GM8° Web PDF
GM8° Web PDF
GM8° Web PDF
Tomo 2
Tomo 2
Carla Evelyn Hananía de Varela
Ministra de Educación, Ciencia y Tecnología
Corrección de estilo
Mónica Marlene Martínez Contreras
Marlene Elizabeth Rodas Rosales
Ana Esmeralda Quijada Cárdenas
Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA).
372.7
M425 Matemática 8 [recurso electrónico] : guía metodológica: tomo 2
/ Ana Ester Argueta, Aranda ... [et al] ;
Diagramación Francisco René Burgos Álvarez, Judith Samanta
Romero de Ciudad Real,. -- 2a. ed.. -
San Salvador, El salv. : Ministerio de Educación (MINED), 2020.
s/v 1 recurso electrónico (224 p. ; ilus. ; 28 cm. – (Esmate)
Primera edición c 2018.
Segunda edición c 2020. Datos electrónicos (1 archivo : pdf, 10.3 mb) . -- http://www.
mined.gob.sv
Derechos reservados. Prohibida su venta y su repro- ISBN 978-99961-355-6-9 (E-Book)
ducción con fines comerciales por cualquier medio,
1. Matemáticas-Libros de texto. 2. Matemáticas-Enseñanza --
sin previa autorización del MINED. Guías I.
Argueta Aranda Ana Ester, coaut.
Imagen de portada con fines educativos, esta se construye a partir de una secuencia de
cuadrados. En cada uno de ellos se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes.
II. Título.
BINA/jmh
Estimados docentes:
Reciban un cordial saludo, por medio del cual les expresamos nuestro agradecimiento por la importante labor
que realizan en beneficio de la ciudadanía salvadoreña.
Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de Mejoramiento de los
Aprendizajes de Matemática en Educación Básica y Educación Media (ESMATE) hemos diseñado para ustedes la
Guía metodológica para la asignatura de Matemática, que se convertirá en una herramienta importante para la
labor docente que realizan día con día.
El objetivo principal de este recurso es brindarles orientaciones concretas para el desarrollo de las clases de esta
asignatura y lograr así una mejora significativa en los aprendizajes de los estudiantes salvadoreños.
Es importante destacar que la Guía metodológica está en correspondencia con las clases propuestas en el Libro
de texto y Cuaderno de ejercicios diseñados para los estudiantes, concretizando de esta manera lo establecido
en el Programa de estudio de Matemática.
No dudamos que aprovecharán al máximo este recurso y estamos seguros de que pondrán todo su esfuerzo y
dedicación para seguir contribuyendo al desarrollo de nuestro querido país.
Atentamente,
Unidad 6
Características de triángulos y cuadriláteros . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Lección 1: Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Prueba del segundo trimestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Lección 2: Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Prueba de la Unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Unidad 7
Área y volumen de sólidos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93
Lección 1: Características y elementos de los sólidos geométricos . . . . . . . . . . . 96
Lección 2: Cálculo del volumen de los sólidos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Lección 3: Aplicaciones de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Lección 4: Área de sólidos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Lección 5: Aplicaciones de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Prueba de la Unidad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Unidad 8
Organización y análisis de datos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Lección 1: Tablas y gráficas estadísticas para variables cuantitativas . . . . . . . . . 138
Lección 2: Medidas de tendencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Lección 3: Valor aproximado y dígitos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Prueba de la Unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Prueba del trimestre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Prueba final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Unidad 5. Criterios de congruencia de triángulos
Competencia de la Unidad
Utilizar los criterios para determinar la congruencia entre triángulos, caracterizar algunas figuras planas y
resolver situaciones matemáticas de la vida cotidiana.
Relación y desarrollo
5 Guía Metodológica
Plan de estudio de la Unidad
1 2. Congruencia de triángulos
1 Prueba de la Unidad 5
6
Puntos esenciales de la lección
7 Guía Metodológica
1 Congruencia de triángulos
De los triángulos 2 al 5, identifica los que coinciden cuando se sobreponen con el triángulo 1 (puedes
voltearlo al sobreponer). Dos segmentos son congruentes si sus
longitudes son iguales. Ejemplo: AB = CD.
A B C D
Al recortar el triángulo 1 y sobreponerlo uno a uno se tiene que únicamente coincide en todos sus
lados y ángulos con el triángulo 3 y el 5.
Dos figuras que coinciden cuando se sobreponen de manera directa o volteando al revés una de ellas si
es necesario, se llaman congruentes.
A los elementos correspon-
Los vértices, lados y ángulos que coinciden al sobreponer dos figuras dientes de una figura también
se les llama homólogos.
congruentes se llaman correspondientes.
Los triángulos son congruentes. Identifica los vértices, lados y ángulos correspondientes.
A D
Vértices correspondientes: A y D, B y E, C y F.
Los siguientes triángulos son congruentes. Compáralos e identifica los vértices, lados y ángulos
correspondientes.
A G F
Aunque los triángulos
estén en distinta posición
son congruentes, puedes
girarlos o darles vuelta
B para que coincidan.
C E Vértices correspondientes: C y G, A y E, B y F.
Lados correspondientes: CA y GE, CB y GF, AB y EF.
106
Ángulos correspondientes: ∢C y ∢G, ∢A y ∢E, ∢B y ∢F.
8
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la unidad anterior se trabajó con ángulos in- P , S Comparar figuras sobreponiéndolas, con el objeto
ternos y externos de un polígono, en esta clase de identificar las que coinciden en todos sus elementos y
se compararán figuras; uno de los elementos a abstraer del proceso el concepto de figuras congruentes.
considerar en ese proceso de comparación son los
ángulos internos; luego se establecerá una corres- C Identificar los lados homólogos en dos triángulos con-
pondencia entre cada uno de los elementos com- gruentes, utilizando las definiciones dadas en la Conclu-
parados en una figura plana. Cuando se comparan sión.
figuras es importante considerar que si es necesa-
rio la figura se debe rotar o voltear.
Ángulos correspondientes:
∢C y ∢G, ∢A y ∢E, ∢B y ∢F.
Fecha: U5 1.1
Vértices correspondientes:
E
P De los triángulos 2 al 5, identifica los que
A D A y D, B y E, C y F.
Lados correspondientes:
coinciden cuando se sobreponen con el AB y DE, BC y EF, CA y FD.
triángulo 1 (puedes voltearlo al sobreponer). B C E F Ángulos correspondientes:
Observación: Ver ilustración en el LT y traba- Triángulo 1 Triángulo 2
∢A y ∢D, ∢B y ∢E, ∢C y ∢F.
jar con recortes.
S R Vértices correspondientes:
C y G, A y E, B y F.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4 Triángulo 5
Lados correspondientes:
Al recortar el triángulo 1 y sobreponerlo uno CA y GE, CB y GF, AB y EF.
a uno se tiene que únicamente coincide en Ángulos correspondientes:
todos sus lados y ángulos con el triángulo 3 ∢C y ∢G, ∢A y ∢E, ∢B y ∢F.
y el 5.
Tarea: página 108 del Cuaderno de Ejercicios.
9 Guía Metodológica
1
1.2 Congruencia de triángulos
Si los ∆ABC y ∆A'B'C' son congruentes, compara las medidas de sus lados y ángulos correspondientes.
C'
A
La notación A', B', y C', se lee “A prima”,
“B prima” y “C prima” y se utiliza para
representar puntos que son diferentes,
C A' pero que se corresponden con los pun-
tos A, B y C.
B
B'
B'
Unidad 5
En los triángulos congruentes, las medidas de los lados y los ángulos correspondientes son iguales.
Para indicar que los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C' son congruentes se utiliza el símbolo ≅; es decir:
∆ABC ≅ ∆A'B'C', que se lee el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C'.
Dado que los siguientes triángulos son congruentes, identifica los lados y ángulos correspondientes y
representa la congruencia de los triángulos usando el símbolo .
A D
A D
B E
C F
C F B E
AB = DE ∢A = ∢D AB = DE ∢A = ∢D
BC = EF ∢B = ∢E Cuando se escribe la congruencia de trián- BC = EF ∢B = ∢E
AC = DF ∢C = ∢F gulos, es necesario tomar en cuenta que AC = DF ∢C = ∢F
se deben escribir las letras en orden de los
Por tanto, ∆ABC ≅ ∆DEF. vértices correspondientes. Por tanto, ∆ABC ≅ ∆DEF.
107
10
Indicador de logro
Secuencia Propósito
A D Posibles dificultades:
La falta de precisión en la medida de las figuras geométri-
cas, puede dificultar la identificación de los lados o ángulos
B E iguales. En ese caso es necesario dar orientaciones genera-
les sobre el uso de los instrumentos de medida.
C F Materiales:
Cada estudiante y el profesor deben contar con regla y
1. En los triángulos: transportador.
AB = DE ∢A = ∢D
BC = EF ∢B = ∢E
AC = DF ∢C = ∢F
Fecha: U5 1.2
11 Guía Metodológica
1
1.3 Primer criterio de congruencia de triángulos
Dos triángulos que tienen sus tres lados iguales, son congruentes. Este criterio se conoce como Lado,
Lado, Lado (LLL); es decir, ∆ABC ∆A'B'C' dado que AB = A'B', AC = A'C' y BC = B'C'.
12
Indicador de logro
1.3 Determina el mínimo de elementos necesarios que deben ser iguales para que dos triángulos sean
congruentes.
Secuencia Propósito
Luego de haber introducido el símbolo que repre- P , S Construir un triángulo dada la longitud de sus tres
senta la congruencia, así como el concepto de con- lados. Para esta actividad es importante que no se les in-
gruencia de triángulos, se analizará cuál debe ser dique la posición del triángulo, para que luego puedan
el número mínimo de elementos que deben tener comparar y determinar que no importa la posición en que
iguales dos triángulos para que sean congruentes; dibujen los triángulos, siempre serán congruentes si las
en ese sentido en esta clase introduce el primer medidas de sus lados son iguales.
criterio de congruencia “Lado, Lado, Lado (LLL)”.
C Utilizar el criterio de congruencia que se ha definido en
la Conclusión, en este apartado no es necesario que di-
bujen los triángulos, basta con que vayan comparando las
longitudes de los lados; pero si se dispone de tiempo pue-
de dibujarse para que practiquen el uso del compás.
