Axiomas

GEOMETRÍA AXIOMÁTICA
Geometría neutral, euclídea y cartesiana

Tercera Edición
Gerard Romo Garrido

Toomates Cool·lección
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8 Semejanza.
Índice. 8.1 Proyección paralela.
8.2 Proporcionalidad mediante área.
Presentación. 8.3 Triángulos semejantes.
8.4 El teorema de Pitágoras.
Algunos esquemas transversales. 8.5 Algunos triángulos notables.
8.6 El problema de Herón.
Volumen I: Geometría neutral.
9 Trigonometría.
1 Incidencia. 9.1 Las razones trigonométricas.
1.1 El sistema axiomático de Euclides: "Los Elementos". 9.2 Área mediante trigonometría.
1.2 El sistema axiomático de Hilbert: El "Grundlagen". 9.3 Identidades trigonométricas.
1.3 Los axiomas de incidencia. Planos incidentales.
1.4 Planos finitos. 10 Circunferencias. Cuadriláteros cíclicos.
10.1 Ángulos inscritos y cuerdas.
2 Orden. 10.2 Polígonos regulares.
2.1 Los axiomas de orden. Planos ordenados. 10.3 Área del círculo y longitud de la circunferencia.
2.2 Semiplanos. 10.4 Cuadriláteros cíclicos. Puntos cocíclicos.
2.3 Relación de orden de cuatro puntos. 10.5 La razón áurea.
2.4 Ángulos.
2.5 Ordenación de semirrectas con extremo común. 11 Geometría del triángulo.
2.6 El teorema de la semirrecta interior. 11.1 Razones con signo. Razón simple. Longitudes con signo.
2.7 Ángulos suplementarios. 11.2 Teoremas de Ceva y de Menelao.
2.8 Polígonos, triángulos, cuadriláteros. 11.3 Alturas y ortocentro. El triángulo órtico.
2.9 Polígonos simples. Cuadriláteros convexos. 11.4 Bisectrices, incírculo e incentro.
11.5 Medianas y baricentro.
3 Congruencia. 11.6 Mediatrices, circuncírculo y circuncentro.
3.1 Los axiomas de congruencia. Planos de Hilbert. 11.7 La Circunferencia de los nueve puntos. La recta de Euler.
3.2 Suma, comparación y resta de segmentos. 11.8 Los puntos de Brocard.
3.3 Segmentos múltiples. 11.9 Triángulos de Napoleón.
3.4 Congruencia y comparación de ángulos. 11.10 Circunferencias excritas. El punto de Nagel.
3.5 Ángulos rectos y rectas perpendiculares. 11.11 Las circunferencias de Apolonio.
3.6 El teorema de los ángulos internos alternos. 11.12 Teorema del Tridente y Teorema del Incentro-Excentro.
3.7 Teorema del ángulo exterior. 11.13 Relaciones entre centros.
3.8 Congruencia de triángulos. 11.14 Potencia de un punto, eje radical y centro radical.
3.9 Puntos medios y mediatrices.
3.10 Bisectrices. 12 Razón doble. Resultados proyectivos.
3.11 Propiedades de los triángulos isósceles. 12.1 La razón doble de cuatro puntos.
3.12 Congruencia de cuadriláteros. 12.2 Perspectividades y proyectividades.
3.13 Cometas. 12.3 El Postulado de Pappus. Planos papianos.
12.4 El Postulado de Desargues. Planos arguesianos.
4 Continuidad. 12.5 Cuaternas armónicas.
4.1 Conjuntos convexos. 12.6 Cuadriláteros armónicos.
4.2 Particiones de Dedekind. El Axioma de Dedekind. 12.7 Teoremas de Pascal y de Brianchon.
4.3 Circunferencias en un plano de Hilbert.
4.4 El Axioma de Arquímedes. 13 Inversiones. El plano inversivo.
4.5 División de segmentos. Segmentos diádicos. 13.1 Inversiones. Determinación del punto inverso.
4.6 La distancia en una semirrecta. 13.2 Transformación de rectas y circunferencias bajo inversión.
4.7 Otros axiomas de continuidad. 13.3 Ángulo entre circunferencias. Transformaciones conformales
13.4 Inversión y razón doble.
5 Medida. 13.5 Polos y polares.
5.1 Longitud de segmentos. 13.6 Inversiones notables.
5.2 Amplitud de ángulos.
5.3 Área de polígonos. 14 Transformaciones euclídeas.
5.4 Tijeras-congruencia de polígonos. 14.1 Transformaciones euclídeas e isometrías.
5.4 El Libro 5 de Los Elementos. 14.2 Traslaciones.
14.3 Rotaciones.
6 Las condiciones euclídeas. 14.4 Simetrías.
6.1 Suma angular y defecto de triángulos. 14.5 Homotecias.
6.2 Suma angular y defecto de cuadriláteros. 14.6 Clasificación de las transformaciones euclídeas.
6.3 Las condiciones euclídeas principales. Plano euclídeo.
6.4 El teorema del Defecto Cero de Legendre. 15 Isogonales, antiparalelas y simedianas.
6.5 Otras condiciones euclídeas. 15.1 Semejanzas espirales.
6.6 Aún más condiciones euclídeas. 15.2 Rectas isogonales.
15.3 Rectas antiparalelas.
Volumen II: Geometría euclídea. 15.4 Rectas simedianas.
15.5 Simedianas y semejanzas espirales.
15.6 Simedianas y cuadriláteros armónicos.
7 Paralelogramos. 15.7 Los Puntos de Miquel.
7.1 Paralelogramos.
7.2 El conector de puntos medios.
7.3 Rectángulos.
7.4 Rombos.
7.5 Cuadrados.
Volumen III: Geometría analítica. 21 El plano de Poincaré. Geometría hiperbólica.
21.1 El Disco de Poincaré.
16 Fundamentos de los conjuntos numéricos. 21.2 Distancia hiperbólica.
16.1 Teoría de conjuntos. 21.3 Ángulo hiperbólico.
16.2 Funciones. 21.4 El Disco de Poincaré como modelo incidental.
16.3 Relaciones de orden. 21.5 El Disco de Poincaré como modelo no euclídeo.
16.4 Completación mediante cortes de Dedekind. 21.6 El Semiplano de Poincaré.
16.5 Estructuras algebraicas. 21.7 Transformaciones de Möbius en el plano hiperbólico.
16.6 Cuerpos ordenados.
16.7 Continuidad en cuerpos ordenados. 22 Espacios cartesianos K3. El espacio IR3.
16.8 Cuerpos pitagóricos y euclídeos. 22.1 Incidencia en espacios cartesianos K3 sobre un cuerpo K.
16.9 Los números naturales. 22.2 Producto escalar. Norma. Distancia. Ángulos.
16.10 Los números enteros. 22.3 Volumen con signo.
16.11 Los números racionales. 22.4 Producto vectorial.
16.12 Los números reales: IR.
17 Planos cartesianos K2. 23 Apéndice.

