LT4°

Carla Evelyn Hananía de Varela
Ministra de Educación, Ciencia y Tecnología

Ricardo Cardona Alvarenga
Viceministro de Educación
Wilfredo Alexander Granados Paz
Director Nacional de Educación Media (III Ciclo y Media)
Interino Ad Honorem
Janet Lorena Serrano de López
Directora Nacional de Educación Básica
Interina Ad Honorem
San ago Alfredo Flores Amaya
Director Nacional de Prevención y Programas Sociales
Interino Ad Honorem
Gorka Iren Garate Bayo
Director Nacional de Educación en Ciencia, Tecnología e Innovación
Interino Ad Honorem
Roberto Alejandro Rivera Campos
Gerente de Educación en Ciencia, Tecnología e Innovación
Félix Abraham Guevara Menjívar Gustavo Antonio Cerros Urru a

Jefe del Departamento de Educación en Ciencia, Jefe del Departamento de Especialistas en Currículo
Tecnología e Innovación (Matemá ca) de Educación Media
Equipo técnico autoral del Ministerio de Educación

Primera edición Segunda edición
Doris Cecibel Ochoa Peña Wendy Stefanía Rodríguez Argueta
María Dalila Ramírez Rivera Diana Marcela Herrera Polanco
Wendy Stefanía Rodríguez Argueta Salvador Enrique Rodríguez Hernández
Inés Eugenia Palacios Vicente Ana Ester Argueta Aranda
Alejandra Natalia Regalado Bonilla Ruth Abigail Melara Viera
Vilma Calderón Soriano de Alvarado Vitelio Alexander Sola Gu érrez
Norma Yolibeth López de Bermúdez Francisco Antonio Mejía Ramos
Ruth Abigail Melara Viera
Marta Rubidia Gamero de Morales
Liseth Steffany Mar nez de Cas llo
Equipo de diagramación
Laura Guadalupe Pérez
Judith Samanta Romero de Ciudad Real
Francisco René Burgos Álvarez
Corrección de es lo
Karen Lisse Guzmán Medrano
Ana Esmeralda Quijada Cárdenas
Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de cooperación Internacional del Japón (JICA)
Primera edición c 2018. 372.704 5
M425 Matemática 4 : libro de texto / equipo técnico autoral Wendy Stefanía
Segunda edición c 2019. Rodríguez, Diana Marcela Herrera, Salvador Enrique Rodríguez,
Derechos reservados. Prohibida su venta y s/v Ana Ester Argueta, Ruth Abigail Melara, Vitelio Alexander Sola,
Francisco Antonio Mejía. -- 2a ed. -- San Salvador, El Salv. : Ministerio de
su reproducción con fines comerciales por Educación (MINED), 2019.
192 p. : il. ; 28 cm. -- (Esmate)
cualquier medio, sin previa autorización del ISBN 978-99961-89-95-1 (impreso)
MINEDUCYT. 1. Matemáticas-Libros de texto. 2. Educación primaria-Libros de
Matemática 4 : libro de texto ... 2019
texto. 3. Matemáticas-Enseñanza elemental. I. Rodríguez Argueta,
Imagen de portada con fines educa vos, esta ene como base el cubo Wendy Stefanía, coaut. II. Título.
y un triángulo isósceles, los cuales están formados por rectángulos y BINA/jmh
trapecios paralelos.
Es mados estudiantes:
Nos complace darles la bienvenida a un nuevo año escolar y a una nueva oportunidad de
adquirir muchos conocimientos matemá cos.
Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de

Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemá ca en Educación Básica y Educación Media
(ESMATE) hemos creado para ustedes diversos materiales educa vos, uno de ellos es el Libro
de texto que enen en sus manos.
Este libro con ene múl ples problemas y ac vidades con los que podrán desarrollar su
razonamiento y mejorar las capacidades matemá cas que les serán muy ú les para resolver
situaciones de la vida diaria.
Por ello, les invitamos a abordar cada ac vidad que con ene este libro como un reto a vencer
y contamos con que pondrán todo su esfuerzo y dedicación para conver rse en ciudadanos
ejemplares que contribuyan al desarrollo de nuestro querido país.
Carla Evelyn Hananía de Varela

Ministra de Educación, Ciencia y Tecnología
Ricardo Cardona Alvarenga

Viceministro de Educación
Conozcamos nuestro libro
Segunda edición
En la presente edición se han incorporado las sugerencias y observaciones brindadas por los
docentes del sistema educa vo nacional.
Secciones de cada clase
Título de la clase
Plantea un problema para Destaca los aspectos más
que lo resuelvas en esta clase. importantes sobre lo desarrollado en
la clase.
Presenta una o más soluciones del Con ene ac vidades para que ejercites
problema inicial, una de ellas puede lo aprendido en la clase, similares que
ser similar a tu solución. hiciste en la sección Analiza.
Clases especiales
Prac ca lo aprendido
Presenta ejercicios de todas las clases de una lección o unidad, para que prac ques
los contenidos desarrollados.
Secciones especiales
¿Sabías que...?
¿Qué pasaría?
Presenta problemas similares al de la Proporciona datos curiosos relacionados

sección Analiza, con nuevos retos para al tema presentado en la clase.
que prac ques un poco más.
ecuerda
Presenta uno o más ejercicios de clases, Propone retos matemá cos en los que puedes
unidades o grados anteriores que te servirán aplicar con crea vidad lo visto en clase y
para resolver el Analiza. descubrir lo mucho que has aprendido.
Si ya terminaste ... En esta sección se proponen ejercicios para que prac ques las operaciones básicas.
El propósito es que los resuelvas cuando hayas terminado con el desarrollo de la clase.
Nuestros acompañantes
Serán tus compañeras y compañeros durante todo el año escolar, compar rán con go soluciones a
los problemas planteados en la sección Analiza.
¡Hola, te
acompañaremos
en este nuevo año,
aprenderemos
mucho de Julia Carmen Ana Beatriz José Carlos Antonio Mario
Matemá ca!
Nuestros personajes
Estos personajes forman parte de la fauna de El Salvador y en nuestro libro te darán pistas,
recomendaciones e información adicional para resolver los ejercicios propuestos. Es importante que
los respetemos y protejamos porque son parte de la naturaleza y algunos de ellos están en peligro de
ex nción.
Soy una tortuga

Soy un garrobo, Soy un armadillo, golfina. Nosotras no Soy un perico
es común que nos pero en El Salvador olvidamos el lugar donde frente naranja,
encuentres tomando me conocen como nacimos, por eso regresamos conocido también como
el sol con iguanas, por lo cusuco, poseemos un duro cada año a las playas de El chocoyo. Nosotros
que suelen confundirnos, caparazón que nos ayuda Salvador a poner nuestros podemos llegar a vivir
pero somos especies a protegernos. huevos. hasta 25 años.
diferentes.
Índice
Unidad 1 Unidad 5
Números y operaciones de suma y División ................................................... 81
resta ................................................................. 7
Lección 1: Divisiones entre números de una cifra . 82
Lección 1: Números hasta un millón ................................. 8
Lección 2: Aplicaciones de la multiplicación y la
Lección 2: Descomposición y composición ...................... 10 división ......................................................................... 92
Lección 3: Representación de números en la recta
Lección 3: Divisiones entre números de dos cifras. 105
numérica .................................................................................. 13
Lección 4: Operaciones combinadas ...................... 109
Lección 4: Comparación y aproximación de números
naturales .................................................................................. 15
Lección 5: Suma y resta de números naturales ............. 17 Unidad 6
Área de cuadrados y rectángulos ... 117
Lección 1: Áreas de cuadrados y rectángulos ...... 118
Unidad 2
Figuras y cuerpos geométricos ................. 21
Lección 1: Ángulos .................................................................. 22 Unidad 7
Lección 2: Triángulos ............................................................. 30 Operaciones con números decimales 131
Lección 3: Cuadriláteros ....................................................... 33 Lección 1: El sistema de los números decimales ... 132
Lección 4: Elementos de los sólidos geométricos ......... 46 Lección 2: Suma de números decimales ............... 138
Lección 3: Resta de números decimales ................ 143
Unidad 3
Multiplicación de números naturales ..... 49 Unidad 8
Lección 1: Multiplicación por números de una cifra ..... 50 Fracciones .............................................. 149
Lección 2: Multiplicación por decenas y centenas Lección 1: Tipos de fracciones ................................... 150
completas ................................................................................. 55
Lección 2: Fracciones equivalentes ......................... 159
Lección 3: Multiplicación por números de dos o tres
cifras ........................................................................................... 57 Lección 3: Suma de fracciones homogéneas ......... 163
Lección 4: Resta de fracciones homogéneas ........ 169
Lección 5: Operaciones combinadas con
Unidad 4 fracciones ....................................................................... 175
Números decimales ..................................... 65
Lección 1: Décimas, centésimas y milésimas .................... 66 Unidad 9
Lección 2: Representación de números decimales ........ 76 Medida y representación de datos .. 181
Lección 1: Unidades no métricas .............................. 182
Lección 2: Cálculo del tiempo ................................... 185
Lección 3: Tablas de doble entrada ....................... 186
Lección 4: Pictogramas .............................................. 189
Números y operaciones de
suma y resta
En esta unidad aprenderás a

1
• Leer y escribir números hasta un millón
• Identificar el valor relativo de los números
• Ubicar números en la recta numérica
• Comparar números de seis cifras
• Aproximar números de seis cifras
• Sumar y restar números menores que 1, 000, 000
1.1 Números de cinco cifras
Se presenta la población de algunos municipios del depar-

Municipio Población
tamento de La Unión en 2007. ¿Cómo se lee el número de
personas que vivían en el municipio de Conchagua? Lislique 13, 385
Bolívar 4, 215
Santa Rosa de Lima 27, 693
San José 2, 971
Fuente: VI Censo de Población y V Censo
de Vivienda 2007, El Salvador.
Conchagua 37, 362
Recuerdo que 10 unidades de millar forman 1 decena de millar (10, 000) y se representa DM.
Luego ubico el número en la tabla de valores.
Beatriz Se lee de izquierda a derecha, la “ ” separa la lectura.

DM UM C D U
Primero leo 37 (treinta y siete) y le agrego la palabra “mil”.
3 7 3 6 2 Luego trescientos sesenta y dos.
R: 37, 362 se lee treinta y siete mil trescientos sesenta y dos. 37, 000 es 37 veces 1, 000 por
eso treinta y siete mil.
Se leen los números que están en el lado izquierdo 3 7, 3 6 2

de la “ ” se agrega la palabra “mil” y luego se leen
los números después de la coma. treinta y siete mil trescientos sesenta y dos.
1. Lee la población de algunos municipios de los siguientes departamentos.

Santa Ana Población Morazán Población
Candelaria de La Frontera 22, 686 Cacaopera 10, 943
Coatepeque 36, 768 Corinto 15, 410
Chalchuapa 74, 038 Guatajiagua 11, 721
El Congo 24, 219 Jocoro 10, 060
El Porvenir 8, 232 San Simón 21, 049
Masahuat 3, 393 San Francisco Gotera 10, 102
Metapán 59, 004 Sociedad 11, 406
San Antonio Pajonal 3, 279
San Sebas án Salitrillo 18, 566
Santa Rosa Guachipilín 4, 930
San ago de la Frontera 5, 196 Fuente: VI Censo de Población y V Censo
Texistepeque 17, 923 de Vivienda 2007, El Salvador.
2. Escribe el número que se representa en cada caso:

a. Cuarenta y seis mil trescientos diecisiete
b. Setenta mil seiscientos ocho
8
1.2 Números hasta 1, 000, 000
Unidad 1
Se presenta la población de 5 departamentos
de El Salvador en 2007.
Departamentos Población
Ahuachapán 319, 503
Santa Ana 523, 655
Sonsonate 438, 960
Chalatenango 192, 788
La Libertad 660, 652 Fuente: VI Censo de Población y V
Cuscatlán 231, 480 Censo de Vivienda 2007, El Salvador.
¿Cómo se lee el número de personas que vivían en Chalatenango y Cuscatlán?
Considero que 10 decenas de millar forman 1 centena de

CM DM UM C D U
millar (100, 000) y se agrega una casilla para representar
las centenas de millar (CM). 1 0 0 0 0 0
José
Ubico los números en la tabla de valores.
Chalatenango: Cuscatlán:
CM DM UM C D U CM DM UM C D U
1 9 2 7 8 8 2 3 1 4 8 0
Primero leo 192 (ciento noventa y dos), y le Primero leo 231 (doscientos treinta y uno), y
agrego la palabra “mil”, luego setecientos le agrego la palabra “mil”, luego cuatrocientos
ochenta y ocho. ochenta.
R: 192, 788 se lee ciento noventa y dos mil R: 231, 480 se lee doscientos treinta y un mil
setecientos ochenta y ocho. cuatrocientos ochenta.
Se leen los números que están en el lado izquierdo

de la “ ” se agrega la palabra “mil” y luego se leen los
números después de la coma.
1 9 2, 7 8 8
Además, 10 veces 100, 000 es igual a 1, 000, 000 que ciento noventa y dos mil setecientos ochenta y ocho
se puede escribir como 1 millón y se lee un millón.
1. Lee otros números de la población departamental que está en el Analiza.
2. Lee las siguientes can dades.

a. 300, 000 b. 478, 209 c. 400, 545 d. 903, 621 e. 1, 000, 000
3. Escribe el número que se representa en cada caso:

a. Trescientos noventa y dos mil quinientos doce
b. Ciento setenta mil doscientos cuarenta y ocho
9
2.1 Números en forma desarrollada
1. Escribe en forma desarrollada 241, 713. ¿Qué valor representa 1 según la posición que ocupa?
2. ¿Qué número se forma con 30, 000 + 5, 000 + 200 + 1?
1. Ubico 241, 713 en la tabla de valores 2. 30, 000 + 5, 000 + 200 + 1

CM DM UM C D U
2 4 1 7 1 3 3 decenas 5 unidades 2 centenas 1 unidad
Carmen
de millar de millar
2 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 DM UM C D U
1 0 0 0 3 5 2 0 1
7 0 0
1 0 Como no se enen decenas se coloca 0 en
3 esa posición.
R: 241, 713 = 200, 000 + 40, 000 + 1, 000 + 700 + 10 + 3 R: Se forma 35, 201.

El 1 ocupa la posición de las unidades de millar y
decenas. 241, 713
1, 000 10
Para escribir un número en forma desarrollada, se descompone en valores posicionales y se escribe

como suma.
¿Sabías que...?
Existe otra manera de representar en forma desarrollada los números
241, 713 = 200, 000 + 40, 000 + 1, 000 + 700 + 10 + 3
2 veces 4 veces 1 vez 7 veces 1 vez 3 veces
100, 000 10, 000 1, 000 100 10 1
241, 713 = 100, 000 × 2 + 10, 000 × 4 + 1, 000 × 1 + 100 × 7 + 10 × 1 + 1 × 3
1. Escribe los números en forma desarrollada.

a. 451, 837 b. 701, 214 c. 130, 470 d. 3, 802
2. Escribe el número que se forma en cada caso.

a. 400, 000 + 10, 000 + 8, 000 + 400 + 20 + 6 b. 200, 000 + 30, 000 + 4, 000 + 900 + 1
c. 500, 000 + 3, 000 + 600 + 10 + 8 d. 70, 000 + 500 + 8
3. Escribe el valor que representa cada número de acuerdo a su posición.

Ejemplo: 7 en 357, 821 representa 7, 000.
a. 5 en 831, 915 b. 3 en 230, 461 c. 2 en 147, 235 d. 6 en 268, 160
10
2.2 El sistema decimal de los números
Unidad 1
Observa qué sucede al mul plicar y dividir en la tabla de valores:
a. ¿100 veces 10 es?
b. ¿10 veces 1, 000 es? DM UM C D U
c. ¿1, 000 entre 100 es?
÷ 10 1 0 × 10
d. ¿10, 000 entre 100 es? 1 0 0 × 100
÷ 10 × 10
÷ 1, 000 ÷ 100
÷ 10
1 0 0 0 × 10
1 0 0 0 0
Observo que al mul plicar un número por 10, el valor posicional del número cambia una posición
hacia la izquierda, agregándose un cero a la derecha.
Carlos
a. 100 veces 10 son 100 decenas que equivalen b. 10 veces 1, 000 son 10 unidades de mi-
a una unidad de millar; es decir 1, 000. llar que equivalen a 1 decena de millar;
es decir, 10, 000.
R: 100 veces 10 es 1, 000
R: 10 veces 1, 000 es 10, 000
Al dividir un número entre 10, el valor posicional del número cambia una posición hacia a la derecha,
quitándose un cero de la derecha.
c. 1, 000 entre 100; es decir una unidad de millar d. 10, 000 entre 100; es decir una decena de mi-
entre una centena indica cuántas veces cabe 1 llar entre una centena indica cuántas veces
centena en 1 unidad de millar, el resultado es cabe una centena en una decena de millar, el
10, pues 10 centenas son una unidad de millar. resultado es 100.
R: 1, 000 ÷ 100 = 10 R: 10, 000 ÷ 100 = 100
Al mul plicar un número por 10, 100, 1, 000, 10, 000... aumenta su valor posicional en 1, 2, 3, 4... lugares.
Al dividir un número entre 10, 100, 1, 000, 10, 000... disminuye su valor posicional en 1, 2, 3, 4... lugares.
CM DM UM C D U
÷ 10
1 × 10
÷ 10, 000 ÷ 10
1 0 × 10
× 100
÷ 1, 000 ÷ 100 1 0 0 × 1, 000
÷ 10 × 10
1 0 0 0 × 10, 000
÷ 10 1 0 0 0 0 × 10
1 0 0 0 0 0 × 10
Observa la tabla del Comprende y responde.

a. 10 veces 1, 000 es____________ b. 10 veces 10, 000 es____________
c. 100 veces 100 es____________ d. 100 veces 1, 000 es____________
e. 10, 000 entre 100 es____________ f. 1, 000 entre 10 es____________
g. 100, 000 entre 10, 000 es____________ h. 100, 000 entre 10 es____________
11
2.3 Prac ca lo aprendido
1. Población del departamento de San Miguel. San Miguel Población

a. Lee la población de cada municipio. Carolina 8, 240
b. Lee el número que te indique tu compañero. Chapel que 10, 728
c. Escribe los números que lea tu compañero. Chinameca 22, 311
Chirilagua 19, 984
Ciudad Barrios 24, 817
Comacarán 3, 199
El tránsito 18, 363
Lolo que 14, 916
Moncagua 22, 659
Nueva Guadalupe 8, 905
Nuevo Edén de San Juan 4, 034
Quelepa 4, 049
San Antonio 5, 304
San Gerardo 5, 986
San Jorge 9, 115
San Luis de la Reina 5, 637
San Rafael Oriente 13, 290
Fuente: VI Censo de Población y V Censo Sesori 10, 705
de Vivienda 2007, El Salvador. Uluazapa 3, 351
2. Escribe en números las siguientes can dades:

a. Ciento vein cinco mil diez. b. Noventa mil setecientos cuarenta y cinco.
c. Treinta y cinco mil cuatrocientos. d. Trescientos ocho mil quinientos setenta y seis.
e. Doscientos cuarenta mil.
3. Escribe las can dades en forma desarrollada.

a. 40, 755 b. 873, 421
4. Las siguientes can dades están escritas en forma desarrollada. Escribe el número que componen.
a. 20, 000 + 6, 000 + 800 + 50 + 2
b. 600, 000 + 50, 000 + 2, 000 + 70 + 3
5. Escribe el valor que representa cada número de acuerdo a su posición.

a. El 8 en 96, 835 representa _____________ b. El 5 en 753, 560 representa _____________
6. Encuentra el número correspondiente:

a. ¿Cuánto es 10, 000 veces 10? b. ¿Cuánto es 100, 000 entre 1, 000?
c. ¿Cuánto es 1, 000 entre 10? d. ¿Cuánto es 100, 000 entre 100?
Escribe los números que faltan para completar la otra forma desarrollada:
a. 548, 307 = 100, 000 × ___ + 10, 000 × ___ + 1, 000 × ___ + 100 × ___ + 10 × ___ + 1 × ___
b. 260, 930 = 100, 000 × ___ + 10, 000 × ___ + 1, 000 × ___ + 100 × ___ + 10 × ___ + 1 × ___
12
3.1 Números en la recta numérica
Unidad 1
Si a la distancia que hay entre cada marca de la recta numérica se le llama escala:
a. ¿Cuál es la escala de cada recta?
b. ¿Qué números señalan A, B, C y D?
0 10, 000 20, 000
A B
300, 000 400, 000 500, 000

C D
a. En la primera recta de 0 a 10, 000 hay 10 partes iguales, entonces, la escala de la recta es de

1, 000 mientras que en la segunda recta, de 300, 000 a 400, 000 hay 100, 000 dividido en 10
partes iguales, la escala de la recta es de 10, 000.
Ana
b. 4, 000 23, 000
0 10, 000 20, 000
A B
De 0 hasta la marca A hay 4 veces 1, 000, De 20, 000 a la marca B hay 3 veces 1, 000,
entonces A señala 4, 000. por lo tanto B señala 23, 000.
360, 000 530, 000
300, 000 400, 000 500, 000

C D
Después de 300, 000 hay 6 veces 10, 000, De 500, 000 a la marca D hay 3 veces 10, 000,
entonces, C señala 360, 000. por lo tanto D señala 530, 000.
Para iden ficar números en la recta numérica:

① Se determina la escala de la recta numérica.
② Se hace el conteo de cuánto en cuánto, según el valor de la escala, desde la primera marca hasta
llegar a la marca donde está el número que se quiere iden ficar.
Iden fica los números que están señalados en las siguientes rectas numéricas:
a.
0 10, 000 20, 000 30, 000 40, 000

A B C
b.
500, 000 600, 000 700, 000 800, 000 900, 000

D E F G
13
3.2 Ubicación de números en la recta numérica
Ubica en cada recta numérica los números que se indican.

a. 43, 000 y 67, 000
40, 000 50, 000 60, 000 70, 000
b. 150, 000 y 380, 000
0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000
a. La escala de la recta numérica es 1, 000.

43, 000 67, 000
40, 000 50, 000 60, 000 70, 000

Mario
Como 43, 000 = 40, 000 + 3, 000 me ubico en Para ubicar 67, 000 cuento 7 espacios de
40, 000 y cuento 3 espacios de 1, 000. 1, 000 después de 60, 000.
b.
150, 000 380, 000
0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000
Observo que 150, 000 = 100, 000 + 50, 000. Para ubicar 380, 000 cuento 8 espacios de
Entonces cuento 5 espacios de 10, 000 10, 000 después de 300, 000.
después de 100, 000.
Para ubicar números en la recta numérica:

① Se determina la escala de la recta numérica.
② Se hace el conteo de cuánto en cuánto, según el valor de la escala, hasta llegar al número que se
quiere ubicar e iden ficar la marca que le corresponde.
También se puede hacer uso de la forma desarrollada del número, contando las escalas que se deben
avanzar tomando en cuenta los números que aparecen en la recta numérica para ubicar el número.
Ubica los números que se indican.

a. 23, 000 b. 11, 000 c. 35, 000 d. 37, 000 e. 19, 000 f. 2, 000 g. 7, 000
0 10, 000 20, 000 30, 000 40, 000
h. 370, 000 i. 110, 000 j. 330, 000 k. 220, 000 l. 50, 000 m. 120, 000
0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000
14
4.1 Comparación de números
Unidad 1
ecuerda
Coloca >, < o = según corresponda.
a. 3, 745 3, 145 b. 999 4, 249
En una finca se cul van naranjas para vender a los supermercados. En junio se recolectaron 147, 954 y
en julio 147, 983, ¿en qué mes se recolectaron más naranjas?
De izquierda a derecha, las primeras 4 cifras de los números son iguales, la primera cifra diferente está
en las decenas.
Junio Julio
CM DM UM C D U CM DM UM C D U
1 4 7 9 5 4 1 4 7 9 8 3
Julia
5 8
Comparo las decenas, pues son la primera cifra diferente, y se ene que 8 > 5 entonces:
147, 983 > 147, 954
R: En julio recolectaron más naranjas.
Para comparar dos números:

① Si enen una can dad igual de cifras, se compara cifra por cifra de izquierda a derecha.
② Al encontrar una cifra dis nta en la misma posición, el que tenga la cifra mayor será el número mayor.
1. Coloca el símbolo >, < o = en cada casilla, según corresponda. El que ene
a. 528, 529 528, 531 b. 28, 951 27, 451 c. 752, 041 752, 052 más cifras es
d. 528, 695 342, 695 e. 16, 084 16, 084 f. 100, 001 99, 998 mayor.
2. Encuentra un número de igual can dad de cifras que sea mayor o menor, según se indica.
a. 774, 541 > b. 95, 403 <
1. Ricardo ene papelitos con números del 0 al 9, para formar un número de seis cifras.
a. ¿Cuál es el número más grande que se puede formar?
b. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede formar?
c. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede formar, si el 0 y el 2 no se pueden incluir?
⓪①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
2. Escribe la cifra que falta para que la comparación sea correcta.
a. 315, 529 < 315, 5__1 b. 19, __ 28 > 19, 628
15
4.2 Aproximación de can dades de hasta seis cifras
ecuerda
Aproxima los siguientes números:
a. 2, 164 a las centenas b. 7, 512 a las unidades de millar c. 4, 231 a las unidades de millar
Aproxima las siguientes can dades hacia la posición que se indica.

a. 761, 235 a la decena de millar b. 654, 132 a la centena de millar
a. Para aproximar a las decenas de millar

CM DM UM C D U
iden fico la posición a aproximar (DM).
7 6 1 2 3 5
Observo la cifra de la derecha (UM). Antonio
7 6 0 0 0 0
Como es menor que 5, las decenas
de millar no cambian. se man ene la decena de millar
Escribo ceros a par r de esa posición. 760, 000

R: Aproximadamente 760, 000
b. Para aproximar a las centenas de millar CM DM UM C D U

iden fico la posición a aproximar (CM).
6 5 4 1 3 2
Observo la cifra de la derecha (DM). 7 0 0 0 0 0
Como es igual a 5, aumento 1 a las
centenas de millar. aumenta en 1 la centena de millar
Escribo ceros a par r de esa posición. 700, 000

R: Aproximadamente 700, 000
Para aproximar can dades a las decenas o centenas de millar hay que:
① Iden ficar la posición a aproximar.
② Si el número a la derecha de la posición elegida es mayor o igual a 5, se aproxima sumando uno, si
es 4 o menos, se deja igual.
③ Se escriben ceros en todas las posiciones de la derecha de la posición elegida.
1. Aproxima a las decenas de millar:

a. 154, 371 b. 867, 352 c. 25, 657 d. 105, 618 e. 61, 274
2. Aproxima a las centenas de millar:

a. 352, 124 b. 168, 351 c. 236, 316 d. 114, 218 e. 513, 285
16
5.1 Suma y resta de números menores que 1, 000, 000
Unidad 1
1. Miguel viajó 23, 645 m desde el puerto de La Libertad hacia el Museo de los Niños Tin Marín. Luego,
viajó otros 276 m al Gimnasio Nacional Adolfo Pineda. Encuentra la distancia total que viajó Miguel.
2. Una empresa dispone de $134, 723 para mantenimiento de las instalaciones. Si una reparación costa-
rá $26, 821, ¿cuánto dinero le quedará a la empresa para un futuro mantenimiento?
1. Para encontrar la distancia que viajó Miguel 2. Para encontrar cuánto dinero le quedó a la
sumo, PO: 23, 645 + 276 empresa resto, PO: 134, 723 – 26, 821
2 13 1
2 3 6 4 5 1 3⁄ 4⁄ 7 2 3
+ 2 7 6 – 2 6 8 2 1
Beatriz
1⁄ 1⁄
2 3 9 2 1 1 0 7 9 0 2
R: 23, 921 m R: $107, 902
Para sumar o restar números se colocan las cifras alineadas de acuerdo a su valor posicional, luego:
• De derecha a izquierda se suman los números que tengan el mismo valor posicional, recordando que
si se forma 10 en cualquier posición, se lleva 1 a la siguiente columna de la izquierda.
• Se restan los números que tengan el mismo valor posicional, recordando que si el sustraendo es ma-
yor se presta 1 de la cifra que se encuentra en la siguiente posición de la izquierda y se convierte en
10.
1. Efectúa:
a. 154, 374 + 31, 224 b. 368, 254 + 215, 327 c. 124, 484 + 166, 351
d. 218, 635 + 81, 365 e. 867, 325 + 131, 436 f. 53, 768 – 12, 434
g. 364, 729 – 264, 729 h. 374, 515 – 47, 356 i. 100, 000 – 24, 365
2. En el 2007, Sonsonate tenía 212, 252 habitantes masculinos y 226, 708 habitantes femeninos. ¿Cuántos
habitantes tenía Sonsonate en total?
3. Carlos ene un videojuego de naves y para subir al siguiente nivel necesita hacer 100, 000 puntos. Si
ene 13, 587 puntos, encuentra cuántos puntos le faltan para subir de nivel.
1. U liza las tarjetas numéricas para formar números.

a. Escribe el número mayor y el menor que se puede formar con ellas. 6
b. Encuentra la suma de los dos números que escribiste. 4
c. Escribe el número más cercano a 75, 000.
2
1
2. Escribe los números que faltan: 8
8 5 2
+ 6 9
2 7 3 7
17
5.2 Suma y resta de números aproximados
a. Una empresa vendió 373 bolsas con dulces en enero, 622 bolsas en febrero y 215 bolsas en marzo.
¿Cuántas bolsas se vendieron en los tres meses aproximadamente?
b. Según el Censo Poblacional de 1992 y 2007 el municipio de San Ignacio en Chalatenango tenía 6, 560
habitantes en 1992 y 8, 611 habitantes en el 2007; encuentra cuántos miles de habitantes más que en el
año 1992 había en el 2007.
a. Como las ventas enen centenas, b. Para saber cuántos habitantes más había
aproximo las can dades a la centena. en el 2007 resto ambas can dades.
5 1
4 0 0 El número aproximado de 373 es 400 8 6 1 1
6 0 0 El número aproximado de 622 es 600 – 6 5 6 0
+ 2 0 0 El número aproximado de 215 es 200 2 0 5 1 José
1
1 2 0 0 Luego, al aproximar 2, 051 a la unidad de millar.
R: Aproximadamente vendieron 1, 200 bolsas R: Aproximadamente había 2, 000 habitantes

con dulces. más en el 2007 que en 1992.
Para sumar o restar can dades con resultado aproximado se puede:

• Aproximar primero y luego hacer la operación.
• Efectuar la operación primero y luego aproximar.
¿Qué pasaría?
Suma 251, 700 y 134, 361 aproximando a las decenas de millar.
Primero sumo y luego aproximo: Primero aproximo y luego sumo:
2 5 1 7 0 0 2 5 0 0 0 0
+ 1 3 4 6 1 0 + 1 3 0 0 0 0
1
3 8 6 3 1 0 3 8 0 0 0 0
El número aproximado de 386, 310 es 390, 000. La suma aproximada es 380, 000.
El resultado es dis nto y la diferencia entre 390, 000 y 380, 000 es 10, 000, una can dad muy grande para
ser un valor aproximado.
Aproximar es ú l cuando son can dades grandes, sin embargo, solo se u liza para tener una idea de qué
tan grande es un número.
1. Don Mario ene una empresa y observó que el año pasado obtuvo $73, 451 de ingresos y este año
$105, 743, ¿cuántos ingresos obtuvo aproximadamente en los dos años?
Aproxima las can dades a las decenas de millar y luego efectúa la operación.
2. Un hospital hará modificaciones y de $254, 814 que ene, gastará $104, 300, ¿cuánto dinero le queda-
rá aproximadamente después de hacer las modificaciones? Realiza el cálculo y aproxima el resultado
a las decenas de millar.
18
Unidad 1
1. Iden fica los números que señalan las flechas.
60, 000 70, 000 80, 000

A B C
2. Ubica los números.

a. 250, 000 b. 430, 000 c. 380, 000
200, 000 300, 000 400, 000 500, 000
3. Coloca los símbolos >, < o =, según corresponda.

a. 102, 357 109, 000 b. 999, 000 990, 900 c. 80, 398 80, 308
d. 800, 009 80, 473 e. 12, 974 86, 423 f. 227, 500 227, 500
4. La abejita depositará su miel en las casillas que al ser aproximadas a las decenas de millar dan como
resultado 20, 000. ¿En qué casillas depositará la miel?
15, 833 19, 000
13, 642 23, 745
27, 134 21, 473
5. Aproxima:
a. 563, 645 a las centenas de millar b. 328, 952 a las centenas de millar
c. 23, 798 a las decenas de millar d. 564, 378 a las decenas de millar
6. Efectúa:
a. 36, 481 + 62, 354 b. 34, 578 + 241, 873 c. 576, 324 + 423, 676
d. 65, 980 – 39, 221 e. 493, 891 – 10, 371 f. 239, 582 – 193, 319
7. Resuelve aproximando las can dades antes de hacer las operaciones.

a. En el 2007, San Miguel tenía 434, 003 habitantes y La Libertad tenía 660, 652; ¿cuántas centenas de
millar tenían en total los dos departamentos?
b. En una fábrica de zapatos, se elaboraron 754, 125 pares en enero. Si en febrero entregaron 45, 841
pares a dis ntas endas del país, ¿cuántas decenas de millar les quedaron?
1. Aproxima 98, 653 a las decenas de millar.
2. La Alcaldía de Chalatenango recibió $104, 250 en impuestos, $25, 478 de una donación y $84, 050 de

un préstamo, ¿cuánto dinero recibió en total? Aproxima las can dades a las decenas de millar y luego
realiza la operación.
19
¿Sabías que...?
Los números estudiados en esta unidad se llaman números naturales.

Para leer o escribir números naturales con varias cifras se deben hacer grupos de tres cifras, de derecha
a izquierda, a las que llamamos ciclo.
Observa la siguiente tabla:
Ejemplo
unidad 1 3 tres
decena 10 47 cuarenta y siete
centena 100 812 ochocientos doce
unidad de millar 1, 000 4, 257 cuatro mil doscientos cincuenta y siete

decena de millar 10, 000 79, 401 setenta y nueve mil cuatrocientos uno
centena de millar 100, 000 941, 624 novecientos cuarenta y un mil seiscientos vein cuatro
unidad de millón 1, 000, 000 51744, 113 cinco millones setecientos cuarenta y cuatro mil ciento trece
cuarenta y siete millones novecientos cincuenta y cuatro mil ciento treinta
decena de millón 10, 000, 000 471 954, 134 y cuatro
centena de setecientos ochenta y un millones seiscientos cuarenta y dos mil ciento
100, 000, 000 7811 642, 125 vein cinco
millón
Millones unidad de millar siete mil novecientos cuarenta y cuatro millones ciento tres mil
1, 000, 000, 000 7, 9441 103, 940 novecientos cuarenta
de millón
decena de millar noventa y cuatro mil ciento treinta y ocho millones ciento seis mil
10, 000, 000, 000 94, 1381 106, 054 cincuenta y cuatro
de millón
centena de millar setecientos cincuenta y cuatro mil doscientos cuarenta y un millones ciento
100, 000, 000, 000 754, 2411 156, 965 cincuenta y seis mil novecientos sesenta y cinco
de millón
¿Cómo leemos 7542683476751719?

Paso 1. De derecha a izquierda, separamos cada 6 Paso 4. Leemos la can dad, iniciando por la iz-
cifras. quierda.
7542 683476 751719 Cuando haya una “ ” agregamos la palabra “mil”
y cuando haya un número agregamos “millón”
Paso 2. En cada espacio ubicaremos los números (para el 1), billón (para el 2), trillón (para el 3),
1, 2, 3... dependiendo de cuántos ciclos de 6 cifras cuatrillón (para el 4), etc. Así,
se tengan. Estos números deben ir en pequeño,
observa. 7, 5422 683, 4761 751, 219
75422 6834761 751719
se lee: “siete mil quinientos cuarenta y dos billo-
Paso 3. Ahora, de derecha a izquierda, colocamos nes seiscientos ochenta y tres mil cuatrocientos
una “ ” cada tres cifras en grupos de seis cifras. setenta y seis millones setecientos cincuenta y un
mil doscientos diecinueve”.
7, 5422 683, 4761 751, 719
Por ejemplo, la población total de El Salvador en el 2007 era de 51 744, 113 aproximadamente.

En todo el mundo, en el 2011 habían 7, 0001 000, 000 habitantes aproximadamente.
¿Cómo lees ambas can dades?
20
Figuras y cuerpos geométricos

2
• Medir y dibujar ángulos usando el transportador
• Clasificar triángulos por la medida de sus ángulos
• Clasificar cuadriláteros por el paralelismo de sus
lados
• Dibujar triángulos y cuadriláteros
• Caracterizar las diagonales de los cuadriláteros
• Identificar los elementos de algunos cuerpos
geométricos
1.1 Uso del transportador
1. María y Miguel juegan a construir un abanico

de papel haciendo dobleces.
Descubre cuál abanico ene una mayor abertura, si
todas las divisiones son iguales.
2. ¿Qué figura geométrica forman los abanicos? Abanico de María Abanico de Miguel
1. Tomo una división del abanico como medida y observo que el abanico de Miguel ene 8 divisiones
y el de María ene 7 divisiones. Por lo tanto, el abanico de Miguel ene una mayor abertura.
Carlos
2. Cada abanico forma un ángulo.
La medida de un ángulo indica la abertura entre sus lados. Si se divide un ángulo recto en 90 partes iguales,
cada una de esas partes es 1 grado y se escribe 1°.
Para medir ángulos se u liza el transportador, las graduaciones son de 0 a 180 como se observa en la
figura. Los transportadores comunes enen dos líneas de graduaciones, ambas inician con cero.
1°
Partes de un ángulo 80 10
90 0 70 110
100 80 12
60 110 70 0
13
lado 50
30
1 20 60
50
0
1
14
40
0
0
40
14
15
30
0
0
30
15
vér ce
160
20
160
20
170
10
180 170
10
lado
180
0
0
centro del transportador
Los pasos para medir un ángulo con el transportador son:

① Colocar el centro del transportador en el vér ce del 100
3 60 grados
70
80
90 80
110
12
60 100
ángulo. 0
110 70
60
0
13
50 12 0
② Colocar la marca del 0 de forma que coincida con un 13
0 50 14
40
0
0
lado del ángulo.

