Tali U2 A3 Marv

Universidad Abierta y a Distancia de México
(UnADM)
División de Ciencias de la salud, biológicas y ambientales.
Algebra Lineal
Docente académico:
Guillermo Enríquez Olguín
Actividad 3 Unidad 2. Método de Gauss
Alumno:
 Reynosa Velázquez Martha Cecilia
Matrícula: ES202107029
05-AGO-2020
INTRODUCCIÓN
Un método directo para resolver un sistema lineal de ecuaciones es el método de Gauss,
el cual se basa en la idea de reducir la matriz aumentada del sistema dado a una matriz
escalonada, que luego pueda resolverse mediante sustitución hacia atrás. El método es
directo en el sentido de que conduce directamente a la solución del sistema lineal de
ecuaciones, en un número finito de pasos. Es un procedimiento sistemático relativamente
rápido y sencillo para matrices de orden pequeño y que puede también emplearse para
resolver sistemas con parámetros.
Si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con solución única, en el que la matriz de
coeficientes es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden
calcular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última
incógnita de la última ecuación, se sustituye en la penúltima ecuación; después se
despeja de esta ecuación la penúltima incógnita y se repite el proceso hacia arriba hasta
calcular el valor de la primera incógnita.
DESARROLLO
2. Empleando el método de Gauss obtén la solución de los siguientes tres sistemas de
ecuaciones:
a) ¿
Solución:
2 4 2 18 2 4 2 18
( |)
R
4 5 6 24 2
3 1 −2 4
−2 R 1 → R
(
2 0 −3
| )
3
2 −12 R 3− R → R3
3 1 −2 4
2 1
2 4 2
(
2 4 2 18
| ) 5
0 −3 2 −12 R 3− R → R3
0 −5 −5 −23
3 2
0 −3
0 0 ( 2
−25
3
|)
18
−12
−3
Nuevo sistema de ecuaciones

2 x1 + 4 x 2+2 x 3=18
−3 x 2 +2 x3 =−12
−25
x =−3
3 3
Despejando
−25
−25 3 9
x 3=−3 x 3= =
3 −3 25
1
−318
9 18 −318 25 106
−3 x 2+ 2 ( )
25
=−12−3 x 2=−12− −3 x 2=
25 25 2
x=
−3
=
25
1
8
25
106 9 18 424 18 8 2 4
2 x1 + 4( ) ( )
25
+2
25
=18 2 x1= −
1
− 2 x 1= x 1=
25 25 25 1
=
25
Solución al sistema de ecuaciones lineales

4 106 9
x 1= x= x=
25 2 25 3 25
b) ¿
Solución:
1 −2 3 11 1 −2 3 11
( |) ( | )
4 1 −1 4 R2−4 R1 → R2 0 9 −13 −40 R 3−2 R1 → R3
2 −1 3 10 2 −1 3 10
1 −2 3 11
(
1 −2 3 11
| ) 1
0 9 −13 −40 R3− R → R 3
0 3 −3 −12
3 2 0 0
4
3
(
0 9 −13 −40
4
3
|)
x 1−2 x2 +3 x 3=11
9 x 2−13 x 3=−40
4 4
x=
3 3 3
Despejando
4 4
x 3= x3 =1
3 3
−27
9 x 2−13 ( 1 )=−40−3 x 2=−40−13−3 x2 =−27 x 2= =−3
9
x 1−2 (−3 ) +3 ( 1 )=11 x 1+ 6+3=11 x 1 +9=11 x1 =11−9=2
x 1=2 x2 =−3 x3 =1
−x 1 + x 3=0
c) x 2 +3 x 3=1
x 1−x 2=−3
Solución:
−1 0 1 0 −1 0 1 0
(0
|)
1 3 1 R3 −(−1)R 1 → R 3 0
1 −1 0 3 ( |)
1 3 1 R 3−(−1) R2 → R3
0 −1 1 −3
−1 0 1 0
(0 1 3 1
0 0 4 −2 |)
Nuevo sistema de ecuaciones:
−x 1+ x3 =0
x 2 +3 x3 =1
4 x3 =−2
Despejando
−2 −1
4 x3 =−2 x 3 = =
4 2
( −12 )=1 x +( −32 )=1 x =1−( −32 ) x = 52

