El intuicionismo es un posicionamiento filosófico acerca de la realidad de la matemática.

Desde este
punto de vista, la matemática (los números, los conjuntos, el infinito, etc.) es interpretada en términos de
construcciones mentales, de tal modo que se puede ver al intuicionismo como una variante del
constructivismo.

Al igual que el logicismo, el intuicionismo buscaba dar a las matemáticas una fundamentación firme.
Mientras que Frege y Russell recurrían a la lógica, los defensores del intuicionismo iban casi en contravía
de la lógica. Leopold Kronecker (1823-1891), el precursor del intuicionismo, rechazó de plano y duramente
la teoría de Cantor en relación con los cardinales transfinitos. Kronecker fue esencialmente constructivista
en el sentido de exigir que los objetos matemáticos fueran creados por procesos algorítmicos específicos,
y no introducidos en las matemáticas a priori, como lo hizo Cantor, a través de las definiciones abstractas
de la teoría de conjuntos.

El matemático holandés L. E. J. Brouwer (1881-1966), inició con su tesis de grado en 1908 toda una
escuela filosófica relacionada con los fundamentos de las matemáticas. La situación histórica en la que se
inició el intuicionismo con Brouwer, era de gran conflicto por cuanto la postura del matemático holandés,
fue demasiado radical al oponerse de plano a la concepción de los logicistas y a la escuela formalista, a la
cabeza de la cual estaba David Hilbert. Decíamos antes que los logicistas no estaban para cuestionar las
matemáticas clásicas, más bien buscaban simplemente mostrar que éstas formaban parte de la lógica.
Los intuicionistas, al contrario, pensaban que las matemáticas clásicas estaban plagadas de errores, a
tal punto que, las paradojas que estudiamos en la teoría de Cantor eran apenas la punta del iceberg.
Alrededor de 1908 las paradojas en la teoría de conjuntos de Cantor ya habían hecho su aparición, y,
paradoja al fin de cuentas, significaba contradicción en una teoría que era más intuitiva que axiomática.

Para Brouwer, la teoría de conjuntos de Cantor fue hecha amañadamente sin ningún enfoque axiomático.
Lo que dio origen a las paradojas, que interpretadas como lo que realmente son (contradicciones en la
teoría), hacía que las matemáticas estuvieran lejos de ser perfectas y por tanto, había la exigencia de
reconstruirlas desde sus mismas bases.

Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de
los números naturales 1, 2, 3,… Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición
congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza
inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó
el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva
repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial
1, 2, 3,…, n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro,
nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando
afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto
Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una
apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”,
y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”.
Vale la pena observar que la construcción intuicionista de los números naturales, sólo permite la
construcción de segmentos de longitud finita con punto inicial, como 1, 2, 3,.. n. Este procedimiento no nos
permite construir de golpe todo el conjunto N de números naturales, tan familiar a las matemáticas
clásicas. También es importante notar que, esta construcción es, a la vez, inductiva y efectiva; inductiva en
el sentido de que si queremos construir, digamos el número 2¸ uno tiene que recorrer el proceso mental de
construir el número 1 y luego el número 2. Es decir, al número 2 no lo podemos sacar como el mago saca
de su sombrero una paloma. El proceso es efectivo (entendido como causa-efecto) en el sentido de que
una vez hemos logrado la construcción de un número natural dado, él queda ya como un constructo
mental completo, listo a convertirse en objeto de estudio. Cuando alguien dice que ha terminado la
construcción del número 6, por ejemplo, su situación es similar a aquella, en la que está el albañil, cuando
ha pegado uno a uno hasta el último ladrillo y dice, “he terminado este muro”.

Según la filosofía intuicionista, las matemáticas podrían definirse como una actividad mental y no
como un conjunto de teoremas en el sentido del logicismo. Para el matemático intuicionista, las
matemáticas son una actividad que consiste en llevar a cabo, una tras otra, aquellas construcciones
mentales, que son inductivas y efectivas, entendidas como se entiende, la construcción intuicionista de los
números naturales: inductiva y efectiva. El intuicionismo sostiene que los seres humanos son capaces de
reconocer si una construcción mental tiene o no estas dos propiedades. Nos referiremos a las
construcciones mentales que tienen estas dos propiedades como un “constructo”; y así una definición
intuicionista de matemáticas dice: las matemáticas son una actividad mental, que consiste en realizar
constructos, uno detrás del otro.