40
14
15
30
0
0
30
15
③ Localizar en el transportador la graduación por donde

160
20
160
20
pasa el otro lado del ángulo. El número que indica el

170
10
180 170
10
otro lado es la medida del ángulo.

180
0
1 2
Mide los siguientes ángulos u lizando el transportador y escribe la medida.

a. b. c. d.
22
1.2 Medición de ángulos menores a 90°
Miguel y María juegan a dibujar ángulos. Ángulo de María Ángulo de Miguel

¿Cuál ene mayor abertura?
Unidad 2
El ángulo de Miguel también es menor a 90° pero su posición es diferente al ángulo de María. Para medirlos,
coloco el transportador de forma que un lado del ángulo quede sobre la marca del 0.
Ángulo de María Ángulo de Miguel
55° 1
0
00
1
90 8000 110 1 70
80
0 0
90 8000 110 1
2 0 1 20
70
60
0
13 50° 6
20
110 70
60 13
Carmen 50
0 0 5
0
1 0
50
13
14
14
40
0
0
40
40
14
15
15
30
0
0
0
30
30
15
16 0
160
20
160
20
20
170
170
10
180 170
10
10
180
180
0
0
Observo que el otro lado del ángulo pasa por la Tomo la graduación que está en el lado exterior del
graduación de 50, entonces, el ángulo mide 50°. transportador porque inicia con 0.
El otro lado del ángulo pasa por la quinta graduación
después de 50; por lo tanto mide 55°.
R: El ángulo de Miguel ene mayor abertura, ya que su ángulo mide 55° y el de María 50°.
Cuando se mide un ángulo se debe considerar que: Los ángulos de la figura son iguales
• Al medir un ángulo solo importa su abertura. porque su abertura es igual.
• La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados ni
50°
de la dirección del ángulo (hacia donde se abre). 50° 50°
• Si ene un lado muy corto de modo que no se pueda leer la medida
en el transportador, el lado se prolonga hasta que se pueda iden ficar
la medida.
Mide los siguientes ángulos u lizando el transportador y escribe la medida.

a. b. c. d.
23
1.3 Medición y clasificación de ángulos
U liza el transportador para medir los siguientes ángulos.

a. b. c.
Observo que los tres ángulos miden más que el ángulo recto; es decir, miden más de 90°.
① Para medir cada ángulo, coloco el centro del transportador sobre el vér ce del ángulo.
② Coloco la marca del 0 sobre uno de los lados.
③ Observo el valor que indica el otro lado. Mario
a. b.
100 100
70
80
90 80
110
12
70
80
90 80
110
12
100 100
130° 60
0
110 70
60
0
13
60
12
0
110 70
60
0
13
145°
50 12 0 50 0
0 50 0 50
13 13
14
14
40
40
0
0
0
0
40
40
14
14
15
15
30
30
0
0
0
0
30
30
15
15
16 0
16 0
20
20
16 0
16 0
20
20
170
170
10
10
180 170
180 170
10
10
180
180
0
0
Luego, viendo la graduación interna Luego, viendo la graduación externa del

del transportador, el ángulo mide 130°. transportador, el ángulo mide 145°.
c. Observo que si ningún lado es horizontal, entonces giro el transportador hasta que el centro esté
sobre el vér ce del ángulo y verifico que uno de sus lados esté alineado con la marca del 0. Tengo dos
opciones para colocar el transportador:
110 120 130 40 50 60

100 1 40 30 70
70 60 50 15 20 140 130 120 1 80
90 150
80 40 0 10
80
30 16
0 10 16
0 10
0 90
110° 10
0 20
17
0
110°
70
10
17
0
0
0
0
0
11
18
80
10
60
11
18
0
0
0
12
70
0
50
120
30
60
160 150 140 1
40
130
50
30
140
40
20
30
150
170
20
10
160
0
18
10
17
0
0
0
18
0
Por lo tanto, el ángulo mide 110°.
24
Para medir ángulos mayores de 90° se sigue el mismo proceso que para medir ángulos menores de 90°.
Si un ángulo ene un lado horizontal, a par r de ese lado se mide con el transportador siguiendo los
mismos pasos.
• Los ángulos que son menores a 90° se llaman ángulos agudos.
• Los ángulos que son mayores a 90° pero menores a 180° se llaman ángulos obtusos.
• Los ángulos de 180° se llaman ángulos llanos.
Unidad 2
Mide los siguientes ángulos y clasi calos en agudos, obtusos o llanos.
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
En el juego “Derribando al oponente”, hay que botar los barcos del otro jugador. Encuentra los ángulos
con los que debe lanzarse la chibola para derribar cada uno de los tres barcos.
②
Se u lizan las letras minúsculas
del abecedario (a, b, c, etc.) para
nombrar ángulos. Por ejemplo, en ①
la figura, para referirnos al ángulo ③
que se forma hasta el barco 1 de-
cimos “el ángulo c”. c
b
a
chibola
25
1.4 Medición de ángulos mayores a 180°
Mide el ángulo con el transportador.

Puedes prolongar un lado del ángulo para formar
un ángulo llano.
Hay dos formas de prolongar:
180° 180°
① Prolongo un lado del ángulo, formo un ángulo 180°

llano y otro ángulo menor a 180° y lo pinto
de amarillo.
180
180 170
00
0
Julia 30°
10
170
10
② Mido el ángulo que pinté y lo sumo a 180°,
160
20
160
20
180° + 30° = 210°
15
30
0
0
30
15
14
40
0
0
40
14
13
R: La medida del ángulo es 210°. 50 0
0 12 50
13 60 0
70 110 60
201 80 100
110 90 80
70
100
180
180 170
0
0
Observo que se forman dos ángulos, el que me
10
170
10
piden es mayor a 180°, y el otro es menor a 90°.
160
20
160
20
Carlos
15
30
0
0
30
Mido el ángulo menor: 150°
15
14
40
0
0
40
14
Al ángulo completo que es 360° le resto el ángulo

13
150° 0
13
50
60
12
0
0
50
menor: 70 60 110
0
12 80 100
110 90 70
360° – 150° = 210° 100 80
R: La medida del ángulo es 210°.
Pasos para medir ángulos mayores a 180°: Un ángulo de Dos ángulos de 90°
90° o recto. forman un ángulo
① Se prolonga uno de los lados del ángulo de 180° o llano.
para formar un ángulo de 180°.
Tres ángulos de 90° Cuatro ángulos
forman un ángulo de de 90° forman un
② Se mide la parte del ángulo que pasa 270°. ángulo de 360°,
de 180° y se suman las medidas de los que es el ángulo
dos ángulos (el ángulo que se midió más completo.
180°).
26
1. U liza el transportador para medir los siguientes ángulos.
a. b. c.
Unidad 2
d. e. f.
2. Miguel, Mario y María midieron el ángulo a con sus transportadores. Determina quién midió correc-
tamente el ángulo y explica por qué se equivocaron los otros dos.
130 140 130 140

120 150 120 150
110 50 40 16
0 110 50 40 16
0
60 30 60 30
100 70 20 17 100 70 20 17
0 0
80 80
90 90
10 10
18
18
100
90
0
0
80 110
80
80
70
0
0
0
0
100 80 12
10
10
60 110 70 0
a a
70
70
0 60 13
50 12
110
110
0
0 50
13
60
60
14
20
20
40
130 1
130 1
0
40
14
15
a
30
50
50
0
0
30
15
160
20
150 140
150 140
160
40
40
20
170
10
180 170
10
30
30
160
160
180
0
20
20
0
0
17
17
10
10
Miguel midió 73° Mario midió 150° María midió 30°

0
0
18
18
0
0
Se pueden u lizar letras minúsculas (a, b, c, etc.)

para representar ángulos.
Mide los ángulos y pinta los que sean menores a 90° u lizando
diferentes colores.
b
c
a
d
27
1.5 Dibujo de ángulos u lizando el transportador
Carlos dibujó un ángulo de 40° y otro de 240°.

Dibuja en tu cuaderno los mismos ángulos considerando los pasos que siguió Carlos.
U lizo lápiz, regla y transportador para trazar los ángulos.

① Trazo un segmento de recta que será un lado ② Coloco el centro del transportador en el
del ángulo. extremo izquierdo que será el vér ce.
100
70
80
90 80
110
120
60 100 70
110 60 13
12
0
50 0
0 50
13
14
40
0
0
40
14
15
30
0
0
30
15
Antonio
160
3 4 5 6 7 8 9
20
160
20
170
10
180 170
10
180
0
0
③ Marco la graduación donde la medida del ④ Trazo el lado final, desde el vér ce pasando
ángulo sea 40°. por la marca que se hizo en el paso anterior.
1
100
90 80
110
120
8
70
60 13 7
0
50
14
6
0
40
15
5
0
30
160
40°
20
4
170
10
3
180
0
Para el ángulo de 240°, formo un ángulo de 180° y otro de 60°, pues 240° = 180° + 60°
① Trazo un segmento de recta que será un lado ② Coloco el centro del transportador en el
del ángulo, una parte se deja punteada. extremo izquierdo, que será el vér ce.
180
180 170
0
0
10
170
10
160
20
160
20
15
30
0
0
30
15
3 4 5 6 7 8 9
14
40
0
0
40
14
13
50 0
0 50 12
60 13 0
110
70 60
120 80 100
110
100
90 70
80
③ Marco la graduación donde la medida del ④ Trazo el lado final, desde el vér ce pasando
ángulo sea 60°. por la marca que se hizo en el paso anterior.
180
0
240°
10
170
8
20
16 0
60°
30
0
7
15
40
0
14
50
6
0
13 60
0 70
12 80
5
110 90
100
4
28
Los pasos para dibujar un ángulo menor a 180° son:
① Con regla, trazar un segmento de recta que será un lado del ángulo.
② Colocar el centro del transportador en el extremo del lado, este será el vér ce del ángulo.
La marca del 0 debe estar alineada con el lado del ángulo.
③ Ubicar en el transportador la medida del ángulo que se desea trazar y hacer una marca.
Unidad 2
④ Con regla, unir el vér ce del ángulo con la marca hecha en el paso ③.
Los pasos para dibujar un ángulo mayor a 180° después de restar 180° al valor del ángulo son:
① Con la regla, trazar un segmento de recta que será un lado del ángulo. Se prolonga para formar un
ángulo de 180°.
② Colocar el centro del transportador sobre el vér ce del ángulo. Alinear la marca del 0 con la prolon-
gación del lado para medir a con nuación de los 180°.
Seguir los pasos ③ y ④, el ángulo dibujado unido al ángulo de 180° es el ángulo deseado.
1. U liza un transportador para dibujar ángulos con las siguientes medidas:

a. 25° b. 50° c. 90° d. 125°
e. 290° f. 180° g. 250° h. 335°
2. Carmen, Juan y Beatriz, al dibujar un ángulo de 45° hicieron las marcas que muestran las figuras.
Encuentra quién dibujó correctamente y explica cuál fue el error que come eron los otros dos.
100
70
80
90 80
110
12 100
110 120 130
60 100 70 0 1 40
110
90
70 60
0 60 13 80 50
15
50 12 0 80 40 0
50
30 00 30
1 70 1
14
16
40
0
0
11
0
0
40
14
20
60
15
17
30
0
0
0
12
30
10
15
50
180
160
30
20
160
20
0
0 1
40
170
10
180 170
160 150 14
10
30
180
0
Carmen
20
Beatriz
170
10
180
0
110 120
100 1 30
14 0
90
70 60
80 50
15
80 40 0
0 30
70 10
16
0
11
0
20
60
17
0
0
12
10
50
180
30
0
0 1
40
160 150 14
20 30
170
Juan
10
180
0
29
2.1 Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos
¿Qué caracterís ca enen los ángulos en cada grupo de triángulos?

Grupo A Grupo B Grupo C
85° 25° 140°

50° 15°
30° 65° 40°
25°
45°
80°
45° 50° 55° 25°
100°
75° 50° 45° 60°
60° 115°
30° 40°
Si olvidas la clasificación de los triángulos

La caracterís ca de cada grupo es: por la medida de sus ángulos, puedes
• Los triángulos del grupo A enen todos sus ángulos agudos. guiarte con la siguiente idea:
• Los triángulos del grupo B enen un ángulo recto. acutángulo
Carlos • Los triángulos del grupo C enen un ángulo obtuso.
de agudo, menor
a 90°
rectángulo
Los triángulos pueden clasificarse por la medida de sus ángulos. de recto, igual
a 90°
• Si todos sus ángulos son agudos es un triángulo acutángulo. obtusángulo

• Si ene un ángulo recto es un triángulo rectángulo. de obtuso, mayor
• Si ene un ángulo obtuso es un triángulo obtusángulo. a 90°
Clasifica los siguientes triángulos en acutángulos, rectángulos u obtusángulos:

a. b. c.
d. e. f.
30
2.2 Dibujo de triángulos con transportador
Dibuja en tu cuaderno un triángulo con las medidas que muestra la figura.

C
Para expresar que la medida
del segmento AB es 5 cm se
puede colocar AB = 5 cm, para
expresar el ángulo con vér ce A,
se escribe ∢CAB = 40°, donde la
40° 60° letra del centro indica el vér ce
Unidad 2
A B del ángulo.
5 cm
① Trazo un segmento de recta de 5 cm, ② Dibujo un ángulo de 40° que

como un lado del triángulo. tenga como vér ce el extremo A.
100
70
80
90 80
110
12
60 100 70 0
110 13
0 60
50 12 0
Julia 13
0 50
14
40
0
0
40
14
15
30
0
0
30
B 15
160
A
20
160
20
170
10
180 170
10
0 1 2 3 4 5 6 40°
180
0
0
A B
③ Trazo un ángulo de 60° que tenga como ④ Nombro C donde se intersecan los lados de los
vér ce el extremo B. ángulos que dibujé. La figura resultante es
Por el sen do del ángulo, tomo la otra el triángulo deseado.
graduación del transportador.
C
100
70
80
90 80
110
12
60 100 70 0
110 13
0 60
50 12 0
0 50
13
14
40
0
0
40
14
15
30
0
0
30
15
1 60
20
16 0
20
60° 60°
170
10
180 170
40° 40°
10
180
0
B A B
Observa que no es necesario conocer el tercer ángulo, ni las

medidas de los otros dos lados del triángulo, ya que cuando
se intersecan los lados, quedan determinados el ángulo y los
lados faltantes.
31
Los pasos para dibujar un triángulo cuando se conocen dos ángulos y la medida de un lado son:
① Traza un segmento de recta cuya medida sea igual a
la medida de un lado del triángulo. Aunque los lados del triángulo no sean horizontales,
los pasos para dibujarlo son los mismos, y debes
comenzar trazando el lado que ya conoces.
② Dibuja el ángulo izquierdo del triángulo, tomando como
vér ce el extremo izquierdo del lado del triángulo.
60°
③ Dibuja el ángulo derecho del triángulo, tomando como
vér ce el extremo derecho del lado del triángulo. 40° 5 cm
④ Marca la intersección de los lados finales de los ángulos

dibujados en los pasos ② y ③. Este es el tercer vér ce
del triángulo. La figura resultante es el triángulo deseado.
¿Qué pasaría?
60°
¿Qué medidas se necesitan para dibujar un triángulo equilátero?
R: Solo se necesita conocer la longitud de uno de sus lados, porque sus tres 2 cm 2 cm
lados son de igual longitud y cada uno de sus tres ángulos mide 60°.
Para dibujarlo se traza uno de sus lados y un ángulo de 60° en cada extremo. 60° 60°
2 cm
¿Y si el triángulo es isósceles?
R: Si el triángulo es isósceles, dos de sus lados son de igual longitud y dos
de sus ángulos son de igual medida. 40° 40°
Para dibujarlo se necesita conocer un lado y uno de los ángulos iguales. 3 cm
Dibuja cada triángulo con las medidas que se te indican.

a. b. c.
20°
40° 50°
4 cm
3 cm 70° 100°
45°
4 cm
d. 3 cm e. f.
80° 35°
65°
15° 30°
5 cm 7 cm
60°
32
3.1 Clasificación de cuadriláteros por el paralelismo de sus lados
ecuerda
Iden fica cuáles pares de rectas son paralelas.
a. b. c. d.
¿Qué caracterís ca enen los cuadriláteros en cada grupo?
Unidad 2
Grupo A Grupo B Grupo C
Puedes u lizar tus escuadras para

determinar los lados paralelos, lo que se
conoce como paralelismo de los lados.
Con mis escuadras, verifico el paralelismo de los lados de cada cuadrilátero y encuentro que:
• Los del grupo A enen dos pares de lados opuestos paralelos.
• Los del grupo B enen un par de lados opuestos paralelos.
José
• Los del grupo C no enen lados opuestos paralelos.
Los cuadriláteros pueden clasificarse por el paralelismo de sus lados:

Si los lados opuestos son paralelos Si enen un par de lados opuestos Si no enen lados opuestos
se llaman paralelogramos. paralelos se llaman trapecios. paralelos se llaman trapezoides.
Clasifica los siguientes cuadriláteros por el paralelismo de sus lados.

a. b. c. d.
e. f. g. h.
33
3.2 Los paralelogramos
Para indicar que dos segmentos

Observa el paralelogramo y responde: D C son iguales, AB = CD se escriben
a. ¿Cuánto miden sus lados? marcas iguales
b. ¿Cuánto miden sus ángulos?
A B
a. Mido los lados: b. Mido los ángulos:
D 3 cm C
D C
Beatriz 110° 70°
2 cm 2 cm
70° 110°
A B A B
3 cm
Las caracterís cas del paralelogramo son: Ángulos opuestos

1. Sus lados opuestos son de igual longitud. D C D C
2. Sus ángulos opuestos son de igual medida.
D C
AB = CD A B A B
AD = BC
A B
1. Observa el paralelogramo y escribe la medida que se solicita.

a. Longitud de BC ¿Sabías que...?
b. Longitud de AB 6 cm
D C
c. Ángulo C Un paralelogramo que ene
60° todos sus ángulos de 90° se llama
d. Ángulo B
rectángulo.
8 cm
120°
A B
2. Determina cuáles son paralelogramos.

a. b. c. d.
34
3.3 Dibujo de paralelogramos
Dibuja un paralelogramo con las medidas que D C

muestra la figura.
4 cm
60°
A 6 cm B
Unidad 2
① Trazo un segmento de recta ② Dibujo un ángulo de 60° con vér ce A.
AB de 6 cm. Mido 4 cm en el lado final del ángulo, par endo del vér ce.
6
5
100
90 110
D
Antonio 80
70
12
0
4
60 13
0
50
14
3
0
40
15
0
30
2
160
20
A B 60°
1
170
60°
10
0 1 2 3 4 5 6
0 cm
cm
180
0
A B A B
③ Copio la longitud del ④ Hago un trazo con el compás con centro en D.

segmento AB con el compás.
D
60°
A B El paralelogramo
6 cm también se conoce
como romboide.
60°
A B
⑤ Copio la longitud del segmento ⑥ Trazo los segmentos DC y BC.

AD con el compás y hago un
trazo con centro en el punto B. D
Coloco C donde se cortan los trazos. C
D C
60°
A B
60° Después del paso 6, u liza las
A B escuadras para verificar si los
lados son paralelos.
35
Los pasos para dibujar un paralelogramo son:
① Trazar un segmento AB con la medida del primer lado.
② Dibujar el ángulo dado con vér ce en A.
③ Sobre el lado del ángulo dibujado, marcar con D la longitud del otro lado del paralelogramo.
④ Con centro en el punto D se copia con el compás la longitud del segmento AB.
⑤ Copiar la longitud del segmento AD con el compás y hacer un trazo cuyo centro sea el punto B
(los trazos deben cortarse) y se ubica C.
⑥ Trazar los segmentos DC y BC.
Dibuja los siguientes paralelogramos u lizando las medidas que se indican.

a. b.
D C
D C
m
2c
5 cm
60°
A 3 cm B
75°
A 4 cm B
c.
D C
1 cm 110°
A 4 cm B
d. Un paralelogramo con lados de 2 cm y 5 cm, y un ángulo de 70°.
En cada caso, los segmentos de recta dibujados son de un paralelogramo. Completa la figura u lizando
regla y compás.
a. b. c.
C B
C
A B A C A
36
3.4 Los rombos
1. Observa la figura y responde. D

a. ¿Cuánto miden sus lados?
b. ¿Cuánto miden sus ángulos?
2. U liza las escuadras para determinar si ene lados paralelos. A C
Unidad 2
B
1. a. Mido los lados: 2. Observo que los lados opuestos son
D
paralelos.
3 cm 3 cm
Ana A C D
3 cm 3 cm
0
B C
1
b. Mido los ángulos: D
2
120° B
4
A 60° 60° C
120° 5
¿Sabías que...?
El cuadrilátero que ene todos sus B Un rombo que ene todos sus
lados de igual longitud se llama rombo. ángulos de 90° se llama cuadrado.
Las caracterís cas del rombo son:
1. Sus ángulos opuestos son de igual A C
medida.
2. Sus lados opuestos son paralelos. D
1. Observa el rombo y en tu cuaderno escribe la medida que se solicita. C

a. Longitud del lado BC. 4 cm
110°
b. Longitud del lado DA.
c. Ángulo A. D 70° B
d. Ángulo B.
2. Iden fica los cuadriláteros que son rombos. A

a. b. c. d.
37
3.5 Dibujo de rombos
Dibuja el rombo con las medidas que muestra la figura. D
A C
140°
5 cm
B
① Trazo un segmento de recta AB de 5 cm. ② Dibujo un ángulo de 140° con vér ce en B.
60 70 80
A 40
50
120 110 100 90 10
0
1 30 11
0 80
30 14 0
Mario 0 cm
15
0 70
12
20
1
0
0
60
16
2
13
10
B
0
50
3
17
140
4
A
0
180
40
5
140°
150
6
30
160
20
B
10
170
0
180
③ Copio con el compás la longitud de AB, ④ Copio la longitud del segmento AB y hago
porque el rombo ene todos sus lados un trazo con el compás, con centro en C.
de igual longitud y marco con C.
A C
140°
B
A C
140°
B
⑤ Copio la longitud del segmento AB y hago ⑥ Trazo los segmentos AD y CD.
un trazo con el compás, con centro en A.
Coloco D donde se cortan los trazos.
D
D
A C
A C
140° 140°
B B
38
Los pasos para dibujar un rombo cuando se conocen las medidas de sus lados y uno de sus ángulos
son:
① Trazar el segmento de recta AB con la medida del lado.
② Dibujar el ángulo dado con vér ce en B.
③ Copiar con el compás la distancia de AB sobre el otro lado del ángulo y ubicar el punto C.
④ Copiar con el compás la distancia de AB a par r de C.
Unidad 2
⑤ Con el compás copiar la distancia de AB a par r de A (los trazos deben cortarse) y se ubica D.
⑥ Trazar los segmentos AD y DC.
Dibuja los siguientes rombos en tu cuaderno, u lizando las medidas que se indican.
a. b.
D C
D
3 cm
A 50° C
100°
B A 4 cm B
c. d. De lado 5 cm y un ángulo de 70°.

D
80°
m
2c
A C
¿Sabías que...?
La figura que se muestra a la derecha, Tiene lados consecu vos iguales

no es un rombo ni un paralelogramo y se llama trapezoide bisósceles.
porque no ene lados paralelos.
39
3.6 Dibujo de trapecios
Dibuja el trapecio con las medidas que muestra la figura. D C
3 cm
65° 40°
A 7 cm B
① Trazo un segmento ② Dibujo un ángulo ③ Mido 3 cm en el lado

de recta AB de 7 cm. de 65° con vér ce en A. del ángulo y marco en D.
6
5
100
90 80
110
120
Julia 70
60 13
4
0
50
D
14
0
3
40
15
0
30
A B
160
2
20
65°
170
10
cm
0 1 2 3 4 5 6
65°
65
5°
1
180
0
cm
A B A B
0
④ Dibujo un ángulo de 40° con ⑤ Trazo un segmento de recta paralelo a
vér ce en B. AB, que pasa por D.
0
cm
1
70
80
90 D
60 100
110
0
50 12
2
D 13
0
40
0
14
65°
30
0
15
cm 1 2 3 4 5 6 7 8
20
16 0
B
4
1
10
180 170
65° 40° A
2
5
0
A B
3
6
4
7
⑥ Marco el punto C.
0
cm
1
D C
cm 1 2 3 4 5 6 7 8
D C
2
1
3
65°
65°
4
40°
A B B
3
A
5
40
Los pasos para dibujar un trapecio cuando se conocen las medidas de dos lados y dos ángulos son:
① Trazar un segmento de recta AB con la longitud de un lado dado.
② Dibujar uno de los ángulos dados con vér ce en A.
③ Sobre el otro lado del ángulo se mide la longitud del otro lado dado y se ubica el punto D.
④ Dibujar el otro ángulo dado con vér ce en B.
⑤ Trazar una recta paralela al segmento AB que pase por D.
⑥ Marcar el punto C.
Unidad 2
1. Dibuja los siguientes trapecios en tu cuaderno, u lizando las medidas que se indican.
a. b.
D C D C
m
4c
4 cm
65° 75° 60°

A B A B
5 cm 5 cm
2. Con transportador y escuadras, dibuja el siguiente trapecio y explica paso a paso el procedimiento
que seguiste.
D C
3 cm
70° 70°
A B
5 cm
¿Sabías que...?
D C
Hay dos trapecios con nombre especial:
D C
Trapecio isósceles, Trapecio rectángulo,
porque ene 2 porque ene un
ángulos de la ángulo de 90°.
misma medida.
A B A B
41
3.7 Diagonales de un cuadrilátero
Si a la línea que une dos vér ces opuestos de un cuadrilátero se le llama diagonal, encuentra las
caracterís cas de sus diagonales y completa la tabla, indicando con un las que se cumplen.
vér ces opuestos
Caracterís cas Las diagonales enen Las diagonales se Las diagonales son
Cuadrilátero la misma longitud cortan en el centro perpendiculares
Trapecio
Paralelogramo
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
U lizo el compás o regla para comparar la longitud de las diagonales, además con la escuadra verifico si
el ángulo que se forma entre las dos diagonales es recto.
Trapecio Paralelogramo
< 90°
Carlos > 90°
No cumple con ninguna de las caracterís cas. Las diagonales son de diferente longitud, pero al
cortarse se dividen en dos partes iguales.
Rombo Rectángulo
< 90°
> 90°
Cada diagonal corta el centro de la otra diagonal. Al cortarse las diagonales todas las partes son de
Cada una se divide en dos partes de igual longitud. igual longitud.
Como el ángulo entre ellas es de 90° son Las diagonales no son perpendiculares.
perpendiculares.
42
Cuadrado
Las diagonales enen la misma longitud, y cada una corta el centro de la

otra diagonal.
Ambas se dividen en dos partes de igual longitud.
Como el ángulo entre ellas es de 90° entonces son perpendiculares.
Unidad 2
Caracterís cas Las diagonales enen Las diagonales se Las diagonales son
Cuadrilátero la misma longitud cortan en el centro perpendiculares
Trapecio
Paralelogramo
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
Se llaman diagonales las líneas que unen dos D C

vér ces opuestos. Las diagonales enen diferentes
caracterís cas en cada cuadrilátero. diagonales
A B
Escribe el nombre de la figura que se forma con cada par de diagonales.

a. b. c.
2 cm 60°
3 cm
3 cm
2 cm
Iden fica cuál o cuáles de las caracterís cas de la tabla cumple cada figura.
a. b. D
D C
A C
trapecio isósceles trapezoide bisósceles
A B
B
43
1. Relaciona cada número con la letra correcta.
Cuadrilátero que ene dos pares de lados

① A obtusángulo
paralelos
② Ángulo cuya medida es menor a 90° B trapecio
③ Triángulo que ene un ángulo mayor a 90° C paralelogramo
④ Ángulo cuya medida es igual a 90° D obtuso
Cuadrilátero que ene un par de lados

⑤ E recto
paralelos
Ángulo cuya medida es mayor a 90° pero

⑥ F agudo
menor a 180°
2. Con tu transportador, regla y escuadras; dibuja los triángulos, escribe la medida de sus tres ángulos y
clasi calos en acutángulos, rectángulos u obtusángulos.
a. b. c.
C
C C
60° 50° 35° 65° 40° 50°

A B A B A B
3 cm 5 cm 6 cm
3. Dibuja los siguientes paralelogramos:

a. D C
4 cm
70°
A B
5 cm
b. Paralelogramo con lados de 3 cm y 6 cm, y un ángulo de 65°.
44
1. Mide los siguientes ángulos y clasi calos en agudos, rectos, obtusos o llanos.
a. b. c.
Unidad 2
d. e. f.
g. h. i.
2. Mide los siguientes ángulos.

a. b.
3. Dibuja el trapecio. 4. Dibuja el rombo.

D C
D
3 cm
3 cm
A C
75° 140°
A B
4 cm B
Dibuja un trapezoide bisósceles con dos lados de

5 cm y dos lados de 3 cm, sabiendo que una de las A 4 cm C
diagonales mide 4 cm.
45
4.1 Elementos de prismas rectangulares y cilindros
Mario ene varios sólidos geométricos y decide clasificarlos como se muestra:
¿Qué caracterís cas observó Mario para clasificarlos?
Observo las siguientes diferencias:

1. Las caras de arriba y abajo. 2. La superficie de los lados.
Carmen
En el grupo A son rectángulos En el grupo B son En A solo hay En B hay superficies

y cuadrados. círculos. superficies planas. curvas.
Los sólidos geométricos del grupo A se llaman prismas

rectangulares y los del grupo B se llaman cilindros.
En los prismas rectangulares y cilindros, encontramos los base
siguientes elementos:
• Dos caras opuestas ubicadas arriba y abajo que se llaman bases.
• Una superficie alrededor de las bases, que se llama superficie
lateral.
A la superficie lateral plana superficie
también se le llama cara. lateral
1. Escribe el nombre de cada elemento: 2. Escribe el nombre de cada elemento:

a.
a.
b.
b.
46
4.2 Elementos de pirámides y conos
María y Carmen juegan a clasificar algunos sólidos geométricos y lo hacen de la siguiente forma:
1. ¿Qué enen en común los sólidos geométricos

de cada grupo?
2. ¿Qué caracterís cas diferencian los sólidos
geométricos de un grupo con respecto al otro?
Unidad 2
1. Observo lo que enen en común. 2. Encuentro la diferencia.
Tienen solo una base. La superficie lateral de los sólidos
del grupo B es curva y la del grupo A
Los sólidos del grupo base es plana.
Mario A enen como base
una figura como el superficie
cuadrilátero o el triángulo • • lateral
y los del B un círculo.
Terminan en punta.
Los sólidos geométricos del grupo A se llaman pirámides y los del grupo B se llaman conos.
Tanto las pirámides como los conos enen una sola Se diferencian en la superficie lateral; las pirámides
base y terminan en una punta llamada cúspide. enen superficies laterales planas y los conos una
superficie lateral curva.
cúspide
Elementos de las pirámides. superficie
La cúspide también se puede llamar vér ce. lateral arista
base vér ce
Escribe el nombre de cada elemento.

a. b.
47
1. Clasifica los sólidos geométricos, escribe la letra sobre la línea según corresponda.
a. b. c. d.
e. f. g. h.
i. j. k. l.
prismas rectangulares: pirámides:
cilindros: conos:
2. Escribe el número que indica el elemento señalado en cada sólido geométrico.

① base ② superficie lateral ③ cúspide ④ vér ce ⑤ arista
a. b. c.
d. e. f.
48
3
Multiplicación de números naturales
• Multiplicar números de cuatro cifras por números

de una cifra sin llevar y llevando
• Multiplicar por decenas o centenas completas
• Multiplicar números de dos, tres o cuatro cifras por
números de dos cifras
• Multiplicar números de tres cifras por tres cifras
• Utilizar la propiedad conmutativa y asociativa de la
multiplicación
1. Mul plica: Al mul plicar decenas por una cifra, se mul plican
las dos cifras diferentes de cero y al resultado se le
a. 10 × 6 = b. 10 × 7 agrega “0”.
Ejemplo: 10 × 5 = 50
c. 20 × 4 d. 70 × 2 Al mul plicar centenas se agrega “00”.
Ejemplo: 300 × 2 = 600
e. 60 × 5 f. 100 × 2
g. 100 × 7 h. 200 × 4
2. Mul plica en forma ver cal:
a. 43 × 2 b. 31 × 3 Recuerda los pasos para mul plicar:
4 3 ① Mul plicar unidades con unidades.

× 2 ② Mul plicar unidades con decenas.
③ Mul plicar unidades con las centenas.
No olvides colocar lo que se lleva y luego sumarlo
con el producto en esa posición.
c. 11 × 6 d. 12 × 4
1 1
× 6
e. 22 × 2 f. 42 × 6 g. 33 × 5 h. 46 × 9
2 2
× 2
i. 37 × 4 j. 58 × 6 k. 52 × 8 l. 132 × 3
3 7
× 4
m. 413 × 2 n. 133 × 2 ñ. 304 × 2 o. 302 × 5
4 1 3
× 2
p. 432 × 2 q. 231 × 6 r. 122 × 8
50
1.2 Mul plicación sin llevar y llevando una vez
1. Carmen compró 2 bolsas de dulces para su fiesta de cumpleaños. Si cada bolsa trae 1, 341 dulces,
¿cuántos dulces ene en total?
2. Una empresa necesitaba fotocopiadoras y compraron 3 a un precio de $2, 124 cada una, ¿cuánto
gastaron en las tres fotocopiadoras?
1. U lizo la forma ver cal para calcular.

PO: 1, 341 × 2
Julia ① ②
UM C D U UM C D U UM C D U
1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 1
Unidad 3
× 2 × 2 × 2
2 8 2
Coloco los factores de U×U U×D

acuerdo al valor posicional. 2 × 1 = 2 y escribo el 2 × 4 = 8 y escribo el
producto en las unidades. producto en las decenas.
③ ④
UM C D U UM C D U
El mul plicando y
1 3 4 1 1 3 4 1 mul plicador también se
llaman factores.
× 2 × 2
6 8 2 2 6 8 2
U×C U × UM
2 × 3 = 6 y escribo el 2 × 1 = 2 y escribo el producto
producto en las centenas. en las unidades de millar. R: 2, 682 dulces
2. PO: 2, 124 × 3
① ②
UM C D U UM C D U UM C D U
2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 2 4
× 3 × 3 × 3
1 1
2 7 2
Coloco los factores. U×U U×D
3 × 4 = 12 y escribo 2 en 3 × 2 = 6 le sumo 1 que
las unidades y llevo 1 a las llevaba: 6 + 1 = 7 y escribo
decenas. el resultado en las decenas.
51
③ ④ Lo que se lleva se escribe en
pequeño y se puede tachar
UM C D U UM C D U cuando ya se ha sumado.
2 1 2 4 2 1 2 4
× 3 × 3
1 1
3 7 2 6 3 7 2
U×C U × UM
3 × 1 = 3 y escribo el 3 × 2 = 6 y escribo el producto
producto en las centenas. en las unidades de millar. R: $6, 372
Para mul plicar números de cuatro cifras por una cifra se mul plican:
① Unidades por unidades y se escribe el producto en la posición de las unidades.
② Unidades por decenas y se escribe el producto en la posición de las decenas.
③ Unidades por centenas y se escribe el producto en la posición de las centenas.
④ Unidades por unidades de millar y se escribe el producto en la posición de las unidades de millar.
Si en cualquiera de los cuatro pasos anteriores se ob ene un número de dos cifras, se escribe la
cifra de la derecha y se lleva la cifra de la izquierda a la siguiente posición. En el siguiente producto
se suma lo que se lleva y el resultado se escribe en la posición correspondiente.
1. Efectúa:
a. b. c. d.
1 2 3 4 1 0 1 2 8 1 3 1 7 4 3 1
× 2 × 6 × 3 × 2
e. f. g. h.
3 5 2 4 2 0 4 1 2 1 3 2 8 0 1 4
× 2 × 3 × 4 × 2
2. Antonio quiere vender 3 autos usados a $2, 125 cada uno. Calcula cuánto dinero recibirá por los 3.
52
1.3 Mul plicación por números de una cifra llevando dos, tres o cuatro veces
Efectúa:
a. 1, 504 × 3 b. 4, 216 × 6 c. 7, 568 × 2
a. Calculo 1, 504 × 3 en forma ver cal.

