antiderivada o

primitiva de f, en un intervalo de 𝛪 sí F´(x)= f(x) para todo x en 𝛪.

Demostración de reglas para antiderivadas:

para establecer cualquier resultado de la forma

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐

Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que:

𝐷𝑥[𝐹(𝑥) + 𝑐] = 𝑓(𝑥)

Nótese que F es una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de 𝑓. Para esto,

observa que:

𝐹1 (𝑥) = 𝑥 3 , 𝐹2 (𝑥) = 𝑥 3 + 5, 𝐹3 (𝑥) = 𝑥 3 + 97

Son todas antiderivadas de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 . De hecho, para cualquier constante C, la

función dada por F(x)= 𝑥 3 + 𝐶 es una antiderivada de 𝑓.

Teorema. Representación de antiderivadas o primitivas.

Si F es una antiderivada de f en un intervalo 𝐼, entonces G es una antiderivada de f

en el intervalo 𝐼 si y sólo si G es de la forma G(x)= F(x)+C, para todo x en 𝐼, donde
C es una constante.

Demostración: la prueba del teorema, en un sentido es directa, esto es, si G(x)=

F(x)+C, F’(x)= f(x) y C es constante, entonces:

𝑑
𝐺 ′ (𝑥) = [𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝐹 ′ (𝑋) + 0 = 𝑓(𝑋)
𝑑𝑥

Para probar este teorema en otro sentido, se supone que G es una antiderivada de
f. se define una función H tal que:

𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥)

Para cualquiera dos puntos a y b (a<b) en el intervalo H es una continua de [a, b] y
diferenciable dentro de (a, b). Mediante el teorema del valor medio,

𝐻(𝑏) − 𝐻(𝑎)
𝐻 ′ (𝑐) =
𝑏−𝑎

Para algún C en (a, b). sin embargo, H’(c)= 0, por consiguiente, H(a)= H(b). Dado
que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función
constante C. Así, 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶 y esto conlleva a que 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Si utiliza el teorema, puede representarse la familia completa de antiderivadas de

una función agregando una constante a una antiderivada conocida.

Notación para antiderivadas o primitivas

𝑑
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es
𝑑𝑥

conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina

anti derivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫ .
La solución general se denota mediante:

Variable de
Constante de
integración
integración

𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Integrando Una antiderivada de f(x)

La expresión ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 se lee como la antiderivada o primitiva de 𝑓 con respecto a

x. De manera, la diferencial de 𝑑𝑥 sirve para identificar a x como la variable de
integración.

Concepto en general de la antiderivada por los alumnos del 3.-A

La antiderivada es buscar una función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓 ’(𝑥) = 𝑓(𝑥).

La antiderivada también se conoce como primitiva o la integral indefinida se
expresa de la siguiente manera en donde 𝑓(𝑥) es el integrado 𝑑𝑥, la variable de
integración o diferencial de x, c es la constante de integración.

Proceso de
integración
Primitivas Fam. De
antiderivadas
Reglas
básicas de
integración Integral indefinida

Solución Integración ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

particular indefinida

Primitivas: 𝐹(𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Primitiva

Familia: conjunto de derivadas, ejemplo 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑔)𝑑

Área bajo la curva 𝑦 ∫ 𝐹(𝑥)

F(x) o
Función

𝑥
a b
Área bajo
la curva

• Constante de Integración

Cuando se integra de forma indefinida una diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
Lo que se obtiene es una familia de curvas de la forma: 𝑓(𝑥) + 𝐶 donde “C” se
denomina constante de integración. C es una constante arbitraria que puede tomar
cualquier valor, pero si existen condiciones iniciales solo puede tomar un solo valor.
Las condiciones iniciales suelen ser valores de la función, representadas como
pares ordenados (𝑋, 𝑓(𝑥)). La constante de integración se encarga de expresar una
ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. La integral de una constante
es igual al producto de dicha constante por la variable x.

∫ 𝐾 ∙ 𝑑𝑥 = 𝐾 ∙ 𝑋 + 𝐶

Donde K es la constante que queremos integrar y C es una constante cualquiera.

Nota= la integración de cero es la de una constante cualquiera ya que

𝐾 =0⟶𝐾∙𝑋+𝐶 =𝐶

Cuando hablamos del concepto de primitiva de una función se dice que para el
problema de una integral definida tenemos infinitas soluciones.