Posibles dificultades:
El uso inadecuado del compás, podría impedir
que se realicen los trazos sugeridos; en ese caso es
importante dar una orientación general al respecto
y dejar como tarea que complementen el trazo de
los triángulos de la fijación.
Materiales:
Cada estudiante y el profesor deben contar con es-
tuche de geometría y compás.
Fecha: U5 1.3
P a) Construye un triángulo usando la longitud de R Utilizando el criterio de congruencia
los segmentos mostrados en el LT, utiliza regla y LLL, son congruentes las siguientes
compás. parejas de triángulos:
b Compara los resultados con tus compañeros, a) y g)
¿cómo son los triángulos? b) y h)
c) y e)
S d) y f)
A A'
B C B'
B C C'
Al comparar los triángulos se observa que coinciden Tarea: página 110 del Cuaderno de Ejer-
en todas las medidas; es decir, son congruentes. cicios.
13 Guía Metodológica
1
1.4 Segundo criterio de congruencia de triángulos
Unidad 5
tienen sus lados y ángulos respectivamente
C' B'
iguales sin importar la posición.
Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, así como el lado comprendido entre ellos respectiva-
mente igual, son congruentes. Este criterio se conoce como Ángulo, Lado, Ángulo (ALA).
∆ABC ≅ ∆A'B'C' dado que ∢B = ∢B', BC = B'C' y ∢C = ∢C'.
109
14
Indicador de logro
1.4 Identifica los diferentes casos que se tienen para determinar si dos triángulos son congruentes.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se trabajó con el primer crite- P , S Construir un triángulo dados dos ángulos y el lado
rio de congruencia, en esta clase se trabajará el comprendido entre ellos; a partir de la comparación de los
segundo criterio, proporcionando tres elemen- trazos, introducir el segundo criterio de congruencia “Án-
tos del triángulo para que ellos realicen el trazo; gulo, Lado, Ángulo (ALA)”. Es importante que cuando se
a diferencia de la anterior, en esta clase es impor- comparen los resultados se haga énfasis en la posición de
tante el orden en que se colocan los elementos. los ángulos respecto al segmento dado.
Materiales:
El profesor y cada uno de los estudiantes deben
contar con estuche de geometría.
Fecha: U5 1.4
A
das; es decir, tienen sus lados y ángu-
los respectivamente iguales sin impor-
B C
tar la posición.
A'
15 Guía Metodológica
1
1.5 Tercer criterio de congruencia de triángulos
Dos triángulos que tienen dos de sus lados iguales, así como el ángulo comprendido entre ellos tam-
bién igual, son congruentes. Este criterio es conocido como Lado, Ángulo, Lado (LAL); ∆ABC ≅ ∆A'B'C'
dado que BC = B'C', ∢C = ∢C' y CA = C'A'.
16
Indicador de logro
1.5 Identifica los diferentes casos que se tienen para determinar si dos triángulos son congruentes.
Secuencia Propósito
En las dos clases anteriores se ha trabajado con P , S Construir un triángulo con los elementos dados y
dos criterios, con los cuales se puede determinar luego compararlo con los obtenidos por sus compañeros.
si dos triángulos son congruentes; en esta clase se Es necesario considerar que el orden en que se colocan los
presentarán tres elementos distintos a los analiza- elementos es importante.
dos para introducir el tercer criterio de congruen-
cia “Lado, Ángulo, Lado (LAL)”. C Fijar el proceso de comparación de los triángulos utili-
zando el criterio de congruencia estudiado en esta clase.
Observación:
Es importante señalar que la suma de los ángulos
externos de un polígono es siempre 360°, puede
permitirse el cálculo en esta clase únicamente
para efectos de fijación.
Fecha: U5 1.5
P a) Construye un triángulo utilizando los dos seg- R Utilizando el criterio de congruencia
mentos y el ángulo mostrado en el LT, utiliza re- LAL, son congruentes las siguientes
gla, compás y transportador. parejas de triángulos:
b) Compara los resultados obtenidos con otros es- a) y g)
tudiantes de tu grado, ¿cómo son los triángulos? b) y h)
c) y e)
A A B' C'
S
B C
B C A'
17 Guía Metodológica
1
1.6 Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos
A B
Afirmaciones Justificaciones
Unidad 5
A la serie de argumentos, donde cada uno En el problema mostrado anteriormente, las características
sigue de manera lógica los anteriores y cada de los lados y ángulos internos del pentágono regular y los
argumento es fundamentado por otros ya criterios de congruencia de triángulos son asuntos compro-
comprobados se le llama Demostración. bados y la solución mostrada es la demostración.
A O
C
B C
∆ABC ∆CDA por criterio ALA. ∆ABO ∆CDO por criterio ALA. 111
18
Indicador de logro
1.6 Aplica criterios de congruencia para demostrar relaciones entre triángulos formados a partir de polígonos.
Secuencia Propósito
En las últimas tres clases se han estudiado los tres P , S Demostrar relaciones entre los triángulos que se for-
criterios de congruencia, por lo que en esta clase man con los lados y diagonales de un pentágono regular.
se utilizarán para demostrar propiedades de los
polígonos. C Utilizar los criterios de congruencia para determinar si
dos triángulos dados son congruentes.
Fecha: U5 1.6
P D R A D
19 Guía Metodológica
1
1.7 Aplicación de criterios de congruencia de triángulos
B C
De donde se concluye que AB = CD, por ser lados correspondientes de dos triángulos congruentes.
O D 0 D
B B
C C
112
20
Indicador de logro
1.7 Aplica criterios de congruencia para demostrar relaciones entre triángulos formados a partir de
polígonos.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se utilizaron los criterios de P , S Demostrar que en un cuadrilátero, al trazar una dia-
congruencia para demostrar si dos triángulos da- gonal, se forman dos triángulos congruentes.
dos son congruentes, en esta clase nuevamente se
utilizarán los criterios de congruencia así como lo C Demostrar si dos triángulos dados son congruentes,
aprendido sobre paralelismo para demostrar que para ello es necesario utilizar los criterios de congruencia y
dos triángulos son congruentes. lo aprendido sobre triángulos.
1. A 2. A
O D
B 0 D
B
Afirmación Justificación C
BO = DO Por hipótesis. Afirmación Justificación
AO = CO Por hipótesis. BO = DO Por ser radios.
AO = CO Por ser radios.
∢AOB = ∢COD Por ser opuestos por el
vértice. ∢AOD = ∢COB Por ser opuestos por el
∆ABO ≅ ∆CDO Por criterio LAL. vértice.
∆AOD ≅ ∆COB Por criterio LAL.
Posibles dificultades: De donde se concluye que AD = CB.
Al igual que en la clase anterior puede ser que no
se logren hacer las justificaciones que permitan
realizar la demostración, en ese caso se pueden
poner a trabajar por parejas.
Fecha: U5 1.7
P A D
Dado que en el cuadrilátero De donde se concluye que AB = CD,
ABCD, por ser lados correspondientes de dos
A
AD ǁ BC, y BC = DA, demuestra triángulos congruentes.
B C que AB = CD. O D
S A D R B
21 Guía Metodológica
1
1.8 Aplicación de la congruencia de triángulos, parte 1
Al comparar las distancias entre cada una de las ciudades se observa que se forman dos triángulos,
cuyos elementos se relacionan de la siguiente manera:
AM = CM = 3 km, por referencia de ubicación de las ciudades.
Ciudad M 6 km
∢AMD = ∢CMB, por ser opuestos por el vértice. Ciudad A
5 km
Ciudad C
∆AMD ≅ ∆CMB, por criterio LAL. 3 km
Ciudad D
DA = BC, por ser lados correspondientes de dos
Unidad 5
triángulos congruentes.
113
22
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En las dos clases anteriores, se han utilizado los P , S Utilizar la congruencia de triángulos para determinar
criterios de congruencia para demostrar que dos la longitud de uno de los lados de un triángulo que corres-
triángulos dados son congruentes, esto conside- ponde a la distancia entre dos ciudades.
rando la posición en una figura dada; ahora se uti-
lizarán para resolver situaciones cotidianas.
2. C
x a) b)
x θ E AC = DC y BC = EC, por hipótesis. En el ∆PQD, ∢D = ∢A = β, por definición
∢ACB = ∢DCE = x + θ de congruencia, ∢DPB = ∢APC = α, por
β α Q ∆ABC ≅ ∆CDE por criterio LAL. ser opuestos por el vértice.
A
P B
Además, ∢Q = 180° − 3x; entonces:
D 3x
Fecha: U5 1.8
23 Guía Metodológica
1
1.9 Aplicación de la congruencia de triángulos, parte 2
114
24
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la clase anterior, se resolvieron situaciones uti- P , S Resolver la situación planteada en el Problema ini-
lizando la congruencia de triángulos y la relación cial, esta información puede usarse para crear la rampa y
entre los ángulos; para esta clase se utilizará nue- servir como una actividad integradora.
vamente la congruencia de triángulos para resol-
ver situaciones del entorno.
Fecha: U5 1.9
Extraer los datos y construir la rampa, mi-
P ¿Cómo podría hacer José diendo y cortando las piezas según las me-
150 cm para elaborar la rampa con didas indicadas en el triángulo.
los tres datos proporciona- R
140 cm
dos por Carlos? a) Puede tomar la medida de los 3 segmen-
tos.
S C
b) Puede tomar también cualquiera de las
150 cm
150 cm
B
siguientes opciones de medida de:
- Un segmento y dos ángulos.
13° 140 cm
140 cm A - Dos ángulos y un segmento.
Porque se forma un triángulo y se con-
Como se conocen dos lados y el ángulo entre sideran los casos de congruencia.
ellos, entonces por criterio LAL, se puede cons-
truir la nueva rampa.
Tarea: página 116 del Cuaderno de Ejercicios.
25 Guía Metodológica
Unidad 6. Características de los triángulos y cuadriláteros
Competencia de la Unidad
Identifica figuras planas utilizando criterios de congruencias para obtener características de triángulos y
cuadriláteros.
Relación y desarrollo
1 1. Triángulos isósceles
1 4. Triángulos equiláteros
1 1. El paralelogramo
1 3. Diagonales de un paralelogramo
30
1 9. Recíproco de características de rectángulos
1 Prueba de la Unidad 6
31 Guía Metodológica
Puntos esenciales de cada lección
Lección 1: Triángulos
A partir del proceso de triangulación de un polígono, lo cual se estudió en Educación Básica, se deduce la fór-
mula para el cálculo de la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados, luego utilizando este hecho,
se deduce la suma de los ángulos externos de un polígono. Además se hace énfasis en el caso particular de los
polígonos regulares.