Cada constructo es constructivo, y las matemáticas intuicionistas no serán otra cosa que tratar, uno tras
otro, los constructos mentales.

Por ejemplo, si un número real r ocurre en una prueba o en un teorema intuicionista, el número nunca
estará allí en virtud de una prueba de existencia. Estará allí porque se construyó previamente desde el
fondo hasta el tope. Esto implica, por ejemplo, que cada lugar decimal en su expansión decimal de r puede
en principio computarse. Brevemente, todas las pruebas intuicionistas, teoremas, definiciones, etc., son
enteramente constructivas.

Para los intuicionistas, los procesos lógicamente válidos se dan, porque ellos son constructos y así, la
parte válida de la lógica clásica es parte de las matemáticas. Cualquier ley de la lógica clásica no
compuesta de constructos es para el intuicionista una combinación de palabras sin sentido. Esto implica
que la clásica ley del tercero excluido, no sea más que una combinación de palabras sin significado, y así
este principio tan importante en las matemáticas clásicas, no puede usarse indiscriminadamente en
matemáticas intuicionistas.

Una vez que la definición de matemáticas se ha entendido y aceptado, lo que resta hacer es, construir
matemáticas a la manera intuicionista.

Observamos aquí otra diferencia de bulto entre el logicismo y el intuicionismo: los logicistas
buscaron justificar todas las matemáticas clásicas, mientras los intuicionistas se dedicaron a hacer sus
propias matemáticas. Para formarse una idea del alcance de su propósito es bueno dar una ojeada a la
obra Heyting, donde uno encontrará matemáticas de gran valor. Heyting fue discípulo de Brouwer y otro
gran exponente de las matemáticas intuicionistas.

Arend Heyting estudió en la Universidad de Ámsterdam bajo la dirección de Brouwer y obtuvo su

doctorado en 1925, con una tesis sobre la axiomatización intuicionista de la geometría proyectiva.

En 1930 publicó una obra relacionada con la formalización de las teorías intuicionistas de Brouwer, obra
ésta que no solo hizo de Heyting un personaje destacado de la filosofía intuicionista, sino que, además, las
teorías de su maestro llegaron a ser más asequibles.

Recordamos aquí a Heyting en el Simposio de Königsberg, el 7 de Septiembre de 1930, defendiendo sus

teorías intuicionistas, frente a Rudolph Carnap (1891-1970) y a John von Neumann (1903-1957), quienes
harían lo propio, representando al logicismo y al formalismo, respectivamente.

En 1934 apareció su libro Intuicionismo y Teoría de la Prueba en el cual a la manera de Hilbert busca
sustentar la lógica intuicionista en el plano de las metamatemáticas. A partir de 1937 fue profesor de la
Universidad de Ámsterdam hasta su retiro en 1968. A lo largo de su carrera profesional escribió artículos y
libros que divulgaban y sustentaban sus principios intuicionistas en diferentes terrenos, desde el álgebra
hasta en los espacios de Hilbert. Aun puede conseguirse copias de su obra clásica: Intuitionism: An
Introduction (Primera edición, 1956).

Una razón para ello es que los matemáticos clásicos no están dispuestos a alejarse de muchos de los
hermosos problemas y teoremas que, para los intuicionistas no son más que combinación de palabras sin
sentido. Un ejemplo de los primeros es la Hipótesis del Continuo, que David Hilbert puso a encabezar
entre sus veintitrés problemas propuestos en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900,
celebrado en París3. Un ejemplo de los segundos ocurre en topología y análisis matemático, y es el
teorema del punto fijo de Brouwer, el cual es rechazado por los mismos intuicionistas, porque el punto fijo
no puede construirse y sólo puede mostrarse la existencia del punto fijo a través del recurso de una prueba
existencial y no constructivista. Este teorema lo formuló y demostró el mismo Brouwer en su época
preintuicionista cuando lideró el desarrollo de la topología, sin embargo, fue rechazado por él y su escuela,
al reconocer que no podía acomodarse, en las matemáticas intuicionistas. Una versión de este teorema
para funciones continuas de variable y valor real dice:

TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROUWER.