17.1 Plano cartesiano sobre un cuerpo. 23.1 Guía de lectura de la primera parte.
17.2 Plano cartesiano sobre un cuerpo ordenado. 23.2 Tabla Cronológica de la Grecia Clásica.
17.3 Plano cartesiano sobre un cuerpo pitagórico. 23.3 Cronología de los matemáticos griegos.
17.4 Plano cartesiano sobre un cuerpo euclídeo. 23.4 Tabla cronológica de los matemáticos del siglo XIX.
17.5 Plano cartesiano sobre un anillo de división. 23.5 Foto de familia de las rectas y puntos notables del triángulo.
17.6 El cuerpo de segmentos de un plano axiomático afín. 23.6 Foto de familia de los cuadriláteros.
17.7 Paralelismo en espacios vectoriales. 23.7 Notaciones utilizadas en este libro.
17.8 Producto escalar. Espacios vectoriales euclídeos. 23.8 Notaciones asociadas a objectos orientados y magnitudes.
17.9 Norma. Espacios vectoriales normados. 23.9 Foto de familia de las operaciones en IR2 y IR3.
17.10 Determinantes. Hipervolúmenes con signo. 23.10 La desigualdad RMS-AM-GM-HM.
23.11 Algunas citas literarias.
18 El plano cartesiano real IR2. 23.12 Bibliografía.
18.1 Las rectas de IR2. Incidencia en IR2.
18.2 Segmentos y semirrectas. Orden en IR2.
18.3 Paralelismo en IR2.
18.4 Ángulos orientados y amplitud angular con signo.
18.5 Producto escalar. Norma. Distancia. Ángulos.
18.6 Producto mixto. Área con signo.
19 Coordenadas baricéntricas.
19.1 Coordenadas baricéntricas absolutas y homogéneas.
19.2 División de segmentos con coordenadas baricéntricas.
19.3 Rectas en coordenadas baricéntricas.
19.4 Notación y fórmula de Conway.
19.5 El Teorema de Ceva.
19.6 Paralelismo.
19.7 Perpendicularidad mediante el ortocentro.
19.8 Relaciones métricas con coordenadas baricéntricas.
19.9 Circunferencias.
19.10 Rectas tangentes.
19.11 Giro de rectas.
19.12 Rectas simedianas. El punto simediano.
19.13 Conjugados isogonales.
19.14 Los puntos de Brocard con coordenadas baricéntricas.
20 El plano complejo.
20.1 El plano complejo como plano cartesiano canónico.
20.2 Multiplicación y división de números complejos.
20.3 Ángulos con números complejos. Argumento.
20.4 Notación polar y notación exponencial.
20.5 Las transformaciones elementales del plano complejo.
20.6 Paralelismo, colinealidad, rectas.
20.7 Producto escalar. Perpendicularidad.
20.8 Producto vectorial. Área.
20.9 Cevianas y centros con números complejos.
20.10 La circunferencia unidad.
20.11 Ángulos orientados. Triángulos semejantes.
20.12 Razón doble compleja. Puntos cocíclicos.
20.13 Isometrías en el plano complejo.
20.14 Transformaciones de Möbius.
Presentación.
- ¡Oye! ¿Me prestas tus apuntes?
El que los pide eres tú, que ayer no pudiste (o no quisiste) venir a clase, y el que te los
deja para que los fotocopies (eso en mis tiempos, ahora se les hace una foto con el
móvil) no será seguramente el estudiante más brillante, ni el más estudioso, pero es
ordenado, pulido y tiene buena letra. El documento que tienes ante tus ojos son mis
apuntes, que yo te ofrezco por si te son útiles, como estudiantes que somos de una
facultad de matemáticas llamada "Internet". Intentaré explicarme.
Mi generación, digamos los que estamos entre los cuarenta y los sesenta, no podemos
sentirnos muy orgullosos de este siglo XXI. Los ideales que teníamos en los años
ochenta del siglo pasado no se han cumplido. El gran hito tecnológico de mi generación,
Internet, es una fuente inmensa de vulgaridad, consumismo y embrutecimiento. Pero si
somos capaces de traspasar esa capa de mediocridad, podemos aprender, y mucho.
Internet es la fuente de conocimiento más potente que ha existido en toda la historia de

la humanidad, y sin coste alguno. En particular, se puede aprender mucha geometria
gracias a Internet gracias a todos los profesores y expertos que comparten sus
conocimientos en documentos pdf y páginas web. Muchos años después de mi paso por
la facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona, no pasa un día que no
aprenda algo "buscando por Internet", y todos esos conocimientos los voy recogiendo,
pacientemente, en este libro. Así pues, como decía antes, no son otra cosa que mis
apuntes como estudiante que soy de esta gran facultad de matemáticas cibernética. Y los
comparto libremente, por si pueden ser de ayuda para cualquier estudioso de la
geometría, y para aportar mi granito de arena para que las nuevas generaciones
encuentren en Internet algo más que un enorme contenedor de basura y frivolidad.
Gerard Romo, Montbrió del Camp, septiembre del 2019.
Presentación de la primera edición: Este libro pretende ser una guía para aquellos que quieran
aventurarse en un maravilloso viaje matemático que cruza, en el espacio y en el tiempo, toda la
civilización occidental. Un sendero que va desde "Los Elementos" de Euclides, en la Grecia del siglo III
AC, hasta "Los Fundamentos de la Geometría" de Hilbert, en la Prusia de 1899.
En este viaje vamos a andar mucho, no es un viaje para turistas sino para puristas, y sobre todo vamos a
tener que acostumbrarnos a cambiar nuestros hábitos matemáticos. Vamos a tener que dejar nuestras
cómodas zapatillas deportivas modernas, será necesario ponernos las rígidas botas de montaña de la
Prusia del siglo XIX, o las ligeras sandalias tradicionales de la Grecia Clásica. Nuestros pies matemáticos
están demasiado acostumbrados a caminar sobre la almohadilla de los números reales y sobre el asfalto
del lenguaje del álgebra simbólica. Tendremos que pensar sin números y eso no va a ser fácil, al principio
nos van a salir ampollas, ya te aviso, pero tú tranquilo, que será sólo al principio del viaje, durante los
primeros dos o tres años, luego te vas acostumbrando, y de verdad, el paisaje vale la pena.
Observación:
Es imposible aprender matemáticas sin practicar los conceptos teóricos mediante ejercicios y problemas.
La referencia que aparece en los "problemas propuestos" indica el volumen y dentro del volumen, el
índice del problema.
Por ejemplo: "Problema propuesto: 4.17" hace referencia al problema número 17 del tomo 4 de
problemas: [Prob1] , [Prob2] , [Prob3] , [Prob4] , [Prob5] , [Prob6] .
Los tomos de problemas se pueden descargar libremente en formato pdf y sus links se indican al final del
libro, en la bibliografía.
Volumen I: Geometría neutral
1 Incidencia.
1.1 El sistema axiomático de Euclides: "Los Elementos".
1.1.1 Los Elementos de Euclides.