Lección 2: Paralelogramos
Esta lección se inicia con el estudio de los ángulos opuestos estudiados en Educación Básica, se establecen las
relaciones entre cada par de ángulos opuestos, además para determinar el valor de cada ángulo dado, se hace
uso de la relación entre los ángulos suplementarios; luego se analiza la relación entre los ángulos entre paralelas
que es utilizada para demostrar uno de los más importantes teoremas matemáticos y para resolver situaciones
del entorno.
32
1 Triángulos
1.1 Triángulos isósceles
Clasifica los siguientes triángulos según la longitud de sus lados, y menciona la característica de los
triángulos isósceles.
a) b) c) d)
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 6 cm
3 cm 4.24 cm
3 cm
4 cm
4 cm 3 cm 3 cm
La definición de los triángulos isósceles es que dos de sus lados son de igual longitud y se caracterizan
porque la medida de dos de sus ángulos es igual. Arista
Verifica la construcción de un triángulo isósceles utilizando papel y comprueba que dos de sus lados y
ángulos son iguales. Realiza los siguientes pasos:
1. Toma una hoja de papel y dóblala formando un rectángulo tal como se muestra en la figura 1.
2. Señala la diagonal de ese rectángulo y corta con la tijera exactamente en la diagonal (figura 2).
3. El triángulo que queda en medio, divídelo por la mitad tomando punta a punta y comprueba que es
isósceles viendo que sus ángulos y lados coinciden (figura 3).
Clasifica los siguientes triángulos, argumenta tu respuesta y señala las partes de los triángulos isósceles.
a) b) c) d)
25
60° 50° °
3 cm 5 cm
3 cm 3.5 cm 3.5 cm 6.1 cm 3 cm
4.1
60° 60°
cm
33 Guía Metodológica
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En segundo ciclo de Educación Básica, se estudió la P , S Caracterizar los triángulos para recordar lo apren-
clasificación de los triángulos considerando la re- dido en Educación Básica y así introducir los nombres de
lación entre la medida de los lados y sus ángulos; cada uno de los elementos de un triángulo isósceles que
en esta clase se identifican los elementos de un es un caso particular de triángulos.
triángulo isósceles y su caracterización. También
se analiza el proceso de construcción de un trián- C Sistematizar los elementos y caracterización de un trián-
gulo isósceles a partir de un rectángulo de papel. gulo isósceles, introduciendo así el lenguaje matemático.
Fecha: U6 1.1
4 cm 3 cm 4 cm 3 cm
34
1
1.2 Teorema del triángulo isósceles
Demuestra que, si el ∆ABC es isósceles con lados AB = AC, entonces ∢ABC = ∢ACB.
A Como aplicación de los criterios de congruencia de triángulos,
se tiene la demostración de un teorema clásico, conocido como
el Pons Asinorum, o puente de los burros, que establece que
“En un triángulo isósceles, los ángulos de la base son
congruentes” (un triángulo isósceles es aquel que
tiene dos lados congruentes y el tercer lado se le lla-
ma base). Pinasco, J. (2009). Las Geometrías.
B C
DB = DC (por construcción).
1. Determina la medida de los ángulos restantes de cada triángulo aplicando el teorema demostrado.
a) b) c)
A
A A
Unidad 6
50°
65°
50° C
65° 130° D
45° 45°
B C B
65° 65°
B C
2. En la siguiente figura considera que BD = CD = AD. Justifica las igualdades planteadas en cada literal
dejando constancia de lo realizado.
A
a) ∢DAB = ∢DBA Por ser ángulos de la base de un trián-
gulo isósceles. θ β
b) ∢DAC = ∢DCA De la misma manera del a).
c) ∢DBA + ∢ACB = 90° Como 2∢θ + 2∢β = 180°,
entonces ∢θ + ∢β = 90°.
β
d) ∢CAB = 90° Como ∢CAB = ∢θ + ∢B = 90°. B θ C
D
117
35 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.2 Demuestra el teorema del triángulo isósceles: “A lados iguales corresponden ángulos iguales”, utilizando
la congruencia de triángulos.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se identificaron los elementos P , S Demostrar el teorema y recordar el proceso de de-
de un triángulo isósceles caracterizando cada uno mostración haciendo énfasis en las afirmaciones matemá-
de ellos; en esta clase, se hará la demostración de ticas utilizadas que corresponden a conocimientos previos
uno de los teoremas clásicos, para ello es impor- adquiridos en unidades anteriores.
tante recordar lo aprendido sobre demostraciones
y congruencia de triángulos. C En el numeral 1, utilizar el teorema demostrado para
determinar la medida de los ángulos restantes; además se
utilizará el teorema de la suma de los ángulos internos de
un triángulo y ángulos suplementarios.
Fecha: U6 1.2
R
P A
a)
A ∢C = ∢B = 65°, por ser ángulos
Demuestra que, si el ∆ABC es de la base de un triángulo isós-
50°
isósceles con lados AB = AC, celes.
entonces ∢ABC = ∢ACB.
B C
Como ∢A + ∢B + ∢C = 180°,
65° 65° entonces ∢A = 50°.
Se traza el segmento AD con D, el punto B C
S medio de BC.
A
b)
A
DB = DC. (Por construcción).
B C
Entonces, ∆ABD ≅ ∆ACD. (Por crite-
∢A + ∢B + ∢C = 180, ∢A = 90° y ∢B = ∢C
rio LLL, AD es común, y
AB = AC por hipótesis). ∢B = ∢C = 45°, por ser ángulos de la base de un
B D C
Por lo tanto, ∢ABC = ∢ACB. (Por la triángulo rectángulo isósceles.
congruencia de los triángulos). Tarea: página 121 del Cuaderno de Ejercicios.
36
1
1.3 Bisectriz de un triángulo isósceles
Demuestra que en un triángulo isósceles ABC, la bisectriz del ángulo comprendido entre dos lados de
igual longitud es mediatriz del lado opuesto.
B C
D
Bisectriz Mediatriz
En la figura ∆ABD ≅ ∆ACD (por criterio LAL, AB = AC, AD es compartido y ∢BAD = ∢CAD por hipótesis).
En un triángulo isósceles se cumple que la bisectriz del ángulo comprendido entre los dos lados de igual
longitud del triángulo es mediatriz del lado opuesto.
Observa que por este resultado se puede concluir que la
bisectriz del ángulo comprendido entre los lados de igual
longitud, también es altura y mediana del triángulo isós-
celes.
Demuestra que si el ∆ABC es isósceles y si se trazan las bisectrices de los ángulos adyacentes, siendo P
el punto de intersección entre las dos bisectrices, entonces el ∆PBC es isósceles.
A
B C
118
37 Guía Metodológica
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la clase anterior se demostró el teorema que P , S Demostrar el teorema y recordar el concepto de bi-
relaciona los ángulos de la base de un triángulo sectriz y mediatriz, además de hacer conciencia de la im-
isósceles; en esta clase se demostrará el teorema portancia de los teoremas en la construcción del conoci-
que relaciona la mediatriz de la base de un trián- miento matemático.
gulo isósceles con la bisectriz del ángulo opuesto
a la base. R Utilizar los criterios de congruencia y relación entre án-
gulos internos para demostrar propiedades de las bisetri-
ces de un triángulo isósceles.
θ = 12 ∢B = 12 ∢C
Fecha: U6 1.3
P Demuestra que en un triángulo isósceles ABC, la Entonces, 2∢ADB = 180° (por [1] y [2])
bisectriz del ángulo comprendido entre dos lados Y ∢ADB = 90°, y entonces AD ⊥ BC. A
de igual longitud es mediatriz del lado opuesto.
R
S En la figura ∆ABD ≅ ∆ACD. (Por criterio LAL,
AB = AC, AD es compartido y ∢BAD = ∢CAD Como AB = AC,
N
P
M
A
por hipótesis). entonces ∢B = ∢C θ θ
θ θ
B C
Entonces DB = DC. (Por la congruencia ∆BCN ≅ ∆CBM, por criterio ALA.
de triángulos). De donde ∢BNC = ∢CMB, entonces
∢ADB = ∢ADC. (Por la congruencia de ∆BPN ≅ ∆CPM, por criterio ALA.
B C
triángulos) ... (1) Por tanto BP = CP, de donde se concluye que
D
∢ADB + ∢ADC = 180°. (Por ser ángulos ∆PBC es isósceles.
suplementarios) ... (2)
Tarea: página 122 del Cuaderno de Ejercicios.
38
1
1.4 Triángulos equiláteros
Demuestra que los ángulos del triángulo equilátero ABC son de igual medida, y cada uno mide 60°.
B C
Por lo tanto, cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero mide 60°.
Unidad 6
Sea el ∆ABC equilátero, y además BE = CF = AD. Demuestra que el ∆DEF es equilátero.
F
D
B E C
119
39 Guía Metodológica
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En las dos clases anteriores se han caracterizado P , S Determinar la medida de cada uno de los ángulos
los triángulos isósceles, en esta clase se demues- internos de un triángulo equilátero.
tra que cada uno de los ángulos internos del trián-
gulo equilátero mide 60°.
F
D
60° 60°
B E C
Fecha: U6 1.4 A
Como el ∆ABC es equilá-
P A R F tero,
Demuestra que los ángulos del triángu- D
entonces
lo equilátero ABC son de igual medida, B E C
AB = BC = CA.
y cada uno mide 60°. AD + DB = BE + EC = CF + FA, de donde se
B C
tiene:
DB = EC = FA, ya que BE = CF = AD, por
S ∢ABC = ∢BCA (ya que AB = AC) ... (1)
hipótesis.
∢BCA = ∢CAB (ya que BC = BA) ... (2)
A ∆ADF ≅ ∆BED ≅ ∆CFE, por criterio LAL.
Por tanto, ∢ABC = ∢BCA = ∢CAB (Por [1] y [2]).
60°
De donde se tiene DE = EF = FD.
Sea x la medida del ángulo:
60° 60° Por tanto, ∆DEF es equilátero.
B C 3x = 180°.
Entonces, x = 60°. Tarea: página 123 del Cuaderno de Ejer-
cicios.