∫ 1𝑑𝑥 = 𝑋 + 𝐶

• Diferencial

Sea y= f(x) una función con su primera derivada continua y △ 𝑥 un incremento en la

variable x, la diferencial de y se denota por 𝑑𝑦 y se define como: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∙△ 𝑥

En palabras, la diferencial de “y” es igual al producto de la derivada de la función

multiplicada por el incremento en X. Sea f(x) una función derivable.

Diferencial de una función correspondiente al incremento “h” de la variable

independiente, es el producto 𝑓’(𝑥) ∙ ℎ, se representa 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) ⋅ ℎ.

La diferencial es un punto que representa el incremento de la ordenación de la

tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la linealización de una función.
En los enfoques tradicionales para el cálculo los diferenciales (por ejemplo
𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑡, 𝑒𝑡𝑐) se interpretan como infinitesimales.

De manera más general, el diferencial o pushforward se refiere a la derivada de un

mapa entre variables diferenciales y las operaciones lo define.

• Cambio de variable

El cambio de variable es un método de gran utilidad a la hora de resolver integrales,

pero tiene la complicación de que requiere “imaginación”, en el sentido de que
normalmente, nos tenemos que inventar el cambio de variable.

El cambio de variable para realizar una integral consiste en igualar una parte del
integrando a una nueva variable (la podemos llamar 𝑡, 𝑢 o como queramos), llamada
variable auxiliar. Se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar la
operación necesaria, para que ni el integrando, ni en el diferencial, aparezca alguna
expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de
variable. Es decir:

𝑏
𝜑(𝑏)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)) ∙ 𝜑´(𝑡)𝑑𝑡
𝜑(𝑎)
𝑎

Donde se ha llegado el cambio de variable.

𝜑(𝑡) = 𝑥

Después de hacer el cambio de variable por lo general, se obtienen integrales más

1
sencillas. Cambios de variables típicos: ∫ 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢, donde 𝑢 =

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑑𝑣 1
También encontramos otra fórmula ∫ = −(𝑛−1)𝑣 (𝑛−1) en los apuntes de la clase
𝑢𝑛
 • Integración por partes

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Sea 𝑢(𝑥) una
función. Para abreviar la expresaremos por 𝑢. Su derivada será 𝑢´ y su diferencial
𝑑𝑢 = 𝑢´𝑑𝑥. Sea 𝑣(𝑥) otra función. Para abreviar la expresaremos por 𝑣. Su derivada
será 𝑣´ y su diferencial 𝑑𝑣 = 𝑣´𝑑𝑥 supongamos que deseamos resolver una integral
de la forma siguiente: 𝐼 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = ∫ 𝑢 ∙ 𝑣´𝑑𝑥

Es decir, la función integrando es el producto de la función 𝑢 y la derivada de 𝑣.

Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el
producto de una función 𝑢 por la diferencial de otra 𝑣.

Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un

𝑥4
monomio por ejemplo 𝑥 3 . Entonces integrando tendremos que 𝑑𝑣 = con lo que
4

hemos aumentando el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás.
Normalmente se escoge los monomios como 𝑢 para reducir sus exponentes al
derivarlo. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Desarrollo

Durante el ciclo del primer corte, empezamos con los ejercicios de derivada ya que
es muy importante saber derivar y de interpretar la función, tomando en cuenta con
el avance de nuestro conocimiento de la derivación, cada ejercicio se compone con
lo que ya hemos visto en la clase (derivación, las propiedades de la integración,
antiderivada, cambio de variable y el último punto integración por partes.

Ejercicios de derivación:

𝑥 2 +2
1.-𝑓(𝑥) = 3

1 𝑑 en este paso no tenemos una x a bajo ya que tenemos un 3 y ese

= (𝑥 3 + 2) 1
3 𝑑𝑥 tres es una constante, separamos el 3 y lo convertimos a 3,
derivamos 𝑥 3 + 2, como tanto usamos la fórmula 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 y el 2
es una constante

1
= ⋅ 3𝑥 2 Ya derivamos la función ahora solo es de multiplicar
3

Simplificamos la expresión tenemos 3 en el numerador y tres en el

3𝑥 2
= denominador, se eliminan y nos queda 𝑥 2
3

2
Nuestro 𝑓’(𝑥) es 𝑥 2 , este es el resultado
𝑓´(𝑥) = 𝑥

2.-𝑓(𝑥) = (5𝑥 2 − 2)(𝑥 2 + 𝑥 + 2)

= 5𝑥 2 − 2(2𝑥 + 1) + 𝑥 2 + 𝑥 + 2(10𝑥)Aplicamos la fórmula de 𝑓(𝑥) = 𝑢 ⋅ 𝑣 𝑓´(𝑐) = 𝑢 ⋅ 𝑣´ + 𝑣 ⋅ 𝑢´,

después multiplicamos, para eliminar los paréntesis.