“Los Elementos” es el primer manual de matemáticas de la Historia. Escrito por
Euclides, un matemático griego del siglo III AC, pretende recoger, sistematizar, detallar
y ordenar todo el saber geométrico de su época. La ordenación se hace de forma lógica,
es decir, una propiedad sigue a otra si se puede deducir de ésta de forma lógica, por lo
que estamos ante el primer tratado axiomático de la geometría.
Una obra tan inmensa como esta tuvo obviamente sus propias limitaciones. En Los
Elementos encontramos un trabajo hercúleo para ofrecer una enciclopedia de resultados
geométricos, y además presentarlos ordenados de forma lógica, pero no era su
pretensión analizar y justificar los fundamentos, los primeros ladrillos que forman ese
edificio. Por este motivo (y gracias a ello), Los Elementos se sustentan en unos
conceptos fundamentales (Axiomas, definiciones, postulados, nociones comunes)
usados de forma intuitiva, tomados prestados del espacio físico convencional. A lo largo
de la Historia, pero sobre todo en el siglo XIX, aquellos conceptos fundamentales con
los que se construyeron “Los Elementos” fueron sometidos a la más estricta revisión
crítica, y gracias a esfuerzo metodológico la geometría se engrandeció aún más hasta
límites insospechados.
1.1.2 Los trece libros de Los Elementos.

Los Elementos está dividido en trece capítulos, llamados "libros". Los seis primeros
estudian la geometría del plano. Los tres siguientes tratan de la teoría de números. El
libro décimo está dedicado a los inconmensurables y en los tres últimos se estudian las
figuras en el espacio.
Libro 1. Los fundamentos de la geometría plana tradicional, con sus resultados más importantes.
Libro 2. Área de cuadrados y rectángulos, teorema del coseno, propiedades algebraicas fundamentales
explicadas en términos geométricos...
Libro 3. Geometría del círculo: Circunferencia, arcos, cuerdas, tangentes...
Libro 4. Polígonos regulares.
Libro 5. Magnitudes, razones y proporcionalidad entre segmentos. Este libro es considerado como el
primer tratado de álgebra abstracta de la historia.
Libro 6. Semejanza entre figuras planas, división áurea, Teorema de Tales, como hallar el cuarto
proporcional...
Libro 7. Está dedicado a la aritmética. Se introducen los conceptos de unidad y número, divisor, pares e
impares, primos y compuestos...
Libro 8. Números en progresión geométrica, interpolación de términos...
Libro 9. Números planos y sólidos, demostración de que hay infinitos números primos, como obtener
números perfectos...
Libro 10. Segmentos conmensurables e inconmensurables. Con 115 proposiciones es el más extenso de
todos los libros de los Elementos, pero la mayor parte de sus proposiciones no tienen actualmente mayor
interés. Resulta difícil de estudiar, por lo que se le suele llamar "la cruz de los matemáticos".
Libro 11. Objetos y relaciones habituales de la geometría del espacio, como rectas y planos; paralelismo
y perpendicularidad, ángulos diedros y poliedros; figuras sólidas: pirámide, prisma, esfera, cono...
Libro 12. Obtención del área del círculo y los volúmenes de los sólidos más corrientes mediante el
"método de exhausción".
Libro 13. La construcción de los cinco sólidos regulares, la razón entre los lados de los pentágonos,
hexágonos y decágonos inscritos en una misma circunferencia.
1.1.3 Estructura de Los Elementos.
Cada libro está dividido en apartados que pueden ser de seis tipos diferentes:
Definiciones, proposiciones, porismas y lemas. En el Libro 1 aparecen, además, 5
postulados y 5 nociones comunes.
Libro Definiciones Proposiciones Porismas Lemas

I 23 48 0 0
II 2 14 0 0
III 11 37 1 0
IV 7 16 1 0
V 18 25 2 0
VI 3 33 3 0
VII 22 39 1 0
VIII 0 27 1 0
IX 0 36 1 0
X 16 115 4 11
XI 28 39 1 1
XII 0 18 2 2
XIII 0 18 2 3
Total 130 465 19 17
1.1.4 El manuscrito "Vat. Gr. 190".

Hasta el siglo XIX todas las versiones supervivientes de Los Elementos de Euclides
derivan de una misma fuente, la que redactó Teón de Alejandría en el siglo IV DC. Lo
sabemos porque dicho autor añadió ciertas aportaciones propias (que él mismo declara
como suyas) y todas las obras conocidas contienen dichos cambios. Pero en 1808 el
matemático francés François Peyrand (1760-1822) descubre en el Vaticano un
manuscrito de Los Elementos previo a la de Teón, llamado "Vaticanus graecus 190" (o
"Vat. Gr. 190" o simplemente "P"), que fue llevado a Francia como parte del botín de
guerra de las tropas napoleónicas. Sabemos que este manuscrito es previo a la versión
de Teon porque no incorpora las aportaciones que dicho autor añadió al Libro 6.
Este manuscrito contiene los trece libros de Los Elementos y está considerado como la
versión íntegra más antigua de dicha obra.
1.1.5 El "Euclidis Opera Omnia" de Heiberg y Menge.
Entre 1883 y 1888 el filólogo danés Johan Ludvig Heiberg redacta una versión
definitiva de Los Elementos sobre la base del manuscrito "Vaticanus graecus 190",
cotejando sus textos con el resto de versiones "teoninas" y con todos los fragmentos de
la obra de Euclides que han sobrevivido hasta nuestros días.
De esta versión se han realizado las traducciones "oficiales" de Los Elementos a la