40
1
1.5 Teorema sobre triángulos isósceles y equiláteros
Demuestra que si la medida de dos ángulos de un triángulo es igual, entonces la longitud de los lados
opuestos a estos ángulos es igual.
A
B C
En un triángulo, si dos ángulos tienen igual medida entonces los lados opuestos tienen igual longitud.
Demuestra que si todos los ángulos de un triángulo son iguales, entonces es un triángulo equilátero.
A
AB = AC (por ∢BCA = ∢ABC, aplicando el resultado demostrado). . . (1)
Utilizando los datos en la siguiente figura, demuestra que ∆FAB, ∆FBC, ∆FCD y ∆FDE son equiláteros.
B
C A
60° F
D
60°
E
120
41 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.5 Demuestra teoremas que relacionan los lados y ángulos iguales de triángulos isósceles o equiláteros, con los
respectivos lados opuestos.
Secuencia Propósito
En la clase 1.2 se demostró el teorema sobre trián- P , S Utilizar lo aprendido sobre congruencia de triángu-
gulos isósceles que establece que si dos lados de los y ángulos, para demostrar el teorema sobre triángulos
un triángulo son iguales, entonces los ángulos que isósceles y equiláteros, es importante hacer énfasis en el
se oponen a ellos también son iguales; en esta uso de trazos auxiliares como un recurso en el proceso de
clase se demostrará un teorema sobre triángulos demostración.
isósceles y equiláteros que relaciona los ángulos
con los lados. R Utilizar el resultado obtenido, para demostrar que si un
triángulo tiene los tres ángulos iguales, también todos sus
lados son iguales, concluyendo que el triángulo es equilá-
tero.
Fecha: U6 1.5
E A AB = AC (por ∢BCA = ∢ABC)
P A
Demuestra que si la medida de dos CA = BC (por ∢ABC = ∢CAB)
ángulos de un triángulo es igual, Por lo tanto, AB = BC = CA, y el
entonces la longitud de los lados B
B
C triángulo es equilátero.
opuestos a estos ángulos es igual.
B C R C ED = EF, entonces
A
Analizando el primer teorema: “Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos ángulos de igual medida”.
B C B C
Analizando el segundo teorema: “Si un triángulo tiene dos ángulos de igual medida, entonces el
triángulo es isósceles”.
Condición cierta (hipótesis): El triángulo Condición a demostrar (conclusión): El triángulo
tiene dos ángulos de igual medida. es isósceles (tiene dos lados de igual longitud).
A Demostrado en la clase 5. A
B C B C
El primer teorema es diferente del segundo, pues la condición que se cumple en el primero es la que
hay que demostrar en el segundo, y la condición que se cumple en el segundo es la que hay que de-
mostrar en el primero.
Unidad 6
El teorema que intercambia la hipótesis y la conclusión de otro teorema se conoce como teorema
recíproco. El recíproco de un teorema puede que no se cumpla, en ese caso hay que presentar un ejem-
plo que muestre que no se cumple y se conoce como contraejemplo.
Escribe el recíproco del siguiente enunciado, en el caso de no ser cierto, dar un contraejemplo que lo
justifique: “Todo triángulo equilátero es isósceles”.
Recíproco: “Todo triángulo isósceles es equilátero”. No se cumple, observa el contraejemplo.
Contraejemplo: El triángulo de lados 5 cm, 5 cm y 6 cm, es isósceles pero no es equilátero.
43 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.6 Identifica el recíproco o contraejemplo de un teorema.
Secuencia Propósito
En las clases 1.2 y 1.5, se han demostrado teore- P , S Comparar dos teoremas demostrados analizando la
mas sobre triángulos isósceles; en esta clase se hipótesis y la conclusión para definir a partir del análisis, el
analizarán dichos teoremas para introducir los recíproco y el contraejemplo de un teorema.
conceptos de recíproco y contraejemplo. Es im-
portante hacer énfasis en las condiciones que tie- C Ilustrar un caso de teorema en el cual el recíproco no se
ne cada teorema, para que vayan familiarizándose cumple, en estos casos se pueden presentar contraejem-
con ellas y facilite próximas demostraciones. plos para justificar su falsedad.
90°
B
3 cm D 3 cm
C Posibles dificultades:
Escribir el recíproco o contraejemplo, en ese caso se puede
Trazando la mediatriz de BC, se tiene que: organizar el trabajo en parejas y como pista sugerir que
BD = DC (por construcción). identifiquen la hipótesis y la conclusión.
∢BDA = ∢CDA = 90° (por construcción de la me-
diatriz).
Fecha: U6 1.6
P Determina la diferencia entre los siguientes teoremas: E Escribe el recíproco o el contraejemplo que lo
- Si un triángulo es isósceles, entonces el triángulo justifique:
tiene dos ángulos de igual medida. “Todo triángulo equilátero es isósceles”.
- Si un triángulo tiene dos ángulos de igual medida, Recíproco:
entonces el triángulo es isósceles. “Todo triángulo isósceles es equilátero”. No se
cumple, observa el contraejemplo.
S Analizando el primer teorema:
Contraejemplo:
Condición cierta Condición a demostrar El triángulo de lados 5 cm, 5 cm y 6 cm, es
El triángulo es isós- El triángulo tiene dos án- isósceles pero no es equilátero.
celes. gulos de igual medida.
Demostrado en la clase 2.
R 1. Recíproco:
“Si un triángulo es isósceles, tiene sus tres
Analizando el segundo teorema: ángulos iguales”. No se cumple.
Condición cierta Condición a demostrar Contraejemplo:
El triángulo tiene dos El triángulo es isósceles El triángulo de lados 3 cm, 3 cm y 4 cm, es
ángulos de igual medida. Demostrado en la clase 5. isósceles pero no tiene los 3 ángulos iguales.
Tarea: página 125 del Cuaderno de Ejercicios.
44
1
1.7 Primer criterio de congruencia de triángulos rectángulos
Los triángulos tienen los tres ángulos de igual medida porque son rectángulos.
A A'
Además, ∢CAB = ∢ C'A'B'.
B C B' C'
En los siguientes triángulos rectángulos, identifica los congruentes entre sí. Justifica tu respuesta.
a) b) c)
55°
55°
4
4
4
3
55° 55°
55°
Al calcular el valor del ángulo desconocido utilizando el teorema de los ángulos internos de un triángulo, se
puede determinar que los triángulos del literal b) y d) son congruentes por criterio ALA.
122
45 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.7 Identifica la relación que debe existir entre los lados y ángulos de dos triángulos rectángulos.
Secuencia Propósito
Fecha: U6 1.7
P Demuestra que si en los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C' R Son congruentes los triángulos del lite-
se cumple que: ral a) y e) pues tienen la hipotenusa y un
ángulo agudo igual.
∢CAB = ∢C’A’B’, ∢ABC = ∢A’B’C’ = 90° y AC = A’C’;
entonces, ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. Son congruentes los triángulos del lite-
S A A'
ral c) y f) por criterio ALA; pues tienen
un cateto y dos ángulos iguales.
46
1
1.8 Segundo criterio de congruencia de triángulos rectángulos
B C F E
Los puntos B, C, E están alineados (∢BCE = ∢BCA + ∢EFA = 90° + 90° = 180°). A=D
Entonces, ∆ABE es isósceles (B, C, E están alineados y AB = AE).
Luego, ∢ABE = ∢AEB (∆ABE es isósceles).
Unidad 6
B C E F
1. En los siguientes triángulos rectángulos, agrupa los que son Observa que si dos catetos tienen
congruentes. Justifica tu solución. igual medida también los triángulos
son congruentes por criterio LAL.
a) b) c) 2 d)
a) y b), son
congruentes 5 5 2
por criterio 2 4 2.82 2.82
de congruencia
de triángulos A
4 c) y d), son congruen-
rectángulos.
tes por criterio 2 de
congruencia de trián-
2. En la figura AB = AC, BD ⊥ AC y CE ⊥ AB. Demuestra que gulos rectángulos.
E D
a) ∆BCD ≅ ∆CBE
b) AE = AD B C
123
47 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.8 Identifica la relación que debe existir entre los lados de dos triángulos rectángulos para que sean
congruentes.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se estudió el primer criterio P , S Demostrar que dos triángulos rectángulos que tie-
de congruencia de triángulos rectángulos que re- nen un cateto y la hipotenusa igual son congruentes, esto
laciona la hipotenusa y un ángulo agudo; para esta utilizando los criterios de congruencia estudiados en la
clase, se estudiará otro criterio de congruencia Unidad 5.
que relaciona la hipotenusa y un cateto.
R En el numeral 1, utilizar los criterios de congruencia es-
tudiados para determinar si dos o más triángulos dados
son congruentes; mientras que en el numeral 2 utilizar los
criterios de congruencia para demostrar que dos triángu-
los son congruentes.
E D
B C
Posibles dificultades:
a) ∢CBA = ∢BCA (porque AB = AC). En el caso de que los estudiantes no puedan realizar la de-
Por tanto, ∢CBE = ∢BCD mostración, organizarlos por parejas, cuidando que siem-
BC = CB (es el mismo). pre haya uno que tenga habilidades para que apoye al que
Entonces, ∆BCE ≅ ∆CBD, por criterio 1 de con- tiene dificultades, y como pista se puede sugerir el uso de
gruencia de triángulos rectángulos, tienen la los criterios de congruencia de triángulos rectángulos.
hipotenusa y un ángulo agudo igual.
Fecha: U6 1.8
48
1
1.9 Condiciones necesarias y suficientes
a) Si un triángulo ABC cumple la condición A, también cumple B; pues los triángulos equiláteros
tienen los 3 lados iguales y para ser isósceles únicamente necesita 2 lados iguales; por tanto si se
cumple A también se cumple B.
b) No se cumple siempre, pues que un triángulo sea isósceles no es suficiente para que sea equilá-
tero; porque la medida del tercer lado (base), puede ser igual o distinta a la medida de los otros 2
lados.
c) Si un triángulo no es isósceles, tampoco puede ser equilátero; pues para ser isósceles necesita 2
lados iguales y para ser equilátero los 3 lados iguales.
Cuando se cumple la proposición “si A, entonces B”, se dice que “A es suficiente para B” y que “B es
necesaria para A”.
Una condición es necesaria para otra
si al no cumplirse, la otra tampoco se
cumple.