Toda función continua de un intervalo cerrado en sí mismo, tiene al menos, un punto fijo. Esto es, existe un
punto x 0 ∈[a, b], tal que f(x 0 ) = x 0 .
Otra razón para el rechazo del intuicionismo, se origina en teoremas que pueden probarse tanto en
matemáticas clásicas como en matemáticas con enfoque intuicionista. Con frecuencia ocurre que estos
teoremas tienen pruebas cortas, elegantes e increíblemente recursivas en matemáticas clásicas, pero son,
no constructivas. Los intuicionistas desde luego las rechazan y las sustituyen a su modo por pruebas
constructivas. Sin embargo, estas pruebas constructivas se convierten en pruebas mucho más largas, y en
su apariencia, al menos para los matemáticos clásicos, han perdido toda su elegancia. Un ejemplo es el
teorema fundamental del álgebra, cuya prueba en matemáticas clásicas se hace en media página, pero la
misma demostración en matemáticas intuicionistas es diez veces más larga. Los matemáticos clásicos se
resisten a creer que las elegantes pruebas de sus teoremas no tengan sentido, sólo por ser no
constructivas.

Finalmente están los teoremas que valen en el intuicionismo y son falsos en las matemáticas clásicas. Un
ejemplo es el teorema intuicionista que afirma que: Toda función de valor real definida en todo R es
continua. Este teorema no es tan traído de los cabellos, como aparenta ser, cuando se tiene en cuenta la
forma cómo se define, en el terreno intuicionista, una función. Para ellos una función de valor real en todo
R se define, sólo si, para cada real r cuya construcción intuicionista se ha completado, también el número
f(r) puede ser construido. Para un matemático clásico, las funciones continuas no satisfacen ese criterio,
las funciones discontinuas, menos. De aquí que, matemáticas que reconozcan este enunciado como
teorema, no pueden ser aceptadas como tales, entre los matemáticos clásicos.

Las anteriores razones que usan los matemáticos clásicos para rechazar el intuicionismo no son, ni
racionales, ni científicas. Tampoco son razones pragmáticas, basadas en la convicción de que las
matemáticas clásicas son mejores, para las aplicaciones en la física o en otras ramas de la ciencia, donde
no han entrado las matemáticas intuicionistas. Todas ellas son, esencialmente, razones emotivas,
arraigadas en sentimientos profundos de apego a las matemáticas en las que tradicionalmente nos hemos
desenvuelto. Aquí enfrentamos entonces la segunda crisis de las matemáticas, que consiste en la falla de
la escuela intuicionista de convencer a la mayoría de la comunidad matemática para que siga sus
lineamientos.

Es importante anotar que, al igual que el logicismo, el intuicionismo también tiene sus raíces en la filosofía.
Cuando, por ejemplo, los intuicionistas establecen su definición de matemáticas, ellos usan estrictamente
lenguaje filosófico y no matemático. La actividad mental que conduce a las matemáticas, puede definirse
en términos filosóficos, pero debe, por necesidad, usar términos que no pertenecen a la actividad que
pretende definir. Al igual que el logicismo está ligado al realismo, el intuicionismo está emparentado con
una escuela filosófica a veces denominada: “conceptualismo”. Esta escuela sostiene que las entidades
abstractas existen, solamente en la medida, en que ellas sean construidas por la mente humana. Esta es,
en verdad, la actitud de los intuicionistas, para quienes las entidades abstractas que ocurren en
matemáticas, ya sean sucesiones, relaciones de orden, o lo que se use, son construcciones mentales.
Además, esta es, precisamente la razón, por qué, uno no encuentra en el intuicionismo la gran variedad de
entidades abstractas que encuentra en las matemáticas clásicas y por consiguiente en el logicismo. El
contraste entre logicismo e intuicionismo en las matemáticas, es muy similar entonces, al que existe entre
realismo y conceptualismo.
No dejemos pasar la oportunidad, ahora que estamos hablando de intuicionismo, para traer a cuento al
matemático ruso Andrei N. Kolmogórov (1903-1987), quien mantuvo correspondencia con Heyting en
relación con el intuicionismo. Al matemático ruso lo recordaremos, no sólo por sus grandes contribuciones
al análisis matemático, a las ecuaciones diferenciales y a otros campos de las matemáticas y de la física,
sino también por la formalización que hizo de la teoría de probabilidades, usando lógica y teoría de
medida.