mayoría de idiomas.
1.1.6 Nota biográfica. Johan Ludvig Heiberg (27 de noviembre de 1854 - 4 de junio
de 1928) fue un filólogo e historiador danés. Es conocido por su descubrimiento de
textos previamente desconocidos dentro del Palimpsesto de Arquímedes, y por su
edición en inglés de los Elementos de Euclides. También publicó una edición del
Almagesto de Ptolomeo.
Heiberg nació en Dinamarca, hijo de Johanne Henriette Jacoba (nacido Schmidt) y Emil
Theodor Heiberg. Fue profesor de filología clásica en la Universidad de Copenhague
desde 1896 hasta 1924. Entre sus más de 200 publicaciones se reconocen ediciones de
los trabajos de Arquímedes (1880 y 1912), Euclides (con Heinrich Menge) (1883-1916),
Apolonio de Perge (1891-93), Sereno de Antinouplis (1896), Ptolomeo (1898/1903), y
Herón de Alejandría (1899). Muchas de sus ediciones se usan hoy día.
Fuente: wikipedia
1.2 El sistema axiomático de Hilbert: El "Grundlagen".
1.2.1 El Grundlagen de Hilbert.

En el curso 1898-1899 el matemático alemán David Hilbert (Königsberg, 1862;
Gotinga, 1943) de la Universidad de Göttingen sorprendió a sus alumnos ofreciendo un
curso sobre los fundamentos de la geometría. La versión escrita de dicho curso
Grundlagen der Geometrie (“Los fundamentos de la Geometría”) apareció en 1899 e
inmediatamente se convirtió en un bestseller, rápidamente traducido al francés, inglés y
otros idiomas.
En este trabajo Hilbert se propone un objetivo titánico: Limpiar y enmendar todos los
puntos débiles de Los Elementos de Euclides que se habían detectado a lo largo del
siglo XIX, una obra que había permanecido inalterada durante más de 2000 años. El
resultado es una maestra de la simplicidad y la elegancia matemática, un referente de
rigor científico, no sólo en el campo de la Geometría, sino en todo el ámbito de la
Matemática y de la ciencia en general de todo el siglo XX.
Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: “Consideramos tres

sistemas diferentes de objetos, que llamaremos puntos, rectas y planos. Entre ellos
imaginamos tres relaciones, que expresaremos por términos como “estar sobre”, “estar
entre” o “ser congruente con”. La descripción exacta y las propiedades de estas
relaciones vienen dadas por los axiomas.”, para después presentar los 20 axiomas con
los que unificará toda la geometría, tanto la plana como la espacial, agrupados en cinco
grupos según el tipo de propiedades que rigen:
Grupo I: Siete axiomas de incidencia.

Grupo II: Cuatro axiomas de orden.
Grupo III: El Postulado de la única paralela.
Grupo IV: Seis axiomas de congruencia.
Grupo V: El axioma de continuidad (o Axioma de Arquímedes)
Y un metaaxioma llamado “Axioma de completitud”.
Hilbert fue el precursor del llamado "Formalismo matemático", una de las tres
escuelas matemáticas más importantes del siglo XX. El formalismo despoja a los
objetos matemáticos de todo tipo de característica natural o intuitiva, los limpia de
"polvo y paja" hasta convertirlos en meros símbolos carentes de significado y que
interactúan mediante unas reglas formales establecidas de antemano. Lo dice el propio
Hilbert, "los elementos tales como el punto, la recta o el plano se pueden sustituir con
mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus
relaciones definidas". Los resultados matemáticos se asemejan a las construcciones de
Lego, construcciones creadas mediante unas reglas muy claras y precisas que actúan
sobre unos objetos (las piezas) perfectamente definidos.
1.2.2 Sistema axiomático del Grundlagen.
El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas:
Tres términos primitivos: punto, línea recta, plano, y seis relaciones primitivas: Orden,
una relación ternaria entre puntos; Pertenencia, tres relaciones binarias, una de ellas
entre puntos y rectas, otra entre puntos y planos, y otra entre rectas y planos;
Congruencia, dos relaciones binarias, una entre segmentos y otra entre ángulos,
denotadas por ≅.
Grupo I. Incidencia
H1.1 Dos puntos distintos A y B determinan una recta AB .
H1.2 Dos puntos cualesquiera de una recta la determinan por completo; es decir, por
dos puntos diferentes pasa una única recta.
H1.3 Tres puntos A, B y C no situados en una misma recta determinan un plano α.
H1.4 Por tres puntos cualesquiera A, B y C no situados en una misma recta pasa un
único plano.
H1.5 Si dos puntos A y B de la recta r yacen en el plano α, entonces todo punto de r

yace en α.
H1.6 Si dos planos α y β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos otro
punto B en común.
H1.7 a) En cada recta hay al menos dos puntos;

b) En cada plano hay al menos tres puntos no situados en la misma recta;
c) Existen al menos cuatro puntos no situados en un mismo plano.
Grupo II: Orden
H2.1 Si un punto B está entre los puntos A y C, también está entonces entre C y A, y
existe una recta que contiene a los tres.
H2.2 Si A y C son dos puntos de una recta, existe al menos otro punto B entre A y C, y
al menos un punto D de tal manera que C está entre A y D.
H2.3 Dados tres puntos en una recta, solo uno de ellos está entre los otros dos.
H2.4 Axioma de Pasch: Sean A, B y C tres puntos no situados en la misma recta y sea r
una recta contenida en el plano ABC, que no pasa por ninguno de los tres puntos
mencionados. Entonces, si r pasa por algún punto del segmento AB, entonces pasa
también por algún punto del segmento BC o del segmento AC, pero no por ambos a la
vez.
Grupo III: Paralelismo
H3.1 Dado un plano α, una recta r contenida en el plano y un punto A del plano pero no
contenido en la recta, puede encontrarse en dicho plano una única recta s que pase por
A, de forma que r y s no tengan ningún punto en común.
Grupo IV: Congruencia
H4.1 Si A y B son dos puntos de la recta a, y A′ es un punto sobre la recta a′ (sea esta
igual a a o no), se tiene que, de un lado cualquiera de A′ en la recta a', existe un único B′
tal que el segmento AB es congruente con el segmento A' B ' , y lo denotamos por
AB  A' B ' . Todo segmento es congruente consigo mismo.
H4.2 Si un segmento AB es congruente con el segmento A' B ' y también con el

segmento A' ' B ' ' , entonces estos dos últimos son congruentes entre sí (es decir, la
congruencia entre segmentos es transitiva).
H4.3 Sean AB y BC dos segmentos de la misma recta sin puntos en común a

excepción de B, y sean además A' B ' y B ' C ' dos segmentos de la recta a′ (sea ésta
igual o no a a) sin más puntos en común que B′. Entonces, si AB  A' B ' y BC  B 'C '
, se tiene que AC  A'C ' .
H4.4 Sea un ángulo ( h, k ) en el plano α y sea una recta a′ en el plano α′. Supóngase
que en el plano α′, se escoge uno de los lados respecto a a ′. Sea un semirayo h′ de a′ que
emana de un punto O′ de dicha recta. Entonces, en el plano α′ existe un único semirayo
k′ que sale de O′ de forma que ( h, k ) es congruente con (h' , k ' ) , y de forma que
todos los puntos del interior de (h' , k ' ) están en el lado escogido de α′. Se denota por
(h, k )  ( h' , k ' ) . Todo ángulo es congruente consigo mismo.
H4.5 Si el ángulo ( h, k ) es congruente con el ángulo (h' , k ' ) y con el ángulo