= 10𝑥 3 + 5𝑥 2 − 6𝑥 − 3 + 10𝑥 3 + 10𝑥 2 + 20𝑥 Ya obteniendo el resultado de la multiplicación, el

último punto es sumar o restar solo los que son del
mismo exponente y cuidado con los signos.
𝑓´(𝑥) = 20𝑥 3 + 15𝑥 2 + 14𝑥 − 3 Ese es nuestro resultado de nuestro de nuestra derivada

3.-𝑓(𝑥) = (𝑥 2 +3𝑥 − 2)4

𝑑 2 𝑑 𝑑
= 4( 𝑥 + 3𝑥 − 2) Usamos las fórmulas 𝑥 𝑛 y regla de la cadena
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑓´(𝑥) = 4(2𝑥 + 3)(𝑥 2 + 3𝑥 − 2)3 Y así obtuvimos la derivada

3 𝑥 2 +1
4.-𝑓(𝑥) = √𝑥 2 −1

𝑥2 + 1 1
= ( 2−1 )3 Convertimos la raíz a fracción, para que podamos simplificar la expresión
𝑥

Aplicamos la fórmula de 𝑥 𝑛 , como sabemos el exponente hay que

1 𝑥 2 + 1 1−1=−2
= ( 2 )3 1 3 restarle y queda negativo.
3 𝑥 −1
No tomamos en cuenta por el momento el exponente y la n,
(𝑥 2 − 1)(2𝑥) − 𝑥 2 + 1(2𝑥) 𝑢 𝑢´⋅𝑣−𝑢⋅𝑣´
= ahora aplicamos la fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) =
(𝑥 2 − 1)2 𝑣 (𝑣)2

Simplificamos dependiendo de los exponentes iguales

2𝑥 3 − 2𝑥 − 2𝑥 3 − 2𝑥
=
(𝑥 2 − 1)2
Ahora simplificado, no podemos tener un exponente de fracción negativa y
−2 convertirla a raíz, lo que se hace es que el exponente se baje en el
1 (−4𝑥) 3 denominador y se convierta a positivo, para que el denominador se pueda
=
3 (𝑥 2 − 1)2 convertir en raíz o dejarlo así

4𝑥
𝑓´(𝑥) = − 2 4 Obtendremos así la derivada de la función
3(𝑥 2 + 1)3 ⋅ (𝑥 2 + 1)3
Propiedades de la integración

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (1)

∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (2)

Ejemplo:

∫ (3𝑥 4 + 5𝑥 3 )𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 4 𝑑𝑥+∫ 5𝑥 3 𝑑𝑥 (1) Separamos con la propiedad (1), agregando el 𝑑𝑥

3∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 + 5∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 (2) Ahora ya separamos, usamos la segunda propiedad (2) para sacar a

las constantes, pero a la separación hay que agregarle el 𝑑𝑥

𝑥 𝑛+1
Ejercicios fórmula: ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑛+1

1.- ∫ 3𝑥 4 𝑑𝑥

= 3∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad 2 de las integrales

𝑥 𝑛+1
𝑥5 Aplicamos la fórmula que utilizamos ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
=3⋅ 𝑛+1
5

3𝑥 5 Eso es nuestro resultado al último colocamos el + c

= +𝐶
5

1
2..-∫ 𝑑𝑥
𝑥3

1 𝑥 𝑛+1
= − 2𝑥 2 +C
Usamos la formula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = + 𝐶 para poder aplicarla y al último le
𝑛+1
agregamos + C

3
3.- ∫ 𝑑𝑡
𝑡5

1
= 3∫ 𝑑𝑡 Usamos la propiedad (2), para poder sacar la constante e integrar la función
𝑡5
 1 Usamos la fórmula que normalmente hemos utilizando, para la expresión lo
= 3(− 4𝑡 4 )
hemos cambiado hacia el denominador la fracción se convirtió en negativo,
aplicando la formula obtuvimos el resultado

3
= − 4𝑡 4 +c Bajamos el exponente y cambio a positivo quedando así el resultado de nuestra
integración y añadiendo + C

3
4.-∫ 10√𝑥 2 𝑑𝑥

3 Utilizamos la propiedad (2), separamos la constante

= 10∫ √𝑥 2

2 Ya separamos la constante y convertimos la raíz en forma de fracción

= 10∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑛+1
ya teniendo la fracción aplicamos la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑛+1