① ②
Antonio
1 5 0 4 1 5 0 4 1 5 0 4
× 3 × 3 × 3
1 1
2 1 2
Coloco los factores. U×U U×D
3 × 4 = 12. Escribo 2 en las 3×0=0
unidades y llevo 1 a las decenas. 0 más 1 que llevo es 1.
Escribo 1 en las decenas.
Unidad 3
③ ④
1 5 0 4 1 5 0 4
× 3 × 3
1 1 1 1
5 1 2 4 5 1 2
U×C U × UM
3 × 5 = 15. Escribo 5 en 3×1=3
las centenas y llevo 1 a las 3 más 1 que llevo es 4.
unidades de millar. Escribo 4 en las unidades de millar. R: 1, 504 × 3 = 4, 512
b. Escribo 4, 216 × 6 en forma ver cal y mul plico:
① ②
4 2 1 6 4 2 1 6 4 2 1 6
× 6 × 6 × 6
3 3
6 9 6
U×U U×D
6 × 6 = 36 6×1=6
Escribo 6 en las unidades y llevo 6 más 3 que llevo es 9.
3 a las decenas. Escribo 9 en las decenas.
③ ④
4 2 1 6 4 2 1 6
× 6 × 6
1 3 1 3
2 9 6 2 5 2 9 6
U×C U × UM
6 × 2 = 12 6 × 4 = 24
Escribo 2 en las centenas y 24 más 1 que llevo es 25. Escribo
llevo 1 a las unidades de millar. 5 en las unidades de millar y 2 R: 4, 216 × 6 = 25, 296
en las decenas de millar.
53
c. Calculo 7, 568 × 2 en forma ver cal:
① ②
7 5 6 8 7 5 6 8 7 5 6 8
× 2 × 2 × 2
1 1 1
6 3 6
U×U U×D
2 × 8 = 16 2 × 6 = 12
Escribo 6 en las unidades 12 más 1 que llevo es 13.
y llevo 1 a las decenas. Escribo 3 en las decenas y
llevo 1 a las centenas.
③ ④
7 5 6 8 7 5 6 8
× 2 × 2
1 1 1 1 1 1
1 3 6 1 5 1 3 6
U×C U × UM
2 × 5 = 10 2 × 7 = 14
10 más 1 que llevo es 11. 14 más 1 que llevo es 15.
Escribo 1 en las centenas y Escribo 5 en las unidades de
llevo 1 a las unidades de millar. millar y 1 en las decenas de millar. R: 7, 568 × 2 = 15, 136
Recordar que si al mul plicar se ob ene un número de dos cifras, se escribe la cifra de la derecha y se
lleva la cifra de la izquierda a la siguiente posición; luego, se suma con el siguiente producto.
1. Calcula en forma ver cal:

a. b. 4, 112 × 5 c. 1, 205 × 9
1 3 2 1
× 7
d. e. 4, 733 × 8 f. 2, 345 × 6
6 3 4 4
× 3
2. Un teatro presentó la obra “Cuentos de barro” cinco días seguidos, si cada día se vendieron 1, 230
boletos, ¿cuántas personas en total asis eron a ver la obra?
54
2.1 Mul plicación por decenas completas
ecuerda
Efectúa:
a. 2 × 10 b. 4 × 10 c. 6 × 10
Efectúa: 43 × 20
Formo el número 43 con tarjetas numéricas y luego lo repito 20 veces.
43 43 43 43 43 43 43 43 43 43
43 × 2
43 43 43 43 43 43 43 43 43 43
Beatriz
10
Al agrupar las tarjetas numéricas observo que 43 × 20 también se puede expresar como 43 × 2 × 10,
Unidad 3
esto pues 2 × 10 = 20.
Entonces, 43 × 20 = (43 × 2) × 10 = 86 × 10 = 860 ×2 × 10

43 86 860
× 20
R: 43 × 20 = 860
¿ ué pasaría?
Efectúa: 20 × 30 20 × 30 = 2 × 10 × 3 × 10 Descomponer las decenas completas.
= 2 × 3 × 100 Aplicar la propiedad conmutativa.
= 6 × 100 Aplicar la propiedad asociativa.
= 600
Multiplico 2 × 3 y agrego 2 ceros.
Al mul plicar por decenas completas, se mul plica por la cifra dis nta de cero y luego se agrega el cero
a la derecha del resultado.
Si el mul plicando y mul plicador son decenas completas, se mul plican las cifras diferentes de cero y
se agregan dos ceros al resultado.
43 × 20 = 86 0 20 × 30 = 6 00
43 × 2 = 86 2 × 3 = 6
Calcula:
a. 23 × 20 b. 31 × 20 c. 23 × 30
d. 14 × 20 e. 51 × 40 f. 40 × 20
g. 30 × 40 h. 50 × 30 i. 60 × 30
55
2.2 Mul plicación por centenas completas
ecuerda
Efectúa: 100 × 3
Efectúa:
a. 32 × 300 b. 40 × 200
a. 32 × 300
Descompongo 300 como 3 × 100
Aplico la propiedad asocia va
Carlos
32 × 300 = 32 × 3 × 100 (32 × 3) × 100 = 96 × 100 = 9, 600
×3 × 100
32 96 9, 600
× 300
R: 32 × 300 = 9, 600
b. 40 × 200
Descompongo 200 como 2 × 100
Aplico la propiedad asocia va
40 × 200 = 40 × 2 × 100 (40 × 2) × 100 = 80 × 100 = 8, 000
×2 × 100
40 80 8, 000
× 200
R: 40 × 200 = 8, 000
Para mul plicar por centenas completas se mul plican las cifras dis ntas de cero y en el producto se
agregan los ceros del mul plicador y los ceros del mul plicando.
32 × 300 = 96 00 123 × 300 = 36900 40 × 200 = 8 000
32 × 3 = 96 123 × 3 = 369 4 × 2 =8
Efectúa:
a. 32 × 200 b. 60 × 200 c. 20 × 300
d. 43 × 200 e. 32 × 400 f. 20 × 50
g. 430 × 300 h. 30 × 200 i. 430 × 700
j. 312 × 400 k. 512 × 300 l. 432 × 200
m. 250 × 200 n. 124 × 500 ñ. 235 × 600
56
3.1 Mul plicación de números de dos cifras descomponiendo el mul plicador
ecuerda
Descompón las siguientes can dades:
a. 24 b. 36 c. 47
Doña Carmen decide ahorrar $23 cada mes, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 24 meses?
PO: 23 × 24
Represento 23 con tarjetas numéricas y lo repito 24 veces.
Carmen 24 veces 23
23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23
23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23
Unidad 3
20 4
Total: 23 × 20 + 23 × 4
Por lo tanto, puedo descomponer el mul plicador y se calcula el producto como:

23 × 24 = 23 × 20 + 23 × 4 = 460 + 92 = 552
20 4
R: $552
Para mul plicar un número de dos cifras por otro número de dos cifras se puede descomponer el
mul plicador en unidades y decenas, luego se mul plica por separado y se suman ambos resultados.
1. Completa los espacios:
__ + 23 × 5_ = ____ + ____ =
a. 23 × 35 = 23 × 30
30 5
b. 31 × 42 = 31 × __ + 31 × ___ = ____ + ____ =
40 2
c. 15 × 52 = 15 × __ + 15 × ___ = ____ + ____ =
d. 35 × 26 =__ × __ + ___ × ___ = ____ + ____ =
2. Efectúa las mul plicaciones descomponiendo el mul plicador.

a. 45 × 12 b. 36 × 25
57
3.2 Mul plicación de números de dos cifras en forma ver cal
En la clase anterior se efectuó 23 × 24 descomponiendo 24 en decenas y unidades. Realiza el cálculo

u lizando la forma ver cal.
Mul plico en forma ver cal:
① ② ③
José
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
× 2 4 × 2 4 × 2 4 × 2 4 × 2 4 × 2 4
1 1 1 1 1 23 × 4
2 9 2 9 2 9 2 9 2
6 4 6 4 6 23 × 20
1
5 5 2
Cubro la decena Mul plico 23 × 4. Mul plico 23 × 2 = 46. Sumo los resultados,
con el dedo. Como 4 es la unidad, Como 2 es la decena; unidad con unidad,
escribo el resultado escribo el resultado en decena con decena y
iniciando en las otra fila, iniciando en las centena con centena.
unidades. decenas.
R: 23 × 24 = 552 No olvides que, al sumar, una

casilla en blanco es como tener
un cero.
Para mul plicar un número de dos cifras por otro número de dos cifras, se mul plica:
① El mul plicando por las unidades del mul plicador.

② El mul plicando por las decenas del mul plicador y se escribe el resultado a par r de la posición de
las decenas, es como correr una posición hacia la izquierda.
③ Se suman los dos resultados.
2 3
2 1
× 2 4
1. Efectúa:
a. 24 × 21 b. 82 × 34 c. 22 × 17
d. 51 × 38 e. 63 × 28 f. 35 × 76
2. Escribe el PO, realiza el cálculo y responde.

a. Don Juan ene 14 vacas y cada una produce diariamente 12 litros de leche. ¿Cuánto producen en
un día las 14 vacas?
b. En un supermercado enen 22 cajas de peras y cada una con ene 59 peras. ¿Cuántas peras hay en
total?
58
3.3 Mul plicación de números de tres cifras por números de dos cifras
Un hotel comprará televisores a un precio de $354 cada uno, ¿cuánto dinero inver rá en la compra de
32 televisores?
PO: 354 × 32
① ② ③ Beatriz
3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4
× 3 2 × 3 2 × 3 2 × 3 2
1 1 1
7 0 8 7 0 8 7 0 8 354 × 2
1 1 1 1
1 0 6 2 1 0 6 2 354 × 30
1 1 3 2 8
Mul plico 354 × 2. Mul plico 354 × 3, Sumo ambos resultados.
Unidad 3
colocando el resultado
a par r de las decenas. Recuerda tachar los números que
llevas después de sumarlos.
R: $11, 328
Para mul plicar un número de tres cifras por un número de dos cifras, se mul plican:
① El mul plicando por las unidades del mul plicador. 3 5 4

② El mul plicando por las decenas del mul plicador. ② ①
③ Se suman los dos resultados. × 3 2
¿Sabías que...?
Puedes mul plicar un número de tres cifras por un número de dos cifras descomponiendo uno de los
números.
Por ejemplo, 354 × 32 = 354 × 30 + 354 × 2 = 10, 620 + 708 = 11, 328
1. Efectúa:
a. 345 × 12 b. 742 × 15 c. 532 × 24
d. 978 × 48 e. 230 × 25 f. 247 × 60

a. María corre 571 metros cada día, ¿cuánto corre en 45 días?
b. Si un camión transporta 145 cajas de fruta, ¿cuántas cajas de fruta transportarán 24 camiones?
59
3.4 Mul plicación de números de cuatro cifras por números de dos cifras
Efectúa: 1, 432 × 35

Coloco el mul plicando y mul plicador según su valor posicional.
① ② ③ Antonio
1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2
× 3 5 × 3 5 × 3 5
2 1 1 2 1 1 2 1 1
7 1 6 0 7 1 6 0 7 1 6 0 1, 432 × 5
1 1
4 2 9 6 4 2 9 6 1, 432 × 30
1 1 1
5 0 1 2 0
Mul plico 1, 432 × 5. Mul plico 1, 432 × 3. Sumo ambos resultados.
Escribo el resultado a
par r de las decenas.
R: 1, 432 × 35 = 50, 120
¿Qué pasaría?
¿Cómo se calcula 3, 879 × 72?
3 8 7 9
× 7 2
1 1 1
7 7 5 8
6 5 6
+ 2 7 1 5 3
1
2 7 9 2 8 8 R: 3, 879 × 72 = 279, 288
Para mul plicar un número de cuatro cifras por un número de dos cifras, se mul plican:
② El mul plicando por las decenas del mul plicador, sin olvidar correr una posición hacia la izquierda.
③ Se suman los dos resultados.
Efectúa:
a. 5, 021 × 19 b. 1, 593 × 42 c. 6, 762 × 24
d. 2, 148 × 34 e. 3, 268 × 50 f. 3, 506 × 40
Explica cómo mul plicar 2, 846 × 29 descomponiendo el mul plicador.
60
3.5 Mul plicación de números de tres cifras
Efectúa: 214 × 321

Coloco el mul plicando y mul plicador según su valor posicional.
① ② ③ ④ Julia
2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4
× 3 2 1 × 3 2 1 × 3 2 1 × 3 2 1
2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4
4 2 8 4 2 8 4 2 8
1 1
6 4 2 6 4 2
6 8 6 9 4
Unidad 3
Mul plico Mul plico Mul plico Sumo los tres resultados.
214 × 1 = 214 214 × 2 = 428 214 × 3 = 642
R: 214 × 321 = 68, 694
Para mul plicar los números de tres cifras en forma ver cal, se mul plican:
② El mul plicando por las decenas del mul plicador y el resultado se escribe debajo, sin olvidar correr
una posición hacia la izquierda.
③ El mul plicando por las centenas del mul plicador y el resultado se escribe debajo, sin olvidar correr
dos posiciones hacia la izquierda.
④ Se suman los tres resultados.
Multiplica: ¿Qué pasaría?

a. 132 × 302 Otra forma b. 132 × 320 Otra forma
1 3 2 1 3 2
× 3 0 2 1 3 2 × 3 2 0 1 3 2
2 6 4 × 3 0 2 0 0 0 × 3 2 0
0 0 0 2 6 4 2 6 4 2 6 4 0
3 9 6 3 9 6 0 3 9 6 3 9 6
1 1 1 1
3 9 8 6 4 3 9 8 6 4 4 2 2 4 0 4 2 2 4 0
Recuerda que al mul plicar un número por cero el producto es cero, entonces
no es necesario que mul pliques el cero por todos los números. Solo escríbelo
una vez en la posición que le corresponde mul plicar.
Efectúa:
a. 132 × 231 b. 215 × 432 c. 214 × 460
d. 711 × 341 e. 496 × 756 f. 556 × 689
g. 502 × 172 h. 732 × 504 i. 304 × 610
61
3.6 Mul plicación de números aplicando la propiedad conmuta va
Efectúa: 4 × 326
Mul plico en forma ver cal: 4 × 326. Recuerdo que al cambiar el orden de los
factores, el producto no cambia, por lo tanto
4 mul plico en forma ver cal: 4 × 326.
× 3 2 6
José
6×4 3 2 6 Ana
2 4
20 × 4 × 4
8 1 2
1 3 0 4
+ 1 2 300 × 4
1
1 3 0 4
R: 4 × 326 = 1, 304 R: 326 × 4 = 1, 304
Observo que el resultado es el mismo, por lo tanto:

4 × 326 = 326 × 4 = 1, 304
En una mul plicación, puede intercambiarse el mul plicando con el mul plicador y el resultado será el
mismo, este hecho se conoce como propiedad conmuta va de la mul plicación.
Para facilitar el cálculo se puede dejar como mul plicador el número con menor can dad de cifras.
Efectúa u lizando la propiedad conmuta va:

a. 4 × 346 b. 5 × 324 c. 7 × 795
d. 8 × 1, 234 e. 2 × 3, 012 f. 3 × 2, 131
g. 2 × 7, 431 h. 6 × 2, 041 i. 2 × 8, 014
Si ya terminaste calcula mentalmente las siguientes mul plicaciones:

a. 23 × 10 b. 14 × 20 c.31 × 20
d. 31 × 30 e. 20 × 30 f. 40 × 20
g. 41 × 200 h. 23 × 300 i. 30 × 200
j. 20 × 400 k. 20 × 50 l. 230 × 200
m. 130 × 300 n. 250 × 200 ñ. 124 × 500
62
3.7 Aplicación de la propiedad asocia va de la mul plicación
En 4 camiones se transportan sandías. Cada camión lleva 25 cajas y cada caja con ene 12 sandías;
encuentra el total de sandías que transportan los 4 camiones.
PO: (12 × 25) × 4 PO: 12 × (25 × 4)
Carlos Carmen
Encuentro el número de sandías en cada camión, Encuentro el total de cajas que hay en los
recordando que hay 25 cajas y cada caja ene 12 4 camiones:
sandías: 25 × 4 = 100
Unidad 3
12 × 25 = 300
Hay 100 cajas en los 4 camiones.
Hay 300 sandías en cada uno de los 4 camiones.
Ahora encuentro el total de sandías que hay en las
Luego, encuentro el total de sandías que hay en 100 cajas:
los 4 camiones: 12 × 100 = 1, 200
300 × 4 = 1, 200
R: Hay 1, 200 sandías en total.
R: Hay 1, 200 sandías en total.
Para efectuar mul plicaciones de tres factores hay dos formas:

• Mul plicar los dos primeros factores y luego mul plicar este producto por el tercer factor.
• Mul plicar los dos úl mos factores y luego mul plicar el primer factor por ese producto.
No importa como se asocie para mul plicar ya que el resultado no cambia, esta propiedad se llama
propiedad asocia va de la mul plicación.
× × × × × ×
① ① ①
También puede mul plicarse
② ② el primero por el úl mo.
Efectúa cada operación en el orden que te resulte conveniente:

a. 24 × 25 × 4 b. 37 × 20 × 5 c. 25 × 95 × 4 d. 20 × 47 × 5
63
1. Efectúa:
a. 31 × 20 b. 20 × 30 c. 200 × 30 d. 20 × 400
e. 20 × 50 f. 250 × 200 g. 124 × 500 h. 400 × 250
2. Efectúa cada operación:

a. 1, 231 × 2 b. 1, 423 × 3 c. 8, 241 × 3 d. 5, 623 × 4
e. 7, 243 × 5 f. 12 × 23 g. 51 × 236 h. 431 × 125
i. 362 × 182 j. 1, 243 × 26 k. 4, 804 × 38 l. 43 × 516
m. 36 × 705 n. 354 × 845 ñ. 601 × 104
3. U liza la propiedad conmuta va para efectuar las mul plicaciones:

a. 4 × 25 b. 8 × 71 c. 5 × 947

a. La entrada a un balneario cuesta $3. Si en un fin de semana ingresaron 1, 487 personas, ¿cuánto
dinero se recaudó?
b. La entrada para un par do de fútbol cuesta $5. Si asis eron 624 personas, ¿cuánto dinero se
obtuvo en total?
c. Don Mario ene 21 vacas y mensualmente producen 1, 241 litros de leche, ¿cuánta leche producen
al año las 21 vacas?
45 × 16
Completa mul plicando los números en los círculos
por el número indicado.
×4 ×2
×8
64
Números decimales

4
• Utilizar las décimas, centésimas y milésimas
• Ubicar números decimales en la recta numérica
• Comparar números decimales hasta las décimas
• Representar un número decimal en la tabla de
valores
• Expresar un número decimal en forma desarrollada
1.1 Décimas
¿Cuántos metros mide la parte sombreada?

1m
El metro está dividido en 10 partes iguales y está pintada 1 de las 10 partes.

1
La parte sombreada es 10 m, se lee un décimo de metro y se puede escribir como 0.1 m.
Beatriz
R: 0.1 m
Si el metro se divide en 10 partes iguales, cada una de las diez partes es una décima de metro, se escribe
0.1 m y se lee un décimo de metro o una décima de metro.
0.1 es un número decimal, el punto se llama punto decimal, se escribe en la parte inferior entre la unidad
y la décima.
U • d décima
0 • 1
Ejemplo:
2 veces 0.1 es 0.2 y se lee dos décimas (o también cero punto dos).
3 veces 0.1 es 0.3 y se lee tres décimas (o también cero punto tres).
9 veces 0.1 es 0.9 y se lee nueve décimas (o también cero punto nueve).
Escribe para cada cinta, la medida de la parte sombreada, cómo se lee y cuántas décimas hay.
Ejemplo:
Medida: 0.1 m.
1m Se lee: una décima de metro o también cero punto uno.
Hay una décima.
a. b. c.
1m 1m 1m
d. e. f.
1m 1m 1m
g. h. i.
1m 1m 1m
66
1.2 Décimas del metro
Juan midió a So a; su estatura es 1 m y un poco más.

parte
sobrante
1m
¿Cuál es la estatura de So a en metros?
Observo que después del metro sobra una parte que mide 3 veces 0.1 m, eso es igual a 0.3 m
y se lee tres décimas.
Antonio
1m 0.3 m
1 m y 0.3 m es 1.3 m Se lee: una unidad y tres décimas de metro (uno punto tres).
1.3 es 13 veces 0.1 m.
R: La altura de So a es 1.3 m.
Unidad 4
¿Qué pasaría?
Como 10 veces 0.1 forman 1, al tener más de 10
¿Cuánto mide la cinta?
décimas se forma un número mayor que 1, en la
parte izquierda del punto se ubican las unidades,
y en la parte derecha las décimas. 1m 1m
Ejemplo:
2 unidades y 1 vez 0.1 de metro se escribe 2.1 m,
3.7
se lee dos metros y una décima de metro, y son
21 décimas de metro.
3 unidades 7 décimas
Escribe cuántos metros mide cada cinta, cómo se lee la medida y cuántas décimas hay. La ra grande mide
1 m y cada ra pequeña 0.1 m.
Ejemplo: 1m 0.1 m
Medida: 1.4 m
Se lee: una unidad y cuatro décimas de metro (uno punto cuatro).
Hay 14 décimas, 14 veces 0.1 m.
a. b.
c. d.
e. f.
67
1.3 Las décimas de la unidad
Ayer, Ignacio midió su estatura. Al comparar con lo que midió hace seis meses, supo que creció 1 cm
y un poco más. ayer
hace 6 meses Si divides un cen metro
en 10 partes iguales,
¿cómo le llamas a cada
una de las partes?
0 1 2 3 4
(cm)
¿Cuántos cen metros creció Ignacio?
Si divido un cen metro en 10 partes iguales, Observo en la regla que el cen metro está
1 dividido en 10 partes iguales, cada parte es
cada parte es un décimo 10 cm, es decir
Carmen 0.1 cm.
0.1 cm. Mario
1 cm y 6 veces 0.1 cm, es 1.6 cm que se lee una Cuento 16 partes de 0.1 cm,
unidad y seis décimas de cen metro (uno 16 veces 0.1 cm es 1.6 cm.
punto seis).
R: Ignacio creció 1.6 cm. R: Ignacio creció 1.6 cm.
Los números decimales se pueden u lizar para medir en cen metros y también para determinar la
capacidad de recipientes en can dades menores que el litro.
1l 1l
¿ ué pasaría?
¿Qué can dad de agua hay en total en los dos depósitos?
Cada una de las partes es una décima de litro (0.1 l). En la figura se ene 1 litro
y 4 veces 0.1 l, entonces hay 1.4 l en total, también 14 veces 0.1 l es 1.4 l. 0.4 l
1. Escribe en cen metros la longitud de cada cinta.

a. b.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
(cm) (cm)
2. Escribe la can dad de líquido que hay en total.

a. 1l 1l b. 1l 1l 1l
3. Escribe el número que corresponde a cada casilla.

a. 5 veces 0.1 cm es cm b. 10 veces 0.1 cm es cm c. 15 veces 0.1 cm es cm
d. 7 veces 0.1 l es l e. 10 veces 0.1 l es l f. 13 veces 0.1 l es l
68
1.4 Números decimales en la recta numérica
Iden fica y escribe los números decimales que corresponden a los puntos A, B y C.
0 1 2
A B C
Observo que entre cada unidad hay 10 marcas, entonces cada marca representa una décima.
0.4 1.5 2.7

José
0 1 2
A B C
Cada espacio es 0.1, 4 15 veces 0.1 es 15 décimas, es 2.7 corresponde a 2 unidades
veces 0.1 es 4 décimas decir, una unidad y 5 décimas y 7 décimas, también es 27
que corresponden a 0.4. que corresponden a 1.5. décimas o 27 veces 0.1.
Para ubicar números decimales en la recta numérica:

• Si el número es menor que 1, se divide del 0 al 1 en 10 partes iguales, cada espacio representa 0.1 (una
décima), se ubica el número contando la can dad de décimas.
• Se iden fican las unidades, luego se cuenta la can dad de décimas y se escribe el número en la parte
Unidad 4
inferior de la marca.
1. En la siguiente recta numérica:

a. Iden fica y escribe el número decimal que corresponde a cada letra.
0 1 2 3
A B C D E F
b. Lee en voz alta los números decimales del 0 al 3.3.
2. Ubica los siguientes números decimales.

a. 0.3 b. 1.6 c. 1.2 d. 0.7
e. 2.9 f. 2.1 g. 3.1 h. 3.5
0 1 2 3
69
1. Escribe las palabras que hacen falta en los recuadros:

a. Al dividir una unidad (1) en 10 partes iguales, cada una de las partes se llama .
b. En un número decimal, el punto que separa la unidad y la décima se llama .
2. Determina la medida de las siguientes cintas y escribe cómo se lee cada can dad:
a. b.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
(cm) (cm)
c. d.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
(cm) (cm)
3. Escribe el número que se forma:

a. 20 veces 0.1 es . b. 10 veces 0.1 es .
c. 4 veces 0.1 es . d. 26 veces 0.1 es .
e. 123 veces 0.1 es . f. 32 veces 0.1 es .
4. Escribe el número dada su lectura:

a. tres unidades dos décimas b. una unidad nueve décimas
c. siete décimas d. ocho décimas
5. Determina cuántas décimas hay en cada número y escribe cómo se lee.

a. 3.6 b. 4.1
c. 0.9 d. 1.7
6. Escribe el número que corresponde a cada letra en la recta numérica:
0 1 2 3
A B C D E F
70
1.6 Comparación de números decimales hasta las décimas
Carmen y Mar n compi eron en el campeonato de salto

largo de su escuela. Carmen logró 3.8 m y Mar n 3.1 m.
¿Quién ganó la competencia?
Carmen
Mar n
Comparo los números: Comparo los números:

Carmen Mar n Carmen Mar n
3.8 3.1 3.8 3.1
Ana Carlos
3 3 38 veces 0.1 31 veces 0.1
8 1 38 décimas 31 décimas
① Compara las unidades: son iguales 38 décimas es mayor que 31 décimas,
② Comparo las décimas: 8 > 1 entonces 3.8 > 3.1.
por lo tanto, 3.8 es mayor que 3.1
y se escribe 3.8 > 3.1.
Ubico los números en la recta numérica.
R: Carmen ganó la competencia.
2 3 4
(Mar n) (Carmen)
3.1 3.8
Unidad 4
Observo que 3.8 está a la derecha de 3.1,
entonces 3.8 > 3.1.
Para comparar números decimales:

• Se comparan las unidades, el que ene más unidades es mayor.
• Si enen igual can dad de unidades se comparan las décimas, el que ene más décimas es mayor.
Para expresar el resultado de la comparación se u lizan los símbolos mayor que > y menor que <.
1. Compara los números u lizando los signos >, < o = según corresponda.
a. 1.2 2.1 b. 0.6 0.4 c. 1.9 1.7 d. 2.3 2.7
e. 2 1.5 f. 3 3.6 g. 0 0.1 h. 0.9 1.1
2. Escribe los números, ordenándolos de menor a mayor: 2.3, 0.4, 1.5.
3. Analiza y responde:
a. Juan ene un cordel de 2.5 m, Carolina de 1.8 m y Jonathan de 2.3 m, ¿quién ene el cordel más
corto y quién el más largo?
b. Julia ene tres perritos cachorros, Pitufo pesa 8 lb, Canelo pesa 7.6 lb y Mingo pesa 8.9 lb. Ordena
los pesos de los tres perritos de mayor a menor.
71
1.7 Comparación de números decimales y fracciones
1
Recuerda que 10 = 0.1 es decir que
¿Cuál es mayor 0.4 o 7 ? una décima se puede escribir como
10 0.1 o 1 .
10
7
0.4 es 4 décimas, se puede expresar como 4 En 10 hay 7 décimas entonces se puede
1
veces una décima 10 que es 4 . escribir como 0.7.
10
Beatriz Antonio
Comparo 7 0.4 Comparo 7 0.4
10 10
7 4 0.7 > 0.4

10 > 10
7 7
R: 10 es mayor que 0.4. R: 10 es mayor que 0.4.
1
Para comparar una fracción con denominador Ten en cuenta que 10 es igual a 0.1 ya que ambos
10 y un número decimal hasta las décimas: representan una de las 10 partes en que se divide
la unidad.
① Iden ficar la can dad de décimas.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
② Comparar las décimas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1
③ Colocar el signo mayor que > o menor que <.
1. De los números 0.8 y 5 , ¿cuál es el mayor?

10
2. Copia los números y escribe el símbolo <, >, o = según corresponda:
2 4 9
a. 0.3 10
b. 0.2 c. 0.8 d. 8 0.8 e. 7 0.3 f. 1 0.6
10 10 10 10 10
3. ¿Qué camino seguirá el perro para llegar al hueso, si debe pasar por un recorrido donde los números
estén ordenados de menor a mayor?
3 5
a. 0.7, 10 , 10 , 0.2, 0.9
b. 2 , 0.4, 6 , 0.8, 0.9

10 10
c. 1 , 3 , 0.8, 0.5, 0.9

10 10
72
1.8 Las centésimas
1. Observa la siguiente gráfica y responde las preguntas:
1m
a. ¿En cuántas partes está dividido el metro? b. ¿Cuántas partes están pintadas de amarillo?
2. So a midió la estatura de Juan y resulta que mide 1.5 m y un poquito más. Observa la cinta y
determina cuántos metros mide Juan.
1m 0.5 m
1. a. Está dividida en 100 partes iguales.

1
b. Está pintada 1 de las 100 partes iguales. La parte pintada representa un centésimo 100
o una centésima (0.01).
Julia 0.01 m
2. La parte sobrante de la altura de Juan, mide 3 veces 0.01, que es 0.03.
1.5 y 0.03 es 1.53, 153 centésimas se lee: una unidad y 53 centésimas de metro o uno punto
cincuenta y tres centésimas.
R: Juan mide 1.53 m.
Unidad 4
Si la décima (0.1 m) se divide en diez partes iguales, cada una de esas 0.1 m 0.01 m
partes se representa con 0.01 y se lee una centésima.
Ejemplo: 7 veces 0.01 es 0.07 y se lee siete centésimas (cero punto
cero siete).
U • d c centésima
0.07
0 0.1
0 • 0 7
1. Escribe el número que corresponde a:

a. 8 veces 0.01 es b. 10 veces 0.01 es c. 3 veces 0.1 y 2 veces 0.01 es
2. Iden fica y escribe el número decimal que corresponde a cada letra.
0 0.05 0.1 0.15 0.2

A B C
3. Ubica los siguientes números decimales:

a. 1.25 b. 1.29 c. 1.38
1.2 1.3 1.4

73
1.9 Las milésimas
Observa la cinta verde y responde. ¿Cuántos metros mide la cinta?

Puedes dividir cada centésima
(m) en 10 partes iguales.
1.1 1.2 1.3
1.23 1.24
Divido una centésima (0.01 m) en 10 partes iguales. La longitud de cada una de las partes se escribe
0.001 m, se lee una milésima y representa la milésima parte del metro.
La medida de la cinta verde es 1.23 m y 6 veces 0.001, esto se escribe 1.236 m, y se lee uno punto
Mario doscientos treinta y seis o una unidad doscientas treinta y seis milésimas de metro.
R: La cinta mide 1.236 m.
Al dividir una centésima de metro (0.01 m) en 10 partes iguales obtenemos una milésima de metro que se
escribe 0.001 m y es la milésima parte de un metro.
Entonces 1.23 m y 6 veces 0.001 es 1.236.
U • d c m milésima
(m)
1.236 1 • 2 3 6
1.23 1.24
1. ¿Cuánto mide cada cinta?

a. b.
(m) (m)
1.6 1.7 2.3 2.4
1.64 1.65 2.35 2.36
2. Iden fica y escribe el número decimal que corresponde a cada letra.

(m)
3.45 3.46 3.47
A B C D
3. Señala con una flecha los siguientes números decimales en la recta numérica:
a. 2.983 b. 2.996 c. 2.987 d. 3.009
e. 3.017 f. 2.994 g. 3.002 h. 3.014
2.98 2.99 3 3.01 3.02
74
1. Escribe las palabras que hacen falta en los recuadros:

a. Si divido una décima (0.1) en partes iguales, cada una de las partes se llama centésima.
b. Al dividir una centésima (0.01) en 10 partes iguales, cada una de las partes se llama .
2. Determina la medida de las siguientes cintas:

a. b.
0 1.5 1.6 3.6 3.7
c. d.
1.3 1.4 5.2 5.3
1.34 1.35 5.26 5.27
3. Escribe el número que se forma:

a. 20 veces 0.01 es . b. 0.04 es 4 veces .
c. 4 veces 0.01 es . d. 6 veces 0.001 es .
e. 1.23 y 4 veces 0.001 es . f. 4 veces 0.01 y 7 veces 0.001 es .
g. 2 veces 0.01 y 5 veces 0.001 es . h. 100 veces 0.01 es .
Unidad 4
4. La escala de Richter sirve para medir la energía que se libera en un terremoto. El 13 de enero de 2001
se produjo en El Salvador un terremoto de intensidad 7.7 grados en la escala de Richter y justo un mes
después el 13 de febrero se generó otro terremoto de intensidad 6.6 grados en la misma escala. ¿Cuál
terremoto fue de mayor intensidad?
5. Escribe números en los círculos de forma que queden ordenados de menor a mayor.
1.8 2.1
2.1 2.4
Los números que coloques

0.8 1 en los círculos deben estar
ordenados de menor a mayor.
6. Escribe el número que corresponde a cada letra en la recta numérica:
1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

A B C D E
Iden fica el número u lizando las pistas:

• Soy un número decimal de cuatro cifras.
• De todos los números decimales que se pueden formar con los números 2, 5, 3, 6, soy el mayor.
•
75
2.1 Números decimales en la tabla de valores
Representa en la tabla de valores y escribe los números decimales descritos en cada caso.
a. una unidad y una centésima. b. dos unidades, 1 décima y 5 milésimas.
c. dos décimas y tres centésimas. d. dos unidades.
a. El número está formado por una unidad, cero décimas y una U • d c

centésima.
R: Represento 1.01 que se lee: una unidad y una centésima o uno 1 • 0 1
Carmen
punto cero uno.
b. El número está formado por dos unidades, una décima, cero U • d c m

centésimas y cinco milésimas.
R: Represento 2.105 que se lee: dos unidades y ciento cinco 2 • 1 0 5
milésimas o dos punto ciento cinco.
c. El número está formado por cero unidades, dos décimas y tres U • d c

centésimas.
R: Represento 0.23 que se lee: cero unidades y vein trés centésimas 0 • 2 3
o cero punto vein trés.
d. El número está formado por dos unidades, cero décimas y cero U • d c

centésimas. En este caso solo se escribe 2 y se lee dos. 2
R: Represento 2 que se lee dos.
En los números
decimales; si a la
Al representar un número decimal en la tabla de valores; si el número derecha del cero (0)
no hay otro número,
decimal ene 0 en alguna de sus posiciones debemos escribir 0 en la casilla el cero no se escribe.
correspondiente.
1. Completa la tabla de valores y escribe el número decimal que se forma.

a. Una unidad y tres centésimas. b. Tres unidades y siete milésimas.
U • d c m U • d c m
número decimal: número decimal:

2. Escribe el número decimal que corresponde a cada descripción:
a. 5 unidades, 3 décimas, 6 centésimas y 4 milésimas. Seguramente has leído can dades como
b. 2 unidades y 6 centésimas. $2.80 en el precio de algún producto, se
escribe “0” en las centésimas porque se
c. 8 milésimas.
refiere a 80 centavos.
d. 1 unidad y 6 centésimas.
e. 4 centésimas.
f. 2 unidades, 4 centésimas y 1 milésima.
g. 7 unidades y 4 milésimas.
76
2.2 Números decimales en forma desarrollada
1. Escribe los siguientes números en forma desarrollada.

a. 3.459 b. 0.027
2. ¿Qué número se forma con 5 + 0.3 + 0.02 + 0.008?
1. a. Ubico 3.459 en la tabla de valores: b. Ubico 0.027 en la tabla de valores:

U • d c m U • d c m
3 • 4 5 9 0 • 0 2 7
José
3 unidades 4 décimas 5 centésimas 9 milésimas 2 centésimas 7 milésimas
3 0.4 0.05 0.009 0.02 0.007
R: 3.459 = 3 + 0.4 + 0.05 + 0.009 R: 0.027 = 0.02 + 0.007
2. 5 + 0.3 + 0.02 + 0.008
5 unidades 3 décimas 2 centésimas 8 milésimas
U • d c m
Unidad 4
5 • 3 2 8
R: Se forma 5.328
¿Sabías que...?
Existe otra manera de representar en forma
Un número decimal se puede escribir en forma
desarrollada los números.
desarrollada de la misma forma que los números
3.459 = 3 + 0.4 + 0.05 + 0.009
naturales, u lizando la tabla de valores.
3 veces 4 veces 5 veces 9 veces
1 0.1 0.01 0.001
3.459 = 1 × 3 + 0.1 × 4 + 0.01 × 5 + 0.001 × 9

a. 2.135 b. 6.304
c. 7.003 d. 0.023
e. 1.048 f. 3.08
2. Escribe el número que corresponde en cada caso.

a. 2 + 0.3 + 0.01 + 0.008 b. 0.1 + 0.04
c. 4 + 0.03 + 0.002 d. 3 + 0.009
e. 3 + 0.4 + 0.01 f. 0.1 + 0.03 + 0.005
77
2.3 Equivalencia entre valores posicionales de números decimales
Observa la siguiente forma de representar los números decimales y responde.