( h' ' , k ' ' ) , entonces estos dos son congruentes entre sí (es decir, la congruencia de
ángulos es transitiva).
H4.6 (Criterio SAS) Si dados dos triángulos ABC y A' B ' C ' se tiene
AB  A' B ' , AC  A'C ' , BAC  B ' A' C ' , entonces se tiene a su vez
ABC  A' B ' C ' y ACB  A' C ' B ' .
Grupo V: Continuidad
H5.1 Axioma de Arquímedes: Sea A1 un punto cualquiera de una recta, situado entre los
puntos arbitrarios A y B de la misma. Tómense los puntos A2, A3,... de tal manera que A1
esté entre A y A2, A2 esté entre A1 y A3, etc. Supóngase además que los segmentos AA1 ,
A1 A2 , A2 A3 ... son todos congruentes entre sí. Entonces, en esta serie existe siempre
un cierto An tal que B está entre A y An.
Axioma de completitud
HC: A este sistema de puntos, rectas y planos no pueden añadirse otros elementos de
manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los
axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman
un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas
como válidos.
Nota. El “Axioma 21”.
Hilbert introdujo en la primera edición del Grundlagen un axioma más que reza:
“Pueden escogerse cuatro puntos cualesquiera A, B, C y D de una recta de forma que B
esté entre A y C y entre A y D, y que C esté entre A y D y entre B y D”, pero E.H
Moore en 1902 la dedujo como consecuencia de los axiomas de incidencia y orden
establecidos.
1.2.3 Consistencia e independencia de sistemas axiomáticos.

Diremos que un sistema axiomático es consistente cuando todos sus axiomas pueden
ser ciertos a la vez, es decir, cuando no nos lleva a contradicciones. En caso contrario
diremos que el sistema axiomático es inconsistente.
La mejor forma de garantizar la consistencia de un sistema axiomático es encontrar un

modelo para dicho sistema axiomático.
Diremos que un determinado axioma de un sistema axiomático es dependiente del resto

si es posible llegar a demostrar su verdad deduciéndolo del resto de axiomas, es decir, si
es redundante. En caso contrario diremos que el axioma es independiente.
Para demostrar la independencia de un axioma es suficiente encontrar un modelo en el

que se cumplan todos los otros axiomas y la negación de éste.
Diremos que un sistema axiomático es independiente cuando todos sus axiomas son
independientes del resto, es decir, cuando no contenga ningún axioma redundante.
También podemos decir que una determinada proposición es independiente de un

determinado axioma cuando sea posible demostrar esa proposición sin utilizar dicho
axioma. En caso contrario diremos que la proposición es dependiente del axioma.
Llegar a demostrar la dependencia o independencia de una proposición respecto de un
axioma puede resultar una tarea muy difícil, pero se puede facilitar con la utilización de
modelos: Una determinada proposición dependerá de un determinado axioma si
encontramos un modelo en el que se no se cumpla dicho axioma y tampoco se cumpla
dicha proposición. En efecto, si fuera independiente de dicho axioma se podría deducir
del resto, y por lo tanto tendría que ser cierta también en este modelo.
El capítulo 2 del Grundlagen está dedicado a demostrar la consistencia y la mutua

independencia de los axiomas del Sistema Axiomático de Hilbert.
1.2.4 Completitud de sistemas axiomáticos.

Diremos que dos modelos de un mismo sistema axiomático son isomorfos cuando sea
posible establecer una correspondencia entre sus objetos de forma que se mantengan las
relaciones. Es decir, cuando sean idénticos para todos los efectos.
Diremos que un sistema axiomático es completo cuando todos sus modelos asociados
sean isomorfos.
El Axioma HC de Hilbert afirma que su sistema axiomático es completo, es decir, que

no se puede ampliar más, todos sus modelos posibles son isomorfos al modelo de plano
cartesiano común IR 2 .
Este axioma es controvertido, pues en realidad sería un meta-axioma, es decir, un
axioma sobre los sistemas axiomáticos. Los matemáticos más importantes han
comentado, para bien y para mal, sobre el Axioma de Completitud de Hilbert:
"An axiom about axioms with a complicated logical structure" (Schmidt)

"An unhappy axiom" (Freudenthal)
"The axioms of continuity are introduced by Hilbert, to show that they are really
unnecessary." (Freudenthal)
"Hilbert’s completeness axiom is obviously not a geometric statement, and not a
statement formalizable in the language used previously—so what does it accomplish?"
(M.J. Greenberg, 2010)
"The foundations of geometry contain more than insight in the nature of axiomatic."
(Freudenthal)
"The most original creation in Hilbert’s axiomatic" (Baldus)
"Hilbert has made the philosophy of mathematics take a long step in advance." (H.
Poincaré)
Fuente: Several Topics from Geometry, de Franz Rothe
1.2.5 Construcción de nuevas geometrías.

