SISTEMAS DE NUMERACION

HISTORIA DEL CERO

Introducción. El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un
número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema
de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma
solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta
que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo
unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se
añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número
determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar)
de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade
una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las
apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna
excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como
bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en
unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que
seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido
muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no
disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de
ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal
cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como
la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al
alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa
el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se
opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo
algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que
permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los
árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que
suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de
los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la
introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que
sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y
simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Sistemas de Numeracion Aditivos

Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema

jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena
un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de
millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos
de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están
físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las
unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus
características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden,
aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita,
cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios,
judios y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números
en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos
ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir

indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la
orientación de las figuras según el caso.
 Al ser indiferente el orden se escribían a
veces según criterios estéticos, y solían ir
acompañados de los jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto (animales,
prisioneros, vasijas etc.) cuyo número
indicaban. En la figura aparece el 276 tal y
como figura en una estela en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la
incorporación de Egipto al imperio romano.
Pero su uso quedó reservado a las
inscripciones monumentales, en el uso diario
fue sustituido por la escritura hierática y
demótica, formas más simples que permitían
mayor rapidez y comodidad a los escribas
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma
propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200,
300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios
para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un

sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para
representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario
según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la
unidad y los números
hasta el 4 se usaban
trazos verticales. Para
el 5, 10 y 100 las
letras correspondientes
a la inicial de la
palabra cinco (pente),
diez (deka) y mil
(khiloi). Por este
motivo se llama a este
sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y
1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema
ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego
junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente
 De esta forma los números parecen palabras, ya
que están compuestos por letras, y a su vez las
palabras tienen un valor numérico, basta sumar
las cifras que corresponden a las letras que las
componen. Esta circunstancia hizo aparecer una
nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba
la relación entre los números y las palabras. En
algunas sociedades como la judía y la árabe, que
utilizaban un sistema similar, el estudio de esta
relación ha tenido una gran importancia y ha
constituido una disciplina aparte: la kábala, que
persigue fines místicos y adivinatorios.

Sistemas de Numeracion Híbridos

En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para

representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los
híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas
combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue
siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la
combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar
confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicionall, ya que si los
signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien
piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras
correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero,
algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el
307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope
y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.

El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el

1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades
y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y
decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000.
El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar
57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de
arriba abajo aunque también se hace
de izquierda a derecha como en el
ejemplo de la figura. No es necesario
un símbolo para el cero siempre y
cuando se pongan todos los
ideogramas, pero aún así a veces se
suprimían los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los
documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar
falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y
aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales,
aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron
un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por
influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la
posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia
de la base correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo.
Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La
ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción
del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque
no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos
una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese
60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo.
Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de
tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino
20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores
preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo
conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve
dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de
numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el
uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss.
Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el
cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una
vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o
ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y
efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Babilónico

Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se

desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un
sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba
la marca vertical que se
hacía con el punzón en
forma de cuña. Se ponían
tantos como fuera preciso
hasta llegar a 10, que tenía
su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta
llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos

iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y
asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad
se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El
5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para
representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se
continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad,

considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un
sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20,
20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto
un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
 Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un
signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se
hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado
el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para
indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación
astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas
unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el
tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra
muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días.

Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara
justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de
éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide
en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y
aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no
desarrollaron una matemática más allá del calendario.
Santiago Casado
santiago@airastur.es