× 1, 000
× 10 × 10 × 10
1 0.1 0.01 0.001
unidades décimas centésimas milésimas

1 0.1 0.01 0.001
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
÷ 1, 000
a. ¿Cuánto es 10 veces 0.01? b. ¿Cuánto es 10 veces 0.1?

c. ¿Cuánto es 10 veces 0.001? d. ¿Cuánto es 1, 000 veces 0.001?
e. ¿Cuánto es 100 veces 0.01? f. ¿Cuánto es 1 entre 1, 000?
a. 9 veces 0.01 es 0.09. b. 9 veces 0.1 es 0.9.

10 veces 0.01 no es 0.010 es 0.1. 10 veces 0.1 es 1.
R: 10 veces 0.01 es 0.1 R: 10 veces 0.1 es 1.
Mario
c. 9 veces 0.001 es 0.009. d. 10 × 10 × 10 = 1, 000

10 veces 0.001 es 0.01. En la unidad hay 1, 000 veces 0.001.
R: 10 veces 0.001 es 0.01. R: 1, 000 veces 0.001 es 1.
e. R: 100 veces 0.01 es 1. f. R: 1 dividido entre 1, 000 es 0.001.
Al mul plicar un número decimal por 10, 100, 1, 000... se aumenta su valor posicional por 1, 2, 3... lugares.
Al dividir un número decimal entre 10, 100, 1, 000... se disminuye su valor posicional por 1, 2, 3... lugares.
0.001 × 10 es 0.01. U• d c m 1 ÷ 10 es 0.1.

0.01 × 10 es 0.1. 1 0.1 ÷ 10 es 0.01.
× 10 ÷ 10
0.1 × 10 es 1. × 100 0•1 ÷ 100 0.01 ÷ 10 es 0.001.
0.001 × 100 es 0.1. × 1, 000 × 10 ÷ 10 ÷ 1, 000 1 ÷ 100 es 0.01.
0.01 × 100 es 1. 0•0 1 ÷ 10 ÷ 100 0.1 ÷ 100 es 0.001.
× 100 × 10
0.001 × 1, 000 es 1. 0•0 0 1 1 ÷ 1, 000 es 0.001.
Copia en tu cuaderno y responde.

a. ¿Cuánto es 10 veces 0.001? b. ¿Cuánto es 1 entre 100?
c. ¿Cuánto es 100 veces 0.001? d. ¿Cuánto es 1 entre 10?
e. ¿Cuánto es 1, 000 veces 0.001? f. ¿Cuánto es 100 veces 0.01?
78
2.4 Décimas, centésimas o milésimas que forman un número decimal
Contesta:
a. ¿Con cuántas décimas (0.1) se forma la unidad?
b. ¿Con cuántas centésimas (0.01) se forma la unidad?
c. ¿Con cuántas milésimas (0.001) se forma la unidad?
Ana y María quieren representar el número 2.3 con piezas de 0.1 (décimas) y el número 1.14 con piezas
de 0.01 (centésimas), ¿cuántas piezas necesitan para representar los números?
Encuentro cuántas piezas de 0.1 se necesitan, Encuentro cuántas piezas de 0.01 se

tomando en cuenta que 10 piezas de 0.1 forman 1. necesitan, tomando en cuenta que 100
piezas de 0.01 forman 1. Carlos
10 de 0.1 10 de 0.1 3 de 0.1 100 de 0.01 10 de 0.01 4 de 0.01
Unidad 4
En 2.3 hay 23 piezas de 0.1. En 1.14 hay 114 piezas de 0.01.
R: En el número 2.3 hay 23 décimas. R: En el número 1.14 hay 114 centésimas.
Para saber cuántas décimas, centésimas o milésimas hay en un número decimal, se observa cuánto vale
la úl ma cifra de la derecha y se elimina el punto decimal.
2.4 24 veces 0.1 o 24 décimas. 1.289 1, 289 veces 0.001 o 1, 289 milésimas.
Así, si hay tantas veces 0.1, 0.01 o 0.001 el valor del número se ob ene al mover el punto decimal una,
dos o tres veces a la izquierda.
56 veces 0.1 5.6 431 veces 0.01 4.31
1. Escribe con cuántas veces 0.1 se forman los siguientes números:

a. 5.4 b. 0.5 c. 37.6
a. 1.53 b. 0.28 c. 30.54
3. Escribe el número que equivale a:
a. 68 veces 0.1 b. 125 veces 0.001 c. 14 veces 0.01 d. 308 veces 0.01
4. ¿Con cuántas veces 0.001 se forma el número 2.345?
5. ¿Qué número se forma con 3, 456 veces 0.001?
79

a. 5.241
b. 3.482
c. 3.009
d. 0.054
2. Escribe el número que corresponde en cada caso.

a. 1 + 0.5 + 0.06 + 0.003
b. 0.5 + 0.07
c. 6 + 0.08 + 0.004
d. 2 + 0.008
3. Escribe el número decimal que corresponde a cada descripción:

a. 4 unidades, 2 décimas, 5 centésimas y 3 milésimas.
b. 2 unidades, 4 décimas y 7 milésimas.
c. 3 unidades, 6 centésimas y 1 milésima.
d. 5 unidades y 8 milésimas.
e. 7 décimas, 2 centésimas y 9 milésimas.
f. 3 centésimas y 5 milésimas.
4. Responde:
a. ¿Cuánto es 100 veces 0.01? b. ¿Cuánto es 1 entre 0.01?
c. ¿Cuánto es 10 veces 0.1? d. ¿Cuánto es 1 entre 0.1?

a. 3.7 b. 0.8
c. 41.5 d. 2.4

a. 2.47 b. 0.82
c. 21.35 d. 5.09

a. 0.009 b. 0.721
8. Escribe el número que equivale a:

a. 43 veces 0.1 b. 238 veces 0.1
c. 23 veces 0.01 d. 502 veces 0.01
Escribe los números que faltan para completar la otra forma desarrollada:
a. 3.849 = 1 × ___ + 0.1 × ___ + 0.01 × ___ + 0.001 × ___
b. 0.635 = 1 × ___ + 0.1 × ___ + 0.01 × ___ + 0.001 × ___
c. 7.015 = 1 × ___ + 0.1 × ___ + 0.01 × ___ + 0.001 × ___
80
División
• Dividir con la técnica de reparto

• Dividir en forma vertical sin y con residuo
• Dividir entre decenas completas
• Dividir aplicando la aproximación
• Utilizar la propiedad de la división
• Aplicar la jerarquía en las operaciones
• Usar la multiplicación y división para encontrar la
cantidad de veces y cantidad base
1. Escribe el número que debe ir en cada recuadro.
a. × 3 = 15 b. × 5 = 25 c. ×2=8 d. × 4 = 32
e. × 7 = 42 f. × 8 = 64 g. × 6 = 36 h. × 9 = 27
i. 2 × = 18 j. 4 × = 20 k. 5 × = 35 l. 3 × = 21
m. 9 × = 54 n. 6 × = 24 ñ. 8 × = 48 o. 7 × = 35
2. Efectúa y en cada caso comprueba el resultado.

a. b. c. d.
1 5 3 4 5 5 2 1 3 2 4 8
e. f. g. h.
4 2 6 3 5 7 2 7 9 3 2 4
3. Responde:
a. Una escuela compra tres escritorios y los reparte equita vamente en tres salones, ¿cuántos
escritorios le corresponden a cada salón?
b. Andrés ene 45 chibolas y las guarda equita vamente en 7 bolsas, ¿cuántas chibolas guarda en cada
bolsa?, ¿cuántas chibolas le quedan sin guardar?
c. Se enen 57 libros y se guardarán en cajas, en cada caja caben 9 libros, ¿cuántas cajas se necesitarán
para poder guardar todos los libros?
82
1.2 División D0 ÷ U con y sin residuo
Se enen 70 galletas y se colocarán en cajas, ¿cuántas galletas se colocarán en cada caja?

a. Si se enen 5 cajas.
b. Si se enen 4 cajas.
a. PO: 70 ÷ 5
①Descompongo el dividendo ②Divido por separado ③Sumo los cocientes
70 ÷ 5 50 ÷ 5 = 10 10 + 4 = 14
Carmen 50 20 20 ÷ 5 = 4 Por lo tanto, 70 ÷ 5 = 14
R: 14 galletas
b. PO: 70 ÷ 4
①Descompongo el dividendo ②Divido por separado ③Sumo los cocientes
70 ÷ 4 40 ÷ 4 = 10 10 + 7 = 17
40 30 30 ÷ 4 = 7 sobran 2 Por lo tanto, 70 ÷ 4 = 17 y sobran 2
R: 17 galletas y sobran 2.
Para dividir decenas completas entre una cifra:

① Descomponer el dividendo.
② Realizar la división por separado.
③ Sumar los cocientes que se obtuvieron en el paso ②, y si hay residuo colocarlo.
1. Efectúa:
Unidad 5
a. 70 ÷ 6 b. 30 ÷ 2 c. 80 ÷ 5 d. 90 ÷ 7
e. 50 ÷ 4 f. 80 ÷ 7 g. 50 ÷ 3 h. 40 ÷ 3
2. Responde:
a. Se enen 60 libretas para colorear y se regalan a 4 estudiantes, ¿cuántas libretas le tocan a cada
estudiante?
b. Una librería ene 90 lápices, los cuales se venderán en cajas con 6 lápices, ¿cuántas cajas se
necesitarán?
83
1.3 División DU ÷ U con y sin residuo
Hay 52 manzanas y se repar rán equita vamente, ¿cuántas le tocarán a cada persona?
a. Si se reparten a 4 personas. b. Si se reparten a 3 personas.
a. PO: 52 ÷ 4
① Calculo en las decenas: ② Calculo en las unidades:
D U D U D U D U Carlos
5 2 4 5 2 4 5 2 4 5 2 4
1 − 4 1 − 4 1 3 − 4 1 3
D 1 D 1 2 D U 1 2 D U
− 1 2
0
Pienso 5 ÷ 4 y escribo Escribo el producto Bajo las unidades, pienso Escribo el producto
1 como cociente 1 × 4 = 4 y encuentro 12 ÷ 4 y escribo 3 como 3 × 4 = 12 y encuentro la
provisional. la diferencia 5 – 4 = 1. cociente provisional. diferencia 12 – 12 = 0.
R: 13 manzanas
b. PO: 52 ÷ 3
① Calculo en las decenas: ② Calculo en las unidades:
D U D U D U D U
5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3
1 − 3 1 − 3 1 7 − 3 1 7
D 2 D 2 2 D U 2 2 D U
− 2 1
1
Pienso 5 ÷ 3 y escribo Escribo el producto Bajo las unidades, pienso Escribo el producto
1 como cociente 1 × 3 = 3 y encuentro 22 ÷ 3 y escribo 7 como 7 × 3 = 21 y encuentro la
provisional. la diferencia 5 – 3 = 2. cociente provisional. diferencia 22 – 21 = 1.
R: 17 manzanas y sobra 1.
Para dividir un número de dos cifras entre un número de una cifra, se siguen los mismos pasos: cociente,
producto, diferencia y bajar.
Para comprobar la división, se siguen las relaciones:
divisor × cociente + residuo = dividendo divisor × cociente = dividendo
Efectúa:
a. 72 ÷ 6 b. 87 ÷ 3 c. 64 ÷ 4 d. 96 ÷ 8
e. 67 ÷ 4 f. 79 ÷ 7 g. 56 ÷ 5 h. 83 ÷ 6
84
1.4 División DU ÷ U = U cuando la decena no es divisible entre el divisor
Marta fue a una fiesta y recogió 29 dulces de la piñata. Al llegar a casa decidió
guardarlos colocando 7 dulces en cada bolsa; como la úl ma bolsa no se completó
decidió comerse los que sobraron.
a. ¿Cuántas bolsas u lizó?
b. ¿Cuántos dulces se comió?
PO: 29 ÷ 7
Ya que el cociente indicará cuántas veces cabe el 7 en 29, es decir cuántas bolsas u lizó, el
residuo indicará cuántos dulces se comió. Beatriz
① ② ③
D U D U D U
2 9 7 2 9 7 2 9 7
4 2 8 4
U 1 U
Pienso 2 ÷ 7, pero como 7 Pienso en 29 ÷ 7 y busco en Coloco el producto 4 × 7 = 28
no cabe en 2, el cociente la tabla del 7 el resultado y encuentro la diferencia.
no tendrá decenas. que más se aproxime a 29, 29 – 28 = 1.
que es 4 ese será el cociente.
④ ⑤
Como ya no hay Compruebo: 7 × 4 + 1 = 29 a. R: 4 bolsas
números para bajar. ¡Lo hice bien! b. R: Se comió 1 dulce.
29 ÷ 7 = 4 residuo 1.
También podemos encontrar el resultado aplicando la tabla de mul plicar del
7, buscando que el producto sea más cercano a 29.
7 × 4 = 28 28 + 1 = 29
Unidad 5
Si al efectuar una división de un número de dos cifras entre un número de una cifra en forma ver cal,
la cifra de las decenas en el dividendo es menor que el divisor, se toman también las unidades y en el
cociente no habrán decenas solamente unidades.
1. Efectúa las siguientes divisiones en forma ver cal y comprueba el resultado.

a. 19 ÷ 3 b. 37 ÷ 5 c. 28 ÷ 9 d. 51 ÷ 8
e. 58 ÷ 7 f. 48 ÷ 9 g. 47 ÷ 6 h. 67 ÷ 7
2. Antonio está jugando con 43 chibolas y las quiere agrupar de 5 en 5.

a. ¿Cuántos grupos de 5 chibolas puede formar?
b. ¿Cuántas chibolas le sobrarán?
85
1.5 División C00 ÷ U y CD0 ÷ U con reparto
Lidia repar ó equita vamente 800 limones en 4 canastos. ¿Cuántos limones hay en cada canasto?
PO: 800 ÷ 4
Represento con tarjetas numéricas 800 limones.
Mario
100 100 100 100 100 100 100 100
Reparto las 8 centenas entre 4 para encontrar cuántos limones hay en cada canasto.
8 centenas ÷ 4
100 100 100 100 100 100 100 100
En cada canasto hay 2 centenas de limones.

8 centenas ÷ 4 = 2 centenas
800 ÷ 4 = 200 R: 200 limones
Para encontrar el resultado de un número con ¿ ué pasaría?

centenas completas entre un número de dos ¿Cuál es el resultado de 120 ÷ 3?
cifras, se considera el dividendo como grupos 120 ÷ 3 = 40
de 100 a repar r entre el divisor. 12 decenas ÷ 3 = 4 decenas, se agrega 0 a la respuesta.
Ejemplo: 800 ÷ 4 Ejemplos:

8 ÷ 4 = 2 se agregan 00 1. 240 ÷ 6 = 40 (24 ÷ 6 = 4)
800 ÷ 4 = 200 2. 200 ÷ 5 = 40 (20 ÷ 5 = 4)
1. Efectúa:
a. 800 ÷ 2 b. 600 ÷ 2 c. 600 ÷ 3 d. 900 ÷ 3
e. 200 ÷ 2 f. 300 ÷ 3 g. 800 ÷ 8 h. 700 ÷ 7
i. 120 ÷ 4 j. 120 ÷ 6 k. 150 ÷ 3 l. 240 ÷ 8
m. 360 ÷ 6 n. 200 ÷ 5 ñ. 400 ÷ 8 o. 300 ÷ 5
2. María está jugando un videojuego en el cual gana puntos atrapando frutas, cada fruta ene un puntaje
definido. Atrapando 5 manzanas gana 500 puntos, ¿cuántos puntos gana al atrapar 1 manzana?
86
1.6 División CDU ÷ U = CDU en forma ver cal
Cinco amigos harán un diseño con origami para su clase de Educación Ar s ca, para ello enen 734 hojas
de papel de colores que distribuirán equita vamente. ¿Cuántas hojas le corresponden a cada uno?
PO: 734 ÷ 5
① ② ③
C D U C D U C D U Ana
7 3 4 5 7 3 4 5 7 3 4 5
1 − 5 1 − 5 1 4
C 2 C 2 3 C D
Calculo las centenas Coloco el producto 1 × 5 = 5 Bajo las decenas y encuentro las
del cociente y encuentro la diferencia en decenas del cociente 23 ÷ 5, el
7 ÷ 5 = 1. las centenas 7 – 5 = 2. cociente provisional es 4.
④ ⑤ ⑥
C D U C D U C D U
7 3 4 5 7 3 4 5 7 3 4 5
− 5 1 4 − 5 1 4 6 − 5 1 4 6
2 3 C D 2 3 C D U 2 3 C D U
− 2 0 − 2 0 − 2 0
3 3 4 3 4
Coloco el producto de Bajo las unidades y − 3 0
4 × 5 = 20 y encuentro encuentro las unidades 4
la diferencia en las del cociente 34 ÷ 5, el Escribo el producto de 6 × 5 = 30.
decenas 23 – 20 = 3. cociente provisional es 6. Encuentro la diferencia 34 – 30 = 4.
⑦ ⑧
Unidad 5
Ya no hay números para Compruebo:
bajar, por lo tanto: 5 × 146 + 4 = 734
734 ÷ 5 = 146 residuo 4. ¡¡Si!! R: 146 hojas de papel.
Para dividir un número de tres cifras entre otro número de una cifra en forma ver cal, se calcula
iniciando en la posición de las centenas, repi endo los cuatro pasos: cociente, producto, diferencia y
bajar. Se finaliza cuando ya no hay más cifras del dividendo para bajar.
Efectúa:
a. 857 ÷ 2 b. 826 ÷ 3 c. 741 ÷ 3 d. 379 ÷ 2
e. 916 ÷ 4 f. 405 ÷ 3 g. 570 ÷ 4 h. 803 ÷ 7
87
1.7 División CDU ÷ U = CDU cuando hay cero en alguna cifra del cociente
Efectúa:
a. 841 ÷ 4 b. 629 ÷ 3
a. Resuelvo u lizando la forma ver cal repi endo los pasos: cociente, producto, diferencia y bajar.
C D U C D U C D U
8 4 1 4 8 4 1 4 8 4 1 4
8 2 − 8 2 1 − 8 2 1 0 Antonio
0 C 0 4 C 0 4 C Comprobación:
4 − 4 2 1 0 8 4 0
0 0 1 × 4 + 1
Encuentro las centenas Bajo las decenas, − 0 8 4 0 8 4 1
del cociente 8 ÷ 4 = 2, encuentro el cociente 1
el producto 2 × 4 = 8 y 4 ÷ 4 = 1, el producto Bajo las unidades, Compruebo:
la diferencia 8 – 8 = 0. 1 × 4 = 4 y la encuentro 1 ÷ 4 y 210 × 4 + 1 = 841
diferencia 4 – 4 = 0. escribo cero en el
cociente. Calculo el
producto 0 × 4 = 0 y la
diferencia 1 – 0 = 1. R: 841 ÷ 4 = 210 residuo 1
b.
C D U C D U C D U
6 2 9 3 6 2 9 3 6 2 9 3
− 6 2 − 6 2 0 − 6 2 0 9 Comprobación:
0 C 0 2 C 0 2 C 2 0 9 6 2 7
− 0 − 0 × 3 + 2
2 2 9 6 2 7 6 2 9
Encuentro las centenas Bajo las decenas, − 2 7 Compruebo:
del cociente 6 ÷ 3 = 2, encuentro 2 ÷ 3, el 2 209 × 3 + 2 = 629
el producto 2 × 3 = 6 y cociente provisional es Bajo las unidades,
la diferencia 6 – 6 = 0. 0, el producto 0 × 3 = 0 encuentro 29 ÷ 3, el
y la diferencia 2 – 0 = 2. cociente provisonal es 9,
el producto 9 × 3 = 27 y
la diferencia 29 – 27 = 2.
R: 629 ÷ 3 = 209 residuo 2
Si al encontrar el cociente de una división u lizando la forma ver cal se ob ene una división donde el
dividendo es menor que el divisor, se coloca 0 en la posición que le corresponde en el cociente y siempre
se repiten los cuatro pasos: cociente, producto, diferencia y bajar.
Efectúa:
a. 482 ÷ 4 b. 681 ÷ 2 c. 928 ÷ 3 d. 828 ÷ 4
e. 842 ÷ 3 f. 563 ÷ 4 g. 416 ÷ 4 h. 532 ÷ 5
88
1.8 División CDU ÷ U = DU
El abuelo de José repar rá equita vamente su colección de 216 tarjetas de fútbol entre sus 4 nietos,
¿cuántas tarjetas recibirá cada nieto?
PO: 216 ÷ 4
① ② ③
C D U C D U C D U Julia
2 1 6 4 2 1 6 4 2 1 6 4
5 − 2 0 5 − 2 0 5 4
D 1 D 1 6 D U
2 ÷ 4 no se puede dividir. Coloco el producto 5 × 4 = 20. Bajo las unidades.
Divido 21 decenas y como Encuentro la diferencia en las Encuentro el cociente:
21 ÷ 4 es 5, entonces el decenas 21 – 20 = 1. 16 ÷ 4 = 4.
cociente tendrá 5 decenas.
④ ⑤ ⑥
C D U Como ya no hay números Compruebo: 4 × 54 = 216.
que bajar en el dividendo: ¡Está bien!
2 1 6 4
216 ÷ 4 = 54.
− 2 0 5 4
1 6 D U
− 1 6
0 R: 54 tarjetas
Escribo el producto:
4 × 4 = 16 y encuentro la
diferencia: 16 – 16 = 0.
¿ ué pasaría?
¿Cómo se resuelve 352 ÷ 7 en forma ver cal?
Si al efectuar la división de un número de tres cifras
Unidad 5
C D U Como 2 no se puede dividir
entre otro número de una cifra en forma ver cal,
3 5 2 7 entre 7, en el cociente hay
la cifra de las centenas en el dividendo es menor
que el divisor, se toman también las decenas y en el − 3 5 5 0 cero unidades.
cociente no habrán centenas solamente decenas y 0 2 D U
352 ÷ 7 = 50 con residuo 2
unidades. − 0
2
1. Efectúa:
a. 312 ÷ 6 b. 217 ÷ 7 c. 253 ÷ 5
d. 425 ÷ 5 e. 232 ÷ 3 f. 213 ÷ 5
g. 189 ÷ 3 h. 215 ÷ 7 i. 168 ÷ 4
2. La abuela Orbelina ene 8 nietos, compró 123 chibolas y las quiere repar r equita vamente entre ellos.
¿Cuántas chibolas le corresponden a cada nieto?, ¿cuántas chibolas le quedarán a ella?
89
1. Efectúa:
a. 92 ÷ 4 b. 65 ÷ 5 c. 51 ÷ 3
d. 72 ÷ 4 e. 62 ÷ 4 f. 64 ÷ 3
g. 88 ÷ 5 h. 93 ÷ 4 i. 85 ÷ 2
j. 68 ÷ 3 k. 85 ÷ 4 l. 43 ÷ 2
m. 37 ÷ 9 n. 59 ÷ 8 ñ. 29 ÷ 4
2. Juan ene 75 chibolas y quiere guardarlas en 5 botes, ¿cuántas chibolas tendrá cada bote?
3. Se reparten equita vamente 87 hojas de papel entre 5 niños.

¿Cuántas hojas le corresponden a cada uno?, ¿cuántas hojas quedan sin repar r?
4. Un vendedor de frutas quiere repar r 83 manzanas en bolsas con 4 manzanas en cada una.
¿Cuántas bolsas tendrá?, ¿cuántas manzanas quedarán sin embolsar?
1. Carmen está diseñando un álbum fotográfico y colocará

3 fotogra as en cada página.
Si ene 29 fotogra as, ¿cuántas páginas necesitará?
2. Encuentra los números ocultos:

a. b.
D U D U
2 3 4 8
6 7 1
2 2 D U 1 4 D U
1
6
90
1. Efectúa:
a. 400 ÷ 2 b. 500 ÷ 5 c. 848 ÷ 4
d. 963 ÷ 3 e. 900 ÷ 6 f. 648 ÷ 7
g. 535 ÷ 3 h. 975 ÷ 4 i. 623 ÷ 3
j. 741 ÷ 2 k. 237 ÷ 5 l. 454 ÷ 6
2. La niña Carmen repar rá equita vamente 784 limones en 5 canastos.

¿Cuántos limones debe colocar en cada canasto?, ¿cuántos limones sobran?
3. En un supermercado preparan paquetes de 4 jugos para colocarlos en oferta. Si enen 427 jugos,
¿cuántos paquetes pueden hacer?, ¿cuántos jugos quedarán sin empaquetar?
4. En una floristería enen 965 rosas y elaborarán arreglos de 8 rosas cada uno.
¿Cuántos arreglos podrán hacer?, ¿cuántas rosas sobrarán?
5. En una escuela repar rán equita vamente 378 pupitres entre 9 salones. ¿Cuántos pupitres
corresponden a cada salón?, ¿cuántos pupitres quedan sin repar r?
6. En la rueda de la fortuna de un parque de diversiones cabe un total de 112 personas.

Si cada canasta ene capacidad para 8 personas, ¿cuántas canastas ene la rueda de la
fortuna?
María vende televisores en una enda de electrodomés cos, el precio al comprar un televisor es $342, pero Unidad 5
hace un descuento si le compran más de uno.
a. Don Carlos le compró 3 televisores en $972, el precio total ya incluye el descuento.
¿Cuál es el precio de cada televisor?
b. ¿Cuál es el descuento que María le hizo a don Carlos en cada televisor?
91
2.1 División entre decenas completas
Beatriz ene 60 ¢ y quiere guardarlos en bolsas con 20 ¢ en cada una. ¿Cuántas bolsas
necesita?
PO: 60 ÷ 20
6 monedas de 10 ¢ También se puede representar
gráficamente:
José 10 10 10 10 10 10 60 ¢
20 ¢
6 monedas de 10 cts
0 1
10 10 10 10 10 10 (bolsas)
2 monedas
de 10 ¢ 20 × = 60
Como 2 × = 6,
pienso en la tabla del 2
Para resolver 60 ÷ 20 considero cada grupo de 10 como 1 60 ÷ 20 =
decena, así tenemos 6 decenas entre 2 decenas.
Por lo tanto: 6 ÷ 2 Entonces, =3
60 ÷ 20 = 3
Dan el mismo resultado.
6 ÷ 2 = 3
decenas decenas
Compruebo que la división es correcta: 60 = 20 × 3.
R: 3 bolsas.
¿ ué pasaría?
Cuando en una división tanto el dividendo como el
divisor se pueden representar con grupos de 10; el 150 ÷ 30 = 5
cociente se encuentra dividiendo la can dad de grupos
de 10 del dividendo entre la can dad de grupos de 10 15 ÷ 3 = 5
del divisor. Comprobación: 150 = 30 × 5
1. Efectúa:
a. 30 ÷ 10 b. 40 ÷ 10 c. 50 ÷ 10 d. 60 ÷ 10
e. 80 ÷ 40 f. 90 ÷ 30 g. 80 ÷ 20 h. 60 ÷ 60
i. 120 ÷ 20 j. 210 ÷ 70 k. 420 ÷ 70 l. 560 ÷ 80
2. Doña María vende mandarinas en el mercado, este día lleva a vender 180 mandarinas.
Si decide venderlas en bolsas de 20 mandarinas cada una, ¿cuántas bolsas u lizará?
92
2.2 División D0 ÷ D0 y CD0 ÷ D0 con residuo
Juan ene 70 ¢ y quiere guardarlos en bolsas colocando 20 ¢ en cada una. ¿Cuántas bolsas
u lizará?, ¿cuántos centavos sobran?
PO: 70 ÷ 20
10 10 10 10 10 10 10
Como Juan quiere 20 ¢ en cada bolsa, coloca 2 monedas de 10 ¢ en cada una: Carmen
7 monedas de 10 ¢
10 10 10 10 10 10 10
2 de 10 ¢
Obtengo el resultado de 70 ÷ 20 considerando los grupos de 10 como decenas; es decir 7 decenas entre 2
decenas, 7 ÷ 2.
7 ÷ 2 = 3 residuo 1, quiere decir que se pueden hacer 3 de 20 y sobra 1 paquete de 10.
Por lo tanto:
70 ÷ 20 = 3 residuo 10 El cociente es el mismo y el
residuo se mul plica por 10.
7 ÷ 2 = 3 residuo 1
Entonces 70 ÷ 20 = 3 residuo 10. Finalmente compruebo: 70 = 20 × 3 + 10.
R: 3 bolsas y 10 ¢ sobrantes.
Pasos para encontrar el cociente de una división donde el ¿Qué pasaría?

dividendo y el divisor se pueden presentar en grupos de 10: 170 ÷ 30 = 5 residuo 20
Unidad 5
① Encontrar el cociente de dividir la can dad de grupos
de 10 del dividendo entre la can dad de grupos de 10
del divisor. 17 ÷ 3 = 5 residuo 2
② Mul plicar por 10 el residuo, si lo hay. Comprobación: 170 = 30 × 5 + 20
1. Efectúa:
a. 50 ÷ 20 b. 70 ÷ 30 c. 90 ÷ 20 d. 70 ÷ 40
e. 60 ÷ 40 f. 90 ÷ 50 g. 110 ÷ 20 h. 190 ÷ 60
i. 280 ÷ 90 j. 420 ÷ 80 k. 270 ÷ 60 l. 330 ÷ 60
2. En la panadería "El Amanecer" se elaboraron 130 galletas de chocolate, las cuales se deben colocar en
cajitas con 20 galletas en cada una. ¿Cuántas cajitas se necesitan?, ¿cuántas galletas sobran?
93
2.3 División DU ÷ DU = U aplicando la aproximación
Mario vende lápices. Si ene 63 lápices y los coloca en cajas en las que caben 21
lápices, ¿cuántas cajas aproximadamente se llenarán y cuántos lápices quedarán
sin u lizar?
PO: 63 ÷ 21
U lizo la aproximación
Carlos 63 ÷ 21 Como el dividendo y divisor son
se aproxima números de dos cifras se aproxima
a las decenas.
60 ÷ 20 = 3
Entonces 63 ÷ 21 = 3, se comprueba 21 × 3 = 63.
R: 3 cajas y no sobran lápices.
Para obtener el cociente de la división de dos números de dos cifras, se puede es mar el cociente
considerando que las unidades del divisor sean cero y probar con productos hasta obtener un resultado
que se aproxime al dividendo.
¿Qué pasaría?
En el supermercado venden un bombón que cuesta 18 ¢. Si enes $1, ¿cuántos bombones puedes
comprar? En este caso, se puede aproximar.
18 ¢ aproximadamente 20 ¢
R: Con 1 dólar, puedes comprar 5 bombones.
Si cada bombón costara 22 ¢, ¿cuántos se podrían comprar con $1?

22 ¢ aproximadamente 20 ¢
R: Con $1 se es ma que se pueden comprar 5 bombones, pero realmente solo se pueden comprar 4.
Sin embargo, es muy ú l aplicar la aproximación en las compras.
Es ma el cociente aplicando la aproximación (no necesitas encontrar el cociente exacto).

a. 42 ÷ 21 b. 33 ÷ 11 c. 44 ÷ 11 d. 59 ÷ 30
e. 58 ÷ 20 f. 57 ÷ 30 g. 59 ÷ 31 h. 58 ÷ 21
i. 57 ÷ 31 j. 89 ÷ 21 k. 29 ÷ 13 l. 97 ÷ 31
94
2.4 Cálculo ver cal de DU ÷ DU = U
¿Cómo se calcula 89 ÷ 21 en forma ver cal?
① ②
D U D U D U
Beatriz 8 9 2 1 8 9 2 1 8 9 2 1
4
U U
Coloco los números para Escondo las unidades 8÷2=4
dividir en forma ver cal. u lizando los dedos.
③ ④ ⑤
D U D U Verifico que el residuo sea
menor que el divisor 5 < 21.
8 9 2 1 8 9 2 1
8 4 4 – 8 4 4 ⑥
Compruebo:
U 5 U
89 = 21 × 4 + 5
Encuentro el producto Encuentro la diferencia ¡Lo hice bien!
de 21 × 4 y lo coloco 89 – 84 = 5.
abajo del dividendo. R: 89 ÷ 21 = 4 residuo 5
Para calcular el cociente al dividir dos números de dos cifras en forma Podemos esconder las
ver cal se dividen las decenas. Es decir, considerando que las unidades del unidades u lizando los
dedos.
dividendo y divisor sean 0.
Luego se siguen los pasos: producto y diferencia.
Unidad 5
1. Realiza las siguientes divisiones en forma ver cal.
a. b. c.
D U D U D U
8 4 2 1 9 7 3 1 8 7 4 2
d. 75 ÷ 25 e. 92 ÷ 46 f. 83 ÷ 34 g. 78 ÷ 32
2. Se quieren repar r 78 lápices entre 36 niños. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada niño y cuántos
lápices quedarán sin ser repar dos?
95
2.5 Cálculo ver cal DU ÷ DU = U cuando el cociente provisional es mayor
¿Cómo se calcula 87 ÷ 23?
① ② ③ ④
D U D U D U D U
8 7 2 3 8 7 2 3 8 7 2 3 8 7 2 3 Antonio
1
9 2 4 9 2 4 – 6 9 3
U U U U
Es mo el cociente Encuentro el producto Como 92 > 87, Escribo el cociente 3 y
8 ÷ 2 = 4. de 23 × 4 = 92. disminuyo 1 al cociente encuentro el producto
y pruebo con 3. de 23 × 3 = 69.
⑤ ⑥ ⑦
D U Verifico que el residuo Compruebo:
8 7 2 3 es menor que el divisor 87 = 23 × 3 + 18
18 < 23. ¡Lo hice bien!
– 6 9 3
1 8 U 87 ÷ 23 = 3 residuo 18
Encuentro la diferencia
87 – 69 = 18. R: 87 ÷ 23 = 3 residuo 18
Si al realizar una división en forma ver cal se ob ene que el producto del divisor por el cociente es mayor
que el dividendo, se disminuye una unidad al cociente y se repiten los pasos de la división hasta que el
producto sea menor que el dividendo.
¿Qué pasaría?
Para efectuar 91 ÷ 12 se es ma el cociente con 90 ÷ 10 = 9
D U D U D U
9 1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2
1 0 8 9 9 6 8 – 8 4 7
U U 7 U
Como 108 > 91, se disminuye Como 96 > 91, se disminuye Como 84 < 91, se calcula la
1 al cociente y se prueba con 1 al cociente, y se prueba diferencia. El cociente obtenido
el cociente 8. con el cociente 7. es correcto porque 7 < 12.
1. Realiza las siguientes divisiones en forma ver cal y luego comprueba el resultado.
a. 47 ÷ 13 b. 82 ÷ 24 c. 32 ÷ 17 d. 41 ÷ 23
e. 67 ÷ 25 f. 76 ÷ 15 g. 87 ÷ 26 h. 94 ÷ 35
2. En una floristería venden ramos con 12 rosas cada uno. Hoy llegaron 87 rosas.
¿Cuántos ramos de rosas se pueden hacer y cuántas rosas sobran?
96
2.6 Cálculo ver cal DU ÷ DU = U aplicando la aproximación
¿Cómo se calcula 73 ÷ 18?
Para es mar el cociente, escondo las unidades u lizando los dedos.