Tomando como punto de partida un sistema axiomático concreto podemos generar
nuevas geometrías de dos maneras distintas:
a) Eliminando uno o más axiomas, es decir, dejar de exigirlos. Por ejemplo, podemos
hablar de “Geometría no arquimediana” si dejamos de imponer el Axioma de
Arquímedes. A medida que vamos añadiendo axiomas vamos reduciendo el número de
modelos válidos.
b) Sustituyendo un axioma por su negación y comprobando que el sistema resultante es

consistente. El grupo más importante son las llamadas “geometrías no euclídeas”, es
decir, aquellas que niegan el Postulado de la única paralela (“por un punto exterior a una
recta pasa una única recta paralela”). Se pueden negar de varias formas: Exigiendo que
por cada punto exterior a una recta pase más de una recta paralela a la primera
(geometría hiperbólica), o exigiendo que no pase ninguna, es decir, que no exista
paralelismo (geometría elíptica). Estas geometrías se descubrieron en el siglo XIX y
supusieron una auténtica revolución en las matemáticas, pues durante más de dos mil
años se había pensado que la geometría euclídea era la única posible. En palabras del
gran geómetra canadiense H.S.M. Coxeter:
El efecto del descubrimiento de la geometría hiperbólica sobre nuestras ideas

de verdad y realidad ha sido tan profundo que difícilmente podemos imaginar
lo traumático que fue descubrir en 1820 que una geometría distinta de la
euclídea era posible.
Como consecuencia del descubrimiento de modelos geométricos hiperbólicos en el siglo

XIX se acabó finalmente con uno de los quebraderos de cabeza históricos de las
matemáticas: Los infructuosos intentos a lo largo de los siglos de demostrar el
Postulado de la única paralela.
c) Sustituyendo un axioma por una proposición y estudiando las propiedades del

sistema axiomático resultante.
1.2.6 Nota. El sistema axiomático de este libro.
El origen de este libro está en el de los documentos pdf del profesor Wayne Aitken que
encontrados en su página web personal http://public.csusm.edu/aitken_html/m410/,
en el que se sigue el sistema axiomático de Hilbert con algunas variaciones menores.
Se ha procurado acompañar todas las definiciones de todos los objetos geométricos con
referencias a sus equivalentes, tanto en Los Elementos de Euclides como en el
Grundlagen de Hilbert.
1.2.7 Nota. Geometría del plano vs. Geometría del espacio.

Tenemos que tener en cuenta también que el sistema axiomático de Hilbert comprende
puntos, rectas y también los planos en el espacio, mientras que en este libro nos
limitamos al ámbito de la geometría plana.
Entendiendo que la geometría del espacio es una ampliación natural e independiente de

la geometría del plano, ignoraremos los axiomas que afectan a los planos y sólo
estudiaremos los 17 axiomas del Grundlagen que se refieren a puntos y rectas. Por
ejemplo, del Grupo I los Axiomas 3, 4, 5 y 6 no tienen sentido en una geometría plana.
Sin embargo, plano y espacio no son totalmente independientes. Por ejemplo, el

Teorema de Desargues (12.4.2), que es un teorema de geometría plana, se puede
demostrar fácilmente si ese plano lo entendemos dentro de un espacio euclídeo y
podemos “levantar” los triángulos, pero es mucho más difícil de demostrar si no
podemos “salir” de dicho plano.
1.3 Los axiomas de incidencia. Planos incidentales.
1.3.1 Definición. Plano. Geometría plana.
Un plano (o una geometría plana) es un par  , L  donde  es un conjunto de
elementos llamados puntos y L es una colección de subconjuntos de  llamados
rectas. Estos puntos y rectas están sometidos a unas condiciones llamadas axiomas.
Cada conjunto concreto de objetos matemáticos que verifique los axiomas constituye un
modelo de la Geometría.
La geometría axiomática fija unos determinados axiomas y estudia las propiedades que
se deducen de estos, independientemente de cualquier modelo asociado que podamos
encontrar.
Observación: Al definir las rectas como subconjuntos del conjunto de puntos, la teoría
de conjuntos nos proporciona toda la base lógica para definir la relación fundamental
entre puntos y rectas, la inclusión:
El punto P está (contenido) en la recta r si P  r .
Y la relación fundamental entre rectas, la concurrencia:
Dos rectas r y s son concurrentes en un punto P cuando P  r  s .
1.3.2 Definición. Plano incidental.

Un plano incidental es un plano que cumple los siguientes axiomas, llamados
“Axiomas de incidencia”. Estos axiomas corresponden al Grupo I del Grundlagen de
Hilbert, aunque nosotros nos reduciremos a los que atañen a la Geometría plana.
Axioma I1. El axioma de incidencia. (Elementos, postulado 1.1, H1.1)

Si A y B son dos puntos diferentes, existe una única recta r tal que A  r y B  r .
Denotaremos por AB la única recta que pasa por A y B.
Observación. Hilbert añade en el Grundlagen el Axioma H1.2 que garantiza que dos
puntos diferentes de una recta la determinan completamente:
Si r  AB y r  AC con B  C entonces r  BC .
En Los Elementos, Euclides se limita a postular que siempre se puede trazar una línea
recta entre dos puntos diferentes (Postulado 1.1):
᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
En Los Elementos no aparecen el resto de consideraciones que relacionan puntos y

rectas.
Axioma I2. (H1.7a)

En toda recta hay al menos dos puntos diferentes.
Axioma I3. El axioma de existencia. (H1.7b)

Existirán tres puntos A, B y C diferentes que no están contenidos en la misma recta, es
decir, que si r es una recta, al menos uno de ellos no pertenece a r.
1.3.3 Proposición.
Sean los puntos P y Q. Entonces:
a) P, Q  PQ .
b) Si P  Q y r pasa por P y Q entonces r  PQ .
c) PQ  QP .
Demostración. Se derivan directamente del Axioma I1.
1.3.4 Proposición.
Toda recta r se puede escribir como PQ para ciertos puntos P y Q diferentes.
Demostración. Por el Axioma I2 existen P  Q  r y por 1.3.3b deducimos r  PQ .
1.3.5 Definición. Puntos colineales.

Diremos que los n puntos P1 , P2 , ..., Pn son colineales cuando exista una recta r tal
que Pk  r para todo k.
1.3.6 Proposición.
Existen al menos tres puntos no colineales.
Demostración. Es una interpretación del Axioma I3.
1.3.7 Definición. Rectas concurrentes.

Diremos que las n rectas r1 , r2 , ..., rn son concurrentes si existe un punto P tal que
P  rk para todo k.
1.3.8 Proposición. (Hilbert, Teorema 1)