Brouwer y el Intuicionismo.

Nace Brouwer en 1881. Lo consideraron un niño prodigio, a los pocos años de edad se matricula en la
Universidad de Ámsterdam, para estudiar Matemática.
Brouwer, en general, desprecia la filosofía académica, y va formándose en el que lo llama su filosofía de
vida, que impregnara después en su concepción matemática. Especialmente importante para esta serán
sus ideas sobre el lenguaje y el tiempo.
En relación con el tiempo dice que “el fenómeno primordial no es otro que la intuición del tiempo, en el que
la repetición de algo en el tiempo y otra vez ese algo es posible”.
El tiempo, la intuición primordial, es un suceso en la génesis de las cosas; es la presencia simultanea en la
conciencia de dos sensaciones, la del pasado y la del presente. La intuición primordial es una intuición
mediante la cual el hombre capta en el tiempo la relación del antes-después.
Su filosofía de la matemática: El primer acto del Intuicionismo.
Su interpretación de las matemáticas como pensamiento constructivo a partir de la intuición primordial
surge en el proceso de eliminación de aquellos elementos nocivos, por pura reflexión filosófica sobre la
naturaleza del razonamiento y la constitución del tiempo.

Para Brouwer la ciencia oficial consiste en la clasificación sistemática de secuencias causales de

fenómenos y en particular, las matemáticas serian la rama del pensamiento científico que se ocuparía de
estudiar la estructura de los fenómenos.
La concepción Dinámica que tiene Brouwer de las matemáticas, estas evolucionan a lo largo de la historia,
y son el producto de la mente humana con todos los defectos que ello conlleva en cuanto a factibilidad.
Los intuicionistas consideran la creencia en la validez universal del principio del tercio excluso en
matemáticas como un fenómeno del mismo tipo que la creencia en la racionalidad de π o de la rotación del
firmamento en torno ala tierra. Según Brower, la aplicación incorrecta del principio del tercio excluso esta
causada por los siguientes hechos:
a. La lógica clásica es una abstracción conseguida a partir de las matemáticas subconjuntos de un
conjunto finito.
b. Se adscribe esta lógica clásica una existencia “a priori” independientemente de las matemáticas.
c. Merced a este apriorismo el principio del tercio excluso es aplicado injustificadamente a las matemáticas
de conjuntos infinitos.
Brouwer, se concentra en el problema del continuo y la necesidad de acomodar los números reales, de
una manera constructiva, en el continuo geometrico.
Los puntos fundamentales de la concepción Brouweriana del continuo pueden resumirse de la siguiente
forma:
1. El único “elemento a priori” del continuo es el tiempo.
2. El continuo matemático es un concepto creado mediante la abstrccion matemática, existente
únicamente en la mente del hombre.
3. El continuo es un concepto primitivo, directamente extraído de la conciencia del tiempo.
4. El continuo no puede ser identificado como una totalidad construida de puntos.

Estos tienen un papel en el análisis del continuo extremo de los intervalos en que este puede
descomponerse, pero no son partes constituyentes del mismo.
Brouwer, no considera sus sucesiones de libre elección como un todo dado y con ellas pretende además
reflejar el crecimiento y aspecto dinámico continuo matemático, inspirado en la intuición del tiempo que
fluye.