D U D U D U D U D U
7 3 1 8 7 3 1 8 7 3 1 8 7 3 1 8 7 3 1 8 Julia
5 4 4 3
7 2 6 7 1 0 8 6 9 0 5 – 7 2 4
1
Pienso 7 ÷ 1. El cociente Todavía el cociente Todavía el cociente Encuentro el
provisional es provisional es provisional es cociente
mayor. mayor. mayor. correcto.
Si escondo las unidades con los dedos, tengo que disminuir el cociente provisional varias veces.
Uso la aproximación
73 ÷ 18 70 ÷ 20
Pienso en el cociente de 70 ÷ 20 que es 3, coloco 3 como cociente provisional y sigo los demás pasos.
D U D U
7 3 1 8 7 3 1 8
2 3
– 5 4 3 se aumenta 1 – 7 2 4
1 9 1 R: 73 ÷ 18 = 4 residuo 1
todavía cabe 18 en 19
Para es mar el cociente, podemos
Es fácil encontrar el cociente u lizando la estrategia anterior. cubrir las unidades o aproximar los
números según convenga.
Hay divisiones en las cuales es más fácil usar la aproximación para encontrar el cociente.
Unidad 5
Efectúa:
a. 79 ÷ 18 b. 72 ÷ 18 c. 88 ÷ 28 d. 98 ÷ 19
e. 76 ÷ 19 f. 99 ÷ 17 g. 78 ÷ 15 h. 75 ÷ 15
Maira quiere guardar 87 chocobananos en recipientes plás cos. Hay unos recipientes para 13 chocobananos
y otros para 25. Si ella quiere u lizar recipientes del mismo tamaño, de tal manera que quede el menor
número de chocobananos fuera de ellos, ¿cuál tamaño de recipiente le conviene más?
97
1. Efectúa escondiendo las unidades u lizando los dedos.
a. b. c. d.
D U D U D U D U
6 3 2 1 3 9 1 3 9 3 3 1 4 8 1 2
e. f. g. h.
D U D U D U D U
9 7 2 3 6 5 3 2 9 7 3 2 9 9 2 1
2. Efectúa escondiendo las unidades o aplicando la aproximación.
a. D U b. D U c. D U d. D U
8 6 2 3 6 1 3 2 9 6 1 2 5 6 1 4
e. D U f. D U g. D U h. D U
9 4 1 2 8 7 1 3 7 0 1 4 8 1 1 1
i. D U j. D U k. D U l. D U
9 6 1 9 8 9 2 7 7 2 1 8 8 7 2 9
m. D U n. D U ñ. D U o. D U
9 8 1 7 8 0 1 6 9 6 1 6 5 5 1 5
Hay 70 dulces que se quieren colocar en cajas. Si en cada

caja caben 12 dulces, ¿cuántas cajas se necesitan?
98
2.8 División CDU ÷ DU = U en forma ver cal
María quiere hacer adornos con un listón que mide 147 cm. Para cada adorno u liza 23 cm, ¿cuántos
adornos puede hacer María y cuántos cen metros de listón quedarán sin u lizar?
PO: 147 ÷ 23
① ② ③
C D U C D U C D U
Mario
1 4 7 2 3 1 4 7 2 3 1 4 7 2 3
7
U U
1 ÷ 2 no se puede. Tampoco se puede Pienso en 147 ÷ 23, es mo el
dividir 14 ÷ 23. cociente como 140 ÷ 20 = 7, es mo
que el cociente provisional es 7.
④ ⑤ ⑥
C D U C D U C D U
1 4 7 2 3 1 4 7 2 3 1 4 7 2 3
1 6 1 7 1 6 1 7 1 3 8 6
U U U
Mul plico 23 × 7 = 161 Borro y lo vuelvo a hacer. Escribo el cociente 6 y calculo el
161 > 147, disminuyo en 1 producto de 23 × 6 = 138,
el cociente, pruebo con 6. 138 < 147.
⑦ ⑧ ⑨
C D U
1 4 7 2 3 Verifico que el residuo Compruebo:
sea menor que el divisor 147 = 23 × 6 + 9
– 1 3 8 6
9 < 23. ¡Lo hice bien!
9 U 147 ÷ 23 = 6 residuo 9
Encuentro la diferencia R: 6 adornos y 9 cm sobrantes.
Unidad 5
de 147 – 138 = 9.
Para dividir un número de tres cifras entre uno de dos cifras; se siguen los mismos pasos: cociente, producto
y diferencia. Siempre se empieza tomando las cifras del dividendo de izquierda a derecha y para es mar el
cociente se considera que las unidades del dividendo y el divisor sean cero.
1. Efectúa las siguientes divisiones en forma ver cal y luego comprueba el resultado.
a. 129 ÷ 32 b. 139 ÷ 23 c. 245 ÷ 42 d. 223 ÷ 43
e. 108 ÷ 52 f. 272 ÷ 34 g. 478 ÷ 56 h. 287 ÷ 41
2. A una excursión asisten 389 estudiantes y se han contratado buses con asientos para 52 personas cada
uno. Los maestros ubican a los estudiantes de manera que todos vayan sentados.
a. ¿Cuántos buses llevan exactamente 52 estudiantes?
b. ¿Cuántos estudiantes lleva el úl mo bus?
99
2.9 División CDU ÷ DU = DU en forma ver cal
María quiere leer un libro de 549 páginas. Si ha decidido leer 21 páginas por día, ¿cuántos días
leerá exactamente 21 páginas?, ¿cuántas páginas leerá el úl mo día?
PO: 549 ÷ 21 El residuo indicará cuántas páginas leerá el úl mo día.

① ② ③
C D U C D U C D U Ana
5 4 9 2 1 5 4 9 2 1 5 4 9 2 1
2 4 2 2 – 4 2 2
D 1 2 9 D
Es mo el cociente de Encuentro 21 × 2. Encuentro la diferencia
5 ÷ 2, escribo 2 en las 54 – 42 = 12 y bajo las
decenas del cociente. unidades del dividendo.
④ ⑤ ⑥
C D U C D U Verifico que el residuo sea
5 4 9 2 1 5 4 9 2 1 menor que el divisor 3 < 21.
549 ÷ 21 = 26 y residuo 3.
– 4 2 2 6 – 4 2 2 6
1 2 9 D U 1 2 9 D U ⑦
1 2 6 Compruebo:
3 549 = 21 × 26 + 3
Encuentro el cociente Calculo el producto ¡Sí!
de 129 ÷ 21 es mando 21 × 6 = 126 y encuentro
R: 26 días y el úl mo día leerá 3 páginas.
120 ÷ 20 = 6. la diferencia de
129 – 126 = 3.
¿ ué pasaría?
Para dividir un número de tres cifras entre uno de dos ¿Cómo se resuelve 865 ÷ 43 en forma ver cal?
cifras, se inicia tomando las cifras del dividendo de Como 15 no se puede
C D U
izquierda a derecha; es decir, con las centenas.
Si al dividir las centenas no hay cociente se toman las 8 7 5 4 3 dividir entre 43, Se
coloca 0 en el cociente.
decenas del dividendo, y el cociente empieza en las − 8 6 2 0
decenas. 1 5 D U 865 ÷ 43 = 20
En este caso se siguen los pasos: cociente, producto, − 0 con residuo 15.
diferencia y bajar la siguiente cifra. 1 5
1. Efectúa:
a. 896 ÷ 64 b. 902 ÷ 26 c. 684 ÷ 32
d. 927 ÷ 42 e. 769 ÷ 25 f. 647 ÷ 21
2. Tengo 234 ladrillos de cerámica para enladrillar la sala de mi casa. Si se harán 17 filas, ¿cuántos ladrillos
se colocarán en cada fila?, ¿cuántos ladrillos no se u lizarán?
100
2.10 Propiedad de la división
Observa y explica lo que hizo cada niño para resolver la división.

72 ÷ 12 = 6 42 ÷ 14 = 00
3 32 ÷ 16 = 002 45 ÷ 15 = 3
÷2 ×2 igual ÷7 ×7 igual ×5 ÷5 igual ×2 ÷2 igual
36 ÷ 6 = 6 6 ÷ 2= 3 160 ÷ 80 = 2 90 ÷ 30 = 3
72 ÷ 12 42 ÷ 14 32 ÷ 16 45 ÷ 15
Los niños dividieron tanto el dividendo como La niñas mul plicaron tanto el dividendo como
el divisor entre el mismo número para obtener el divisor por el mismo número para obtener
una división más sencilla. una división más sencilla.
José El cociente obtenido es igual al cociente de la El cociente obtenido es igual al cociente de la
división original. división original.
72 ÷ 12 = 6 45 ÷ 15 = 3
Los cocientes Los cocientes
÷2 ×2 igual ×2 ÷2 igual
son iguales. son iguales.
36 ÷ 6 = 6 90 ÷ 30 = 3
Observa que en esta propiedad de

la división, se mul plica o divide el
dividendo y el divisor por el mismo
Propiedad de la división: al mul plicar o dividir tanto el dividendo número.
como el divisor por un mismo número, el cociente no cambia.
Unidad 5
1. Escribe en los espacios en blanco los números que corresponden:
a. b. c. d.
48 ÷ 24 = 45 ÷ 15 = 12 ÷ 3 = 9 ÷ 3 =
÷8 ÷ igual ÷ ÷ 5 igual ×4 × igual × × igual
6 ÷ = 2 9 ÷ = 0 48 ÷ 0 = 27 ÷ 9 =
2. Encuentra y explica el error que se ha come do al aplicar la propiedad de la división.

a. b.
36 ÷ 9 = 3 4÷ 2 = 2
÷ 8 ÷ 3 igual ×5 ×5 ×5
6÷ 3= 3 20 ÷ 10 = 10
101
2.11 Caracterís ca de la división
El profesor Luis ene 180 hojas de papel y quiere hacer paquetes de 30 hojas cada uno.
¿Cuántos paquetes puede hacer?
PO: 180 ÷ 30
Pienso que con las 180 hojas puedo formar 18 grupos de 10 hojas, como se observa:
18 grupos de 10 Julia
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
3 grupos de 10
Como se pueden hacer grupos de 10 con 180 y con 30, divido entre 10 tanto el dividendo como el divisor.
hojas sueltas: 180 ÷ 30 = 6 paquetes
÷ 10 × 10 igual
grupos de 10 hojas: 18 ÷ 3 = 6 R: 6 paquetes
Así, se puede dividir tomando la can dad total de hojas o la can dad de paquetes de 10 hojas y se ob ene
el mismo cociente.
Para encontrar el cociente de una división se puede aplicar la propiedad de la división vista en la
clase anterior y buscar un número conveniente para mul plicar o dividir el dividendo y divisor.
Ejemplo: 210 ÷ 30 = 7
÷ 10 × 10 igual
21 ÷ 3 = 7
1. Aplica la propiedad de la división para encontrar el cociente de las siguientes divisiones.

a. 140 ÷ 70 b. 160 ÷ 20 c. 60 ÷ 15
d. 270 ÷ 30 e. 64 ÷ 16 f. 150 ÷ 30
2. Se quieren colocar 250 ml de perfume en frascos de 50 ml cada uno, ¿cuántos frascos se necesitan?
102
1. Encuentra el resultado de las siguientes divisiones:

a. 80 ÷ 10 b. 60 ÷ 20 c. 140 ÷ 70 d. 210 ÷ 30
e. 90 ÷ 40 f. 80 ÷ 30 g. 170 ÷ 20 h. 360 ÷ 50
2. Efectúa:
a. 67 ÷ 21 b. 49 ÷ 12 c. 47 ÷ 13
d. 47 ÷ 23 e. 67 ÷ 31 f. 75 ÷ 32
g. 73 ÷ 28 h. 92 ÷ 24 i. 98 ÷ 13
Recuerda que en 1
3. ¿Cuántas horas hay en 480 minutos? hora hay 60 minutos.
4. En la granja "La Gallinita" quieren empacar 540 huevos en cajas con 20 en cada una.
¿Cuántas cajas necesitan?
5. Don José ene $97 y necesita comprar llantas para su auto. Si cada llanta cuesta $32, ¿cuántas llantas
puede comprar?, ¿cuántos dólares le quedarán?
6. Don Luis colocó 75 libros en un estante, ubicando 15 libros en cada repisa. ¿Cuántas repisas ene
el estante?
Unidad 5
En el restaurante "La Receta" enen mesas con capacidad para 12 personas cada una.
Responde lo siguiente:
a. Un grupo de 97 personas quiere hacer una reservación en este restaurante, ¿cuántas mesas deben
reservar?
b. Si luego de reservar para las 97 personas se agregan 4 personas al evento, ¿alcanzarán las mesas
reservadas?
103
1. Efectúa las siguientes divisiones en forma ver cal y comprueba el resultado:

a. 249 ÷ 31 b. 215 ÷ 32 c. 187 ÷ 21
d. 387 ÷ 12 e. 753 ÷ 32 f. 527 ÷ 35
2. Completa las palabras que faltan.

Propiedad de la división: al mul plicar o dividir tanto el ___________ como el divisor por el ___________
número, el cociente no ___________.
3. Escribe los números que hacen falta en los espacios en blanco:

a. b.
12 ÷ 4 = 45 ÷ 9 =
Busca un número por el cual se puedan
×5 × igual ÷3 ÷ igual mul plicar o dividir el dividendo y el divisor
para que la división que se obtenga sea más
fácil de calcular.
60 ÷ = 3 15 ÷ =
4. Aplica la propiedad de la división para encontrar el cociente de las siguientes divisiones:

a. 320 ÷ 40 b. 105 ÷ 35
5. Un camión transporta 192 refrescos en cajas de 24 refrescos cada una. ¿Cuántas cajas lleva el camión?
6. Don Juan quiere llenar bolsas con 21 mandarinas para vender en el mercado. Si ene 169 mandarinas,
¿cuántas bolsas llenará?, ¿cuántas mandarinas no colocará en bolsa?
7. Un museo envía 492 cuadros en cajas a una exposición de arte. Si en cada caja van 12 cuadros,
¿cuántas cajas han enviado?
8. El costo de un reproductor de música es de $124. Si se pagan can dades iguales durante 12 meses y lo
que haga falta se paga el úl mo mes, ¿qué cuota se debe pagar mensualmente?, ¿cuánto dinero extra
se pagará el úl mo mes?
Efectúa la división 4, 499 ÷ 58 en forma ver cal.
104
3.1 Uso de la mul plicación y división para encontrar el dividendo y divisor
Carlos tenía mangos que debía repar r en 5 bolsas

equita vamente. Si colocó 4 mangos en cada bolsa,
¿cuántos mangos tenía Carlos?
Plantea el PO como mul plicación y como división.
Escribo el PO como mul plicación.

mangos can dad
×
por bolsa de bolsas
= total
mangos
Carlos
4 × 5 = Por lo tanto, PO: 4 × 5

R: 20 mangos
Escribo el PO como división.
Forma 1 Forma 2
total
÷ mangos = can dad total
÷ can dad = mangos
mangos por bolsas de bolsas mangos de bolsas por bolsas
÷ 4 = 5 ÷ 5 = 4
Por lo tanto, PO: ÷ 4 = 5 Por lo tanto, PO: ÷ 5 = 4

Para resolver = 4 × 5 Para resolver = 4 × 5
= 20 = 20
R: 20 mangos R: 20 mangos
Hay situaciones que se pueden expresar con mul plicaciones y divisiones.

4×5= ÷4=5 ÷5=4
Unidad 5
El recuadro representa la can dad desconocida.
Cuando se desconoce la can dad total se u liza la mul plicación para resolver, aunque el PO puede
escribirse como mul plicación o división.
1. Encuentra el valor que corresponde a cada recuadro.

a. ÷ 5 = 6 b. 12 ÷ = 2 c. ÷ 3 = 5 d. 10 ÷ =5
2. Se enen huevos y se reparten en 7 cajas, guardando 3 huevos en cada caja.

a. Expresa la situación en un PO de mul plicación y de división.
b. Encuentra la can dad total de huevos que se guardaron en cada caja.
105
3.2 Uso de la mul plicación y división para encontrar la can dad de veces
La ballena gris mide 15 m y el burón blanco mide 5 m. ¿Cuántas veces la longitud del burón blanco es
la longitud de la ballena gris?
Gráfica de cinta: PO como mul plicación 5 × = 15

5×1=5
5 × 2 = 10
Pensando la tabla del 5 encuentro la 5 × 3 = 15...
Ana respuesta 3.
ballena gris
burón blanco
PO como división
Forma 1 Forma 2
15 ÷ 5 = 15 ÷ = 5
=3 =3
R: 3 veces la longitud del burón blanco.
En la representación gráfica:
can dad a comparar
① La barra que se dibuja arriba representa la can dad a comparar.
② La barra que se dibuja abajo representa la can dad base.
can dad base
③ La recta numérica representa la can dad de veces que cabe la
can dad base en la can dad a comparar.
0 1
can dad
Para obtener la can dad de veces que está contenida la can dad base en de veces
la can dad a comparar, se u liza la división:

15 ÷ 5 = 3
can dad a comparar can dad base can dad de veces
Longitud de la ballena gris. Longitud del burón Can dad de veces que está
blanco. la longitud del burón en la
longitud de la ballena.
Para cada problema, escribe el PO y resuelve.

1. El Monumento al Divino Salvador del Mundo es un símbolo nacional que ene una altura de 20 m y el
Monumento al Capitán General Gerardo Barrios también es una escultura representa va de nuestro
país y mide 5 m de altura aproximadamente. ¿Cuántas veces la altura del Monumento a Gerardo
Barrios es la altura del Monumento al Divino Salvador del Mundo?
a. Expresa la situación en un PO de mul plicación y otro de división usando .
b. Encuentra la respuesta.
Monumento al Divino Salvador del Mundo
Monumento al Capitán General Gerardo Barrios
2. El papá de Miguel ene 54 años y Miguel ene 9 años. ¿Cuántas veces la edad de Miguel es la edad
de su padre?
a. Expresa la situación usando la gráfica de cinta.
b. Expresa la situación en un PO de mul plicación y otro de división usando .
c. Encuentra la respuesta.
106
3.3 Uso de la mul plicación y división para encontrar la can dad base

El peso del perro adulto de la raza pastor alemán es 42 kg y es 6 veces el peso
del cachorro. ¿Cuántos kilogramos pesa el cachorro del pastor alemán?
42 kg
papá
PO como mul plicación
kg
hijo × 6 = 42
Mario 6×1=6
0 1 2 3 4 5 6 (veces) Pensando la tabla del 6 6 × 2 = 12
6 × 6 = 36
encuentro la respuesta, 6 × 7 = 42
PO como división que es 7.
Forma 1 Forma 2
42 ÷ = 6 42 ÷ 6 =
=7 =
R: 7 kg
La can dad base corresponde a una de las veces que cabe en la can dad a comparar
can dad a comparar.
Por eso, para encontrar la can dad base, se busca la can dad que
can dad base
equivale a una vez.
Para encontrar la can dad base, se u liza la división:
0 1
42 ÷ 6 = 7 can dad
de veces
can dad a comparar can dad de veces can dad base
Peso del perro adulto Veces que el peso del Peso del cachorro.
cachorro es el peso
del perro adulto.
Para cada problema, escribe el PO y resuelve.
Unidad 5
1. El precio de una bicicleta es $56 y equivale a 4 veces el precio de un balón de fútbol. ¿Cuál es el precio
de un balón de fútbol?
c. Encuentra la respuesta.
2. La mamá jirafa mide 3 veces la altura de su hija. Si la medida de la altura de

la mamá es 540 cm, ¿cuál es la altura de la hija?
c. Encuentra la respuesta. 540 cm
cm
107
1. Encuentra el valor de en cada representación gráfica e iden fica si representa la can dad base, la
can dad a comparar o la can dad de veces.
a. 500 m b. 120 m c. lb
50 m m 20 lb
0 1 (veces) 0 1 2 3 4 (veces) 0 1 2 3 4 5 6 (veces)
2. Mar n ahorró $20 y su amigo Juan ahorró 6 veces esa can dad. ¿Cuánto dinero ahorró Juan?
3. Carolina ene 42 años y su edad es 7 veces la edad de su sobrina Juliana.

¿Cuántos años ene Juliana?
4. Un automóvil ene un tanque con capacidad para 9 galones de combus ble y el tanque de un
autobús ene capacidad para 72 galones de combus ble. ¿Cuántas veces la capacidad del tanque
del automóvil es la capacidad del tanque del autobús?
5. Don Juan compró una recarga de $5 y la compañía telefónica le no ficó que recibirá cuádruple
saldo, es decir 4 veces el valor de la recarga. ¿Cuál es el saldo de don Juan después de aplicarle la
promoción?
6. Nora ene dos recipientes para agua, uno de 56 litros y otro de 4 litros. ¿Cuántas veces u liza el recipiente
de menor capacidad para llenar el de mayor capacidad?
7. Un león pesa 200 kg y su peso es 5 veces el peso de su hijo.

¿Cuánto pesa el cachorro?
108
1. Efectúa:
a. 12 + (3 + 5) = 12 + b. 24 + (10 – 8) = 24 + c. 19 – (5 + 4) = 19 –
d. 40 – (17 – 7) = – e. 50 + (30 + 20) = + f. 70 – (15 + 10) = –
g. 30 – (11 + 4) = h. 80 – (25 + 35) = i. 19 + (51 – 20) =
2. Resuelve colocando paréntesis para indicar el orden en que se Recuerda que la operación
deben efectuar los productos para que el cálculo sea más fácil. dentro del paréntesis se realiza
a. 25 × 8 × 19 primero.
b. 7 × 15 × 2
c. 38 × 10 × 4
3. Determina cuáles de los siguientes productos son iguales:

a. 3 × 9 b. 25 × 8 c. 5 × 6
d. 15 × 2 e. 9 × 3 f. 8 × 25
g. 6 × 5 h. 2 × 15
4. Escribe en un solo PO las operaciones a realizar para resolver las siguientes situaciones:
a. Se tenían 15 tortillas. Si Juan se comió 4 y Ana se comió 3, ¿cuántas tortillas quedan?
Unidad 5
b. Un cartón de huevos tiene 4 filas con 5 huevos en cada una. Si se compran 6 de estos cartones,
¿cuántos huevos se compran en total?
c. Una empresa que distribuye bebidas, utiliza carretillas que pueden transportar 8 cajas con 16 jugos en
cada una. En 5 carretillas, ¿cuántos jugos se pueden transportar?
109
4.2 PO que con enen paréntesis
María quiere preparar paquetes que contengan un estuche y una libreta. El estuche cuesta $4 y la libreta
$3. Si María ene $21, ¿cuántos paquetes puede hacer?
a. Escribe un solo PO para resolver el problema.

b. Encuentra el número de paquetes.
a. Encuentro primero el costo total de cada b. Resuelvo el PO: 21 ÷ (4 + 3)

paquete: Encuentro primero el costo de cada paquete,
Beatriz
4 + costo3de la
costo del
resolviendo lo que está al interior del
paréntesis y luego efectúo la división.
estuche libreta
21 ÷ (4 + 3) = 21 ÷ 7
Como María ene $21, para saber cuántos ① =3
paquetes puede comprar, divido el dinero con el ②
que cuenta entre el costo de cada paquete:
R: 3 paquetes
21 ÷ ( 4 + 3 )
dinero con el costo de cada
que cuenta paquete
Entonces un PO para encontrar el resultado es:

PO: 21 ÷ (4 + 3)
Para resolver operaciones que con enen paréntesis, siempre se resuelve primero lo que está al interior
del paréntesis.
Ejemplos:
5 × (20 – 4) = 5 × 16 (10 – 2) ÷ 4 = 8 ÷ 4
① = 80 ① = 2
② ②
1. Efectúa:
a. (26 + 14) × 3 b. 36 ÷ (14 – 5) c. (196 – 36) ÷ 8
d. 180 ÷ (25 + 35) e. (8 + 12) ÷ 4 f. 14 × (63 – 21)
2. Juan quiere comprar 10 paquetes que contengan una muñeca y un salta cuerdas, cada muñeca cuesta
$3 y cada salta cuerdas $2. Escribe un PO para encontrar cuánto costarán todos los paquetes y luego
resuélvelo.
110
4.3 PO con dos operaciones, sin paréntesis
Beatriz ene 26 fotogra as sueltas y 2 álbumes con 45 fotogra as cada uno. ¿Cuántas fotogra as ene
en total?
a. Escribe el PO para resolver el problema.

b. Encuentra el resultado.
a. Escribo el PO: b. Resuelvo el PO: 26 + 45 × 2
Hay 2 álbumes con 45 fotos cada Encuentro primero el total de fotogra as de los 2
uno, en total hay: 45 × 2 = 90 álbumes y luego sumo las 26 fotogra as
Antonio Enumero las operaciones respetando este orden y
Además, 26 fotogra as sueltas. cálculo:
Sumo y obtengo el total.
26 + 45 × 2 = 26 + 90
Por lo tanto, el PO: 26 + 45 × 2 ① = 116
②
R: Hay 116 fotogra as. 26 + 45 × 2

Si realizas primero la suma:
26 + 45 = 71
y luego mul plicas:
71 × 2 = 142
ob enes una respuesta incorrecta.
Para resolver un PO que con ene operaciones combinadas de suma, resta, mul plicación y división; se
resuelve de izquierda a derecha, y se toma en cuenta lo siguiente:
• Si hay paréntesis, lo que está dentro del paréntesis se resuelve primero.
• Las mul plicaciones y divisiones se calculan antes de las sumas y restas.
Ejemplos:
Unidad 5
a. 10 – 36 ÷ 9 = 10 – 4 b. 3 × 6 + 4 = 18 + 4
① =6 ① = 22
② ②
Efectúa considerando el orden de las operaciones.

a. 5 + 12 × 6 b. 12 ÷ 4 + 40 c. 100 – 24 × 3
d. 50 + 16 ÷ 4 e. 4 × 12 – 25 f. 30 – 15 ÷ 3
111
4.4 Jerarquía de las operaciones
Efectúa considerando el orden en que se resuelven las operaciones.

a. 15 ÷ 3 + 6 × 3 b. 21 + (12 – 24 ÷ 3)
a.
15 ÷ 3 + 6 × 3
= 15 ÷ 3 + 6 × 3 Efectúo la división y mul plicación primero.
Julia = 5 + 18 Sumo ambos resultados.
= 23
b.
21 + (12 – 24 ÷ 3) Efectúo primero las operaciones dentro del paréntesis.
= 21 + (12 – 24 ÷ 3) Efectúo la división.
= 21 + (12 – 8) Calculo 12 menos el cociente.
= 21 + 4 Sumo ambos resultados.
= 25
También se puede resolver colocando los resultados
horizontalmente.
a. 15 ÷ 3 + 6 × 3 = 5 + 18 = 23
b. 21 + (12 – 24 ÷ 3) = 21 + (12 – 8) = 21 + 4 = 25
Al tener varias operaciones en un mismo PO, se resuelve:

① Primero se efectúan las operaciones dentro del paréntesis, si lo hay.
② Se calculan las multiplicaciones y divisiones.
③ Se calculan las operaciones de izquierda a derecha.
El orden en que se realizan las operaciones se conoce como jerarquía de las operaciones.
1. Efectúa:
a. 80 ÷ 20 + 32 ÷ 4 b. 80 × 20 – 32 ÷ 4
c. 50 – (30 + 27 ÷ 3) d. 10 × (15 – 12 ÷ 6)
e. 35 – 40 ÷ 10 – 21 f. 48 + 12 – 36 ÷ 9
2. Escribe en un solo PO las siguientes situaciones y resuelve.

a. Antonio tenía $60 y fue a una enda a comprar un suéter en $15 y tres camisas a $10 cada una.
¿Cuánto dinero le sobró?
b. Juan compra 7 galletas y 4 cajas con 20 chocolates en cada una, si cada galleta y chocolate
ene un costo de $2, ¿cuánto dinero debe pagar Juan?
112
4.5 Propiedad distribu va
¿Cuántos puntos hay en total? 8
Encuentro el total de puntos por fila y luego Encuentro el total de puntos rojos y
multiplico por la cantidad de filas. el total de puntos azules y luego sumo.
PO: (4 + 3) × 8 PO: 4 × 8 + 3 × 8
Beatriz
Entonces: Entonces:
José (4 + 3) × 8 = 7 × 8 4 × 8 + 3 × 8 = 32 + 24
① = 56 ① ② = 56
② ③
R: Hay 56 puntos R: Hay 56 puntos

Entonces: (4 + 3) × 8 = 4 × 8 + 3 × 8
Los números naturales cumplen la propiedad ¿Qué pasaría?

distribu va que puede representarse de la Puedes aplicar la propiedad distribu va como
siguiente manera: una técnica para efectuar mul plicaciones de
forma rápida.
( + )× = × + × 109 × 5 99 × 8
( 2 + 3 ) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = (100 + 9) × 5 = (100 – 1) × 8
= 100 × 5 + 9 × 5 = 100 × 8 – 1 × 8
( – )× = × – × = 500 + 45 = 800 – 8
( 8 – 3 ) × 4 = 8 × 4 – 3 × 4 = 545 = 792
Unidad 5
1. Completa los espacios en blanco aplicando la propiedad distribu va.
a. (5 + 3) × 13 = × 13 + × 13 b. (4 + 6) × 8 = ×8 6×
c. (7 5) × 9 = 7 × 9 – 5 × d. (10 – )× = 10 × 6 – 2 ×
2. Efectúa las siguientes mul plicaciones aplicando la propiedad distribu va.

a. 52 × 4 b. 105 × 4 c. 48 × 2
3. Escribe en un solo PO las siguientes situaciones y resuelve.

a. Un comerciante compró 40 camisas a $4 cada una y 28 gorras a $4 cada una. ¿Cuántos dinero gastó
en total?
b. Saúl compra 5 pantalones a $20 cada uno, pero cada pantalón enen un descuento de $2. ¿Cuánto
dinero pagó en total con el descuento de los tres pantalones?
113
4.6 Aplicación de las propiedades conmuta va y asocia va
Resuelve las siguientes operaciones de la forma más sencilla u lizando las propiedades conmuta va y
asocia va.
a. 23 + 11 + 19 Propiedad conmuta va: Propiedad asocia va:
b. 12 × 50 × 2 + = + ( + )+ = +( + )
c. 26 + 37 + 14 3 + 4 = 4 + 3 ( 4 + 2 ) + 5 = 4 + ( 2 + 5 )
d. 250 × 7 × 4 × = × ( × )× = ×( × )
5 × 2 = 2 × 5 ( 8 × 5 ) × 2 = 8 × ( 5 × 2 )
a.
23 + 11 + 19 = 23 + (11 + 19) Asocio de esta forma porque 11 + 19 es fácil de calcular.
= 23 + 30
Ana
= 53
b.
12 × 50 × 2 = 12 × (50 × 2) Asocio de esta forma porque es más fácil de calcular 50 × 2.
= 12 × 100
= 1, 200
c.
26 + 37 + 14 = 26 + 14 + 37 Aplico la propiedad conmuta va de la suma 37 + 14 = 14 + 37.
= (26 + 14) + 37 Asocio de la forma más conveniente porque 26 + 14 es más
= 40 + 37 fácil.
= 77
d.
250 × 7 × 4 = 250 × 4 × 7 U lizo la propiedad conmuta va de la mul plicación.
= (250 × 4) × 7 U lizo la propiedad asocia va porque 250 × 4 es más fácil
= 1, 000 × 7 de calcular.
= 7, 000
Al sumar o mul plicar tres can dades, se puede aplicar la propiedad conmuta va para acomodar los
términos y hacer los cálculos más fáciles.
Resuelve las siguientes operaciones de la forma más sencilla aplicando las propiedades conmuta va y
asocia va.
a. 41 + 16 + 4 b. 14 + 26 + 58
c. 12 + 125 + 8 d. 15 × 25 × 4
e. 25 × 4 × 19 f. 2 × 43 × 50
114
4.7 Aplicación de la mul plicación y división
En una enda de ropa se encuentra la oferta de 3

camisas por $15. Si Carlos compra 12 camisas, ¿cuánto oferta
3 camisas
debe cancelar?
por $15
Encuentro el precio de cada camisa: Encuentro el número de ofertas que comprará:

15 ÷ 3 = 5 12 ÷ 3 = 4
Cada camisa cuesta $5. Cada oferta cuesta $15.
Carmen
Mario Si Carlos compra 12 camisas, el precio a Si Carlos compra 4 ofertas, el total a cancelar es:
cancelar es: 15 × 4 = 60
5 × 12 = 60
R: $60
R: $60
Podemos escribir un solo PO: (15 ÷ 3) × 12 Podemos escribir un solo PO: 15 × (12 ÷ 3)
(15 ÷ 3) × 12 = 5 × 12 15 × (12 ÷ 3) = 15 × 4
① = 60 ① = 60
② ②
Cuando se ene el costo de un paquete y se desea encontrar el precio de cierta can dad de productos
se puede u lizar uno de los siguientes procedimientos:
① Encontrar el precio de cada producto y luego el costo total de todos los productos.
② Encontrar el número de paquetes y luego el costo total de todos los paquetes.
1. Calcula el costo del número de productos que se indica:

a b. c.
Unidad 5
oferta oferta oferta
2 pantalones 3 champús 4 pares de calce nes
por $16 por $12 por $8
costo de 8 pantalones costo de 12 champús costo de 16 pares de calce nes
2. Una caja con 5 libretas de dibujo cuesta $15. ¿Cuánto se pagará al comprar 30 libretas?
Tienda “La Peña” Tienda "El Elegante"

En la enda "La Peña" venden 2 pantalones por $24;
mientras que en la enda "El Elegante" ofrecen pantalones
de la misma calidad a 3 por $45 y al comprar 6 pantalones,
un descuento extra de $12. Si Juan quiere comprar 6 Descuento de $12 al
pantalones, ¿en cuál enda pagará menos al comprarlos? $24 comprar 6 pantalones $45
115
1. Efectúa:
a. 100 × (72 – 42) b. 45 ÷ (19 – 4)
c. 35 + 45 ÷ 3 d. 2 × (48 – 20 ÷ 4)
e. 100 ÷ 25 + 32 ÷ 4 f. 27 + 33 – 40 ÷ 8
2. Completa los recuadros en blanco aplicando la propiedad distribu va.

a. (17 + 3) × = 17 × 5 + 3 × 5
b. (20 – 4) × 7 = ×7– ×7
3. Escribe el nombre de la propiedad u lizada:

a. 24 + 16 = 16 + 24 propiedad
b. (12 + 3) + 5 = 12 + (3 + 5) propiedad
4. Resuelve las siguientes operaciones u lizando las propiedades conmuta va y asocia va.
a. 15 + 107 + 5
Recuerda la propiedad distribu va:
( + ) × = × + ×
b. 25 × 60 × 4 ( 2 + 3 ) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5
( – ) × = × – ×
( 8 – 3 ) × 4 = 8 × 4 – 3 × 4
5. Escribe un PO para resolver cada problema y encuentra el resultado.

a. Juan compró cinco estuches para lápices a $6 cada uno y cuatro paquetes de marcadores a
$2 cada uno. Si pagó con un billete de $50, ¿cuánto recibirá de vuelto?
b. Carlos ene en su bolsillo izquierdo $10 y en su bolsillo derecho tenía $25, pero sin
darse cuenta perdió $6 por un agujero del pantalón. ¿Cuánto dinero ene Carlos?
c. En la venta de tortas "El Mexicano" se vendieron 20 tortas de pollo y 25 tortas de jamón. Si cada
torta cuesta $2, ¿cuánto dinero recibieron en total?
Escribe el PO para cada situación y luego resuélvelo:

1. En la granja de don Juan hay 25 cerdos y 40 gallinas.
¿Cuál es el total de patas de los cerdos y las gallinas?
2. En la casa de doña Lidia hay 23 gallinas indias y 15 gallinas rojas; las gallinas indias ponen un huevo a
diario y las rojas ponen un huevo cada 2 días.
¿Cuántos huevos se recogen en 14 días, si el lunes ambas pusieron?
116
Área de cuadrados y rectángulos

6
• Comparar superficies de figuras geométricas
• Calcular el área del cuadrado y rectángulo
• Calcular el área de figuras compuestas
1.1 Superficies de figuras geométricas
Observa las figuras. ¿Cuál de ellas ene mayor superficie?

Cada cuadrado ene
1 cm de lado.
1 cm
4 cm 1 cm
3 cm
4 cm 5 cm
Comparo las superficies colocando una figura Cuento el número de cuadrados de 1 cm de

sobre la otra. lado que caben en cada figura.
sobran 3
sobran 4
Mario
Beatriz
Ubico las 3 piezas que sobran del rectángulo 16 cuadrados de 15 cuadrados de

sobre las 4 piezas que sobran del cuadrado. 1 cm de lado 1 cm de lado
Después de moverlas, aún sobra una pieza
verde. El que ene más cuadrados ene mayor superficie.
R: El cuadrado ene mayor superficie. R: El cuadrado ene mayor superficie.
Para comparar las superficies de dos figuras geométricas se puede contar el número de cuadrados de
1 cm de lado que forma cada figura.
La figura con mayor número de cuadrados ene mayor superficie.
Ordena las figuras de menor a mayor superficie. Cada cuadrado que forma parte de las figuras ene 1 cm
de lado.
a. b. c. d. e. f.
Menor ___________ , ___________ , ___________ , ___________ , ___________ , ___________ Mayor
118
1.2 Áreas en cen metros cuadrados
Unidad 6
A la medida de la superficie se le llama área y se puede expresar como la can dad de cuadrados de 1 cm
de lado. 1 cm
El área de un cuadrado de 1 cm de lado, se lee 1 cen metro cuadrado y se escribe 1 cm2.
1 cm 1 cm2
Encuentra el área de las siguientes figuras.
a. b.
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
Cuento la can dad de cuadrados de 1 cm de lado que ene cada figura.

a. R: ene 12 cm2
b. R: ene 4 cm2
José
El área de una figura puede encontrarse contando la can dad de cuadrados de 1 cm2 de área que caben
en ella. Si la figura no está compuesta solo por cuadrados, se pueden mover partes para formar los
cuadrados de 1 cm2 de área.
Encuentra el área de cada figura.

a. b. c. d. e.
1 cm
1 cm
f. g. h. i. j.
Si la figura ene partes que no se pueden dividir en

cuadrados completos de 1 cm2, se pueden mover
algunas partes para formar los cuadrados.
119
1.3 Área del cuadrado
Responde y calcula el área del cuadrado. 1 cm

a. ¿Cuántos cm2 tiene la primera fila? 1 cm
b. ¿Cuántos cm2 tiene la primera columna?
c. ¿Cuántos cm2 tiene el cuadrado grande? Escribe el PO.
Cuento los cm2 que hay. c. Calculo el total de cm2 que ene el cuadrado
1 cm grande con el cálculo de una mul plicación.
1 cm 1 cm2 1 cm2 1 cm2 1 cm2
fila columna can dad total
Julia 1 cm2
1 cm2
4 cm PO: 4 × 4 = 16
La longitud La longitud El área (cm2)
1 cm2 del lado (cm) del lado (cm)
4 cm
a. En la primera fila.
R: Hay 4 cm2 R: 16 cm2
Entonces, el área del cuadrado es igual a la
b. En la primera columna. mul plicación de las medidas de sus lados.
R: Hay 4 cm2
No olvides que el área es medida en cm2,

El área de un cuadrado puede calcularse con por lo tanto debes concluir colocando el
cm2 después del número.
la medida de un lado.
Área del cuadrado = lado × lado
lado
Calcula el área de los siguientes cuadrados, u liza la fórmula del área.