Escribe N si A es necesaria para B y escribe S, si A es suficiente para B, para cada una de las situaciones
siguientes:
124
49 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.9 Conoce el sentido de una condición necesaria y suficiente.
Secuencia Propósito
Anteriormente se ha trabajado con teoremas y P , S Analizar la relación lógica entre dos proposiciones
proposiciones que establecen relaciones entre dos dadas. Para el caso, las condiciones son sobre triángulos
o más triángulos mediante los cuales se han gene- isósceles y equiláteros, cuyas características han sido estu-
ralizado características de los triángulos isósceles, diadas en clases anteriores.
equiláteros, entre otros. En esta clase se analizará
la relación lógica entre las condiciones que forman R En cada uno de los literales, se debe utilizar lo aprendi-
una proposición. do en la clase para establecer la relación lógica entre las
condiciones dadas.
Fecha: U6 1.9
P Considera dos condiciones A y B sobre un trián- c) Si un triángulo no es isósceles, tampoco
gulo ABC: puede ser equilátero; pues para ser isós-
A: ABC es un triángulo equilátero. celes necesita 2 lados iguales y para ser
B: ABC es un triángulo isósceles equilátero los 3 lados iguales.
a) Si ∆ABC cumple A, ¿también cumple B?
b) Si ∆ABC cumple B, ¿también cumple A? R Para un triángulo DEF:
c) Si ∆ABC no cumple B, ¿tampoco cumple A?
a) A es necesaria para B.
b) A no es necesaria ni suficiente para B.
S a) Si ∆ABC cumple la condición A, también cum-
c) A es suficiente para B.
ple la B; pues los triángulos equiláteros tam-
d) A es suficiente para B.
bién son isósceles.
b) No se cumple siempre, pues que un triángu-
lo sea isósceles no es suficiente para que sea
equilátero. Tarea: página 128 del Cuaderno de Ejercicios.
50
1
1.10 Uso de las condiciones necesarias y suficientes
Determina si la condición A es necesaria o suficiente para B. Considera los triángulos ABC y A'B'C'.
B: ∆ABC ≅ ∆A'B'C'.
A A'
B C B' C'
La condición A(∢ABC = ∢A'B'C'= 90°, ∢CAB = ∢C'A'B', AC = A'C') es suficiente para que se cumpla B; por
criterio de congruencia de la clase anterior.
La condición A(∢ABC = ∢A'B'C' = 90°, ∢CAB = ∢C'A'B', AC = A'C') es necesaria para B; pues por defini-
ción de congruencia para que dos triángulos rectángulos sean congruentes, es necesario que sus lados
y ángulos correspondientes sean iguales.
Por tanto, la condición A(∢ABC = ∢A'B'C' = 90°, ∢CAB = ∢C'A'B', AC = A'C') es necesaria y suficiente
para B(∆ABC ≅ ∆A'B'C').
Una condición A es necesaria y suficiente para B, si A es tanto necesaria como suficiente para B.
Observa que la condición A es necesaria y suficiente para B, significa que se cumple la proposición “si A
entonces B” y la recíproca “si B entonces A”.
Unidad 6
Para el ejemplo presentado, la proposición “si A entonces B”, corresponde que para los dos triángulos
rectángulos dados se cumple que ∢ABC = ∢A'B'C'=90°, ∢CAB = ∢C'A'B', AC = A'C', entonces los trián-
gulos son congruentes; mientras que la recíproca “si B entonces A” corresponde a que si dos triángulos
son congruentes, entonces tienen iguales sus lados y ángulos correspondientes.
51 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.11 Determina en enunciados si una condición es necesaria y suficiente.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se analizó la relación entre dos P , S Analizar dos condiciones dadas para determinar si
condiciones dadas para determinar si A es necesa- una es necesaria y suficiente para otra, con el objeto de
ria o suficiente para B; en esta clase se analizará si definir una condición necesaria y suficiente.
una condición es necesaria y suficiente para otra.
Este análisis se hará con una proposición para R En el numeral 1, analizar cada condición para deter-
triángulos rectángulos ya demostrada. minar si la condición A es necesaria y suficiente para B;
mientras que en el numeral 2, cada estudiante o pareja
Es importante considerar que en la condición B no de estudiantes escribirá enunciados donde se ejemplifique
se especifica que el triángulo debe ser rectángulo una relación necesaria y suficiente.
porque se ha dado la ilustración; pero es necesario
hacer énfasis a los estudiantes para evitar que se
genere confusión creyendo que se cumple para un
triángulo cualquiera.
Fecha: U6 1.10
pues por definición de congruencia para
P Determina si la condición A es necesaria o suficien- que dos triángulos rectángulos sean
te para B. Considera los triángulos ABC y A'B'C'. congruentes, es necesario que sus lados y
A: ∢ABC = ∢A’B’C’ = 90°, ∢CAB = ∢C’A’B’, AC = A’C’ ángulos correspondientes sean iguales.
B: ∆ABC ≅ ∆A’B’C’ Por tanto, A(∢ABC = ∢A’B’C’ = 90°,
A A' ∢CAB = ∢C’A’B’, AC = A’C’) es necesaria y su-
ficiente para
C' B(∆ABC ≅ ∆A’B’C’).
B C B' C'
52
1
1.11 Características de las bisectrices de un triángulo
En la siguiente figura, BI y CI son bisectrices del triángulo ABC, y se cumple que ID ⊥ AB, IE ⊥ BC y
IF ⊥ CA. Demuestra lo siguiente: A
D F
a) ID = IE = IF
b) El segmento AI también es bisectriz del triángulo. I
B E C
El punto “I” donde se intersecan dos bisectrices de un triángulo se conoce como incentro. La distancia
del incentro a cualquiera de los lados del triángulo es la misma (la distancia es la longitud del segmento
trazado desde el punto “I” perpendicular a un lado del triángulo). Además, la tercera bisectriz también
debe pasar por el punto “I”; es decir, las 3 bisectrices se intersecan en el incentro.
Observa que si el incentro equidista
de los tres lados, es posible trazar una
Comprueba utilizando un triángulo de papel que las tres bisectrices circunferencia cuyo radio sea igual a la
de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado incentro. distancia del incentro a alguno de los
lados. Dicha circunferencia se conoce
como: circunferencia inscrita.
a) Dobla cada ángulo del triángulo por la mitad. A
D F
b) Marca el punto donde se intersecan las 3 bisectrices.
c) Dibuja la circunferencia inscrita. I
B C
E
En este caso únicamente hay que orientar el trabajo para que puedan ilustrar con precisión la
126 característica de las bisectrices, demostrada en clase.
53 Guía Metodológica
Indicador de logro
1.11 Demuestra que la distancia del incentro a cualquiera de los lados de un triángulo son congruentes.
Secuencia Propósito
En la clase 2.11 de la Unidad 8 de séptimo grado, P , S Demostrar que los triángulos que se forman con la
fue definido el incentro de un triángulo a partir del bisectriz son congruentes para concluir que las distancias
trazo de la bisectriz; en esta clase se analizarán las del punto de intersección de las bisectrices a los lados del
características de las bisectrices de un triángulo, triángulo son iguales.
pero a diferencia de séptimo grado, en esta clase
se demostrará haciendo uso de la congruencia de R Ilustrar la propiedad del punto de intersección de las
triángulos. bisectrices mediante la geometría del papel.
Fecha: U6 1.11
P En la siguiente figura, BI y CI son bisectrices del ∆CIE ≅ ∆CIF (por criterio 1 de congruencia de
triángulo ABC, y se cumple que ID ⊥ AB, IE ⊥ BC y triángulos rectángulos).
IF ⊥ CA. Demuestra lo siguiente: Entonces, IE = IF (por definición de congruen-
A cia) ... (2)
D F
I Por lo tanto, ID = IE = IF (por [1] y [2])
b) En ∆FIA y ∆DIA, ID = IF, IA es compartido.
B
E
C
(Por literal a y por construcción).
a) ID = IE = IF ∆FIA ≅ ∆DIA (por criterio 2 de congruencia
b) El segmento AI también es bisectriz del trián- de triángulos rectángulos).
gulo. Entonces, ∢IAF = ∢IAD.
S a) ∆EIB ≅ ∆DIB (por criterio 1 de congruencia de
Por lo tanto, AI es bisectriz de ∆ABC.
triángulos rectángulos).
Observación: Ver imagen en el LT.
Entonces, ID = IE (por la congruencia) ... (1)
Tarea: página 130 del Cuaderno de Ejercicios.
54
1
1.12 Practica lo aprendido
1. En el triángulo equilátero ABC, AM ⊥ BC, responde:
A
a) ¿Cómo se llama el segmento AM? Altura.
b) Determina el valor de los ángulos x, y, z. z
A
y x
B M C
L N
2. En la siguiente figura L, M, N son puntos medios de los lados del
triángulo equilátero ABC. Demuestra que el ∆LMN es equilátero.
B C
M
A
3. En el ∆ABC, desde el punto medio M del lado BC se trazan 2
segmentos perpendiculares a AB y AC, e intersecan en D y E a D E
AB y AC respectivamente, Si MD = ME, demuestra:
a) ∆BDM ≅ ∆CEM
b) ∆ADM ≅ ∆AEM B C
c) El ∆ABC es isósceles. M
d) Si se traza el segmento DE, entonces DE ∥ BC.
4. En los siguientes enunciados sobre triángulos determina si la condición A es necesaria y/o suficiente
para B.
a) A: Dos triángulos son congruentes.
B: Los ángulos internos correspondientes de dos triángulos tienen igual medida.
A es suficiente para B.
b) En dos triángulos rectángulos:
A: La hipotenusa y un ángulo agudo tienen igual medida. A es necesaria para B.
B: Los ángulos internos correspondientes de dos triángulos tienen igual medida.
Unidad 6
1. En los siguientes enunciados acerca de triángulos, determina si la condición A es necesaria y suficiente
para B.
a) A: Equilátero; B: La mediana y la altura coinciden en cada vértice. A es necesaria y suficiente
b) A: La mediana y la bisectriz coinciden en cada vértice. para B.
B: La mediana y la mediatriz coinciden en cada vértice. A es necesaria y suficiente para B.
A
2. En un triángulo isósceles ∆ABC, hay dos puntos D y E en los
D E lados de igual medida AB y AC. Si BD = CE. Demuestra que
a) BE = CD A
F b) Si F es el punto donde se cortan BE y CD entonces BF = CF.