5
10 𝑥 3 Ahora aplicamos medio por medio y extremos por extremos (ley de la torta)
=
5
3
5
30𝑥 3 Observamos que nuestra ya fue multiplicada, pero podemos simplificar la
=
5 expresión

5
= 6𝑥 3 + 𝐶 Ya simplificado, agregamos + C

5.- ∫ (4𝑥 3 + 𝑥 2 )𝑑𝑥

= ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad (1)

= 4∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad (2), pasar la constante

𝑥 3+1 𝑥 2+1 Aplicamos la fórmula que mayormente hemos utilizado ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

=4 + 𝑥 𝑛+1
3+1 2+1 + 𝐶, el 4, multiplica a 𝑥 3+1
𝑛+1
 4𝑥 4 𝑥 3
= + Ya realizado la formula, simplificamos.
4 3

𝑥3
= 𝑥4 + +𝐶 El resultado agregando + C
3

6.-∫ 𝑥 4 (5 − 𝑥 2 )𝑑𝑥

= ∫ (5𝑥 4 − 𝑥 6 )𝑑𝑥 Multiplique lo que está dentro del paréntesis

= ∫ 5𝑥 4 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 6 𝑑𝑥 Separamos con la propiedad (1)

= 5∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 6 𝑑𝑥 Separamos la constante con la propiedad (2)

𝑥 4+1 𝑥 6+1 𝑥 𝑛+1

5⋅( − ) Aplicando la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = + 𝐶, la expresión queda así
4+1 6+1 𝑛+1

5𝑥 5 𝑥 7
= − Ya obteniendo la suma de exponentes, simplificamos.
5 7

𝑥7
5
=𝑥 − +𝐶 El resultado le agregamos + C
7

7.-∫ √𝑥(𝑥 + 1)𝑑𝑥

1
= ∫ 𝑥 2 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 Convertimos la raíz en forma de fracción

3 1 Multiplicamos la expresión para poder eliminar los paréntesis, agregado el

= ∫ (𝑥 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑥 después

3 1 Separamos con la propiedad de integrales (1)

= ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2
 𝑥 𝑛+1
5 3 Aplicamos la formula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = + 𝐶 y sumamos los exponentes, ahora
𝑥2 𝑥2 𝑛+1
= + aplicamos la multiplicación de medios por medios y extremos por extremos
5 3
2 2 (ley de la torta)

2√𝑥 5 2√𝑥 3
= + +𝐶 Convertimos a raíz la parte de arriba para que no quede en fracción y al último
5 3
agregando + C
Ejemplos con exponencial

1.-∫ 3𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Nuestro cambio agarramos a 𝑥 como 𝑢
∫ 3𝑢 ⋅ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢
Eso se ve en algebra
𝑎𝑛 ⋅ 𝑏 𝑛 = (3 ⋅ 𝑒)𝑢

(3𝑒 𝑢 ) Convertimos en fracción

=
𝑖𝑛(3𝑒)

(3𝑒)𝑥
+𝐶 Agregando nuestro integral + C
𝑖𝑛(3𝑒)

𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑖𝑛(𝑠) + 1 1 Sustituimos x por s y queda

∫ 𝑑𝑥 → ∙ 𝑑𝑠 𝑑𝑥
𝑒 2𝑥 𝑒 2𝑖𝑛(𝑠) 𝑠 con in, y la fracción 𝑠

3𝑠 + 1 1 3𝑠 + 1 Se eliminan la In y se
∫ ⋅ 𝑑𝑠 → ∫ ( ) 𝑑𝑠 multiplica s
2𝑠 𝑠 2𝑠 2
3𝑠 1 3 1
∫ 𝑑𝑠+∫ Aplicamos la propiedad (1) y después pasa por regresar
𝑑𝑠 → 2 𝑥 + −2𝑒 𝑥 + 𝐶
2𝑠2 2𝑠2
a x en s
3 𝑑𝑠 1 𝑑𝑠 3 1 1 Aplicamos propiedad (2) y
∫ + ∫ 2 = 𝐼𝑛(𝑆) + ∙ +𝐶 multiplicamos solo la primera y
2 𝑠 2 𝑠 2 2 −2
agregamos + C, iba rápido profesor,
pero así le entendí

2.-∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥𝑑𝑥

= ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑥)5 𝑑𝑥 Simplificamos el sen sacando uno a fuera y restando el exponente

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥)4 𝑑𝑥 Simplificamos el sen, para que encontremos en la
fórmula de trigonometría algo similar 𝑠𝑒𝑛2 que este es
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 )2 𝑑𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 2