Dos rectas diferentes se cortan como mucho en un punto. Dos rectas diferentes
concurrentes se cortan en un único punto.
Demostración. Sean r y s dos rectas diferentes. Supongamos que se cortan en dos puntos
diferentes P y Q. Entonces, aplicando 1.3.3b dos veces, r  PQ  s , absurdo.
Dos rectas diferentes concurrentes se cortan en algún punto puesto que son
concurrentes, y en no más de un punto puesto que son diferentes.
1.3.9 Ejercicio.
Demostrar que el plano no está vacío, y por tanto nuestra geometría no es trivial. Debes
usar un único axioma.
Demostración. El Axioma I3 garantiza que existen al menos tres puntos diferentes.
1.3.10 Ejercicio.
Demostrar que existen rectas en el plano. Debes usar dos únicos axiomas.
Demostración. El Axioma I3 garantiza la existencia de tres puntos diferentes. Tomando

dos, el Axioma I1 garantiza la existencia de una recta que pasa por ambos.
1.3.11 Ejercicio.
Supongamos que P, Q y R son puntos y P  Q . Entonces P, Q y R son colineales si y
sólo si R pertenece a PQ .
Demostración. Si P  Q , la recta PQ será la única recta que contiene P y Q (Axioma
I1). Si P, Q y R son colineales, sea r la recta que los contiene. Luego r contiene a P y a Q
y por tanto, por unicidad, r  PQ . Luego R  PQ .
Recíprocamente, P y Q pertenecen a PQ por el Axioma I1, y si además R pertenece a
PQ , los tres puntos serán colineales.
1.3.12 Ejercicio.
Supongamos que P, Q y R son puntos distintos. Entonces P, Q y R son colineales si y
sólo si PQ  PR  QR
Demostración. Si P, Q son puntos distintos, la recta PQ será la única recta que los
contenga (Axioma I1). De la misma forma, Q y R distintos implica que la recta QR
será la única recta que contenga a Q y R, y si P y R son distintos la recta PQ será la
única recta que contenga a la vez a P y a R.
Entonces, si P, Q y R pasan por una misma recta r, tendremos que r  PQ  PR  QR , y
recíprocamente, si r  PQ  PR  QR , entonces P, Q, R  r .
1.3.13 Ejercicio.
Existen al menos tres rectas no concurrentes.
Demostración. Por el Axioma I3, existirán al menos tres puntos diferentes A, B y C no

colineales. Puesto que A  B , el Axioma I1 garantiza la existencia de la recta AB . Y
puesto que C  A y C  B , el mismo axioma garantizará la existencia de las rectas
AC y BC . Estas tres rectas no pueden ser concurrentes. En efecto, supongamos que
existe un punto D  AB  AC  BC . Si D  A , entonces A  BC y los tres puntos
serían colineales, y llegamos a contradicción. Luego D  A , y de la misma forma
DB y DC.
Si D  A entonces existirá una única recta AD que contiene a D y A, pero D, A  AB
, luego AB  AD , y de la misma forma llegamos a AC  AD , luego
C  AC  AD  AB y por tanto C, A y B serán colineales, llegando igualmente a
contradicción.
1.3.14 Ejercicio.
Para cualquier recta r podemos encontrar siempre un punto P  r .
Demostración. Sea r una recta. Sabemos que existen tres puntos A, B y C no alineados,
(Axioma I3), luego al menos uno de los tres no pertenecerá a r.
1.3.15 Ejercicio.
Para cualquier punto P, existirá al menos una recta r que no pase por P.
Demostración. Por el ejercicio 1.3.13, existen al menos tres rectas no concurrentes,
luego P no pertenecerá al menos a una de ellas, pues si perteneciera a las tres serían
concurrentes en P.
1.3.16 Ejercicio.
Para cualquier punto P, existen al menos dos rectas diferentes pasando por P.
Demostración. Por el ejercicio anterior, existirá una recta r que no pasa por P. Por el
Axioma I2, existirán al menos dos puntos diferentes A y B en r, por lo que r  AB .
Tenemos que P  A , pues P no pertenece a r por hipótesis, y de la misma forma P  B
. Las rectas PA y PB pasan ambas por P, y son diferentes, pues si PA  PB , entonces
B  PA  P  AB  r , llegando a contradicción.
1.3.17 Ejercicio.
Supongamos que reemplazamos el Axioma I3 por el siguiente axioma:
Axioma I3a: Existe una recta r y un punto P  r .
Demuestra que de los axiomas I1, I2 y I3a podemos deducir el Axioma I3.
Recíprocamente, demuestra que de los axiomas I1, I2 y I3 podemos deducir el Axioma
I3a. Así pues, reemplazando el Axioma I3 por el Axioma I3a obtenemos un sistema de
axiomas equivalente.
Demostración. Por el Axioma I3a, existe una recta r y un punto P  r . Por el Axioma
I2, existirán dos puntos diferentes A, B en r, luego r  AB . Los puntos A, B y P
satisfacen el Axioma I3. Efectivamente, si existe una recta s que pasa por A, B y P,
entonces s  AB  r , luego P  r , contradiciendo la hipótesis.
Recíprocamente, por el Axioma I3 existirán tres puntos diferentes A, B y C no
colineales. sea r  AB . Entonces C  r . Efectivamente, si C  r , entonces los tres
puntos serían colineales, contradiciendo la hipótesis.
1.3.18 Ejercicio.
Sea r  AB y C  r . Si AC  BC entonces AB  AC  BC .
Demostración.
 A  AC  BC 
AC  BC     r  AB  AC  BC por el Axioma I1.
B  BC  AC 
1.3.19 Definición. Rectas paralelas. (Elementos 1, definición 23)

Diremos que dos rectas r y s son paralelas cuando no tengan ningún punto común, es
decir, cuando r  s   .
1.3.20 Definición. Postulado de la Única Paralela. Plano afín.

Un plano afín es todo aquel plano incidental en el que se cumple el Postulado de la
Única Paralela "PUP": Dada una recta r y un punto P tal que P  r , existirá una única
recta s paralela a r que pase por P.
Por ejemplo, en 17.1.7 se verá que todo plano cartesiano K 2 sobre un cuerpo K es afín.
1.4 Planos finitos.
1.4.1 Definición. El plano de tres puntos.
Puntos: Tres letras A, B y C.

Rectas:  A, B ,  A, C  ,  B, C 
1.4.2 Definición. El plano de cuatro puntos.
Puntos: Cuatro letras A, B, C y D.

Rectas:
 A, B ,  A, C ,  A, D ,  B, C ,  B, D ,  C , D
Estos dos planos así definidos satisfacen los axiomas I1, I2 y I3, y por tanto son planos
incidentales.
1.4.3 Definición. El plano de Fano.

Un plano de Fano es un plano cumpliendo los siguientes axiomas, llamados “Axiomas
de Fano”:
Axioma F1: Existe al menos una recta.

Axioma F2: Toda recta contiene exactamente tres puntos.
Axioma F3: Para toda recta r existe al menos un punto P tal que P  r .
Axioma F4: Todo par de puntos diferentes pertenecen a una única recta.
Axioma F5: Todo par de rectas tendrá al menos un punto en común.
1.4.4 Proposición.
Todo plano de Fano es un plano incidental.
Demostración. El Axioma I1 es el Axioma F4. El Axioma F2 implica el Axioma I2.