B C
55 Guía Metodológica
Indicador de logro
Clase 1.12
Clase 1.13
2.
a) BD = CE por hipótesis.
BC = CB por ser el mismo
∢CBA = ∢BCA (porque se oponen a lados iguales).
Entonces, ∆BCD ≅ ∆CBE, por criterio LAL.
BE = CD, por definición de congruencia.
b) BD = CE; ∢BDC = ∢BEC,
∢CBD = ∢BCE y ∢BCD = ∢CBE (por
congruencia de triángulos BCD y CBE).
∢CBD = ∢CBE + ∢EBD y
∢BCE = ∢BCD + ∢DCE, como
∢CBD = ∢BCE, entonces
∢CBE + ∢EBD = ∢BCD + ∢DCE, pero
∢CBE = ∢BCD, por tanto,
∢EBD = ∢DCE, de donde se concluye que ∆BFD ≅ ∆CFE, por ALA.
Por tanto, BF = CF, por definición de congruencia de triángulos.
56
2 Paralelogramos
2.1 El paralelogramo
a) Encuentra en la siguiente imagen las figuras planas llamadas paralelogramos, explica la razón por
la que se llaman así.
b) Luego menciona 3 ejemplos de tu alrededor donde encuentras paralelogramos.
Identifica, en las siguientes figuras, cuáles son paralelogramos. Justifica cada caso.
a) b) c) d) e)
63 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.1 Identifica las condiciones para que un cuadrilátero sea paralelogramo.
Secuencia Propósito
En cuarto grado de Educación Básica, fue definido P , S Identificar paralelogramos en un lugar dado y en el
el concepto de paralelogramo y sus características, entorno en que está recibiendo la clase, pero además de
para esta clase se recordarán esos conocimientos identificarlos deberá justificar por qué considera que es un
previos mediante la identificación de paralelogra- paralelogramo.
mos en el entorno, enlistando sus características.
R Identificar los elementos que son iguales en un parale-
logramo, para ello se utilizará lo aprendido en Educación
Básica y en las unidades 4 y 5 de octavo grado.
Fecha: U6 2.1
A D
64
2
2.2 Características de los paralelogramos
En un paralelogramo se cumple que los lados y los ángulos opuestos son congruentes y los ángulos
consecutivos son suplementarios.
A D A D A D A D
B C B C B C B C
Unidad 6
A 10 cm
D ∢x = 100° y ∢y = 80° porque dos ángulos opuestos son
80° 100°
5 cm iguales y el lado AB = 5 cm y el BC = 10 cm porque dos
x° y° lados opuestos son iguales.
B C
1. Dadas las siguientes figuras, explica si son paralelogramos según sus lados y ángulos, encuentra las
medidas de lados y ángulos en el caso de ser paralelogramos.
a) 3 cm b) 4 cm c) 4 cm d) 5 cm
x 90°
x 116° 4 cm 4 cm 3 cm x 72° 90° 90° 3 cm
4 cm 3 cm 3 cm
90° 90° ∢x = 90 72° 108° x y
y 64° 5 cm
4 cm 4 cm ∢x = 108° ∢x = ∢y = 90°
No es paralelogramo
2. Dados los siguientes triángulos, selecciona las parejas de figuras que al unirse forman un paralelogra-
mo y explica por qué son paralelogramos.
a) b) c) d) e)
6 cm
45° 45°
45° 45° 8 cm
6 cm
6 cm 6 cm
Forman paralelogramos: a) y c); b) y e) 129
65 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.2 Caracteriza los paralelogramos estableciendo la relación entre sus lados y ángulos.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se recordó el concepto de pa- P , S Demostrar que en un paralelogramo, sus lados
ralelogramo y algunas características; en esta cla- opuestos son iguales así como los ángulos opuestos y ade-
se se utilizará la congruencia de triángulos para más los ángulos consecutivos son suplementarios.
demostrar la relación que existe entre los lados y
ángulos de un paralelogramo. R Utilizar el resultado de la demostración para determinar
la medida de los ángulos de un paralelogramo.
66
2
2.3 Diagonales de un paralelogramo
B C
1. Escribe qué característica del paralelogramo ABCD se debe utilizar para determinar el valor de x y y.
A D
Para determinar el valor de y Para determinar el valor de x se uti-
se utiliza la característica del O m liza la propiedad de las diagonales;
paralelogramo, tiene sus lados
y 6c 4 cm pues O es la intersección de las dos.
x
opuestos paralelos e iguales.
B C
130
67 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.3 Caracteriza las diagonales de un paralelogramo.
Secuencia Propósito
Anteriormente se demostró la relación que existe P , S Demostrar que el punto de intersección de las diago-
entre los lados y ángulos de un paralelogramo; en nales de un paralelogramo, es el punto medio de ambas,
esta clase se demuestra que al trazar las dos dia- por lo que cada diagonal queda dividida en dos segmentos
gonales del paralelogramo, estas se intersecan en iguales.
su punto medio.
R En el numeral 1, utilizar el resultado demostrado en la
clase para determinar la medida de dos segmentos indica-
dos; mientras que en el numeral 2 complementar una de-
mostración utilizando características de los paralelogramos.
A D
1. Para determinar el valor de y, se utiliza la característica de
y O 6 cm
paralelogramo, tiene sus lados opuestos paralelos e iguales.
x 4 cm
Fecha: U6 2.3
P Demuestra que en un paralelogramo las diago- Entonces, ∆OAB ≅ ∆OCD (por criterio ALA,
nales se intersecan en su punto medio. de [1], [2] y [3]).
Por lo tanto, OA = OC y OB = OD (por defini-
S
A D A D
ción de congruencia).
O
R 1. A D
B C B C y O 6 cm 4 cm
x
Por hipótesis se tiene que AB∥ DC y AD∥ BC. B C
Al trazar las diagonales del paralelogramo se
BO = DO (O es la intersección de las
tiene:
x = 6 cm diagonales)
AB = DC (por ser paralelogramo) . . . (1)
∢ABO = ∢CDO (por ser alternos internos entre
AB = CD (Lados opuestos del paralelo
paralelas) ... (2)
y = 4 cm gramo)
∢BAO = ∢DCO (por ser alternos internos entre
paralelas) ... (3) Tarea: página 135 del Cuaderno de Ejercicios.
68
2
2.4 Condiciones de los lados de un cuadrilátero para que sea paralelogramo
Demuestra que un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son congruentes es un paralelogramo.
A D
Para demostrar que AD∥BC y AB∥DC es
suficiente, demostrar que ∆ABD ≅ ∆CDB,
trazando la diagonal BD.
B C
Entonces, ∆ABD≅ ∆CDB (por criterio LLL, AB = CD, AD = BC; por hipótesis y BD es común).
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son de igual medida, en- Observa que ser paralelogramo es
tonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Este teorema es el una condición, necesaria y suficien-
recíproco de “en un paralelogramo los pares de lados opuestos te, para que un cuadrilátero tenga
lados opuestos de igual medida.
son de igual medida”.
Unidad 6
1. En los siguientes cuadriláteros describe los que cumplen la condición de paralelogramos.
6 cm 4 cm 7 cm
6 cm
6 cm
5 cm 6 cm 6 cm 5 cm 5 cm
5 cm
6 cm
6 cm 6 cm 7 cm
8 cm
Cumplen con las condiciones de paralelogramos el 1, 2 y 4; tienen sus lados opuestos iguales dos a dos.
2. ∆ABC y ∆DEF son congruentes. Explica por qué al unir estos triángulos se forma un paralelogramo.
A F E
B C D
Porque al unirlos se obtiene un cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son iguales. 131
69 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.4 Demuestra la relación que debe existir entre los lados de un cuadrilátero para que sea paralelogramo.
Secuencia Propósito
En la clase 2.2, se demostró que un paralelogra- P , S Realizar la demostración utilizando lo aprendido so-
mo tiene sus lados opuestos iguales; en esta clase bre congruencia de triángulos y ángulos entre paralelas.
se demostrará el recíproco, es decir, si se tiene un
cuadrilátero cuyos pares de lados son iguales; en- R En el numeral 1, utilizar lo aprendido sobre paralelo-
tonces es un paralelogramo. gramos para identificar cuáles de los cuadriláteros dados
cumplen con las condiciones para ser paralelogramos;
mientras que en el numeral 2, justificar por qué los trián-
gulos forman un paralelogramo, esto siempre utilizando
las características de los paralelogramos.
5 cm 5 cm F E
A
7 cm
D
B C
Fecha: U6 2.4
P Demuestra que un cuadrilátero cuyos pares de R Por lo tanto, AD∥ BC (dado que ∢ADB = ∢CBD).
lados opuestos son congruentes es un parale- Finalmente el cuadrilátero ABCD es un
logramo. paralelogramo.
S A D A D
Cumplen con las condiciones de paralelo-
gramos el 1, 2 y 4; tienen sus lados opues-
tos iguales dos a dos.
B C B C
6 cm
6 cm
Se traza la diagonal BD. 5 cm
6 cm
Entonces, ∆ABD ≅ ∆CDB. (por criterio LLL, AB = 5 cm
6 cm
6 cm
CD, AD = BC; por hipótesis y BD es común) 6 cm
7 cm
Entonces, ∢ABD = ∢CDB. (por ser ángulos
correspondientes en la congruencia). 5 cm 5 cm
7 cm
Por lo tanto, AB∥DC (dado que ∢ABD = ∢CDB). Tarea: página 136 del Cuaderno de Ejercicios.
70
2
2.5 Condiciones de los ángulos de un cuadrilátero para que sea paralelogramo
Demuestra que un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de ángulos opuestos son de igual
medida.
A D Estableciendo los puntos E y F sobre la prolongación
de los lados BC y CD respectivamente. Para demostrar
que AB ∥ DC y BC ∥ AD es suficiente, demostrar que
∢ABC = ∢DCE, ∢BCD = ∢ADF.
B C
Una vez se realiza la demostración se concluye que los lados opuestos del cuadrilátero son paralelos.
Si dos pares de ángulos opuestos son congruentes en un cuadri- Ser paralelogramo es una condición
látero entonces es un paralelogramo, este es el recíproco del teo- necesaria y suficiente para que un
rema: “En un paralelogramo dos pares de ángulos opuestos son cuadrilátero tenga ángulos opuestos
congruentes”. de igual medida.