Multiplicamos y cambios de algunas

= ∫ [𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 4 (𝑥)]𝑑𝑥 identidades trigonométricas

= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 2∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 4 (𝑥)𝑑𝑥 Tomamos la propiedad (2), para

separar las constantes y después
simplificar

= −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 + 𝑐 Nuestro resultado

Ejercicio en clase cambio de variable

∫ (𝑐𝑜𝑠2𝑥)5 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

cos(𝑢)5 Nuestro cambio de variable tomamos 𝑢 = 2𝑥 porque se nos iba hacer fácil
=∫ 𝑑𝑢
2
2𝑥 su derivada fue dos, lo convertimos en fracción y aplicamos
1 la propiedad (2) sacando la constante
= ∫ cos(𝑢)5 𝑑𝑢
2
1
= 2 𝑐𝑜)5 cos ∫ (𝑢) 𝑑𝑢

𝑡 = cos 𝑑𝑡 = −𝑠𝑒𝑛

1 Como no podíamos resolverlo tuvimos que cambiar la variable

= ∫ 1 − 2(𝑡)2 + 𝑡 4 𝑑𝑡
2 utilizamos 𝑡 y el cambio tomamos 𝑐𝑜𝑠 para que su derivada
fuera −𝑠𝑒𝑛

1 2𝑡 3 𝑡 5 𝑥 𝑛+1
= 2∫𝑡 − +5 Aplicamos todavía la propiedad (2) y la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1
+𝐶
3
 1 2𝑠𝑒𝑛3 (2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
= ∫ (sin(2𝑥)) − + Sustituimos a t por sen, para poder simplificar
2 3 5

1 2 1
= sen ∫ (2𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛3 (2𝑥) + ∫ 𝑠𝑒𝑛5 (2𝑥) Aplicamos la propiedad (1) para separarlo y
2 3 5
multiplicar las fracciones para después
simplificarlo y agregarle + C

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛3 (2𝑥) 𝑠𝑒𝑛5 (2𝑥) Ya simplificamos y al último le agregamos + C

= − + +𝐶
2 3 10

Integración por partes

Ejercicio 1

∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Derivamos a 𝑥 e integramos a
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 1𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥

= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − (−𝑐𝑜𝑠𝑥) Eliminamos el paréntesis y nos queda positivo los signos

= 𝑥 𝑠𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 Que da de esta forma y le agregamos + C

Ejercicio 2

1
𝑢 = log(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 1𝑑𝑥 𝑣=𝑥 La derivada tomamos 𝑢 = 𝑙𝑜𝑔 y la
integral 𝑑𝑣 = 1, luego aplicamos la
1 𝑥 fórmula de integrales por partes, que
log ∫ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − ∫ 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 da de la siguiente forma y 𝑥 se divide
y queda 1

= 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 + 𝐶 Hacemos la multiplicación y quedaría de esa

forma y solo agregamos + C
Ejercicio 3

∫ 𝑥 2 cos(x)𝑑𝑥 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 =
cos 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛
Aplicamos la fórmula integral por partes
= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 − ∫ (−𝑐𝑜𝑠𝑥)2𝑥

= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 Como no es posible el resultado integramos por parte otra vez

= 𝑥 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 ∫ −𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⋅ ∫ −𝑐𝑜𝑠 ⋅ 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑣 =

− cos 𝑑𝑢 1

= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑥 − 2(𝑥 ⋅ −𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 Tomamos la integral por partes 𝑢 = 𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑣 =

− cos 𝑑𝑢 1

= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2(𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) Aplicando la fórmula integral por partes y derivamos y
multiplicamos

= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 Quedaría de esta forma cambiando así los signos

= 𝑥 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 Agregamos + C en nuestra integral

Trabajo 1

3.26.-∫ 𝑡𝑎𝑛2 5𝑑𝑥

= 𝑡𝑎𝑛2 (5)𝑥 Aplicamos la integral de una constante ∫ 𝑎𝑑𝑥 =

𝑎𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2 (5)𝑥 + 𝑐 Le agregamos + C

3.27.- ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

∫ 𝑡𝑑𝑡 Sustituimos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑡2 𝑥 𝑛+1
∫ Usamos la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
2 𝑛+1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)2
Devolvemos la sustitución de 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) y
=∫ +𝐶 nuestra integración le agregamos + C
2

𝑑𝑥
3.28.-∫ 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑥 Sacamos la constante con la propiedad (2)

=𝑑⋅∫ 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑥(2𝑥)