El Axioma I3 se cumple aplicando el ejercicio 1.3.17.
1.4.5 Ejercicio.
En un plano de Fano existe al menos un punto.
Demostración. Basta aplicar el Axioma F1 y después el Axioma F2.
1.4.6 Ejercicio.
Todo par de rectas diferentes se cortan en un único punto.
Demostración. Dadas dos rectas r y s, por el Axioma F5 garantizamos que al menos
existirá un punto A  r  s . Supongamos que también B  r  s , con A  B . Entonces
las rectas r y s contienen ambos puntos, y por tanto, aplicando F4, tenemos r  s ,
contradiciendo la hipótesis.
1.4.7 Proposición.
En un plano de Fano existen exactamente siete puntos.
Demostración. Por el Axioma F1 existirá al menos una recta r1, y por el Axioma F2
dicha recta contendrá exactamente tres puntos, digamos A, B y C. Además, por el
Axioma F3 existirá un punto D tal que D  r1 . Por lo tanto son cuatro puntos
diferentes.
Los puntos A y D pertenecen a una recta r2 por F4, y aplicando F2 a r2 existirá tercer
punto E. E  r1 , pues si E  r1 entonces r1  r2 y por tanto D  r1 , contradiciendo la
hipótesis.
De la misma forma obtenemos los puntos F  BD y G  CD .
1.4.8 Proposición.
En un plano de Fano cada punto pertenece a exactamente tres rectas.
Demostración.
1.4.9 Proposición.
En un plano de Fano no existe ningún punto que pertenezca a todas las rectas a la vez.
Demostración.
1.4.10 Proposición.
En un plano de Fano existen exactamente siete rectas.
Demostración.
1.4.11 Definición. Un modelo para el plano de Fano.

Puntos: Siete letras diferentes A, B, C, D, E y F.
Rectas: Los conjuntos
{ A, B, C},{ A, F , E},{C , D, E},{F , G, C},
{ A, G , D}, {E , G , B},{F , D, B}
1.4.12 Definición. Plano de Young.

El Plano de Young se diferencia del Plano de Fano únicamente en el quinto axioma:
Axioma Y1: Existe al menos una recta.

Axioma Y2: Toda recta contiene exactamente tres puntos.
Axioma Y3: Para toda recta r existe al menos un punto P tal que P  r .
Axioma Y4: Todo par de puntos diferentes pertenecen a una única recta.
Axioma Y5: Para cada recta r y para cada punto P tal que P  r , existe una única recta s
que pasa por P y es paralela a r.
1.4.13 Definición. Un modelo para el plano de Young.

Puntos: Las letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, J
Rectas: {A,B,C}, {A, D, G}, {A, E, H}, {A, F, I}, {B, D, H}, {B, E, I}, {B, F, G},
{C, D, I}, {C, E, G}, {C, F, H}, {D, E, F}, {G, H, I}

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GEOMETRÍA AXIOMÁTICA

Geometría neutral, euclídea y cartesiana

Gerard Romo Garrido

Se agradecerá cualquier observación, comentario, rectificación o colaboración a toomates@gmail.com

Actualmente Toomates Cool·lección consta de los siguientes documentos:

Geometría axiomática: pdf MS Word

Àlgebra 1r Batxillerat pdf doc

Versión de este documento: 01/10/2019

la versión más actualizada de este libro.

recopilaciones de ejercicios y problemas para practicar los conceptos de este libro.

la portada de este libro.

17 Planos cartesianos K2. 23 Apéndice.

Internet es la fuente de conocimiento más potente que ha existido en toda la historia de

Gerard Romo, Montbrió del Camp, septiembre del 2019.

1.1.1 Los Elementos de Euclides.

1.1.2 Los trece libros de Los Elementos.

Libro Definiciones Proposiciones Porismas Lemas

1.1.4 El manuscrito "Vat. Gr. 190".

De esta versión se han realizado las traducciones "oficiales" de Los Elementos a la

1.2.1 El Grundlagen de Hilbert.

Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: “Consideramos tres

Grupo I: Siete axiomas de incidencia.

H1.1 Dos puntos distintos A y B determinan una recta AB .

H1.3 Tres puntos A, B y C no situados en una misma recta determinan un plano α.

H1.5 Si dos puntos A y B de la recta r yacen en el plano α, entonces todo punto de r

H1.7 a) En cada recta hay al menos dos puntos;

Grupo II: Orden

Grupo III: Paralelismo

H4.2 Si un segmento AB es congruente con el segmento A' B ' y también con el

H4.3 Sean AB y BC dos segmentos de la misma recta sin puntos en común a

H4.5 Si el ángulo ( h, k ) es congruente con el ángulo (h' , k ' ) y con el ángulo

1.2.3 Consistencia e independencia de sistemas axiomáticos.

La mejor forma de garantizar la consistencia de un sistema axiomático es encontrar un

Diremos que un determinado axioma de un sistema axiomático es dependiente del resto

Para demostrar la independencia de un axioma es suficiente encontrar un modelo en el

También podemos decir que una determinada proposición es independiente de un

El capítulo 2 del Grundlagen está dedicado a demostrar la consistencia y la mutua

1.2.4 Completitud de sistemas axiomáticos.

El Axioma HC de Hilbert afirma que su sistema axiomático es completo, es decir, que

"An axiom about axioms with a complicated logical structure" (Schmidt)

1.2.5 Construcción de nuevas geometrías.

b) Sustituyendo un axioma por su negación y comprobando que el sistema resultante es

El efecto del descubrimiento de la geometría hiperbólica sobre nuestras ideas

Como consecuencia del descubrimiento de modelos geométricos hiperbólicos en el siglo

c) Sustituyendo un axioma por una proposición y estudiando las propiedades del

1.2.7 Nota. Geometría del plano vs. Geometría del espacio.

Entendiendo que la geometría del espacio es una ampliación natural e independiente de

Sin embargo, plano y espacio no son totalmente independientes. Por ejemplo, el

1.3.2 Definición. Plano incidental.

Axioma I1. El axioma de incidencia. (Elementos, postulado 1.1, H1.1)

En Los Elementos no aparecen el resto de consideraciones que relacionan puntos y

Axioma I2. (H1.7a)

Axioma I3. El axioma de existencia. (H1.7b)

Demostración. Se derivan directamente del Axioma I1.

Demostración. Por el Axioma I2 existen P  Q  r y por 1.3.3b deducimos r  PQ .

1.3.5 Definición. Puntos colineales.

Demostración. Es una interpretación del Axioma I3.

1.3.7 Definición. Rectas concurrentes.

1.3.8 Proposición. (Hilbert, Teorema 1)