A D
Es suficiente comprobar que los lados opuestos son de
igual medida para demostrar que ABCD es paralelogra-
O mo. Para ello, se puede pensar en los cuatro triángulos
que se forman dentro del paralelogramo.
B C
132
71 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.5 Demuestra que para que un cuadrilátero sea paralelogramo sus ángulos opuestos deben ser iguales.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se demostró que si un cuadri- P , S Demostrar que el cuadrilátero que tiene sus ángulos
látero tiene sus lados opuestos iguales, entonces opuestos iguales es un paralelogramo, utilizando la hipóte-
es un paralelogramo; en esta clase se demuestra sis y los ángulos suplementarios.
que si un cuadrilátero tiene sus ángulos opuestos
iguales, entonces es un paralelogramo. R Demostrar el recíproco del resultado de la clase 2.3,
como una condición para que un cuadrilátero sea parale-
logramo.
A D
Entonces, ∆AOB ≅ ∆COD; por criterio LAL, de (1) y (4).
Por tanto, AB = CD; definición de congruencia ... (5)
O
Por (3) y (5) se concluye que el cuadrilátero ABCD, es un
paralelogramo por tener sus lados opuestos iguales.
B C
Posibles dificultades:
AO = CO y BO = DO; por hipótesis ... (1) En caso de que algunos estudiantes no puedan hacer la
∢AOD = ∢COB; por ser opuestos por el vértice ... demostración, se puede indicar el trabajo por parejas y su-
(2) gerirles que lean la pista.
Entonces, ∆AOD ≅ ∆COB, por criterio LAL, de (1)
y (2).
Por tanto, AD = CB; definición de congruencia ...
(3)
∢AOB = ∢COD; por ser opuestos por el vértice ...
(4)
Fecha: U6 2.5
Luego, ∢ABC = ∢DCE (restando [2] de [1])
P Demuestra que un paralelogramo es un cua- Por lo tanto, AB ∥ DC (ángulos correspon-
drilátero cuyos pares de ángulos opuestos dientes de igual medida).
son de igual medida. De la misma manera, BC ∥ AD. Luego con-
S F
cluir que los lados opuestos son paralelos, y
A D A D
por tanto, el cuadrilátero ABCD es un para-
lelogramo.
B C
R
B C E
AO = CO y BO = DO; por hipótesis, ... (1)
Prolongando los segmentos BC hasta E y CD hasta F; ∢AOD = ∢COB; por ser opuestos por el vértice
2∢ABC + 2∢BCD = 360° (suma de ángulos internos de ... (2)
un cuadrilátero, ∢DAB = ∢BCD y ∢ABC = ∢CDA) Entonces, ∆AOD ≅ ∆COB (por criterio LAL, de
Entonces ∢ABC + ∢BCD = 180° (dividiendo por 2) ... (1) (1) y (2); por tanto, AD = CB.
También ∢BCD + ∢DCE = 180° (por ángulos suple- De forma análoga se demuestra que AB = CD.
mentarios) ... (2)
Tarea: página 137 del Cuaderno de Ejercicios.
72
2
2.6 Condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea paralelogramo
Dibuja en tu cuaderno la figura, para ello realiza los siguientes pasos; luego responde:
1. Traza un segmento AD utilizando 4 cuadros de tu cuaderno o 4 cm
A D
de longitud.
2. Traza otro segmento BC utilizando 4 cuadros de tu cuaderno o 4 cm
de longitud, 4 líneas más abajo de la primera.
3. Traza los segmentos AB y CD.
Por los pasos que se siguieron para construir la figura AD = BC = 4 cm y AD∥BC porque las líneas del
cuaderno son paralelas.
A D
Trazando la diagonal AC.
Entonces, ∆ABC ≅ ∆CDA (∢ACB = ∢CAD por ser ángulos
entre paralelas, AD = BC y AC es común).
Luego, AB = CD (por la congruencia).
Por lo tanto, ABCD es paralelogramo (dos pares de lados
opuestos de igual medida). B C
Cada una de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea
paralelogramo:
1. Dos pares de lados opuestos son paralelos. 4. Las diagonales se intersecan en su punto medio.
2. Dos pares de lados opuestos son congruentes. 5. Dos lados opuestos son paralelos y congruentes.
3. Dos pares de ángulos opuestos son congruen- 6. Los ángulos consecutivos son suplementarios.
tes.
Donde el numeral 1 corresponde a la definición de paralelogramo.
Unidad 6
Se toman los puntos E y F en los lados AD y BC respectivamente de un paralelogramo ABCD de modo
que se cumple que AE = CF. Demuestra que el cuadrilátero EBFD es un paralelogramo.
A E D
ED ∥ BF
ED = AD – AE = BC – FC = BF
73 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.6 Enlista las condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea paralelogramo.
Secuencia Propósito
En las dos clases anteriores, se demostró que si P , S Construir un cuadrilátero y luego demostrar que es
un cuadrilátero tiene sus lados opuestos o sus un paralelogramo, esto con el objeto de enlistar las con-
ángulos opuestos congruentes, entonces es un diciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero
paralelogramo; en esta clase, se busca consolidar sea paralelogramo.
las condiciones que debe cumplir un cuadrilátero
para ser paralelogramo, esto mediante una de- R En el numeral 1, utilizar el resultado demostrado en la
mostración a partir de una construcción bajo cier- clase para identificar cuáles de las condiciones dadas son
tas condiciones. suficientes para que el cuadrilátero sea paralelogramo.
Fecha: U6 2.6
E
P dos en el LT.
Construir la figura, siguiendo los pasos indica-
A E
ED ∥ BF
D ED = AD – AE = BC – FC = BF
74
2
2.7 Características del rectángulo y el rombo
Demuestra que un rectángulo y un rombo son paralelogramos. Utiliza las condiciones establecidas en
la clase anterior.
Definición de un rectángulo: Es el cuadri-
látero que tiene sus cuatro ángulos rec-
tos congruentes.
• Rectángulo: tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes, por la condición 3, es un paralelogramo.
• Rombo: tiene dos pares de lados opuestos congruentes, por la condición 2, es un paralelogramo.
El rectángulo es un paralelogramo por sus ángulos y por sus lados, el rombo también lo es.
Demuestra los siguientes resultados sobre las diagonales del rombo y el rectángulo.
a) Las diagonales de un rectángulo son iguales. Para demostrar que AC = DB,
b) Las diagonales de un rombo se intersecan perpendicularmente. es suficiente demostrar que
∆ABC ≅ ∆DCB.
A D
1. Trazando las diagonales AC y DB en el rectángulo ABCD.
(por criterio LAL, AB = DC, BC es
Entonces ∆ABC ≅ ∆DCB
común y ∢ABC = ∢DCB = 90°).
Por lo tanto, AC = BD (por la congruencia). B C
1. Demuestra que un cuadrilátero cuyas diagonales son congruentes y se cortan en el punto medio, es
un rectángulo.
2. Construye un rombo cuyas diagonales sean congruentes con los segmentos AB y CD.
8 cm
A B
6 cm
C D
134
75 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.7 Caracteriza un rectángulo y un rombo.
Secuencia Propósito
En la lección 2 de esta unidad, se han demostra- P , S Utilizar las condiciones necesarias y suficientes para
do las propiedades de los paralelogramos y se han que un cuadrilátero sea paralelogramo para demostrar
establecido las condiciones necesarias y suficien- que el rombo y el rectángulo son paralelogramos.
tes para que un cuadrilátero sea paralelogramo;
en esta clase, se demostrará que un rombo y un R En el numeral 1, utilizar la congruencia de triángulos
rectángulo también son paralelogramos utilizando para demostrar que si las diagonales son congruentes y
las condiciones de la clase anterior. se cortan en el punto medio, entonces es un rectángulo;
mientras que en el numeral 2, es únicamente una cons-
trucción con regla y/o compás.
Fecha: U6 2.7
1. Trazando AC y DB en el rectángulo ABCD.
P Demuestra que un rectángulo y un rombo son Entonces, ∆ABC ≅ ∆DCB, por LAL
paralelogramos. Por lo tanto, AC = BD. (Por la congruencia).
S Rectángulo: tiene dos pares de án-
2. Sea O el punto donde se intersecan las diago-
gulos opuestos congruentes, por la
nales. Entonces, ∆ACD es isósceles. (Por ser
condición 3, es un paralelogramo.
rombo DA = DC).
Luego, DO es mediatriz de ∆ACD.
Rombo: tiene dos pares de lados
opuestos congruentes, por la
Por lo tanto, DB⊥AC (porque en un triángulo
condición 2, es un paralelogramo.
isósceles coincide la bisectriz con la mediana y
E Demuestra: la altura).
a) Las diagonales de un rectángulo son iguales.
b) Las diagonales de un rombo se intersecan
R Copiar la solución del apartado “resolución
de ítems”.
perpendicularmente.
Tarea: página 139 del Cuaderno de Ejercicios.
76
2
2.8 Aplicación de las características de las diagonales de un rectángulo
Dado el triángulo rectángulo ABC, donde se establece el punto medio de la hipotenusa AC como el
punto M, demuestra que MA = MB = MC.
A
B C
En todo triángulo rectángulo, el segmento que une el vértice opuesto a la hipotenusa con el punto me-
dio de esta, tiene una longitud congruente a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Unidad 6
1. ¿Cuáles son las condiciones que se deben adicionar para que un paralelogramo sea rectángulo, rom-
bo o cuadrado? Escoge del literal a al literal d las condiciones correspondientes.
a) ∢A = 90° b) AB = BC c) AC = BD d) AC⊥BD
D A D
A D A D Cuadrado:
Rectángulo: A a) y b)
C
a) o c) a) y d)
B C B C c) y b)
Rombo: B B C c) y d)
b) o d) Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado
77 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.9 Utiliza las características de las diagonales de un rectángulo para demostrar relaciones con elementos
de un triángulo rectángulo.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se demostraron algunas carac- P , S Demostrar una de las propiedades de los triángulos
terísticas de los triángulos rectángulos; ahora se rectángulos, tomando como recurso la construcción de un
demostrará que el segmento que une el vértice rectángulo y las características de sus diagonales.
opuesto a la hipotenusa con el punto medio de
ella, es congruente con la mitad de la longitud de R Identificar las condiciones que debe cumplir un cuadri-
la hipotenusa. látero para ser rectángulo, rombo o cuadrado, consideran-
do los recursos dados.