Internet:
Un principio básico, llamado por brouwer “el acto primero” del intuicionismo, lo formulo ele mismo de la
siguiente manera:
Separar de manera completa la matemática del lenguaje matemático y por lo tanto de los fenómenos del
lenguaje descripto por la lógica teórica, reconociendo que la matemática intuicionista es una actividad de la
mente que en esencia carece de lenguaje y tiene como origen en la percepción de un movimiento en el
tiempo.
Brouwer distinguió 2 clases de contradicciones:
La contradicción lógica es un hecho lingüístico mientras que la contradicción matemática es la
imposibilidad de efectuar una contradicción.
Para Brouwer el único determinante de la verdad matemática es la actividad mental, luego una proposición
matemática se vuelve verdadera cuando el sujeto experimenta, su verdad después de hacer efectuado
una construcción mental adecuada, en cambio una proposición se hace falsa cuando el sujeto se
convence de que su construcción mental es imposible. Brouwer expresa que “NO HAY VERDADES NO
EXPERIMENTADAS”.
El concepto INTUICIONISTA de la negación conduce a rechazar el principio de la doble negación:
Muy cercada a esta consecuencia hay otra que es una característica muy famosa de intuicionismo, el
rechazo del principio del tercer excluido.
El principio del tercero excluido:

Este principio declara que todo tiene que ser o no ser "A es B" o "A no es B".

Si decimos, por ejemplo, que "el perro es un mamífero" y que "el perro no es mamífero", no podemos rechazar estas
dos proposiciones como falsas, pues no hay una tercera posibilidad.

En el principio de tercero excluido es preciso reconocer que una alternativa es falsa y otra verdadera y que no cabría
una tercera posibilidad.

Ejemplos:

El día está nublado o no está nublado. 

Ese marcador es rojo o no lo es. 

Esa persona es inocente o no es inocente. 

Está haciendo calor o no está haciendo calor. 

La cama va a sernos cómoda o no va sernos cómoda. 

POWER POINT
BIOGRAFIA

• Al principio de su carrera, Brouwer había demostrado un buen número de teoremas que denotaron
avances significativos en el campo emergente de la topología. El resultado más celebre fue su
prueba de la invariación del dominio.
• Brouwer ideo la filosofía matemática que denomino intuicionismo, que es esencialmente una
filosofía de los fundamentos de las matemáticas.
• Intuicionismo o neointuicionismo, es una aproximación a las matemáticas a partir de una
vista mental constructiva humana.

Brouwer

• Su idea era que el tiempo, como fenómeno fundamental de la inteligencia humana, nos hace
capaces de disgregar en instante el discurso de nuestras vidas.
• En primer término, la noción de los números ordinales y tras ella la noción del continuo lineal. Los
puntos fundamentales de la concepción intuicionista del continuo pueden resumirse de la siguiente
forma:
• Primero, el único elemento a priori del continuo es el tiempo.
• Segundo, el continuo matemático es un concepto construido, libremente creado mediante la
abstracción matemática pero que existe únicamente en la inteligencia del matemático.
• Tercero, el continuo no puede ser identificado sin mas como una totalidad construida de puntos.

Exigen Brouwer y Weyl que la matemática se distinga de la lógica.

• La matemática no trata de conjuntos cualesquiera.

• La matemática tiene como característica determinar los objetos indicando un numero finito de
operaciones que se pueden realizar efectivamente, que permiten construir los elementos del
conjunto.
• La construcción finita es, pues, lo que distingue la matemática de la lógica.

El problema de la intuición:

Sabemos que la intuición quedo planteada de manera doblemente negativa:

• (a) por el rechazo de todo cuando se halle relacionado al concepto matemático de infinito actual.
• (b) por el rechazo de subordinar la matemática a principios lógicos-lingüísticos.
• El problema de saber en qué consiste tal concepción clara y distinta que la mente atenta construye.
En consecuencia, se vuelve muy complicado dar con el significado univoco de los términos
construcción y constructivo.

Construcción Matemática

• Construir no es solamente hacer de algo un término intencional e irreal, esto es seria una simple
cuestión de contenidos. Construir, dicho más técnicamente, consiste en proyectar lo irreal del
concepto sobre “la” realidad “según conceptos”. Por tanto, construcción es un modo de
realización: es realizar según conceptos. Esta conceptualización de la realidad matemática por
construcción no es pues un logicismo ni e un formalismo, pero tampoco es ahora, ni remotamente
lo que se había presentado como oposición o como alternativa fiable: el intuicionismo de Brouwer.