Ejemplo: a. b. c. d.
1 cm
1 cm 1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
8 cm
2 cm
PO: 5 × 5 = 25
R: 25 cm2
e. Un cuadrado de 3 cm de lado. f. Un cuadrado de 7 cm de lado.
120
1.4 El área del rectángulo
Unidad 6
Observa el rectángulo y responde: 1 cm
a. ¿Cuántos cm2 tiene la primera fila? 1 cm
b. ¿Cuántos cm2 tiene la primera columna?
c. ¿Cuántos cm2 tiene el rectángulo? Escribe el PO.
Cuento los cm2 que hay. c. Calculo el total de cm2 que ene el rectángulo
1 cm con el cálculo de una mul plicación.
1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm
fila columna can dad total
1 cm
Antonio
1 cm
3 cm
PO: 5 × 3 = 15
La longitud La longitud del El área (cm2)
5 cm del largo (cm) ancho (cm)
a. En la primera fila.
R: Hay 5 cm2 R: 15 cm2
Entonces, el área del rectángulo es igual a la
b. En la primera columna. mul plicación de la medida del largo por el
R: Hay 3 cm2 ancho.
Por la propiedad conmuta va

El área de un rectángulo se calcula de la mul plicación, el área de
mul plicando la medida del largo y el un rectángulo puede calcularse
ancho
ancho. también como ancho × largo.
Área del rectángulo = largo × ancho
largo
Calcula el área de los siguientes rectángulos, u liza la fórmula del área.

Ejemplo: a. b. c.
1 cm
1 cm
3 cm
1 cm
2 cm
1 cm
7 cm
5 cm
PO: 2 × 4 = 8
R: 8 cm2
d. Un rectángulo de 8 cm de largo y 2 cm de ancho.

e. Un rectángulo de 4 cm de largo y 5 cm de ancho.
f. Un rectángulo de 3 cm de ancho y 6 cm de largo.
121
1.5 Área de figuras compuestas, parte 1
Calcula el área de la siguiente figura.

3 cm
Se puede dividir la figura al realizar trazos
2 cm
5 cm adicionales a los que llamamos trazos
auxiliares.
5 cm
3 cm
8 cm
Trazo un segmento de recta horizontal Luego, calculo las áreas de los dos rectángulos
para dividir la figura en dos rectángulos. formados.
3 cm 3 cm
2 cm
5 cm 2 cm 3 cm
Ana 5 cm
3 cm 8 cm
PO: 3 × 2 = 6 PO: 8 × 3 = 24
8 cm Área = 6 cm2 Área = 24 cm2
También se puede dividir la figura Sumo las áreas que calculé: 6 + 24 = 30

trazando un segmento de recta ver cal. R: 30 cm2
3 cm
2 cm Puede ser un solo PO.
5 cm PO: 3 × 2 + 8 × 3 = 6 + 24
5 cm = 30
R: 30 cm2
3 cm
8 cm
Para calcular el área de figuras compuestas, se realizan trazos auxiliares que permitan formar cuadrados
o rectángulos. Luego, el área sería igual a la suma o resta de las áreas de los cuadrados o rectángulos
formados.
¿ ué pasaría?
¿Cuál es el área de la figura? 3 cm
Completo un rectángulo trazando dos segmentos de recta. 2 cm
Calculo el área del rectángulo grande y resto el área del rectángulo 5 cm
que se formó con los segmentos de recta que tracé. 5 cm
PO: 8 × 5 = 40 Puede ser un solo PO.
3 cm
PO: 5 × 2 = 10 PO: 8 × 5 – 5 × 2 = 40 – 10
Resto 40 – 10 = 30 = 30
R: 30 cm2 R: 30 cm2 8 cm
122
Unidad 6
Calcula el área de las siguientes figuras compuestas.
Ejemplo:
3 cm a. 3 cm
2 cm 5 cm 2 cm
3 cm
4 cm 4 cm
2 cm 2 cm
8 cm 6 cm
PO: 3 × 2 = 6
PO: 8 × 2 = 16
Sumo 6 + 16 = 22 R: 22 cm 5 cm
b. c.
3 cm
4 cm
4 cm 3 cm
9 cm
6 cm
1 cm
2 cm
4 cm
1. Calcula el área u lizando la solución del ¿Qué pasaría? de la página anterior.

3 cm
7 cm
4 cm
2 cm
10 cm
2. Calcula el área de la parte sombreada en las siguientes figuras.

a. b.
3m
3m
7m
5m
6m 2m
7m 11 m
123
1.6 Área de figuras compuestas, parte 2
Calcula el área sombreada en la figura.

2 cm
7 cm
13 cm
Muevo la franja amarilla hacia la derecha y obtengo la siguiente figura:
2 cm 2 cm
Mario
7 cm 7 cm
13 cm 13 cm
Al realizar estos movimientos, el rectángulo coloreado ene 2 cm

11 cm de largo, pues 13 – 2 = 11, y 7 cm de ancho, entonces el
área buscada es igual al área de dicho rectángulo.
7 cm
PO: 11 × 7 = 77
R: 77 cm2 11 cm
Se pueden calcular áreas de figuras compuestas moviendo piezas de modo que se obtengan figuras más
simples, con áreas conocidas.
Calcula el área sombreada de las siguientes figuras:

Ejemplo: a. b. c. 6 cm
2 cm
1 cm
3 cm
3 cm 5 cm 3 cm
1 cm 5 cm
5 cm 10 cm
10 cm
PO: 4 × 3 = 12
R: 12 cm2
124
Unidad 6
1. Calcula el área de cada figura.
1 cm
1 cm a. b. c.

a. 10 cm b. 3 cm
5 cm 3 cm
4 cm
c. d.
2 cm
3 cm
5 cm 10 cm
4 cm
10 cm 3 cm
3. Calcula el área de la parte sombreada de cada figura.
2 cm
a. b.
2 cm
8 cm 8 cm
10 cm 10 cm
Calcula el área de cada figura.

a. 10 cm b. 2 cm
2 cm
5 cm 5 cm
6 cm
8 cm 9 cm 3 cm
6 cm 5 cm
6 cm
3 cm 2 cm 12 cm
125
1.8 Áreas en metros cuadrados
Una cancha de voleibol ene las medidas que muestra la figura.

Calcula el área de la cancha que corresponde a cada equipo.
9m
9m
Como las medidas de la cancha están en metros, el área se mide en m2.

1m
Aplico la fórmula para calcular el área de un cuadrado porque la mitad 1 m2 1m

Carmen de la cancha ene forma cuadrada.
PO: 9 × 9 = 81
R: 81 m2
Para el área de superficies grandes se u liza como unidad de medida el m2 (metro cuadrado).
En un cuadrado de 1 m de lado caben 10, 000 cuadrados cuyo lado mide 1 cm; entonces, 1 m2 equivale
a 10, 000 cm2.
1 m = 10, 000 cm2 100 × 100 = 10, 000

1m 1 m2 1m
1 m2 1m (100 cm)
1 cm2
1m
(100 cm)
1. Calcula el área de los cuadrados y rectángulos.

a. b. c. d.
6m
6m
2m
2m
2m
6m 5m
2m
2. Escribe el PO, efectúa la operación y responde.
a. Don Mario ene un terreno con forma rectangular, cuyas medidas son 10 m de largo y 5 m de ancho.
¿Cuál es el área del terreno de don Mario?
b. El largo de un rectángulo es de 20 m y el ancho mide la mitad de lo que mide el largo.
¿Cuál es el área del rectángulo?
126
1.9 Áreas en hectáreas
Unidad 6
Calcular el área.
a. El jardín de la casa de María. b. La granja de José.
10 m
100 m
10 m
100 m
a. El jardín de la casa de María. b. La granja de José.
Carlos
1m
100 m
10 m 1 m2 1 m
1m 1m
1m 10 m
100 m
U lizo la fórmula para encontrar el área. U lizo la fórmula para encontrar el área.
PO: 10 × 10 = 100 R: 100 m2 PO: 100 × 100 = 10, 000 R: 10, 000 m2
El área de 10, 000 m2, se llama una hectárea y se escribe 1 ha.

El área del cuadrado que ene un lado de 100 m es 1 ha.
1 ha
10, 000 m2 = 1 ha 100 m
( 10, 000 m2)
100 m
1. Calcula el área en m2. 2. Calcula el área en hectáreas (ha).
20 m
20 m 300 m
300 m
127
1.10 Áreas en kilómetros cuadrados
Calcula el área de un bosque de forma rectangular con las dimensiones que se muestran en la figura.
Si cm2 se lee “cen metro cuadrado” y

m2 se lee “metro cuadrado”. ¿Cómo lees
4 km km2 si km significa kilómetro?
10 km
Si considero un cuadrado de 1 km de Con la fórmula largo × ancho puedo calcular

lado, su área será de 1 km2, esa será el área del bosque PO: 10 × 4 = 40. Entonces,
una unidad de medida. el área del bosque es de 40 km2.
Julia
1 km2 1 km 4 km
...
(100 m)
... 10 km
1 km
(100 m) R: 40 km2
Para calcular el área de superficies grandes se u liza el km2 (kilómetro cuadrado) como unidad de medida.
¿Sabías que...?
Lado del × 10 × 10 × 10 Área del 1 m2 100 m2 1 ha 1 km2

cuadrado cuadrado
1m 10 m 100 m 1 km × 100 × 100 × 100
En un cuadrado si el lado se mul plica por 10, el área se mul plica por 100.
El área se mide en unidades cuadradas.
1. Calcula el área de cada figura según se indica. 2. Calcula el área de la siguiente figura.
a. Cuadrado de 2 km de lado.
4 km 4 km
b. Cuadrado de 6 km de lado. 2 km
4 km
c. Rectángulo de 3 km de largo y 5 km de ancho.
d. Rectángulo de 7 km de largo y 2 km de ancho. 10 km
128
Unidad 6
a. b.
7 ha
10 cm
7 ha
5 cm
c. d.
3m
3m
7m 9m
3m
10 m 10 m
e. f.
9 km
2 ha
8 ha
2. El Parque Nacional Montecristo está ubicado en el municipio de Metapán, departamento de Santa Ana.
Tiene 1, 973 hectáreas de bosque nebuloso con protección de flora y fauna. ¿Cuál es su área en metros
cuadrados?
129
1. Calcula el área sombreada en cada figura.
a. b. 2 km
3m
3 km
5 km
5m
5m 2m 5 km
2m 3 km
10 m 2 km
c. d. 2 cm
3m
4m
8m 8 cm
1 cm
8m 10 cm
e. f.
2m
2m
9m 5 km
3m 2 km 2 km
5m
13 m 5 km
2. Calcula el área sombreada de la figura.
1m
1m
130
Operaciones con números decimales

7
• Multiplicar números decimales por 10, 100 y 1, 000
• Dividir números decimales entre 10, 100 y 1, 000
• Comparar números decimales
• Redondear números decimales
• Sumar números decimales hasta las centésimas
sin llevar y llevando
• Restar números decimales hasta las centésimas
sin prestar y prestando
1.1 Mul plicación de números decimales por 10, 100 y 1, 000
Analiza las mul plicaciones y sus resultados, y encuentra una forma fácil de mul plicar un número
decimal por 10, 100 y 1, 000.
0
1.23
5 × 10 = 12.35 03 × 10 = .03
0.0 Observa los movimientos
del punto decimal.
5 × 100 = 123.5 03 × 100 = 0.3
1.23 0.0
5 × 1, 000 = 1, 235 03 × 1, 000 = 3
1.23 0.0
Cuento los espacios que se mueve el punto decimal.

1.235 × 10 = 12.35 1.235 × 100 = 123.5 1.235 × 1, 000 = 1, 235
Mario
0.003 × 10 = 0.03 0.003 × 100 = 0.3 0.003 × 1, 000 = 3
Si mul plico por 10, el Si mul plico por 100, el Ahora muevo tres veces,
punto decimal se mueve punto decimal se mueve aquí no coloco el punto ya
una vez a la derecha. dos veces a la derecha. que es un número natural.
Al mul plicar un número decimal por 10, 100 o 1, 000 el punto 1, 230
decimal se mueve hacia la derecha según la can dad de ceros. × 10
Al mul plicar por 10, el punto decimal se mueve una vez a la derecha. 123 × 100
× 10 × 1, 000
Al mul plicar por 100, el punto decimal se mueve dos veces a la derecha.
12.3
Al mul plicar por 1, 000, el punto decimal se mueve tres veces a la × 10
derecha. 1.23
Si al mover el punto decimal quedan espacios vacíos a la derecha, se
escribe cero. Los ceros de la izquierda se eliminan.
1. Efectúa:
a. 3.261 × 10 b. 3.261 × 100 c. 3.261 × 1, 000
d. 2.506 × 10 e. 2.506 × 100 f. 2.506 × 1, 000
g. 0.006 × 10 h. 0.006 × 100 i. 0.006 × 1, 000
2. Ana recibe un salario de $2.53 por hora. Si trabaja 10 horas, ¿cuánto gana?
1. Encuentra el número que corresponde a cada casilla:

a. 2.456 × = 245.6 b. 34.5 × = 3450 c. × 100 = 234
d. 0.036 × = 36 e. 0.101 × = 10.1 f. × 100 = 125
2. ¿Qué número debe colocarse en el cuadrado amarillo?

× 10 × 10 × 10 × 10
80
132
1.2 División de números decimales entre 10, 100 y 1, 000
Ricardo encontró una manera sencilla para dividir un

decimal entre 10, 100 y 1, 000. Analiza las siguientes .5 ÷ 10 = 23.45 14 ÷ 10 = 1.4
234
divisiones y encuentra cómo lo hizo.
.5
÷ 100 = 2.345 14 ÷ 100 = 0.14
234
.5 ÷ 1, 000 = 0.2345 14 ÷ 1, 000 = 0.014
234
Unidad 7
Observo cómo se mueve el punto decimal.
234.5 ÷ 10 = 23.45 234.5 ÷ 100 = 2.345 234.5 ÷ 1, 000 = 0.2345
Ana
Si divido entre 10, el punto Si divido entre 100, el punto Muevo tres veces el punto
decimal se mueve una vez a decimal se mueve dos veces decimal, escribo un cero que
la izquierda. a la izquierda. indica 0 unidades.
14 ÷ 10 = 1.4 14 ÷ 100 = 0.14 14 ÷ 1, 000 = 0.014
Si divido entre 10, el punto Si divido entre 100, el punto Muevo tres veces el punto
decimal se mueve una vez a decimal se mueve dos veces, decimal, coloco un cero que
la izquierda. se coloca un cero que indica indica 0 décimas y un cero
0 unidades. que indica 0 unidades.
Al dividir un número decimal entre 10, 100 o 1, 000 el punto decimal se mueve
hacia la izquierda según la can dad de ceros.
Al dividir un decimal por 10, el punto decimal se mueve una vez a la izquierda.
Al dividir por 100, se mueve dos veces a la izquierda.
Al dividir por 1, 000, se mueve tres veces a la izquierda.
Si al mover el punto decimal quedan posiciones vacías, se escribe 0 en dichas
posiciones.
1. Efectúa:
a. 231.4 ÷ 10 b. 12.1 ÷ 10 c. 10.2 ÷ 10 d. 2.3 ÷ 10
e. 231.4 ÷ 100 f. 12.1 ÷ 100 g. 10.2 ÷ 100 h. 2.3 ÷ 100
2. Observa el ejemplo y resuelve las siguientes divisiones. Ejemplo: 35 ÷ 10 = 3.5

a. 13 ÷ 10 b. 13 ÷ 100 c. 13 ÷ 1, 000
3. Si 10 lápices cuestan $1.70, ¿cuánto cuesta un lápiz?
4. Iden fica todas las expresiones equivalentes a 21.3, entre las propuestas.
a. 2.13 × 100 b. 21.3 × 10 c. 0.213 × 100 d. 2.13 ÷ 100
e. 2.13 ÷ 10 f. 2.13 × 10 g. 0.213 × 1, 000 h. 2.13 × 1, 000
i. 21.3 ÷ 10 j. 21.3 ÷ 100 k. 3.12 × 10 l. 0.213 × 10
133
1.3 Comparación de números decimales hasta las milésimas
Las atletas Maria y Julia obtuvieron el primero y segundo lugar en la competencia de salto con garrocha.
María saltó 5.36 m y Julia saltó 5.4 m. ¿Quién ganó el primer lugar?
Observo que ambas saltaron 5 metros y un poco más. Obtengo equivalencias de los
Comparo los números: números decimales.
Beatriz Carlos
5.36 5.4
5.36 equivale a 536 centésimas
5 5 ① Comparo las unidades: y 5.4 equivale a 540 centésimas.
son iguales.
3 4 ② Comparo las décimas: 3 es mayor 540 es mayor que 536.
que 4, por lo tanto 5.36 es menor
que 5.4 y se escribe 5.36 < 5.4. Entonces 5.4 > 5.36.
5.36 m < 5.4 m R: Julia obtuvo el primer lugar.

R: Julia obtuvo el primer lugar.
En la recta numérica también se puede comparar.

Los números decimales se comparan de la misma
manera que los números naturales, ya que se inicia 5.3 5.4 5.5
comparando las cifras de mayor valor posicional. 5.36
En la recta numérica, el número que se ubica a la 5.4
derecha de otro número es el número mayor.
Coloca el signo <, >, o = en cada casilla, según corresponda:
a. 1.21 1.26 b. 3.42 3.49 c. 3.211 3.216
d. 2.01 2.1 e. 3.1 2.34 f. 1.12 0.936
g. 4.128 4.281 h. 0.56 0.2 i. 0.23 2
En los literales d, e y g completa los decimales

con ceros para que tengan el mismo número
de cifras, por ejemplo 2.1 = 2.10.
134
1.4 Redondeo de números decimales hasta las décimas
Redondea a las décimas.

a. 2.93 b. 2.98
a. Para redondear a las décimas U d c

iden fico la posición a aproximar (d).
2 9 3
Unidad 7
Carmen Observo la cifra de la derecha (c).
2 9 0
Como es menor que 5, las décimas
no cambian. Se man ene la décima
2.9
R: 2.93 se redondea a 2.9.
b. Observo la cifra de la derecha (c). U d c

Como es mayor que 5, las décimas
aumentan en 1, como hay 9 décimas al 2 9 8
aumentar 1 décima se convierte en una
3 0 0
unidad, por lo tanto se aumentan las unidades.
Aumenta en 1 la décima
3
R: 2.98 se redondea a 3.
Se pueden ubicar los números en la recta numérica y observar a qué decimal hasta las
décimas se redondean.
2.9 2.93 2.98 3

R: 2.93 se redondea a 2.9 y 2.98 se redondea a 3.
Los pasos para redondear números decimales son:

① Elegir la posición a la que se quiere redondear.
② Iden ficar el número a la derecha de la posición escogida.
③ Si dicho número es mayor o igual que 5 se suma uno al número de la posición a redondear, si es
menor que 5 se deja igual.
Redondea los siguientes números a las décimas.

a. 1.84 b. 2.56 c. 3.75
d. 1.21 e. 0.48 f. 5.34
135
1.5 Redondeo de números decimales hasta las centésimas
Redondea a las centésimas.

a. 4.194 b. 4.197
a. Para aproximar a las centésimas U d c m

iden fico la posición a aproximar (c).
4 1 9 4
Antonio Observo la cifra de la derecha (m).
4 1 9 0
Como es menor que 5, las centésimas
no cambian. Se man ene la centésima
4.19
b. Observo la cifra de la derecha (m). U d c m

Como es mayor que 5, las centésimas
aumentan en 1, como hay 9 centésimas al 4 1 9 7
aumentar 1 centésima se convierte en una
4 2 0 0
décima, por lo tanto aumenta 1 décima.
Aumenta en 1 la centésima
4.2
Se pueden ubicar los números en la recta numérica y observar a qué decimal hasta las centésimas
se redondean.
4.19 4.194 4.197 4.2
R: 4.194 se redondea a 4.19 y 4.197 se redondea a 4.2.
Los pasos para redondear números decimales son:

① Elegir la posición a la que se quiere redondear.
② Iden ficar el número a la derecha de la posición escogida.
③ Si dicho número es mayor o igual que 5 se suma uno al número de la posición a redondear, si es
menor que 5 se deja igual.
Redondea los siguientes números a las centésimas.

a. 2.846 b. 0.454 c. 12.157
d. 0.821 e. 9.532 f. 6.248
136
1. Efectúa los siguientes productos.

a. 0.004 × 10 b. 0.004 × 100
Para mul plicar por 10, 100 o
1, 000 el punto decimal se mueve
c. 0.004 × 1, 000 d. 2.452 × 10
a la derecha la can dad de veces
que se ene 0 en el mul plicador.
e. 2.452 × 100 f. 2.452 × 1, 000
Unidad 7
2. Efectúa las siguientes divisiones.
a. 35 ÷ 10 b. 35 ÷ 100
Para dividir entre 10, 100 o
1, 000 el punto decimal se mueve
c. 35 ÷ 1, 000 d. 14.2 ÷ 10 a la izquierda la can dad de
veces que se ene 0 en el divisor.
e. 14.2 ÷ 100 f. 14.2 ÷ 1, 000
3. Redondea los siguientes números a las décimas.

a. 3.41 b. 3.58
c. 6.27 d. 0.87
4. Redondea los siguientes números a las centésimas.

a. 1.834 b. 2.506
c. 3.765 d. 1.291
5. Coloca el signo <, >, o = en cada casilla, según corresponda:

a. 3.21 3.29 b. 5.37 5.28
c. 6.02 7.2 d. 4.09 4.9
6. Andrés bebió 2.85 l de agua en un día de paseo y Carmen bebió 2.58 l el mismo día.
¿Quién de los dos bebió más agua?
¿Qué número resulta si redondeamos 2.99 a las décimas?, ¿y si redondeamos 2.999 a las centésimas?
137
2.1 Suma de números decimales hasta las décimas sin llevar
Encuentra la longitud del cordel, si la parte azul mide 1.2 m y la parte naranja mide 1.4 m.
1.2 m 1.4 m
PO: 1.2 + 1.4 Otra forma de sumar es

expresar los decimales
Beatriz en décimas.
① U d ② U d ③ U d
1 2 1 2 1 2 1 2
+ 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 décimas
6 2 6 2 6
Coloco los sumandos Sumo las décimas Sumo las unidades Obtengo 26 décimas
según su valor 2 + 4 = 6 y lo escribo 1 + 1 = 2, escribo en la que es 2.6.
posicional. en la casilla de las casilla de las unidades y
décimas. coloco el punto decimal
bajo los otros.
R: 2.6 m
Los pasos para sumar números decimales son:

① Colocar los números de acuerdo a su valor posicional. Los puntos decimales están uno abajo
de otro.
② Sumar décimas con décimas.
③ Sumar unidades con unidades y colocar en la respuesta el punto decimal bajo los otros puntos.
1. Efectúa:
a. b. c.
2 1 3 1
4 7
+ 1 7 + 0 8 + 2 1
d. 0.4 + 2.3 e. 3.1 + 6.6 f. 7.5 + 0.3
2. ¿Cuánto pesa?
a. b.
2.3 lb 1.6 lb 3.1 lb 2.4 lb
138
2.2 Suma números decimales hasta las décimas llevando
¿Cuánto pesa? a. b.
2.7 lb 1.6 lb 1.5 lb 2.5 lb
Unidad 7
a. PO: 2.7 + 1.6 Otra forma de sumar es
expresar los decimales en
① U d ② U d ③ U d décimas.
José
2 7 2 7 2 7 2 7
+ 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 décimas
1 1 1
3 4 3 4 3
Coloco Sumo las décimas Sumo las unidades Obtengo 43 décimas

los sumandos 7 + 6 = 13 décimas 2 + 1 + 1 = 4, escribo en que es 4.3.
según su valor que es 1 unidad y 3 la casilla de las unidades
posicional. décimas, llevo 1 a y coloco el punto decimal
las unidades. bajo los otros. R: 4.3 lb
b. PO: 1.5 + 2.5 Otra forma de sumar es

expresar los decimales en
① U d ② U d ③ U d décimas
1 5 1 5 1 5 1 5
+ 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 décimas
1 1 1
0 4 0 4 0
Coloco los Sumo las décimas Sumo las unidades Obtengo 40
sumandos 5 + 5 = 10 décimas 1 + 2 + 1 = 4, escribo en décimas que es 4.
según su valor que es 1 unidad, la casilla de las unidades
posicional. escribo 0 en la casilla y coloco el punto decimal
de las décimas y llevo bajo los otros.
1 a las unidades. R: 4 lb
¿Qué pasaría?
Al sumar las décimas se debe recordar que si se completan 10 décimas, ¿Cuál es el total de 16.2 + 3.8?
se forma una unidad. 1 6 2
Las unidades que se forman se llevan a la columna de las unidades. + 3 8
Si al sumar no hay décimas, no se escribe 0 ni punto decimal. 1 1
2 0 0
R: 20
Efectúa:
a. 4.3 + 3.8 b. 9.4 + 2.7 c. 7.8 + 2.5
d. 1.4 + 5.6 e. 15.3 + 14.7 f. 4.6 + 6.4
139
2.3 Suma de números decimales hasta las centésimas
Zoila compró en el supermercado un paquete de galletas en $1.21 y un litro de leche en $1.37.

¿Cuánto gastó?
PO: 1.21 + 1.37
galletas 1U
Julia
leche
1U
1.21
+ 1.37
2.58
1U 1U
R: Gastó $2.58
Carlos
PO: 1.21 + 1.37
① U d c ② U d c ③ U d c ④ U d c
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
+ 1 3 7 + 1 3 7 + 1 3 7 + 1 3 7
8 5 8 2 5 8
Coloco los Sumo las centésimas Sumo las décimas Sumo las unidades
sumandos 1 + 7 = 8. 2 + 3 = 5. 1 + 1 = 2, escribo en
según su valor la casilla de las unidades
posicional. y coloco el punto decimal
bajo los otros.
R: Gastó $2.58
Diez centésimas hacen una décima y diez décimas hacen una ¿ ué pasaría?
unidad. ¿Cuál es el resultado de 1.57 + 0.95?
Cuando se suman números decimales por cada diez centésimas Coloco los sumandos en forma
se lleva uno a las décimas y por cada diez décimas se lleva uno ver cal.
a las unidades. 1 5 7
El punto decimal de la respuesta se debe alinear con el punto + 0 9 5
1 1
decimal de los sumandos. R: 2.52 2 5 2
Efectúa:
a. 3.57 + 2.41 b. 2.68 + 3.01 c. 0.45 + 1.46
d. 0.49 + 2.97 e. 3.75 + 1.76 f. 0.84 + 0.78
140
2.4 Suma de números con diferente número de cifras decimales
María y Marcos van de viaje y llevan dos maletas cada uno. a. María b. Marcos
En el aeropuerto las pesaron y resultó que las maletas de
María pesan 15.48 kg y 16.6 kg; y las maletas de Marcos
pesan 18.45 kg y 16 kg. ¿Cuál es el peso total del equipaje de
cada uno de ellos?
Unidad 7
a. PO: 15.48 + 16.6 ② ③
① D U d c D U d c D U d c D U d c D U d c
1 5 4 8 1 5 4 8 1 5 4 8 1 5 4 8 1 5 4 8
Mario + 1 6 6 0 + 1 6 6 0 + 1 6 6 0 + 1 6 6 0 + 1 6 6 0
1 1 1 1
8 0 8 2 0 8 3 2 0 8
Agrego 0 al Sumo las Sumo las décimas Sumo las unidades Sumo las decenas
segundo sumando centésimas 4 + 6 = 10 y llevo 5 + 6 + 1 = 12 1 + 1 + 1 = 3.
para tener 8 + 0 = 8. 1 a las unidades. y llevo 1 a las
centésimas. decenas.
R: 32.08 kg
b. PO: 18.45 + 16 ② ③
① D U d c D U d c D U d c D U d c D U d c
1 8 4 5 1 8 4 5 1 8 4 5 1 8 4 5 1 8 4 5
+ 1 6 0 0 + 1 6 0 0 + 1 6 0 0 + 1 6 0 0 + 1 6 0 0
1 1
5 4 5 4 4 5 3 4 4 5
Agrego 00 al Sumo las Sumo las décimas Sumo las Sumo las decenas
segundo centésimas 4 + 0 = 0. unidades 1 + 1 + 1 = 3.
sumando para 5 + 0 = 5. 8 + 6 = 14 y llevo
tener centésimas. 1 a las decenas.
R: 34.45 kg
Para sumar números decimales con una can dad dis nta de cifras decimales, se siguen los siguientes pasos:
① Se colocan los sumandos alineando el punto decimal y se completa con ceros para que los dos sumandos
tengan la misma can dad de cifras decimales.
② Se suma la parte decimal.
③ Se suman las unidades con unidades y decenas con decenas.
Efectúa:
a. 2.45 + 1.2 b. 9.83 + 4.3 c. 5.45 + 0.6 d. 1.2 + 2.36
e. 8.3 + 5.63 f. 1 + 2.45 g. 2.01 + 4 h. 3 + 2.16
141
1. Efectúa las siguientes operaciones. Apóyate con la forma ver cal.

a. 2.4 + 3.2 b. 3.5 + 0.4 c. 6.7 + 2.8 d. 3.4 + 2.6
e. 8.6 + 7.9 f. 6.8 + 7.2 g. 2.31 + 1.43 h. 4.06 + 2.63
i. 1.68 + 1.27 j. 3.64 + 2.87 k. 1.26 + 2.34 l. 2.67 + 1.53
m. 3.68 + 2.32 n. 21.32 + 12.4 ñ. 14.33 + 11 o. 23 + 12.56
2. En un bote hay 1.3 litros de jugo y en el otro hay 2.4 litros.

¿Cuántos litros de jugo hay en total? 2.4 l
1.3 l
3. José hizo dieta, el mes pasado rebajó 1.6 kg y este mes 0.7 kg. ¿Cuántos kilogramos ha rebajado en
total?
4. Luis compró en el supermercado un paquete de papel higiénico

a $5.12 y un paquete de servilletas a $1.06.
¿Cuánto gastó Luis en el supermercado?
5. Para trabajar en un jardín se u lizaron dos lazos, uno de 3.75 m y el otro de 4.25 m. ¿Cuántos metros
de lazo se u lizaron en total?
6. Don Julio reparte carne todos los días en dos puestos del mercado.
Ayer dejó 24 lb de carne en el primer puesto y 15.23 lb en el segundo.
¿Cuántas libras de carne repar ó en total?
1. Efectúa:
a. 12.345 + 5.655 b. 3.001 + 2.1 c. 6.345 + 4
2. Xiomara, Mario y Karina par cipan en una carrera de relevos de 300 m.

Xiomara corrió los primeros 100 m en 19.65 s, Karina los otros 100 m en
21.8 s y Mario el resto en 20.12 s. ¿En cuántos segundos recorrió el
equipo los 300 m?
6.1 4.7
3. Completa el siguiente cuadrado mágico.
Se llama cuadrado mágico porque la suma de los números de 4
las filas, columnas y diagonales deben dar el mismo resultado. 3.3
142
3.1 Resta de números decimales hasta las décimas sin prestar
Oso pesa 3.4 kg y Bodi pesa 1.3 kg menos que Oso. ¿Cuál es el peso de Bodi?
Oso Bodi
PO: 3.4 – 1.3 Otra forma de restar es
Unidad 7
expresar los decimales
en décimas.
Ana ① U d ② U d ③ U d
3 4 3 4 3 4 3 4
– 1 3 – 1 3 – 1 3 – 1 3 décimas
1 2 1 2 1
Coloco el minuendo Resto las décimas Resto las unidades Obtengo 21 décimas
y sustraendo según 4 – 3 = 1 y lo escribo 3 – 1 = 2, lo escribo que es 2.1.
su valor posicional. en la casilla de las en la casilla de las
décimas. unidades y coloco
el punto decimal
bajo los otros. R: 2.1 kg
¿Qué pasaría?
Para restar decimales en forma ver cal: ¿Cuál es el resultado de 6.3 – 4.3?
① Colocar los números de modo que los puntos
decimales estén uno abajo del otro. 6 3
② Restar décimas con décimas. – 4 3
③ Restar unidades con unidades y colocar el punto 2 0 R: 2
decimal en el resultado de modo que esté abajo de Es como tener 63 décimas menos 43
los otros puntos. décimas, y quedan 20 décimas, que es igual
a 2. ¡Es un natural!
1. Efectúa:
a. b. c.
2 4 3 7 4 5
– 1 1 – 1 7 – 2 4
d. 5.6 – 0.3 e. 7.6 – 5.4 f. 9.1 – 2.1
2. Doris tenía 1.8 l de agua y bebió 0.7 l durante el primer recreo. ¿Cuántos litros de agua ene Doris
ahora?
143
3.2 Resta de números decimales hasta las décimas prestando
Diana camina todos los días desde el Monumento al Divino Salvador del Mundo hasta el Centro
Escolar República de España, recorriendo una distancia de 4.7 km. ¿Cuántos km le falta recorrer si ha
caminado 2.9 km hasta Metrocentro?
PO: 4.7 – 2.9

Resto ver calmente, garan zando que los puntos decimales estén alineados.
②
Antonio
① U d U d U d ③ U d
3 1 3 1 3 1
4 7 4 7 4 7 4 7
– 2 9 – 2 9 – 2 9 – 2 9
8 1 8
Coloco el minuendo Como a 7 no le puedo restar 9, se Resto las unidades

y sustraendo según presta una de las unidades que 3 – 2 = 1, escribo en la
su valor posicional. se convierte en diez décimas. casilla de las unidades y
Resta 17 – 9 = 8 décimas. coloco el punto decimal
bajo los otros.
R: Le falta recorrer 1.8 km.
¿Qué pasaría?
Con los números decimales se puede restar ¿Cuál es el resultado de 2.4 – 1.7?
prestando, tal como se hizo en la resta de Coloco el minuendo y sustraendo en forma ver cal.
números naturales; teniendo cuidado que los 1 1
2 4
puntos decimales queden uno abajo del otro.
– 1 7
0 7
se agrega 0 R: 0.7
1. Efectúa:
a. 7.3 – 1.7 b. 4.2 – 2.9 c. 2.4 – 1.7
d. 4.4 – 3.9 e. 1.7 – 0.8 f. 4.5 – 1.6
2. En la carrera de 100 m Paola tardó 12.9 segundos en llegar a la meta y Mateo tardó 14.3 segundos.
¿Cuántos segundos después de Paola llegó Mateo?
5.4 8.6
Completa el siguiente cuadrado mágico, si la suma de las filas,
columnas y diagonales es 16.
6.7 3.1
144
3.3 Resta de números decimales hasta las centésimas sin prestar
Andrea y Kevin tenían $3.24 y compraron un paquete de galletas que costó $1.12.
¿Cuánto dinero les sobró?
Unidad 7
PO: 3.24 – 1.12
Beatriz
① U d c ② U d c ③ U d c ④ U d c
3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4
– 1 1 2 – 1 1 2 – 1 1 2 – 1 1 2
2 1 2 2 1 2
Coloco el minuendo Resto las centésimas Resto las décimas Resto las unidades
y sustraendo según 4 – 2 = 2. 2 – 1 = 1. 3 – 1 = 2, lo escribo en la
su valor posicional. casilla de las unidades y
coloco el punto decimal
R: Sobró $2.12 bajo los otros.
Otra forma de restar es expresar los decimales en centésimas.
Mario U d c
3 2 4 3 2 4
– 1 1 2 – 1 1 2 centésimas
2 1 2 2 1 2 Obtengo 212 centésimas que es 2.12.
R: Sobró $2.12
Para restar decimales en forma ver cal:

① Se colocan los números de modo que los puntos decimales estén uno abajo del otro.
② Se restan centésimas con centésimas.
③ Se restan décimas con décimas.
④ Se restan unidades con unidades y se coloca el punto decimal en el resultado.
Efectúa:
a. 3.16 – 2.04 b. 4.46 – 3.24 c. 4.57 – 3.25 d. 2.84 – 2.13
e. 2.35 – 1.35 f. 9.48 – 9.38 g. 5.27 – 3.17 h. 11.48 – 10.28

145
3.4 Resta de números decimales hasta las centésimas prestando
Diego había comprado 3.75 l de jugo para la fiesta y se bebieron 2.58 l. ¿Cuánto sobró?
¿Sabías que 3.75 l es lo mismo que

un galón?
PO: 3.75 – 2.58

① U d c ② U d c ③ U d c ④ U d c
6 1 6 1 6 1
José 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5
– 2 5 8 – 2 5 8 – 2 5 8 – 2 5 8
7 1 7 1 1 7
Coloco el minuendo Resto las centésimas. Resto las décimas Resto las unidades
y sustraendo según Como a 5 no le puedo 6 – 5 = 1. 3 – 2 = 1, lo escribo
su valor posicional. restar 8, se presta una en la casilla de las
décima y se convierte unidades y coloco el
en 15 centésimas. punto decimal bajo
Resto 15 – 8 = 7 los otros.
centésimas.
Puede ser necesario prestar dos veces
en una misma resta, por ejemplo:
4.75 – 2.78
R: Sobró 1.17 l 3 16
4 7
1
5
– 2 7 8
1 9 7
La resta de decimales hasta las centésimas, también se puede efectuar prestando como con los naturales;
recordando colocar los puntos decimales uno debajo del otro incluyendo el resultado.
Efectúa:
a. 3.73 – 1.47 b. 5.23 – 2.31 c. 2.14 – 1.06 d. 5.34 – 0.75
e. 5.21 – 2.34 f. 5.17 – 3.38 g. 7.01 – 5.02 h. 4.15 – 3.96
Coloca los números que corresponden a las casillas en blanco para que la suma sea correcta.
a. b. c.
12 . 5 .8 9. 5
– 8. 3 – 2 .. 2 – 5.6
.. 2 4 15 .. 5 7 .. 1 2
146
3.5 Resta de números decimales agregando cero al minuendo o al sustraendo
¿Cómo se puede efectuar la siguiente resta 10 – 4.65?
① Coloco el minuendo y sustraendo.