Interpretamos el sen por el cos, ya que hemos simplificado

= 𝑑 ⋅ ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥)𝑑𝑥

𝑢𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑢) Aplicamos una sustitución de u=2x, pasando el 4 a fracción

=𝑑⋅∫ 4

1 Sacamos la constante con la propiedad (2)

= 𝑑 4 ⋅ ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢

= ∫ 𝑑(2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − cos(2𝑥)) + 𝐶 Agregamos el + C

𝑐𝑜𝑠2𝑥
3.29.-∫ 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥

3.30∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥

 𝑥 𝑥
3.31.-∫ 𝑡𝑎𝑛2 3 𝑠𝑒𝑐 2 3 𝑑𝑥
𝑥
Aplicamos la integración por sustitución 𝑢 = 3
= 𝑡𝑎𝑛2 (𝑢)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) ⋅ 3𝑑𝑢

= 3 ⋅ ∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝑢)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 Aplicamos la propiedad (2)

= 3 ⋅ ∫ 𝑣 2 𝑑𝑣 Aplicamos la sustitución en 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛(𝑢)

𝑣 2+1
=3⋅ 𝑥 𝑛+1
2+1 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑛+1
𝑥
𝑡𝑎𝑛3 𝑥
=3⋅ 3
= 𝑡𝑎𝑛3 3 + 𝐶 Simplificamos y agregamos + C
3

3.32.-∫ 𝑡𝑎𝑛3 4𝑥𝑠𝑒𝑐4𝑥𝑑𝑥

= 𝑡𝑎𝑛2 (4𝑥)tan ∫ (4𝑥) sec(4𝑥) 𝑑𝑥 Aplicamos la factorización para 𝑡𝑎𝑛3

= (−1 + 𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥)) tan(4𝑥) sec(4𝑥) 𝑑𝑥 Aplicamos la identidad 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑐 2

−1+𝑢2
=∫ 𝑑𝑢 Sustituimos 𝑢 = sec(4𝑥)
4

1 Separamos con la propiedad (2)

= 4 ∫ −1 + 𝑢3

𝑠𝑒𝑐 3 (4𝑥) Sustituimos la 𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑐 (4𝑥) y le agregamos + C

= 4

𝑥
3.33.-∫ 𝑠𝑒𝑛2 6 𝑑𝑥

𝑥
1−cos(2∙ ) 1−cos(2𝑥)
=∫ 2
6
𝑑𝑥 Aplicamos la identidad de 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2

1 𝑥
= 2 ∫ 1 − cos (2 ⋅ 6) 𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad (2)

1 𝑥 𝑥
= 2 ∫ 1 − cos(3) Simplificamos la fracción de 2 ⋅ 6

1 𝑥
= 2 ∫ 1𝑑𝑥 − cos ∫ (3) 𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad (1), separamos

1 𝑥 𝑥 𝑥
= 2 (𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛 (3)) ∫ co s (3) 𝑑𝑥 se convierte a 3𝑠𝑒𝑛 (3)
 1 𝑥
= 2 ⋅ 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛 (3) + 𝐶 Agregamos el + C

𝑠𝑒𝑛2𝑥
3.34.-∫ 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑢
4.27.-∫ 𝑥(2𝑥 + 5)10 𝑑𝑥 𝑢 = 2𝑥 + 5 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 2

𝑢−5
𝑢 = 2𝑥 + 5 → 𝑢 − 5 = 2𝑥 → =𝑥
2

𝑑𝑢 Sustituimos 2x+5 por u y derivamos, dado que 2 quede en fracción

= ∫ 𝑥 ⋅ 𝑢10 ⋅ 2
Queda de esa manera y pasamos a multiplicar las fracciones
𝑢−5 𝑑𝑢
=∫ ⋅ 𝑢10 ⋅
2 2

(𝑢−5)𝑢10 ⋅𝑑𝑢 Queda de esa manera, multiplicamos la u

=∫ 4

1 𝑢12 5𝑢11
=4⋅∫ − +𝐶 Sacamos la constante con la propiedad (2) y usamos la fórmula
12 11
𝑥 𝑛+1
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑛+1

1 2𝑥+512 5(2𝑥+5)11 Multiplicamos las fracciones y agregamos + C

=4⋅∫ − +𝐶
12 11

1 55
= 48 (2𝑥 + 5)12 − 44 (2𝑥 + 5)11 + 𝐶 Esa sería nuestra integral

1
4.28.-∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 = √1−𝑥2
𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣=𝑥