x 2+ 3 2 2 2
−1 −3 −3 −1
−x + 3 (
1 )=0−x +( 1 )=0 x =1+(
1 ) x=
1
2 2 2 2

−1 5 −1
x 1= x 2= x 3 =
2 2 2
11
d) x +¿ y+ ¿ z=¿ 2 x +¿ 3 y−¿ 3 z=¿−3 x+ ¿ z ¿ 25
0
Solución:
1 1 1 11 1 1 1 11
( |) ( |)
2 3 2 25 R2 −2 R1 → R 2 0 1 0 3 R3−(−3)R 1 → R 3
−3 0 1 0 −3 0 1 0
1 1 1 11 1 1 1 11
( |) ( |)
0 1 0 3 R3−3 R 2 → R 3 0 1 0 3
0 3 4 33 0 0 4 24

x + y + z=11
y=3
4 z=24
Despejando
24
4 z=24 z= z=6
4
y=3
x +3+6=2 x +9=11 x=11−9 x=2
x=2 y=3 z=6
e) x−¿ y +¿ 3 z=¿ x+ ¿ y+ ¿ z =¿ x+¿ 2 y ¿

Solución:
1 −1 3 −4 1 −1 3 −4
( 1 1 1 2
1 2 −1 6
R
|)
2 −R 1 → R 2 0
(
1 2 −1 6 |)
2 −2 6 R3−R 1 → R 3
1 −1 3 −4 1 −1 3 −4
( 0 3 −4 10 |)
3
0 2 −2 6 R3− R → R 3 0 2 −2 6
2 2
0 0 −1 1 ( |)
x− y +3 z=−4
2 y −2 z=6
−z=1
Despejando
−z=1 z=−1
4
2 y+ 2 (−1 ) =6 2 y + (−2 )=6 2 y=6−22 y=4 y = =2
2
x−2+3 (−1 )=−4 x +5=−4 x=−4+ 5 x =1
x=1 y=2 z=−1
CONCLUSIÓN
Se logró desarrollar el método de eliminación de Gauss, para resolver diversos sistemas
de ecuaciones lineales, una vez más pusimos en práctica el conocimiento de construcción
de matrices ampliadas, esta vez se realizaron operaciones de renglón, con el fin de
transformar una matriz, a una matriz triangular superior, obtuvimos la solución de los
sistemas de ecuaciones propuestas, descubriendo el valor de cada una de las incógnitas
que estos contenían, todo ello con operaciones matriciales.
Esto nos es de utilidad, pues en la mayoría de veces, los problemas de ingeniería,
matemáticas aplicadas, programación y algebra lineal, se relacionan con la solución de
sistemas de ecuaciones, practicar el método de solución a través de matrices es más
directo y más sencillo ya que las matrices nos permiten manejar los datos de manera
ordenada.
BIBLIOGRAFÍA
 Almeida, P., Franco, J., 1998. Eliminación Gaussiana para sistemas de ecuaciones
lineales. Educación Matemática, [online] 10, pp.74-88. Consultado el 4 de agosto
de 2020. Disponible en:
http://www.revista-educacion-
matematica.org.mx/descargas/Vol10/1/08Almeida.pdf
 Arce, C., Castillo, W. and González, J., 2003. Álgebra Lineal. 3rd ed. LATEX,
pp.82-90.

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Nuevo sistema de ecuaciones

Solución al sistema de ecuaciones lineales

( −12 )=1 x +( −32 )=1 x =1−( −32 ) x = 52

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e) x−¿ y +¿ 3 z=¿ x+ ¿ y+ ¿ z =¿ x+¿ 2 y ¿

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