D U d c
② Agrego dos ceros al minuendo para que tenga centésimas 19 19 1
como el sustraendo. 1 0 0 0
Julia ③ Luego, resto ver calmente alineando los puntos decimales.
Unidad 7
– 4 6 5
R: 10 – 4.65 = 5.35 5 3 5
Para restar números con diferente can dad de cifras decimales:

① Se coloca el minuendo y el sustraendo alineando el punto decimal.
② Se agregan ceros al minuendo o al sustraendo hasta que tengan el mismo número de cifras decimales.
③ Se encuentra el resultado de la resta.
¿Qué pasaría?
¿Cuál es el resultado de 7.26 – 3?
Agrego dos ceros al sustraendo para tener la misma can dad de centésimas.
Luego, resto ver calmente alineando los puntos decimales.
U d c
7 2 6
– 3 0 0
4 2 6 R: 4.26
1. Efectúa:
a. 8 – 3.23 b. 7 – 3.52 c. 5.74 – 2 d. 2.45 – 1
2. Analiza las siguientes restas y coloca “c” si está correcta o “i” si está incorrecta. Si está
incorrecta encuentra la respuesta correcta.
a. b. c. d.
3 5.. 0 0 2 3.. 8 7 2 0.. 0 0 4 0.. 0 0
– 7 .. 3 5 – 1 3.. 0 0 – 0 .. 5 5 – 0 .. 3 5
7 .. 6 5 3 6.. 8 7 1 9.. 5 5 3 9.. 6 5
Sabías que el Colón (₡) es la moneda

La mamá de Paola cuenta que un día tenía 2 colones para comprar que circuló en El Salvador desde 1934
hasta aproximadamente 2002.
comida; gastó 50 centavos en tor llas y 25 centavos en queso.
¿Cuánto dinero le quedó?
147
1. Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno. Apóyate con la forma ver cal.
a. b. c. d.
5 4 1 6 3 6 6 8
– 2 3 – 0 5 – 2 6 – 4 8
e. f. g. h.
4 3 8 6 4 1 8 3 4 8
– 2 4 – 7 9 – 2 0 6 – 1 3 8
i. j. k. l.
9 5 3 4
– 2 3 5 – 3 7 5 – 1 3 7 – 2 1 1
m. n. ñ. o.
1 0 1 0 1 0 1 0
– 5 6 5 – 2 7 5 – 9 7 5 – 0 7 5
2. La profesora de 4.° grado borró el primer sumando de la

pizarra antes de que Marlon copiara el ejemplo. ¿Cuál es el
número que falta?
3. Observa las figuras y responde.

¿Cuánto pesa el gato de Isabel?
4. Joaquín pagó $2.37 por un cuaderno y un llavero.

Si el cuaderno costó $1.25, ¿cuánto costó el llavero?
Escribe los números que faltan en los círculos, 7.35 2.31

tomando en cuenta que cada círculo con ene
la suma de los dos círculos de arriba. 9.25 7.46
148
Fracciones

8
• Diferenciar los tipos de fracciones
• Determinar el número mixto que corresponde a
una fracción impropia y viceversa
• Ubicar fracciones en la recta numérica
• Comparar fracciones
• Determinar fracciones equivalentes
• Reducir fracciones a su mínima expresión
• Sumar y restar fracciones
• Resolver operaciones combinadas de suma y resta
de fracciones homogéneas
1. Escribe cuántos metros mide la parte sombreada.

a. b. c.
1m 1m 1m
d. e. f.
1m 1m 1m
2. Escribe cuántos litros representa la parte sombreada.

a. b. c.
1l 1l 1l
Cuando el denominador es mayor

3. Lee las siguientes fracciones: que 10, la fracción se lee agregando
la terminación “avos” después del
a. 2 b. 1
3 4 número, por ejemplo:
2
c. 5 d. 5 11 se lee “dos onceavos”.
6 9
8
8 f. 15 se lee “ocho quinceavos”.
e. 15
13 23 11
21 se lee “once vein unavos”.
4. Escribe la fracción que ene:
a. numerador 2 y denominador 3
b. denominador 5 y numerador 3
5. Completa la recta numérica ubicando las fracciones faltantes.

a. b.
0 1 1 0 1
5
c.
0 1
6. Comparar las siguientes fracciones colocando los signos <, > o = entre ellas, según corresponda.
a. 4 2 b. 3 5
5 5 8 8
0 1 0 1
c. 6 4 d. 4 7
7 7 9 9
0 1 0 1
150
1.2 Tipos de fracciones
Los alumnos de cuarto grado midieron la altura de las plantas del jardín escolar u lizando ras de papel.
Observa algunas de las medidas obtenidas y represéntalas con una fracción.
a.
b.
c.
0 1 1 2 (m)
4
1 3
a. Observo que hay 3 veces 4 m, entonces la longitud de la ra es 4 m.
Unidad 8
1 4
Ana
b. Observo que hay 4 veces 4 m, siguiendo el patrón la longitud de la ra es 4 m.
1 7
c. Observo que hay 7 veces 4 m, entonces puedo decir que la longitud de la ra es 4 m.
A una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se le llama fracción impropia.
Las fracciones 44 y 74 son fracciones impropias.
Si el numerador es menor que el denominador la fracción se llama fracción propia.
Las fracciones 23 y 34 son fracciones propias.
Una fracción propia que ene numerador 1 se llama fracción unitaria.
Las fracciones 13 , 14 y 15 son fracciones unitarias.
1. Escribe la fracción que representa la longitud de cada cinta e iden fica si la fracción es propia o
impropia.
1m 1m
a. b.
1m 1m
c. d.
1m 1m 1m 1m
e. f.
0 1 2 (m) 0 1 2 (m)
2. Iden fica las fracciones impropias, las fracciones propias y las fracciones unitarias.
a. 5 b. 2 c. 1 d. 3 e. 7 f. 7 g. 1 h. 5 i. 7 j. 11
8 5 11 12 7 6 10 5 3 10
151
1.3 Números mixtos
7
Si la longitud de la cinta es 4 m, encuentra el valor que debe ir
en el recuadro.
0 1 2 (m) 7
4
m es 1 m y m.
3
Observo en la gráfica que 7 está formado por 1 m y 4 m, entonces:
4
7 3
4
m es 1 m y 4 m
José
1 m y 34 m se escribe 1 34 m, y se lee un metro y tres cuartos. El número se llama número mixto, porque
está formado por un número natural y una fracción propia.
Ejemplo: 2 1 l se lee dos litros y un cuarto.

4
Toda fracción impropia mayor que la unidad se puede escribir como un número mixto.
1. Representa con un número mixto la can dad de litros de agua que Julia bebió cada día.
a. martes b. miércoles
1l 1l 1l 1l 1l
0 1 2 (l) 0 1 2 3 (l)
2. Escribe el número mixto que representa la longitud en metros de la parte coloreada.

a. 1m 1m b. 1m 1m 1m
0 1 2 (m) 0 1 2 3 (m)
c.
1m 1m
0 1 2 (m)
3. Escribe las siguientes can dades como número mixto.
a. 2 m y 4 m b. 3 m y 2 m
5 7
Juan necesita comprar 1 12 galón de pintura, en la enda de pintura le informan que solo enen botes de
1
galón. ¿Cuántos botes de 12 galón debe comprar?
2
152
1.4 Números naturales como fracciones impropias
Encuentra la equivalencia y escribe el número que falta. ¿Cuántas veces cabe

1
m en 2 m?
4
2m= m
4
① Represento 2 metros gráficamente y ② cuento las veces que cabe 14 m en 2 m.

1m 1m
1
Carmen 4m cabe 4 veces en 1 m, 14 m cabe 8 veces en
4 × 2 = 8 veces
2 m , 8 veces 14 m es 84 m, entonces 2 m = 84 m.
4 veces 4 veces
R: 2 m = 8 m
1 m 4
4
Divido cada metro en 4 partes. Escribo las fracciones que corresponden a las marcas en la recta
numérica contando el número de veces que cabe 1 m hasta llegar a 2 m.
Unidad 8
4
Antonio
1 2 (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 vez 1 m es 1 m 3 veces 1 m es 3 m
4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2 veces 1 m es 2 m 4 veces 1
m es 4
m
4 4 4 4
Encuentro que 1 m cabe 8 veces en 2 m. R: 2 m = 8 m

4 4
Para escribir un número natural como fracción impropia:

① Representar el número natural gráficamente. En 3 m cabe 15 veces 15 m.
② Contar cuántas veces cabe la fracción unitaria. Por lo tanto,
También se puede u lizar la recta numérica escribiendo las fracciones 3 m = 15
5
m
correspondientes hasta llegar al número natural deseado. ×
Encuentra la equivalencia y escribe el número que falta.

a. 2 m = m b. 2 l = l
5 6
1m 1m 1l 1l
c. 3 m = m d. 3 l = l
3 2
0 1 2 3 (m) 0 1 2 3 (l)
e. 5 m = m f. 4 l = l
2 3
153
1.5 Fracciones y números mixtos en la recta numérica
Escribe los números que corresponden a las marcas señaladas con letras en la siguiente recta numérica:
0 1 1 A 2 3 B 4
4
1
Cada unidad está dividida en 4 partes iguales entonces cada marca corresponde a 4 .
1
Cuento las veces que cabe 4 colocando las fracciones correspondientes:
Carlos 1 1 5
1 4 también significa 5 veces 4 , o sea 4 .
0 1 1 2 3 4
4 A B
11
4
3 1 15
3 4 también significa 15 veces 4 , o sea 4 .
0 1 2 3 4
A B
3
34
Para representar fracciones en la recta numérica: Para representar números mixtos en la recta
① Contar la can dad de veces que cabe la numérica:
fracción unitaria. ① Contar las unidades completas y la fracción propia.
② Escribir la fracción correspondiente. ② Escribir el número mixto correspondiente.
1. Escribe los números mixtos que corresponden a las marcas señaladas en la recta numérica:
0 1 1 2 3 4
5 A B C D
2. Marca los puntos de la recta numérica que corresponden a las siguientes fracciones y números mixtos:
a. 3 b. 1 4 c. 2 1 d. 13 e. 15 f. 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 1 2 3 4
5
3. Escribe las fracciones propias o impropias que corresponden a las flechas indicadas en las siguientes
rectas numéricas:
a. b.
0 1 2 4 5 6
A B C D E F G
154
1.6 Conversión de número mixto a fracción impropia
1
¿Qué fracción impropia corresponde al número mixto 2 3 ?
1 1
2 = 3
1 3
0 1 2 2 3
3
Encuentro la fracción impropia que Convierto el número 2 en fracción.

corresponde a esa marca.
Julia
1 ene 3 veces 1 , 2 es 6 veces 1
6 3 3 José
1
2 que es 3 .
0 1 2 3 3
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 = 6 , 2 3 es 6 y 1 es 7
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 1
3 3 3
Unidad 8
R: 2 1 = 7 R: 2 1 = 7
3 3 3 3
Para conver r un número mixto en fracción impropia se puede hacer uso de la ubicación en la recta
numérica.
Otra forma de conver r un número mixto en fracción impropia: 6+
① Mul plicar el denominador por el número natural y sumar el numerador,
el resultado será el numerador de la fracción impropia.
1 7
3 3 2 =
② El denominador de la fracción propia en el número mixto es el denominador
3×2=6
de la fracción impropia.
1. Representa gráficamente los siguientes números mixtos y luego escribe su correspondiente fracción
impropia.
3 2
a. 2 1 b. 1 5 c. 2 4 d. 3 5
5 5
0 1 2 3 4
¿Qué pasaría?
e. 1 3 f. 2 1 g. 2 3 h. 3 4
2
4 4 4
0 1 2 3 4
2. Convierte los siguientes números mixtos en fracciones impropias.

6+ +
2 8 1 3 5
2 3
= 3
a. 3 4 b. 4 5 c. 2 7
3×2 ×
3 1 5
d. 4 4 e. 2 6 f. 3 8 g. 1 1
9
155
1.7 Conversión de fracción impropia a número mixto
7
Escribe el número mixto que corresponde a la fracción impropia 3 .
Ubico las fracciones que enen denominador 3 en la recta numérica.

Agrego los números mixtos que corresponden a las fracciones mayores que 1.
1 2 1 2
Antonio 0 1 13 13 2 23 23 3 (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 R: 3 = 2 3
3 7
Pienso cuántas veces está 3 en 3 .
7 1
7 ÷ 3 = 2 residuo 1 3
=23
Ana
7 1
R: 3 = 2 3
• Al dividir el numerador entre el denominador de la fracción

impropia, el cociente será el número natural del número mixto
y el residuo es el numerador de la fracción propia.
÷ 3=
7
21
7 ÷ 3 = 2 residuo 1
• El denominador de la fracción impropia es el mismo que el de la
7
3 = 2 1
3
fracción propia del número mixto.
Algunas fracciones impropias se convierten en números naturales
porque no hay residuo. Ejemplo:
12
4= 3 12 ÷ 4 = 3 residuo 0
Convierte las siguientes fracciones impropias en su correspondiente número mixto o número natural.
a. 7 ÷ 4 = 1 residuo 3 7 b. 16 ÷ 5 = residuo 16
= =
4 4 5 5
c. 7 d. 16 e. 11 f. 9 g. 12
4 5 3 2 6
h. 10 i. 21 j. 13 k. 7 l. 15
5 5 2 5 3
1
Juan ene una alfombra formada por 2 cuadrados m
2
de 1 m de lado como muestra la figura.
1m
Escribe la fracción impropia y el número mixto que
1
representa el área de la parte sombreada. m
2
1m
156
1.8 Comparación de fracciones homogéneas
3 4
Después de una competencia María ha bebido 5 l de agua y Felipe 5 l de agua.
¿Quién bebió más agua?
Can dad que Can dad que

bebió María bebió Felipe
3 4
5 5
Beatriz
1 1 3 4
3 veces 5 es menor que 4 veces 5 , entonces 5 l < 5 l. R: Felipe bebió más agua.
Otra forma de comparar es ubicando ambas fracciones en la recta numérica.

María Felipe
Mario
Unidad 8
0 3 4 1 (m)
5 5
4 3
En la recta numérica el número que está a la derecha es el mayor, 5 l > 5 l.
R: Felipe bebió más agua. Las fracciones

1
,
4
,
5
y
7
3 3 3 3
son fracciones homogéneas porque

todas enen igual denominador.
Las fracciones que enen el mismo denominador se llaman fracciones homogéneas.
Las fracciones homogéneas se pueden comparar en la recta numérica de igual forma que los números
naturales; las fracciones que están a la derecha son mayores y las que están a la izquierda son menores.
También se pueden comparar los numeradores; es menor la fracción homogénea que ene menor
numerador.
4 7 1 1
3
< 3 porque 4 veces 3 es menor que 7 veces 3 .
Escribe el signo < o > entre las fracciones según corresponda.
a. 3 7 b. 9 5 c. 8 5 d. 3 9
5 5 7 7 11 11 4 4
e. 9 15 f. 5 11 g. 11 9 h. 7 2
7 7 8 8 5 5 3 3
157
1.9 Comparación de fracciones y números mixtos
Andrea, Juan y Carlos enen cordeles con las siguientes longitudes:

a. Entre Juan y Carlos, ¿quién ene el cordel más largo?
b. Entre Andrea y Juan, ¿quién ene el cordel más largo?
Andrea 3 m Juan 1 1 m Carlos 2 4 m

5 5 5
a. Cordel de Juan Cordel de Carlos

1 4
15 25
José
1 4
1 y 1 es menor que 2 y 4 entonces 1 5 m < 2 5 m.
5 5
R: El cordel de Carlos es más largo.

1 1 6
b. Antes de comparar convierto el número mixto 1 5 m en fracción impropia, 1 5 m = 5 m.
Cordel de Juan Cordel de Andrea
6 3
5 5
6 3
Comparo los numeradores 6 > 3 entonces 5 m > 5 m.
R: El cordel de Juan es más grande.
Otra forma de comparar es ubicando ambas fracciones en la recta numérica.

Andrea Juan Carlos
Julia
3 1 4
0 5 1 15 2 25 3
Para comparar dos números mixtos se toma en cuenta lo siguiente:

1
• Si las unidades de los números mixtos son dis ntas, se comparan las unidades. 4 2 > 2 3 porque 4 > 2.
3
• Si las unidades de los números mixtos son iguales, se comparan las fracciones. 1 1 < 1 2 porque 1 < 2 .
3 3 3 3
Para comparar una fracción y un número mixto se convierte el número mixto en fracción impropia y luego
se comparan las fracciones.
1. Escribe el signo <, > o = entre los números mixtos según corresponda.
5 1 2 4 1 2
a. 1 6 26 b. 3 7 37 c. 2 5 15
2. Compara las siguientes fracciones y números mixtos escribiendo el signo <, > o = según corresponda.
12 3 1 28 20 6
a. 5 25 b. 4 9 9
c. 11 1 11
158
2.1 Fracciones equivalentes
Se presentan cintas de diferentes colores y con cortes de dis ntas longitudes.

Se han encerrado las fracciones
que representan la misma longitud,
0 1 1
por ejemplo:
2
1 2
a. 2 = 4 = 6 = 8 = 10
3 4 5 0 1 2 1
3 3
1 2 3 0 1 2 3 1
b. 3 = 6 = 9 4 4 4
0 1 2 3 4 1
Encuentra otras fracciones que 5 5 5 5
enen igual longitud.
0 1 2 3 4 5 1
6 6 6 6 6
Las fracciones heterogéneas son las 0 1 2 3 4 5 6 1
que enen diferente denominador. 7 7 7 7 7 7
Unidad 8
Ejemplo: 2 , 4 y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 1
3 8 11
8 8 8 8 8 8 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9 9 9 9 9 9 9 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10
Observo en las cintas qué fracciones representan la misma can dad.

1 2 1 2 2 4 6 4 8 3 6
4
= 8 5
= 10 3
= 6 = 9 5
= 10 4
= 8
Ana
Las fracciones que representan la misma can dad se llaman fracciones equivalentes.
1 2 3 4 5
La equivalencia se escribe u lizando el signo “=”. Ejemplo: 2 = 4 = 6 = 8 = 10
Cuando mul plicamos el numerador y denominador por el mismo número obtenemos fracciones
equivalentes, a este procedimiento se le llama amplificación.
×2 1 1 ×3 1 1
1 2 2 6
2
= 4 = 9
3
×2 ×3
1. Ayúdate con las cintas de colores para completar el número que corresponde a cada casilla.
2 4 3 3
a. 3 = 9 b. 5 = 10 c. 4 = 8 d. 5 = 10
2. Para cada fracción encuentra tres fracciones equivalentes u lizando el procedimiento de amplificación.
a. 2 b. 3 c. 2 d. 3
3 4 5 7
5 3 4 3
e. 6 f. 8 g. 5 h. 5
159
2.2 Reducción de fracciones a su mínima expresión
U liza las cintas de colores de la clase anterior y encuentra la fracción equivalente con menor
denominador para las siguientes fracciones, descubre cómo se ob ene el denominador en cada caso.
a. 6 b. 6 c. 5
10 9 10
U lizo las cintas de colores para ubicar cada una de las fracciones y encontrar las que son equivalentes.
0 1 1
Mario 2
0 1 2 1
3 3
0 1 2 3 1
4 4 4
0 1 2 3 4 1
5 5 5 5
0 1 2 3 4 5 1
6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6 1
7 7 7 7 7 7
0 1 2 3 4 5 6 7 1
8 8 8 8 8 8 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9 9 9 9 9 9 9 9
b.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10
c. a.
a. 6 = 3 b. 6 = 4 = 2 c. 5 4 3 2 1
10
= 8 = 6 = 4 = 2
10 5 9 6 3
menor denominador menor denominador menor denominador

÷2 ÷3 ÷5
6 3 6 2 5 1
10
= 5 9
= 3 10
= 2
÷2 ÷3 ÷5
El numerador y El numerador y El numerador y
denominador se denominador se denominador se
dividen entre 2. dividen entre 3. dividen entre 5.
160
Una fracción está reducida a su mínima expresión cuando está expresada como la fracción equivalente
con el menor denominador.
Para reducir una fracción a su mínima expresión se divide tanto el numerador como el denominador
entre el mismo número hasta que ya no sea posible dividir. Este procedimiento se llama simplificación.
A par r de ahora se expresarán siempre las fracciones en su mínima expresión.
Algunas veces será necesario dividir más de una vez para llegar a la mínima
expresión: ÷6
÷2 ÷3
6 3 1
12 = 6 = 2
Unidad 8
÷2 ÷3
÷6
Observa que cada vez, se divide entre el mismo número. U liza las tablas de
mul plicación para saber por cuál número dividir.
1
3
6 1
Se puede escribir así:
12 = 2
6
2
1. Ayúdate con las cintas de colores para completar el número que corresponde a cada casilla.
6 8 6 2
a. 9 = 3 b. 10 = 5 c. 8 = 4 d. 10 = 5
2. Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión.
a. 6 b. 9 c. 18 d. 6 e. 5
8 15 20 9 20
9
f. 8 g. 10 h. 6 i. 18 j. 4
12 20 18 12
8
Para 10 encuentra:
a. Tres fracciones equivalentes con mayor denominador.
b. Tres fracciones equivalentes con menor denominador.
161
2.3 Comparación de fracciones heterogéneas de igual numerador
Observa la longitud de las cintas de colores.

1 1
a. Ordena las fracciones unitarias de mayor a menor. Di cuál es mayor 4 o 7 .
2 2
b. Ordena las fracciones de numerador 2 de mayor a menor. Di cuál es menor 5 o 9 .
0 1 1
2
0 1 2 1
3 3 Las fracciones
unitarias son las
0 1 2 3 1
4 4 4 fracciones de
numerador 1.
0 1 2 3 4 1
5 5 5 5
0 1 2 3 4 5 1
6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6 1
7 7 7 7 7 7
0 1 2 3 4 5 6 7 1
8 8 8 8 8 8 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
9 9 9 9 9 9 9 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10
a. Observo la longitud de las cintas y encuentro b. Las fracciones de numerador 2, son 23 , 24 ,

2 , etc.
que entre mayor es el denominador, la fracción 5
unitaria es menor. Comparo las longitudes de las cintas y observo
Entonces, las ordeno de mayor a menor y que la longitud es menor entre mayor es el
Julia
obtengo: denominador.
Si las ordeno de mayor a menor obtengo:
1 1 1 1 1 1 1 1
2
, 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
1 1 2 2
R: 4 > 7 R: 9 < 5
Como 7 > 5,
3 3
entonces 7
< 5
Para comparar fracciones que enen igual numerador se comparan los
denominadores, entre mayor sea el denominador menor es la fracción.
1. Ordena de menor a mayor las fracciones de numerador 3 que se encuentran en las cintas de colores.
2. Escribe el signo <, > o = entre las fracciones, según corresponda.

a. 3 3 b. 4 4 c. 5 5 d. 6 6 e. 7 7
4 8 7 5 6 7 5 7 10 9
f. 4 4 g. 5 5 h. 6 6 i. 4 4 j. 5 5
3 7 3 2 7 5 5 3 3 8
162
3.1 Suma de fracciones homogéneas
3 2
Juan bebió 7 l de jugo en la mañana y 7 l de jugo por la tarde. ¿Qué can dad de jugo bebió en total?
3 2 3 2
PO: 7 + 7 PO: 7 + 7
Carmen Carlos
Represento la can dad de jugo que bebió Juan en U lizo la recta numérica para representar la
la mañana y por la tarde. Así: 3
1l 1l can dad de jugo que Juan bebió por la mañana, 7 l.
2
Luego, realizo un desplazamiento de 7 l que
representa lo que bebió por la tarde.
3 1 2 1
l 3 veces l l 2 veces l 0 1
7 7 7 7 1 (l)
7
3 2
1 7 7
Unidad 8
por la mañana bebió 3 veces 7 l de jugo y por
1
la tarde 2 veces 7 l. 1 5
1 5
Como 3 + 2 = 5, bebió 5 veces 7 que es 7 . En total Juan bebió 5 veces 7 , es decir 7 l.
R: 5 l R: 5 l
7
7
Para sumar fracciones homogéneas se suman los numeradores y se escribe +

el mismo denominador; esto es posible ya que en ambas fracciones la + =
unidad se ha dividido en la misma can dad de partes.
1. Encuentra la suma de las fracciones representadas y escribe el resultado como una fracción.
a. 1l 1l b. 1l 1l c.
0 1 1 (l)
5
2. Encuentra la fracción que se ob ene al sumar las siguientes fracciones homogéneas.

1 3 2 5 7 6 2 6 4 5 8 1
a. 5 + 5 b. 9 + 9 c. 5 + 5 d. 5 + 5 e. 9 + 9 f. 7 + 7
4 5
3. Al finalizar la fiesta de Miguel sobraron dos recipientes con horchata, uno con 7 l y otro con 7 l.
¿Cuánta horchata sobró en total?
2 4 6
4. Encuentra el error en la siguiente suma: 7 + 7 = 14
1. Encuentra el número que debe escribirse en lugar de para que la siguiente suma sea correcta:
2 7
9
+ 9 = 9
2. Escribe todos los números diferentes que se pueden escribir en lugar de para que el resultado de la
1
siguiente suma sea una fracción propia: 5 + 5
163
3.2 Suma de fracciones propias cuyo resultado es un número mixto
Carmen consulta una receta para preparar un sobre de gela na, la receta indica que
3 4
debe agregar 5 l de agua fría y 5 l de agua caliente.
a. ¿Qué can dad de agua necesita Carmen para preparar la receta de gela na?
b. ¿Es suficiente 1 l de agua para preparar la receta?
a. PO: 35 + 45
Represento la can dad de agua fría y agua caliente que necesita Carmen.
Beatriz 1l 1l 1l 1l
1 1 1
3 veces 5
l 4 veces 5
l 7 veces 5
l
3 4 7
5
+ 5
= 5
1 7
Al agregar el agua fría y el agua caliente se ob ene en total 7 veces 5 l, es decir 5 l.
R: 7 l.
5
7
b. Para saber cuántos litros completos caben en 5 l convierto la fracción impropia en número mixto.
7 2 2 2
Como 7 ÷ 5 = 1 con residuo 2, 5 l = 1 5 l. 1 5 l es 1 l completo y 5 l.
R: Carmen necesita más de 1 litro de agua.
Al sumar fracciones propias homogéneas se puede obtener como resultado una fracción propia o una
fracción impropia, si el resultado es una fracción impropia se puede conver r en un número mixto.
1. Encuentra la fracción impropia y el número mixto que se ob ene de la suma representada.

a. 1l 1l b. 0 1 2 (l) c.
1 1m 1m
7
2. Encuentra el total expresando el resultado como fracción impropia y como número mixto.
5 4 4 7 9 5 7 7 2 2 6 9
a. 7 + 7 b. 9 + 9 c. 11 + 11 d. 9 + 9 e. 3 + 3 f. 11 + 11
10
3. Juan recorre 11 km en la mañana y 9 km en la tarde. ¿Qué número mixto representa la distancia
11
total que recorre diariamente?
164
3.3 Suma de números mixtos
1 3
¿Cuál es el resultado de 1 5 + 2 5 ?
Represento la suma gráficamente.

1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ =
Observo la siguiente relación. Otra forma, convierto cada número mixto

en fracción impropia y sumo las fracciones.
José + 1 3 6 13 19 Ana
15 +25 = 5 + 5 = 5
1 3 4
15 + 25 = 35
+ Luego, convierto 19 en número mixto 19 = 3 4 .
5 5 5
1 3 4
Unidad 8
R: 1 5
+2 5
=3 5 1 3 4
19 ÷ 5 = 3 residuo 4 R: 1 5 + 2 5 = 3 5
Pasos para sumar dos números mixtos:

① Sumar los números naturales.
② Sumar las fracciones propias.
También se puede conver r cada número mixto en fracción impropia y sumar las fracciones.
¿Qué pasaría?
Efectuar: 1 1 1 1 1 1
3 3
a. 2 + 7 = 2 7
3 3
2 + 7
= 27
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b. 3 + 1 3 = 4 3
2 2
3 + 13 = 43
1. Encuentra el total y escríbelo como un número mixto.

1 1 2 4 2 5 1 3 5
a. 4 3 + 2 3 b. 1 7 + 2 7 c. 4 9 + 2 9 d. 5 + 2 5 e. 4 + 7
4 1 5 1 4 3 2 2 2
f. 3 9 + 9 g. 2 7 + 3 7 h. 11 + 2 11 i. 9 + 5 9 j. 3 + 1 5
1 3
2. Mario recorrió 1 5 km hasta la casa de Julia y 5 km hasta la casa de Antonio. ¿Qué distancia recorrió
para visitar a sus dos amigos?
165
3.4 Suma de números mixtos llevando de la fracción al número natural
Efectúa:
2 4 2 5
a. 2 5 + 1 5 b. 1 7 + 1 7
a. Represento gráficamente los sumandos y los uno para encontrar el total.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Carmen
2 4 6 1
2 5 + 1 5 = 3 5 = 4 5
Compruebo el resultado aplicando los pasos 1 y 2 de la clase anterior.

6 6 1
Como 5 es una fracción impropia, la convierto en número mixto: 5 = 1 5
6 6 1 1 2 4 1
3 5 = 3+ 5 = 3+1 5 = 4 5 R: 2 5 + 1 5 = 4 5
b. U lizo la representación gráfica.

1 1 1 1 1 1 1
2 5 7
1 7 + 1 7 = 2 7 = 3
También puedo aplicar los pasos 1 y 2 de la clase anterior.

2 5 7 7 2 5
1 7 + 1 7 = 2 7 =3 porque 7 = 1 R: 1 7 + 1 7 = 3
Pasos para sumar dos números mixtos: La parte fraccionaria

① Sumar los números naturales. del número mixto
② Sumar las fracciones y si el total es una fracción impropia conver rla en número mixto. hay que conver rla
③ Sumar el número natural obtenido en el paso ① con el resultado del paso ②. en una fracción
propia o número
① ② ① natural. No dejes el
número mixto con
2 2 4 1 1 3 2 5
1 3 + 4 3 = 5 3 =5+1 3 =6 3 2 5 + 1 5 = 3 5 =3+1=4 fracción impropia.
② ③ ③
②
Expresa el total con un número mixto.

2 2 3 4 2 6 4 5
a. 4 3 + 2 3 b. 2 5 + 3 5 c. 7 + 4 7 d. 9 + 1 9
5 4 4 5 4 7 1 6
e. 1 9 + 3 9 f. 2 7 + 1 7 g. 1 11 + 4 11 h. 5 7 + 7
3 2
¿Qué número se debe escribir en el recuadro para que la suma sea correcta? 1 5 + 2 5 = 4 5
166
1. Encuentra el resultado y exprésalo como una fracción.
2 2 2 11 7 2 9 8
a. 5 + 5 b. 9 + 9 c. 5 + 5 d. 7 + 7
2. Encuentra el resultado y exprésalo como un número mixto.
8 5 5 7 4 4 2 4
a. 9 + 9 b. 11 + 11 c. 5 + 5 d. 5 + 5
3. Efectúa:
1 1 1 7 2 3 1 2
a. 2 3 + 1 3 b. 3 9 + 2 9 c. 2 5 + 1 5 d. 5 7 + 6 7
Unidad 8
2 2 3 4 5 6 2 3
e. 1 3 + 2 3 f. 2 5 + 1 5 g. 2 7 + 3 7 h. 2 11 + 1 11
3
4. Para ir de la casa de Carlos a la casa de Antonio se deben recorrer 7 km y de la casa de Antonio
a la casa de Julia 2 km, ¿qué distancia se debe recorrer desde la casa de Carlos hasta la casa de
7
Julia si se pasa por la casa de Antonio?
1 3
5. Andrea vende queso y ene dos trozos, uno de 2 4 kg y el otro de 1 4 kg. ¿Cuál es el peso total del
queso que ene para vender?
1. ¿Qué números se deben escribir en lugar de , y para que ambas sumas sean correctas?
6
a. 2 7 + 1 =3 b. 3 7 + =77
7 7 7
2. Encuentra las fracciones que faltan en el siguiente cuadrado mágico, considerando que al sumar
las fracciones de cada fila, cada columna o cada diagonal se ob ene el mismo resultado.
4
11
5
11
8 6
11 11
167
1. Efectúa:
1 1 2 2 3 2 2 2
a. 3 + 3 b. 5 + 5 c. 7 + 7 d. 9 + 9
3 4 5 5 9 5 5 4
e. 5 + 5 f. 7 + 7 g. 11 + 11 h. 9 + 9
2. Encuentra el resultado de las siguientes sumas de números mixtos:
2 3 1 3 4 1 2 7
a. 1 7 + 2 7 b. 5 + 3 5 c. 2 9 + 2 9 d. 3 11 + 11
3 4 4 5 6 8 2 5
e. 3 5 + 2 5 f. 9 + 4 9 g. 2 11 + 3 11 h. 2 7 + 7
4 3
3. Para preparar el desayuno Marta u lizó 5 l de leche y para la cena u lizó 5 l de leche.
a. ¿Qué fracción representa la can dad total de leche que u lizó Marta?
b. ¿Cuántas cajas de un litro de leche se necesitan?
2
4. Julia se propuso beber por lo menos 2 l de agua diarios, por la mañana bebió 1 5 l y por la
4
tarde 5 l. ¿Cumplió Julia su propósito?
1. Si tu compañero comete la siguiente equivocación:
1 2 3
5
+ 5 = 10
¿Cómo le puedes explicar y corregirlo?
2. Completa la siguiente pirámide, tomando en cuenta que el número de cada bloque se ob ene sumando
los números que están en los dos bloques de abajo.
4
2
5
1 3 2 2
2 1
5 5 5 5
168
4.1 Resta de fracciones homogéneas
Carmen y Elisa planearon ir a la escuela con listones en su cabello. Carmen cortó 4 m de un listón verde
6 3 9 7
que medía 7 m y Elisa cortó 5 m de un listón celeste que medía 5 m.
a. ¿Qué can dad de listón verde sobró?

b. ¿Qué can dad de listón celeste sobró?
a. PO: 67 – 47 b. PO: 95 – 35
Represento gráficamente la longitud inicial y Represento gráficamente la longitud inicial Antonio

elimino la fracción de listón que Carmen cortó. y elimino la can dad de listón que Elisa cortó.
1m 1m 1m
6 4 9 3
7 – 7 5 – 5
1m 1m 1m
Unidad 8
2 6
= 7
= 5
1 1
De 6 veces 1 m se quitaron 4 veces 1 m. De 9 veces 5 m se quitaron 3 veces 5 m.
7 7
La longitud de listón verde que sobró es igual a La longitud de listón que sobró es igual a
1 1
6 – 4 = 2 veces 7 m. 9 – 3 = 6 veces 5 m.
6 4 2 9 3 6
7
– 7 = 7 5
– 5 = 5
2 6
Sobró 7 m de listón verde. Sobró 5 m de listón celeste.
2 6 1
R: 7 m R: 5 m o 1 5 m
Para restar fracciones homogéneas se restan los numeradores y se escribe el

mismo denominador, esto se puede realizar porque en ambas fracciones la unidad – = –
se ha dividido en la misma can dad de partes iguales.
1. Escribe la resta que se ha representado y encuentra el resultado.

a. 1m b. 1m 1m c. 1m 1m
2. Efectúa:
4 3 6 2 13 2
a. 5 – 5 b. 5 – 5 c. 9 – 9
11 7 2 2 7 2
d. 12 – 12 e. 3 – 3 f. 9 – 9
11 6 9 2 9 6
g. 7 – 7 h. 11 – 11 i. 10 – 10
8 4
3. Julia preparó 9 l de jugo de naranja para el almuerzo y se bebieron 9 l. ¿Qué can dad de jugo sobró?
169
4.2 Resta de dos números mixtos
Efectúa:
5 3 4 3 4
a. 3 7 – 1 7 b. 2 5 – 5 c. 3 7 – 2
a. Represento gráficamente. Observo lo siguiente:

1 1 1 1
5 3 5 3 2
37 –17 37 –17 =27 Ana
1 1 1
2 5 3 2
=27 R: 3 7 – 1 7 = 2 7
b. Represento gráficamente. En este caso, solo resto de la parte fraccionaria.

1 1 1
4 3 4 3 1
25 – 5 25 – 5 =25
1 1 1
1 4 3 1
=25 R: 2 5 – 5 = 2 5
c. Represento gráficamente. En este caso, solo resto de las unidades.

1 1 1 1
4 4 4
37 –2 37 –2=17
1 1 4 4 4
=17 R: 3 7 – 2 = 1 7
Pasos para restar números mixtos:

① Restar los números naturales.
② Restar las fracciones propias.
También se puede restar un número mixto menos una fracción propia y un número mixto menos un número
natural aplicando un procedimiento similar.
1. Efectúa:
5 1 7 5 2 1 4 7 3
a. 4 9 – 2 9 b. 6 9 – 4 9 c. 7 3 – 5 3 d. 5 5 – 2 e. 8 11 – 11
3 1 4 2 3 7 5 3 2
f. 3 7 – 2 7 g. 6 9 – 9 h. 4 5 – 3 i. 3 11 – 1 11 j. 6 5 – 5
3 1
2. Juan recorre 2 5 km diariamente. Esta mañana recorrió 1 5 km, ¿cuánto le falta por recorrer
para completar la meta diaria?
170
4.3 Resta de un número mixto menos una fracción propia, prestando
Efectúa:
1 4 3
a. 3 5 – 5 b. 2 – 5
a. No puedo quitar 45 de 15 . b. Resuelvo gráficamente:
Resuelvo gráficamente, convierto 1 unidad en Convierto 1 unidad en fracción y efectúo la resta.