1
= 𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜𝑥 − ∫ 𝑥 ⋅ 1 𝑑𝑥 Integramos por partes y aplicamos la fórmula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
(1−𝑥 2 )2 ∫ 𝑣𝑑𝑢 y la raíz lo convertimos a fracción

1 1
− + 𝑥 𝑛+1
1 (1−𝑥 2 ) 3 1
= 𝑥 ⋅ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 ⋅ 1 + 𝐶 Utilizamos la fórmula ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = +𝐶
− +1 𝑛+1
2

1
= 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − (− 2)∫ (1 − 𝑥 2 ) 2 (−2𝑥)𝑑𝑥
−1
Derivamos 1 − 𝑥 2 y eso dos da 2𝑥, la fracción lo
mandamos a bajo para convertirlo a positivo

1
1 (1−𝑥 2 )2 Aplicamos la ley de medio por medio y extremo por
= 𝑥 ⋅ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 1 + 𝐶
2
extremo (ley de la torta)
 1
2 (1−𝑥 𝑥 )2 Factorizamos las fracciones
= 𝑥 ⋅ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 + 𝐶
1

= 𝑥 ⋅ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + √1 − 𝑥 2 + 𝐶 Convertimos la fracción a raíz nuevamente y agregamos +

C

4.29.-∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

= 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫ (−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥Integramos por partes y realizamos lo que nos pide la

fórmula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 y multiplicamos

= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Ahora hay que sustituir c𝑜𝑠𝑥

= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 Agregamos + C ese sería el resultado

4.30.-∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑣
3
𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥
=𝑥∙ −∫ 𝑑𝑥 Aplicamos la fórmula de integral por partes
3 3

𝑠𝑒𝑛3𝑥 1
=𝑥⋅ − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥 Aplicamos la propiedad (2), sacando la constante
3

𝑡 = 3𝑥 Sustituimos 3x por t
𝑠𝑒𝑛3𝑥 1 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
=𝑥⋅ −3⋅∫ 𝑑𝑡 Sacamosen
Convertimos el tres y se convierte
las identidades en yfracción
el sin sustituimos t por 3x
3 3

𝑠𝑒𝑛3𝑥 1 1
=𝑥⋅ − 3 ⋅ 3 ⋅ sin ∫ (𝑡)
3

𝑠𝑒𝑛3𝑥 1
=𝑥⋅ − 3 ⋅ ∫ sin(𝑡) Multiplicamos y el signo queda positivo
3

𝑠𝑒𝑛3𝑥 1
=𝑥⋅ − 9 (− cos(3𝑥))
3

𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥(3𝑥) cos(3𝑥)
= + +𝐶 Nuestro resultado le agregamos + C
3 9
 1
4.31.-∫ 𝑥2−𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑣 = − 𝑖𝑛(2)⋅2𝑥 𝑑𝑣 = 2−𝑥

1
= 𝑥(− (𝑖𝑛2)2𝑥 ) − ∫ − (𝑖𝑛2)2𝑥 𝑑𝑥
1 Aplicamos la fórmula de integral por partes

1 1 1 Aplicamos la propiedad de la integral

= 𝑥(− (𝑖𝑛2)2𝑥 ) − 1((𝑖𝑛2)2𝑥 ) ⋅ ∫ 2 𝑑𝑥

1 1 1
= 𝑥 (− (𝑖𝑛2)2𝑥 ) + 𝑖𝑛2 ⋅ ∫ 𝑑𝑥 Simplificamos nuestra expresión
2𝑥

1 1 1
= 𝑥 (− (𝑖𝑛2)2𝑥 ) + 𝑖𝑛2 ⋅ ∫ (2)𝑥

1
1 1 ( )𝑥 𝑎𝑥
= 𝑥 (− (𝑖𝑛2)2𝑥 ) + ⋅ 2
1 Usando ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = y simplifique
𝑖𝑛2 𝑖𝑛 𝑖𝑛(𝑎)
2

𝑥 1
= − (𝑖𝑛2)2𝑥 − (𝑖𝑛2)2 ⋅2𝑥 + 𝐶 Agregamos + C

4.32.-∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥

1
𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 3𝑥 𝑣 = 𝑒 3𝑥
3

1 1
= 𝑥 2 (3 𝑒 3𝑥 ) − ∫ (3 𝑒 3𝑥 )2𝑥𝑑𝑥 Agarramos los integrales por partes y aplicamos la fórmula

1 2 Como no hemos terminado, tenemos que integrar por

= 3 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 3 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑥𝑑𝑥
partes otra vez

1
𝑢 = 𝑥 𝑣 = 3 𝑒 3𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Integramos por partes y sustituimos de nuevo en la
1 2 3𝑥 2 1 3𝑥 1 3𝑥
= 𝑥 𝑒 − (𝑥( 𝑒 )∫ 𝑒 𝑑𝑥 fórmula
3 3 3 3

1 2 1 1
= 3 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 3 (3 𝑥𝑒 3𝑥 ) − 3 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 Pasamos el exponente a fracción

1 2 1 1 1
= 3 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 3 (3 𝑥𝑒 3𝑥 ) − 3 (3 𝑒 3𝑥 ) Derivamos y multiplicamos las fracciones

1 2 1 1 1
= 3 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 3 (3 𝑥𝑒 3𝑥 − 9 𝑒 3𝑥 ) Multiplicamos el 3 que nos falta
 1 2 2
= 3 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 9 𝑥𝑒 3𝑥 − 27 𝑒 3𝑥 + 𝐶 Agregamos + C nuestro resultado
Conclusión

Nosotros como estudiantes de ingeniería es de suma importancia estudiar bien la

materia cálculo, pues es algo que realizaremos en nuestra vida cotidiana en
nuestros trabajos y a la vez a lo largo de la universidad nos servirá, ya que más
adelante nos servirá para realizar ejercicios de otras materias que se relacionan con
las matemáticas, es muy importante también estudiar álgebra, que eso siempre va
estar en cualquier problema, al igual que la trigonometría.

En el cálculo debes de saber muy bien la diferencial para que no se vuelva muy
difícil la integral, ya que muchos dicen que si no sabes derivar no sabrás integrar,
tienen mucha razón, se me hace un poco difícil el cálculo porque no lo lleve un poco
extendido en la prepa, aprendía por mi cuenta y era muy tedioso porque a veces no
comprendía, ni analizaba la función.

Este 3er cuatri no se tanto pero si me planteo en darle tiempo a estudiar se que
puedo lograr en aprender el cálculo y en ayudar a mis compañeros, este primer
corte lo sentí tan rápido porque los temas que estamos viendo fueron muy corto el
tiempo y el aprendizaje al igual hay dudas en como poder elaborarlo, los pasos
importantes, lo que se me dificulta es con la trigonometría, exponencial y logaritmo
me confunde un poco en cómo realizarlo pero la que se me dificulta más es la
exponencial y la logarítmica, porque es la primera vez en que realizo ejercicios de
estos y me revuelvo en algunos temas de la integral del primer corte.

Los últimos ejercicios se me dificultaron porque el tiempo pasaba muy rápido me

desvelaba para pasarlo a computadora pero sé que valió la pena en hacer porque
esto dependía de nuestra calificación, que gracias a ello pude comprender los
errores que tenía, razonar sobre la situación del problema y en como poder hacerlo
con las fórmulas algunas de ellas se me dificulta porque siendo sincero y como dije
es la primera vez que llevo calculo integral y no se tanto pero puedo aprender rápido
si le dedico tiempo y doy un esfuerzo con el tiempo voy a mejorar, es la primera vez
que hago estos trabajos de calculo y espero que todo salga bien pero si fue muy
importante repasar todo los apuntes de la clase del primer corte porque se alimenta
nuestro cerebro de repetir las mismas cosas y se queda grabado
Recomiendo a todos mis compañeros del salón que le echen ganas que no se
pongan triste si reprueban integrar, espero y todos pasemos, pero si no es así,
recomiendo que estudiemos, que leamos y demos una repasada al cuaderno
llegando a la casa, que nos pongamos unos ejercicios sin importar que tan difícil
este, lo importante es que podamos realizarlo, analizar y escribir todos los puntos
importantes en la hora de clases, también que no estén jugando y que pongan
mucha atención en el salón, esto nos ayudará a comprender bien el cálculo integral
y que estudien álgebra porque eso la tenemos que dominar muy bien para poder
resolver los ejercicios que no sabemos.
Referencias:

Ron Larson. (2010). Cálculo de una variable 1. pennsylvania: Mc Graw hil.

PDF. (2018). Métodos de integración. 10/0519, de no contiene Sitio web:

http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/aph/ficheros/calculo/ficheros/in
tegraciondefunciones.pdf

Ingeniería 2016. (2016). Calculo Diferencial . 6 de agosto 2016, de Blogger Sitio

web: http://calculodiferencialjga.blogspot.com/2016/08/concepto-de-
antiderivadas.html

Soto, E. (2017). Constante de integración. 12 de febrero del 2017, de Aprende

matemáticas Sitio web:
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/constante-de-integracion/