Mario 1
fracción recordando que 1 es 5 veces 5 .
1 1 1 1 1 1
5 1 4
1= 5 3 5 – 5
3
2– 5
1 1 1 1 1 1
6 4 5 3
Unidad 8
=25 – 5 =15 – 5
1 1 1 1 1
2 2
=25 =15
1 4 6 4 2 1 5
35 – 5 =25 – 5 =25 Ya que 1 unidad es 5 veces 5 , entonces 2 = 1 5 .
2
R: 2 5 3 5 3 2
Así: 2 – 5 = 1 5 – 5 = 1 5
2
R: 1 5
Al restar un número mixto menos una fracción propia, si la parte

fraccionaria del número mixto es menor que el sustraendo, se 1 5 8 5 3
4 7 – 1 7 = 3 7 – 1 7 = 2 7
convierte 1 unidad del número mixto en fracción.
Para efectuar la resta de un número natural menos una fracción, se
escribe el número natural como número mixto o fracción impropia 2 7 2 5
convir endo 1 unidad en fracción. 3 – 7 = 2 7 – 7 = 2 7
1. Encuentra el resultado:
3 4 1 1 1 1 4 1 1
a. 3 5 – 5 b. 2 – 9
2. Efectúa:
2 4 1 2 4 6 4 5 4 4 2
a. 3 5 – 5 b. 5 3 – 3 c. 6 7 – 7 d. 4 9 – 9 e. 5 5 – 4 5 f. 4 – 3
3 6
3. Julia debe tejer un tapete de 2 7 m. Si ha tejido 7 m, ¿cuánto le falta por tejer?
171
4.4 Resta de números mixtos, prestando
1 1
Mario debe recorrer diariamente 3 5 km durante su entrenamiento. Si hoy solo recorrió 1 5 km,
¿cuánto le falta por recorrer?
1 2
PO: 3 5 – 1 5 1 1 1 1
Julia José
Podemos resolver de dos maneras.
a. Convierto 1 unidad en fracción. b. Convierto el minuendo en fracción impropia.
1 1 1 1 1 1 1 1
6 2 Si 5 × 3 + 1 = 16
25 –15
1 16
5 × 3 = 15 35 = 5
1 1 15 + 1 = 16
4
=15 Convierto en fracción impropia el sustraendo.
1 1
2 7
5 × 1 + 2 = 7, entonces: 1 5 = 5
1 2 6 2 4
Por lo tanto: 3 5 –1 5 =2 5 –1 5 =1 5
Resto las fracciones impropias.
4 1 2 16 7 9
A Mario le faltan 1 5
km por recorrer. 35 –15 = 5 – 5 = 5
4 9 4
R: 1 5 km 9 ÷ 5 = 1 residuo 4 entonces 5 = 1 5
4
R: 1 5 km
Si al restar dos números mixtos la parte fraccionaria del minuendo 1 2 4 2 2

es menor que la parte fraccionaria del sustraendo, se convierte 1 63 –13 =53 –13 =43
unidad del minuendo en fracción y luego se realiza la resta.
También se pueden conver r ambos números mixtos a fracciones 1 3 22 10 12 5
impropias para restar y luego conver r el resultado en número 37 –17 = 7 – 7 = 7 =17
mixto.
1. Encuentra el resultado aplicando el procedimiento del literal a. del Soluciona.
1 4 2 4 1 3
a. 4 7 – 2 7 b. 5 9 – 3 9 c. 2 5 – 1 5
2. Encuentra el resultado aplicando el procedimiento del literal b. del Soluciona.
4 5 1 4
a. 3 7 – 1 7 b. 4 5 – 2 5
2 3
3. Juan ene un cordel de 2 5 m de longitud y Carlos ene uno de 1 5 m de longitud. ¿Cuánto más que
el cordel de Carlos mide el cordel de Juan?
172
1. Ubica la fracción en la recta numérica.

2 7 4 1
a. 5 b. 5 c. 1 5 d. 2 5
0 1 2 3
e. 3 f. 6 g. 1 3 h. 2 6
7 7 7 7
0 1 2 3
Unidad 8
2. Efectúa:
6 3 11 7 12 4 14 7
a. 7 – 7 b. 9 – 9 c. 5 – 5 d. 5 – 5
13 9 8 4 7 2 13 8
e. 7 – 7 f. 9 – 9 g. 3 – 3 h. 9 – 9
5 2 2 1 4 9 5
i. 3 7 – 1 7 j. 6 3 – 4 3 k. 3 5 – 1 l. 5 11 – 11
8 4 3 2 5 8 2
m. 7 9 – 4 9 n. 5 – 5 ñ. 4 7 – 3 o. 4 11 – 2 11
4 3
3. Juliana compró 3 5 lb de carne para preparar albóndigas y chiles rellenos. Si u lizó 1 5 lb de
carne para preparar las albóndigas, ¿qué can dad de carne le quedó para los chiles rellenos?
2
4. De un lazo de 4 5 m Miguel cortó 2 m para jugar a saltar la cuerda.
¿Qué longitud le sobró?
4
1. Un garrafón con ene 11 5 l de agua. Si el agua se deposita en 4 recipientes con las siguientes
capacidades: 2 l, 1 15 l, 2 1 l y 1 l. ¿Qué can dad de agua queda en el garrafón?
5
3
2. Ana construyó un dado especial con los valores que se observan. Si la suma de 5
4
los números de las caras opuestas es siempre 2 5 , qué números están escritos
2 4
en las caras opuestas. 5 5
173
1. Efectúa:
1 1 1 3 1 4 2 3
a. 1 3 + 2 3 b. 1 7 + 2 7 c. 4 9 + 3 9 d. 5 + 2 5
2 2 3 4 3 5 2 5
e. 2 3 + 1 3 f. 2 5 + 1 5 g. 9 + 1 9 h. 7 + 2 7
2. Efectúa:
1 3 4 4 6 2
a. 3 5 – 5 b. 4 – 9 c. 5 7 – 7 d. 7 – 5
2 4 2 5 1 2
e. 6 – 3 f. 4 – 5 g. 4 7 – 2 7 h. 5 3 – 2 3
2 4 2 7 5 8
i. 4 5 – 1 5 j. 5 9 – 3 9 k. 3 – 6 l. 7 – 9
7 4
3. De una cinta adhesiva de 5 m, se u lizaron 5 m. ¿Qué longitud de la cinta sobró?
2
4. Julia compró 4 l de leche para preparar poleada pero solamente u lizó 3 l.
¿Qué can dad de leche le sobró?
Escribe en cada rectángulo el resultado de la operación que indica la flecha.
15 3 12
Observa el ejemplo: 7 – 7 = 7
a. 3
– 7 – 4 5
– 7
7
15 12
7 7
b.
– 14 –3 –1
5 5
51
5
174
5.1 Operaciones combinadas con fracciones homogéneas
6 3
Juan ene 7 m de cinta adhesiva y decide compar r un trozo con dos de sus amigos. Le regala 7 m de
1
cinta a Mario y 7 m de cinta a Miguel, ¿qué can dad le quedó a Juan?
Primero encuentro la can dad total de cinta que Juan les regaló a sus amigos y luego resto a la
longitud inicial de la cinta de Juan, la longitud total de la cinta que regaló.
6 3 1 1m
Antonio
PO: 7 – 7 + 7
3 1 4
Los paréntesis indican que la operación que debo resolver primero es 7 + 7 = 7 .
4
Juan regaló 7 m de cinta.
6 3 1 6 4 2
Encuentro la longitud de la cinta que le quedó a Juan: 7 – 7 + 7 = 7 – 7 = 7
Unidad 8
2
La longitud de la cinta que le quedó a Juan es 7 m.
2
R: 7 m
Para realizar operaciones que involucran más de un cálculo de suma o resta de fracciones homogéneas,
se deben efectuar los siguientes pasos:
① La operación que está adentro del paréntesis se realiza primero.
② Si no hay paréntesis se resuelve de izquierda a derecha.
Observa que si se omiten los paréntesis al momento de resolver el resultado es diferente.
6 3 1 6 4 2 6 3 1 3 1 4
– + = – = – + = + =
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
Efectúa:
4 1 2 4 1 2 2 4 2 6 4 1
a. 5 + 5 + 5 b. 7 – 7 – 7 c. 7 + 7 – 7 d. 11 – 11 + 11
6 3 2 4 2 1 4 1 2 8 4 4
e. 7 – 7 + 7 f. 11 + 11 – 11 g. 5 – 5 – 5 h. 9 – 9 – 9
1 2 4 2 5 1 7 2 1 8 4 2
i. 9 + 9 + 9 j. 9 + 9 – 9 k. 9 – 9 – 9 l. 9 – 9 + 9
175
5.2 Operaciones combinadas con números mixtos, parte 1
Efectúa:
4 5
27 +3+ 7
Como no hay paréntesis resuelvo en orden de izquierda a derecha:
4 5 4 5 9
27 +3+ 7 =57 + 7 =57
Beatriz
Como el número mixto está compuesto por un número natural y una fracción propia, aún debo
transformar el resultado.
9 2 9 2 2
Si 7 = 1 7 , entonces: 5 y 7 lo podemos escribir como 5 y 1 7 = 6 7 .
4 5 2
R: 2 7 + 3 + 7 = 6 7 Si se enen dos sumas, también
se puede resolver de otra manera.
6 7 3
+ +
11 11 11
Al efectuar operaciones combinadas de suma y resta con números mixtos,
6 10
las operaciones se efectúan de izquierda a derecha. = +
11 11
= 16 = 1 5
Si el resultado es un número mixto, la fracción que acompaña al número 11 11
natural debe ser propia.
Efectúa:
1 1 2 4 2 4 1 4 1 1
a. 1 5 + 5 + 2 5 b. 2 7 + 3 + 7 c. 3 5 – 2 – 5 d. 2 9 + 9 – 1 9
4 7 7 5 2 5 2 7 1 2 2
e. 2 9 + 3 + 9 f. 2 9 – 9 + 1 9 g. 9 + 1 9 + 2 9 h. 2 3 – 3 + 3
Encuentra el error en la siguiente operación combinada y escribe la solución correcta.
4 1 2 4 3 1
35 – 5 +25 =35 –25 =15
176
5.3 Operaciones combinadas con números mixtos, parte 2
Efectúa:
6 2 3
4 11 – 11 + 1 11
Como la operación indicada en el paréntesis se realiza primero, resuelvo respetando ese orden:
6 2 3 6 5
4 11 – 11 + 1 11 = 4 11 – 1 11
José
1
= 3 11
6 2 3 1
R: 4 11 – 11 + 1 11 = 3 11
Unidad 8
Para realizar operaciones combinadas de suma y resta con números mixtos se toma en cuenta lo
siguiente:
① La operación que está en paréntesis se realiza primero.
② Si no hay paréntesis se resuelve asociando de izquierda a derecha.
③ Si el resultado es un número mixto, la fracción que acompaña al número natural debe ser propia.
Efectúa:
4 1 2 6 3 1 5 2 3
a. 3 7 – 7 + 2 7 b. 2 7 – 7 + 1 7 c. 4 7 – 7 + 3 7
4 3 2 1 3 2 1 2 3
d. 3 7 – 7 + 7 e. 3 9 – 9 + 1 9 f. 2 11 – 11 + 1 11
3 4 5 6 1
g. 3 11 – 11 + 1 h. 3 7 – 7 + 2 i. 3 – 5 + 1
Se enen 7 13 lb de harina, de las cuales se u lizan 2 lb para preparar una quesadilla, 3 23 lb para preparar
un pastel y 23 para preparar galletas.
a. ¿Cuántas libras de harina se u lizaron?
b. ¿Cuántas libras de harina sobraron?
177
1. Escribe la longitud de cada trozo pequeño que se ob ene al cortar 1 m en:

a. 5 partes iguales b. 7 partes iguales c. 11 partes iguales
2. De las siguientes fracciones iden fica las impropias, propias y las unitarias.
a. 4 b. 5 c. 1 d. 8 e. 13 f. 1
5 4 7 8 11 5
3. Escribe la fracción impropia y el número mixto que representa la parte coloreada, tomando en cuenta
la unidad de medida en cada caso.
a. b. 1l 1l c. 1l 1l
1m 1m
4. Escribe la fracción impropia y el número mixto que corresponde a las marcas en la recta numérica.
0 1 2 3 (m)
0 1 2 3
Marta hizo 4 dobleces a un cartel cuadrado de 1 m de área, como se observa:

① Dobló por ② Dobló por la ③ Dobló por la mitad ④ Dobló por la mitad Al desdoblar
una diagonal. otra diagonal. ver calmente. horizontalmente. quedaron
estas marcas.
Después de hacer los dobleces, dividió el Encuentra cuántas veces cabe el

b. 1 m triángulo verde en el cuadrado
interior en tres partes de diferente tamaño a. 2 y escribe la fracción de área que
que coloreó como se observa en la figura. 1m le corresponde. Luego, cuántas
Encuentra el área que corresponde a la parte c. veces cabe el triángulo verde en
de color: la parte azul y en la rosada.
a. verde b. azul c. rosado 1 m
2
178
1. Escribe el signo <, > o = para que la relación sea correcta.
5 7 3 7 1 1 4 2 13 3
a. 11 11
b. 5 5
c. 2 3 13 d. 3 5 35 e. 5 25
2. Encuentra dos fracciones equivalentes a cada fracción, u lizando el procedimiento de amplificación.
1 3 2
a. 2 b. 5 c. 5
3. En la escuela hay varios arriates de 1 m2 de área para plantar flores. Ana y José han cul vado las partes
que se indican sombreadas en el dibujo. ¿Quién cul vó una menor área?
Ana José
1m 1m
Unidad 8
4. Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión:
4 15 5
a. 16 b. 30 c. 15
5. Efectúa:
15 5 2
a. 2 + 2 b. 2 30 + 1 c. 2 15 + 1 5
5 5
2 4 1 6 4
d. 2 5 + 3 5 e. 1 7 + 2 7 f. 4 2 + 5
5
2 4
6. En la prác ca de natación Beatriz nadó 5 km, descansó un poco y luego nadó 5 km.
¿Nadó Beatriz más de 1 km en total?
3
7. María necesita azúcar para preparar empanadas y atol, para las empanadas necesita 1 7 lb y para el
4
atol 1 7 lb. ¿Cuántas libras de azúcar debe comprar para preparar las empanadas y el atol?
La maestra escribió un ejemplo de suma de números mixtos en la pizarra, pero Carlos tachó el segundo
sumando. ¿Cuál es el número mixto que Carlos tachó?
3 1
27 + =47
179
1. Encuentra el resultado de las siguientes restas:
9 5 3 1 3
a. 11 – 11 b. 2 7 – 1 7 c. 2 7 – 1
d. 3 1 – 2 e. 3 – 2 f. 5 1 – 2 4
3 3 5 9 9
2. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones combinadas:
4 1 2 9 1 4 2 2
a. 7 – 7 + 7 b. 11 – 11 + 11 c. 4 5 – 2 + 5
3. Marta decoró la sala y el comedor con listones de colores para celebrar el cumpleaños de su hermano,
2 4
para la sala u lizó 3 5 m de listón y para el comedor 2 5 m. ¿Qué can dad de listón u lizó en total?
3 1
4. De 2 7 lb de harina se usaron 1 7 lb para hacer pasteles. ¿Qué can dad de harina sobró?
3 4
5. De un depósito que contenía 2 5 l de agua de coco, Carlos bebió 5 l. ¿Qué can dad de agua de coco
quedó después de que Carlos bebió?
En el siguiente molino de operaciones, los tres números que están colocados en una misma línea recta
deben cumplir con la operación que se indica.
Escribe los números que faltan para que las operaciones sean correctas.
–
+ +
4
7
= =
32 = 23
7 7
180
Medida y representación de datos

9
• Calcular equivalencias entre arrobas y quintales
• Sumar y restar unidades no métricas de peso
• Determinar el tiempo transcurrido entre dos fechas
• Elaborar e interpretar tablas de frecuencia
• Interpretar la información en un pictograma
1.1 Equivalencia entre arrobas y quintales
ecuerda
¿En qué situaciones de tu vida u lizas las libras?
Para pesar objetos que contengan

a. ¿Cuál es el peso de cada objeto? pocas libras, puede u lizarse una
b. ¿Cuántas veces se ene el peso del saco con arroz en comparación balanza.
al peso del saco con azúcar? Sin embargo para objetos con más
de 25 libras, se u lizan las básculas.
25 lb 100 lb Estas son capaces de soportar un
gran peso.
z
aí
M
ar
úc
lb
z
Az
ro
Ar
a. Se ene 1 lb de maíz, 25 lb de arroz y 100 lb de azúcar.
Beatriz
b. 100 lb
azúcar
25 lb 100 ÷ 25 = 4
arroz
25 libras caben 4 veces en 100 libras.
0 1 R: 4 veces
Para representar pesos mayores a 1 lb, se u lizan unidades

como la arroba y el quintal, 1 arroba equivale a 25 lb y se abrevia 1@ 1@
1 @; es decir, 1 @ = 25 lb
Además, 1 quintal equivale a 100 lb y se abrevia 1 qq; es decir, 1 qq
1 qq = 4 @ = 100 lb 1@ 1@
1. Si 1 @ es igual a 25 lb, ¿cuántas libras con enen 3 @?
2. En medio quintal:
a. ¿Cuántas libras hay?
b. ¿Cuántas arrobas hay?
3. Menciona una situación de la vida co diana donde sea necesario el uso de la arroba y otra del quintal.
182
1.2 Suma de unidades de peso no métricas
a. Rosita vende tor llas. Si la semana pasada u lizó 1 @ 14 lb de maíz y esta semana 2 @ 4 lb,
¿cuánto maíz u lizó en total?
b. Una enda vendió la semana pasada 3 @ 14 lb de maíz y esta semana 1 @ 15 lb, ¿cuánto maíz vendió
en total?
a. PO: 1 @ 14 lb + 2 @ 4 lb
Sumo las can dades que enen la misma 1 @ 14 lb + 2 @ 4 lb = 3 @ 18 lb
unidad de medida.
Mario
R: 3 @ 18 lb
b. PO: 3 @ 14 lb + 1 @ 15 lb
Sumo las can dades que enen la misma 25 lb = 1 @, entonces 29 lb = 1 @ 4 lb
unidad de medida.
4 @ 29 lb = 5 @ 4 lb
3 @ 14 lb + 1 @ 15 lb = 4 @ 29 lb
R: 5 @ 4 lb
Para sumar unidades de peso no métricas, se suman las que enen la misma unidad de medida.
Se puede reducir el total, aplicando equivalencias entre lb, @ y qq.
Ejemplo:
1 @ = 25 lb
Unidad 9
5 qq 1 @ + 3 qq 2 @ 5 lb = 8 qq 3 @ 5 lb
1 qq = 4 @ = 100 lb
1. Realiza la operación que se indica y reduce unidades cuando sea posible.

a. 2 @ 10 lb + 1 @ 9 lb b. 3 qq 1 @ + 2 qq 2 @ c. 1 @ 18 lb + 1 @ 12 lb
2. Resuelve y escribe tu respuesta u lizando arrobas y quintales.
a. En la enda de Ignacio venden muchos productos básicos. La semana pasada vendió 4 @ de azúcar y
esta semana vendió 1 @, ¿cuánta azúcar vendió en total?
b. Don Mario salió a cortar café dos sábados en este mes. Un sábado cortó 1 qq 10 lb y el siguiente
sábado cortó 2 @ 15 lb, ¿cuánto café cortó durante los dos sábados?
Efectúa la siguiente operación reduciendo unidades: 2 @ 16 lb + 2 @ 11 lb
183
1.3 Resta de unidades de peso no métricas
a. Este mes, Rosita compró 2 qq 3 @ de maíz para la venta de las tor llas; si u lizó 1 qq 1 @, ¿cuánto
maíz le sobró?
b. Si durante el mes de mayo, compró 4 qq 2 @ de maíz y u lizó 1 qq 3 @, ¿cuánto maíz le sobró en ese
mes?
a. PO: 2 qq 3 @ – 1 qq y 1 @
Resto las can dades que enen la 2 qq 3 @ – 1 qq 1 @ = 1 qq 2 @
misma unidad de medida. Ana
R: 1 qq 2 @
b. PO: 4 qq 2 @ – 1 qq 3 @ Efectúo la resta.

Resto las can dades que enen la
misma unidad de medida. 3 qq 6 @ – 1 qq 3 @ = 2 qq 3 @
4 qq 2 @ – 1 qq 3 @ R: 2 qq 3 @
3 1 4@
Como no puedo restar 3 @ de +
2 @, convierto 4 qq 2 @ en 3 qq 6 @ 4 qq 2 @ = 3 qq 6 @
Para restar unidades de peso no métricas, se restan las que enen la misma unidad de medida.
Cuando no se puede restar, se presta de la unidad mayor aplicando equivalencias entre lb, @ y qq.
Ejemplo:
1 @ = 25 lb
5 qq 3 @ 20 lb – 2 @ 5 lb = 5 qq 1 @ 15 lb 1 qq = 4 @ = 100 lb
1. Realiza la operación que se indica, convir endo unidades cuando sea necesario.
a. 5 qq 2 @ – 3 qq 1 @ b. 3 @ 24 lb – 2 @ 15 lb c. 6 qq 1 @ – 4 qq 2 @
2. Resuelve y escribe tu respuesta u lizando arrobas y quintales.

a. Un automóvil que ene capacidad para transportar 3 qq 3@ de cereales, lleva una carga de 1 qq 2 @.
¿Cuánto peso más puede llevar?
b. La panadería Don Beto u liza cada mañana 1 qq 3@ de harina para elaborar pan francés. Si este
día compró 2 qq 1 @ de harina, ¿cuánto le sobró?
Efectúa la siguiente operación aplicando equivalencias entre unidades: 8 qq 2 @ 7 lb – 4 qq 3 @ 21 lb
184
2.1 El empo transcurrido
Mar n está emocionado porque le harán una fiesta de Junio 2020

cumpleaños el 21 de junio. Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Si es 4 de junio: 1 2 3 4 5 6
a. ¿Cuántos días faltan para la fiesta? 7 8 9 10 11 12 13
b. ¿Cuántas semanas completas hay entre esos días? 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
a. Encuentro los días que hay entre el 4 y el 21, restando. Junio 2020
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
PO: 21 – 4 = 17 1 2 3 4 5 6
fecha final fecha inicial 7 8 9 10 11 12 13
Antonio 14 15 16 17 18 19 20
R: 17 días 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
Si cuento los días, también encuentro la misma respuesta.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Por lo tanto, faltan 17 días para el cumpleaños de Mar n. R: 17 días.
Unidad 9
b. Para saber cuántas semanas completas hay 17 7
entre el 4 y el 21 de junio, divido el número 14 2
de días entre 7, porque 1 semana ene 7 días 3
días. sobrantes semanas completas
R: 2 semanas completas. Así, del 4 al 21 de junio hay 2 semanas y 3 días.
Para saber cuántos días han transcurrido entre dos fechas, a la fecha final se le resta la fecha inicial.
Para saber cuántas semanas hay, divido el número de días entre 7, el cociente es el número de semanas y
el residuo es el número de días sobrantes.
Observa los calendarios, calcula los días y semanas completas que hay entre las fechas marcadas.
a. b. c.
Abril 2020 Diciembre 2020 Octubre 2020
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3
5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 17 18 13 14 15 16 17 18 19 11 12 13 14 15 16 17
19 20 21 22 23 24 25 20 21 22 23 24 25 26 18 19 20 21 22 23 24
26 27 28 29 30 27 28 29 30 31 25 26 27 28 29 30 31
185
3.1 Elaboración e interpretación de tablas, parte 1
Susana recolectó la siguiente información sobre el pasa empo favorito de los estudiantes de 4.° grado
de las secciones A y B de su escuela.
Pasa empo favorito de 4.° A Pasa empo favorito de 4.° B
Pasa empo Estudiantes Pasa empo Estudiantes

ver televisión 9 ver televisión 8
leer 6 leer 4
jugar 7 jugar 5
prac car deportes 3 prac car deportes 9
total 25 total 26
Con la información recolectada:

a. Elabora una sola tabla con toda la información.
b. Encuentra cuál es el pasa empo favorito del total de estudiantes.
c. Compara los totales y encuentra si a los estudiantes de 4.° grado les gusta más leer o jugar.
a. Elaboro la tabla.
Pasa empo favorito de los estudiantes de 4.° grado
Sección A B Total
Pasa empo
Julia ver televisión 9 8 17
leer 6 4 10
jugar 7 5 12
prac car deportes 3 9 12
total 25 26 51
b. R: El pasa empo favorito es ver televisión porque el total de estudiantes (17) es mayor.
c. Comparo los totales y encuentro cuál les gusta más. 51 es el total de

leer a 10 estudiantes estudiantes de 4.°
jugar a 12 estudiantes R: Les gusta más jugar. grado.
Una tabla que con ene información que relaciona dos aspectos de interés como el pasa empo
favorito y el número de alumnos en cada sección de cuarto grado, se llama tabla de doble entrada.
Elaborar una tabla con la información resumida facilita la comparación de datos y la interpretación
del total.
186
Las siguientes tablas con enen información sobre el deporte favorito de los estudiantes de 5.° grado.
Deporte favorito de 5.° A Deporte favorito de 5.° B
Deporte Estudiantes Deporte Estudiantes
fútbol 8 fútbol 14
básquetbol 11 básquetbol 6
natación 4 natación 8
atle smo 5 atle smo 0
ajedrez 2 ajedrez 3
total 30 total 31
Observa las tablas y luego:

Unidad 9
b. Encuentra cuál es el deporte favorito de los estudiantes de 5.° grado.
c. Compara el total de estudiantes de atle smo y ajedrez. ¿Cuál de los dos deportes prefieren?
Interpreta más información.

Fruta preferida por los estudiantes de 4.° grado
Sección A B Total
Fruta
guineo 10 10
mango 6 12
naranja 5 4
total 21 26
Observa la tabla y responde.

a. ¿A cuántos estudiantes les gusta cada una de las frutas?
b. ¿Cuántos estudiantes más son los que prefieren guineo que los que prefieren mango?
c. ¿Cuál es la fruta que los estudiantes de 4.° A prefieren menos que los de 4.° B?
187
3.2 Elaboración e interpretación de tablas, parte 2
Las siguientes tablas con enen el número de libros prestados por mes a los estudiantes de 4.° grado.
Libros prestados en abril Libros prestados en mayo Libros prestados en junio
Especialidad n.° de libros Especialidad n.° de libros Especialidad n.° de libros
Lenguaje 4 Lenguaje 4 Lenguaje 12
Ciencias 2 Ciencias 5 Ciencias 6
Matemá ca 1 Matemá ca 2 Matemá ca 8
Sociales 1 Sociales 4 Sociales 2
otros 3 otros 2 otros 9
total 11 total 17 total 37

b. Encuentra el total el total de libros de Sociales que se prestaron en los tres meses.
c. Compara el total de libros de Matemá ca y Ciencias. ¿De cuál asignatura se prestaron más?
a. Elaboro la tabla.
Libros prestados de abril a junio
Mes José
Libros Abril Mayo Junio Total b. En los tres meses se
Lenguaje 4 4 12 20 prestaron 7 libros de
Ciencias 2 5 6 13 Sociales.
Matemá ca 1 2 8 11 c. De Ciencias se
Sociales 1 4 2 7 prestaron más libros.
otros 3 2 9 14 65 es el total de libros
total 11 17 37 65 que se prestaron.
Aunque sean varias columnas, una tabla de doble entrada siempre facilita la comparación e
interpretación de los totales.
Al finalizar la semana, en la enda de ropa Buen Ves r se realizó un inventario de la ropa que se vendió y
se elaboraron las siguientes tablas.
Ropa color azul Ropa color negro Ropa color café
Prenda Can dad Prenda Can dad Prenda Can dad
pantalón 3 pantalón 2 pantalón 1
blusa 1 blusa 2 blusa 2
falda 3 falda 2 falda 1
total 7 total 6 total 4

b. Encuentra el total de pantalones que se vendieron.
c. Compara el total de blusas y faldas que se vendieron. ¿Qué se vendió más, blusas o faldas?
188
4.1 Interpretación de pictogramas
En un local del mercado La Tiendona venden naranjas por cientos. Las ventas de la semana se presentan
en el siguiente gráfico.
lunes Observa el gráfico y responde:

martes
a. ¿Cuántas naranjas vendió el lunes?
miércoles
jueves b. ¿Qué día vendió más naranjas?
viernes
c. El día seleccionado en b, ¿cuántas naranjas
sábado
vendió?
domingo
d. ¿Qué día vendió 700 naranjas?
Cada representa 100 naranjas.
Venta de naranjas en un local del mercado La Tiendona.
Respondo observando cada figura. Beatriz

lunes
martes a. R: 500 naranjas.
miércoles Cada representa 100 naranjas, hay 5 veces 100.
Unidad 9
jueves
b. R: El sábado.
viernes Se vendieron más naranjas porque ene más .
sábado
c. R: 1, 200 naranjas.
domingo
En el sábado hay 12 y 12 veces 100 es 1, 200.
d. R: Jueves.
Como 700 naranjas se representa 7 veces .
El gráfico que u liza una figura para representar un número determinado de datos, se llama pictograma.
Los pictogramas también se pueden elaborar de forma ver cal.
Por ejemplo: Cada figura del pictograma
puede representar 50, 100,
Pasa empo favorito 4.°
1, 000, etc.; siempre que
sea una can dad adecuada
Pasa empo favorito: a los datos que se quieren
• 9 niños ven TV. representar.
• 12 niños juegan. No es conveniente u lizar
• 6 niños hacen deporte. muchas figuras.
estudiar
deporte
• 3 niños estudian.
ver tv
jugar
Cada representa 3 niños.
189
1. Encuentra más información en el pictograma.
Venta de naranjas en un local del mercado La Tiendona.
lunes
martes a. ¿Cuántas naranjas vendió el domingo?
miércoles b. ¿Qué día vendió menos naranjas?

jueves
viernes c. En el día seleccionado en b, ¿cuántas naranjas
vendió?
sábado
domingo d. ¿Qué día vendió 800 naranjas?
2. Observa el pictograma y contesta:

Producción de café en la finca Esmeralda durante 5 años.
2014 a. ¿Cuántos quintales produjo en el 2014?
2015 b. ¿En qué año hubo más producción?

¿Cuántos quintales se produjeron?
2016
c. ¿En qué año hubo menos producción?
¿Cuántos quintales se produjeron?
2017
d. ¿En qué años se produjeron 5, 000 quintales?
2018
Cada representa 1, 000 quintales.
Si ya terminaste efectúa las siguientes divisiones:

a. 231.4 ÷ 10 = b. 12.1 ÷ 10 c. 10.2 ÷ 10
d. 2.3 ÷ 10 e. 231.4 ÷ 100 f. 12.1 ÷ 100
g. 10.2 ÷ 100 h. 2.3 ÷ 100 i. 13 ÷ 10
j. 13 ÷ 100 k. 13 ÷ 1, 000
190
4.2 Interpretación de pictogramas que con enen figuras incompletas
En la colonia La Paz se desarrolló un plan de reforestación.

El número de árboles plantados de enero a junio se muestra en el pictograma.
enero 5
Observa el pictograma y responde:
febrero 5
a. ¿Cuántos árboles se plantaron en enero?
marzo 5
b. ¿En qué mes se plantaron más árboles?
abril 5
c. En el mes seleccionado en b, ¿cuántos árboles se
plantaron?
mayo 5
d. ¿En qué mes se plantaron 15 árboles?
junio 5
Cada representa 10 árboles.
Observo que hay figuras que no están completas.

Árboles plantados de enero a junio en la colonia La Paz.
Respondo observando lo que representa cada figura.
Unidad 9
enero Carlos
5
5
10 árboles representa 5 árboles porque es la mitad.
febrero 5
5
a. Hay 3 veces y 1 vez
marzo 5
R: 35 árboles plantados en enero.
abril 5
b. R: En mayo.
mayo 5
c. Hay 4 veces y 1 vez 5
junio 5 R: 45 árboles.
5
d. 15 árboles se representa
R: En febrero y marzo.
5 se plantaron 5 árboles.
Los pictogramas pueden tener figuras incompletas.

La parte que se dibuja representa la fracción de la can dad que corresponde a la figura completa.
Cuando es di cil dis nguir la fracción que representa la figura incompleta se puede escribir la
can dad encima de la figura.
191
1. Encuentra más información en el pictograma.
Árboles plantados de enero a junio en la colonia Luz.
enero 3
a. ¿Cuántos árboles se plantaron en junio?
febrero 3
b. ¿En qué mes se plantaron menos árboles?
marzo
c. En el mes seleccionado en b, ¿cuántos árboles se
3 plantaron?
abril
d. ¿En qué mes se plantaron 13 árboles?
mayo 3
junio 3
2. Observa el pictograma y responde:

Camisas vendidas de enero a mayo en la enda La Moda.
enero 50
febrero 50 a. ¿Cuántas camisas se vendieron en febrero?
marzo b. ¿En qué mes se vendieron más camisas?

¿Cuántas se vendieron?
abril 75
c. ¿En qué mes se vendieron menos camisas?
¿Cuántas se vendieron?
mayo
d. ¿En qué mes se vendieron 175 camisas?
Cada representa 100 prendas.
Si ya terminaste efectúa las siguientes mul plicaciones:

a. 3.261 × 10 = b. 3.261 × 100 c. 3.261 × 1, 000
d. 2.506 × 10 e. 2.506 × 100 f. 2.506 × 1, 000
g. 0.006 × 10 h. 0.006 × 100 i. 0.006 × 1, 000
192

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Carla Evelyn Hananía de Varela

Ministra de Educación, Ciencia y Tecnología

Félix Abraham Guevara Menjívar Gustavo Antonio Cerros Urru a

Equipo técnico autoral del Ministerio de Educación

Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de

Carla Evelyn Hananía de Varela

Ricardo Cardona Alvarenga

Secciones de cada clase

Presenta problemas similares al de la Proporciona datos curiosos relacionados

Soy una tortuga

En esta unidad aprenderás a

Se presenta la población de algunos municipios del depar-

Beatriz Se lee de izquierda a derecha, la “ ” separa la lectura.

Se leen los números que están en el lado izquierdo 3 7, 3 6 2

1. Lee la población de algunos municipios de los siguientes departamentos.

2. Escribe el número que se representa en cada caso:

¿Cómo se lee el número de personas que vivían en Chalatenango y Cuscatlán?

Considero que 10 decenas de millar forman 1 centena de

Se leen los números que están en el lado izquierdo

1. Lee otros números de la población departamental que está en el Analiza.

2. Lee las siguientes can dades.

3. Escribe el número que se representa en cada caso:

1. Ubico 241, 713 en la tabla de valores 2. 30, 000 + 5, 000 + 200 + 1

R: 241, 713 = 200, 000 + 40, 000 + 1, 000 + 700 + 10 + 3 R: Se forma 35, 201.

Para escribir un número en forma desarrollada, se descompone en valores posicionales y se escribe

241, 713 = 100, 000 × 2 + 10, 000 × 4 + 1, 000 × 1 + 100 × 7 + 10 × 1 + 1 × 3

1. Escribe los números en forma desarrollada.

2. Escribe el número que se forma en cada caso.

3. Escribe el valor que representa cada número de acuerdo a su posición.

R: 1, 000 ÷ 100 = 10 R: 10, 000 ÷ 100 = 100

Observa la tabla del Comprende y responde.

1. Población del departamento de San Miguel. San Miguel Población

2. Escribe en números las siguientes can dades:

3. Escribe las can dades en forma desarrollada.

5. Escribe el valor que representa cada número de acuerdo a su posición.

6. Encuentra el número correspondiente:

300, 000 400, 000 500, 000

a. En la primera recta de 0 a 10, 000 hay 10 partes iguales, entonces, la escala de la recta es de

300, 000 400, 000 500, 000

Para iden ﬁcar números en la recta numérica:

0 10, 000 20, 000 30, 000 40, 000

500, 000 600, 000 700, 000 800, 000 900, 000

Ubica en cada recta numérica los números que se indican.

40, 000 50, 000 60, 000 70, 000

0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000

a. La escala de la recta numérica es 1, 000.

40, 000 50, 000 60, 000 70, 000

0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000

Para ubicar números en la recta numérica:

Ubica los números que se indican.

0 10, 000 20, 000 30, 000 40, 000

h. 370, 000 i. 110, 000 j. 330, 000 k. 220, 000 l. 50, 000 m. 120, 000

0 100, 000 200, 000 300, 000 400, 000

Para comparar dos números:

Aproxima las siguientes can dades hacia la posición que se indica.

a. Para aproximar a las decenas de millar

Escribo ceros a par r de esa posición. 760, 000

b. Para aproximar a las centenas de millar CM DM UM C D U

Escribo ceros a par r de esa posición. 700, 000