Fecha: U6 2.8
P Dado el triángulo rectángulo ABC, donde Además AC = BD. (ABCD es un rectángulo) . . . (3)
se establece el punto medio de la hipote- Por lo tanto, MA = MB = MC. De (1), (2) y (3).
nusa AC como el punto M, demuestra que
MA = MB = MC. E Dado que el cuadrado tiene 4 lados congruentes,
A A D
entonces los lados opuestos son congruentes y
por tanto el cuadrado es paralelogramo.
M M
B C
B C
R 1. Rectángulo: a) o c)
Rombo: b) o d)
S Construyendo un rectángulo ABCD de lados
Cuadrado: a) y b)
AB y BC; y diagonales AC y BD.
a) y d)
BM = 12 BD. (Por ser diagonal del paralelo-
c) y b)
gramo ABCD) ... (1)
c) y d)
MA = MC = 12 AC. (Por ser diagonal del pa-
ralelogramo ABCD) ... (2) Tarea: página 140 del Cuaderno de Ejercicios.
78
2
2.9 Recíproco de características de rectángulos
¿Habrán cuadriláteros que tengan las diagonales congruentes pero no sean rectángulos?
1. Demuestra que las diagonales de un trapecio isósceles que no es un paralelogramo son congruentes.
A D
B C
2. Demuestra que un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio
es un rombo.
136
79 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.9 Analiza la veracidad del recíproco de las características de los rectángulos.
Secuencia Propósito
En la clase 2.7, se demostró que un rectángulo tie- P , S Demostrar que el recíproco de “en un rectángulo las
ne sus diagonales congruentes y se cortan en el diagonales son iguales”, no se cumple, mediante la presen-
punto medio; en esta clase se demuestra que si las tación de un contraejemplo.
diagonales de un cuadrilátero son congruentes, no
siempre es un rectángulo. E En el numeral 1, demostrar que las diagonales de un tra-
pecio isósceles son congruentes, este es el contraejemplo
usado en el Problema inicial; mientras que en el numeral
2, demostrar la relación que existe entre las diagonales de
un rombo.
B A´ D´ C
Fecha: U6 2.9
P ¿Habrán cuadriláteros que tengan las diagonales E
congruentes pero que no sean rectángulos?
S Tomando un trapecio isósceles (AB = DC y AD ∥ BC).
Se puede demostrar que ∆ABC ≅ ∆DCB para
determinar que AC = DB. Esto no siempre es cierto, por ejem-
plo el cuadrilátero mostrado tiene sus
diagonales perpendiculares, y no es un
A D Por lo tanto, la respuesta es sí,
rombo.
hay otros cuadriláteros cuyas
diagonales son congruentes; los
B C trapecios son un ejemplo. R 1. La demostración está en la columna
de solución de algunos ítems.
80
2
2.10 Relación entre líneas paralelas y áreas
B C
Cuando se tienen dos rectas paralelas, los segmentos perpendiculares trazados de una recta a otra,
tienen igual longitud.
Unidad 6
B C
Los triángulos ABM, DBM y DMC son algunos de los que M
A
tienen igual área, además de los triángulos ABD, AMD y D
BDC; dado que tienen la misma base y la misma altura,
dada la propiedad que entre líneas paralelas los segmentos P
perpendiculares tienen la misma longitud.
B
M C
También se puede decir que las áreas de los triángulos ABP y DMP son iguales, puesto que las áreas de
ABM y DBM son iguales y se les está restando la misma porción de área a ambos (MPB).
Si se establece como punto O la intersección de diagonales en el trapecio ABCD con AD∥BC, demuestra
que las áreas de los triángulos AOB y DOC son iguales.
A D
O
B C
137
81 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.10 Determina la relación entre los segmentos perpendiculares trazados entre rectas paralelas.
Secuencia Propósito
En las clases anteriores se ha trabajado con ca- P , S Demostrar que los segmentos perpendiculares tra-
racterísticas de los cuadriláteros; en esta clase, se zados entre dos rectas paralelas tienen igual longitud.
establecerá la relación entre los segmentos per-
pendiculares trazados entre dos rectas paralelas, E Demostrar que las áreas de dos triángulos son iguales,
tomando como recurso el área de dos triángulos utilizando como recurso el resultado de esta clase y el de
de igual base y altura. la anterior.
A D
O
B C
Fecha: U6 2.10
P En la siguiente figura las líneas l y BC son para- Tienen igual base y alturas congruentes,
lelas, explica por qué los triángulos ABC, A'BC, por tanto, el área de los dos triángulos
tienen la misma área. es igual.
l A A'
82
2
2.11 Aplicación de la relación entre líneas paralelas y áreas
En el cuadrilátero ABCD que se muestra a continuación, en la prolongación del segmento BC, se ubica el
punto E, se forma el triángulo ABE, de tal manera que el ∆ABE tenga la misma área que el cuadrilátero
ABCD, ¿dónde se debe colocar el punto E?
A
Puedes intentar encontrar el triángulo que
D tenga la misma área que el triángulo ACD,
relacionando rectas paralelas y áreas.
A
D
B C
C B
Para elaborar el ∆ABE que tenga la misma área que el cuadrilátero ABCD, puedes seguir los pasos:
Por lo tanto, área de ∆ABE = área del cuadrilátero ABCD (área de ∆DAC = área de ∆EAC).
Los triángulos con base común tienen igual área si la recta que une los vértices opuestos a la base, es
paralela a la base.
83 Guía Metodológica
Indicador de logro
2.11 Resuelve problemas de triángulos y paralelogramos aplicando la relación entre rectas paralelas y áreas.
Secuencia Propósito
Ya se ha demostrado que los triángulos que se for- P , S Demostrar que existe un triángulo de igual área al
man entre dos paralelas y que tienen igual base, cuadrilátero dado, construyendo trazos auxiliares, que
tienen igual área; en esta clase, se utilizará el permitan utilizar el resultado de la clase anterior.
resultado de la clase anterior para encontrar un
triángulo que tenga igual área que un cuadrilátero R En el numeral 1, utilizar lo aprendido sobre ángulos y
dado, realizando trazos auxiliares. triángulos para determinar la medida del segmento indi-
cado.
Fecha: U6 2.11
P En el cuadrilátero, en la prolongación del segmen- Área de ∆DAC = Área de ∆EAC, (por estar
to BC, se ubica el punto E, se forma el triángulo entre paralelas y tener base común).
ABE, de tal manera que el ∆ABE tenga la misma
área que el cuadrilátero ABCD, ¿dónde se debe co- Área del cuadrilátero ABCD = Área de ∆ABC
locar el punto E? + Área de ∆DAC.
Área de ∆ABE = Área de ∆ABC + Área de
S Observación: Ver imágenes en LT. ∆EAC.
1. Trazar la diagonal AC. R Por lo tanto, Área de ∆ABE = Área del cua-
2. Se traza la paralela l, al lado AC y que pase por drilátero ABCD (Área de ∆DAC = Área de
el vértice D, establecer el punto E donde se in- ∆EAC).
terseca con la prolongación al lado BC.
1. BP = QD = 6, (ver resultado completo en
3. Construir el ∆ABE trazando un segmento del
solución del primer ítem).
punto A, al punto E.
Tarea: página 143 del Cuaderno de Ejercicios.
84
2
2.12 Practica lo aprendido
1. ¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros pueden ser paralelogramos? Menciona qué condición aprendi-
da en la clase 6 de esta lección se aplica.
Paralelogramo No es paralelogramo Paralelogramo
4.2 cm
58° 2c
122°
m 3 cm
2c
3 cm m
58°
4 cm
Dos ángulos consecutivos son Dos lados opuestos no son Las diagonales se intersecan
suplementarios. congruentes. en el punto medio.
2. Demuestra que, si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares congruentes y se cortan en el
punto medio, entonces este es un cuadrado.
A
O
B D
3. En el dibujo los puntos E y F están en la diagonal BD del paralelogramo ABCD y BE = EF = FD. Demuestra
que el cuadrilátero AECF es un paralelogramo.
Unidad 6
A D
F
E
B C
4. ABCD es un cuadrado y los lados señalados son congruentes. Demuestra que EFGH también es un
cuadrado.
A H D
B F C
139
85 Guía Metodológica
Indicador de logro
2. A
θ AO = CO y DO lo comparten.
∢DOC = ∢DOA = 90°.
B
θ O
D
Entonces ∆DOC ≅ ∆DOA, por criterio LAL.
Por tanto, CD = DA (definición de congruencia) ... (2)
BO = DO y CO lo comparten.
∢BOC = ∢DOC = 90°.
C
3.
A D Sea G el punto de intersección de AC y BD,
F AG = CG y EG = BG − BE = DG − DF = FG por característi-
G
E cas de las diagonales del paralelogramo.
4.
A H D Entonces DH = BF ... (2)
β
CD = DA
G CG + GD = DH + HA; pero GD = HA.
θ Entonces CG = DH ... (3)
AE = DH = BF = CG; por (1), (2) y (3).
E
Entonces ∆AHE ≅ ∆BEF ≅ ∆CFG ≅ ∆DGH, por LAL.
86
2
2.13 Practica lo aprendido
1. Según la información mostrada, determina si los triángulos indicados son congruentes o no. Explica tu
respuesta.
a) A b) c)
A A
D
B B C B D C
D C
∆ABD y ∆ACD ∆ABC y ∆ACD ∆ABD y ∆ACD
Sí, es triángulo rectángulo y tiene
un cateto y la hipotenusa iguales.
2. En el ∆ABC, AB = AC y ∢CAB=36°. DB es la bisectriz del ∢ABC que corta el lado AC en el punto D.
Demuestra que BC = BD = DA. A
B C
3. En la siguiente figura DE = AB y ∢DEC= ∢BAC, demuestra que AD = BE.
D E
A B
A H D
4. Se toman 4 puntos E, F, G y H en los cuatro lados AB, BC, CD y DA del
paralelogramo ABCD respectivamente, de modo que AE = CG y BF = DH. E
Demuestra que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
G
[Sugerencia: Observa que AH = CF, deduce que ∆AEH ≅ ∆CGF]
B F C
A E D
5. En la figura el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, se tiene que BE
y DF son bisectrices de ∢ABC y ∢CDA, respectivamente.
87 Guía Metodológica
Indicador de logro
2. Como AB = AC, ∢ABC = ∢ACB. ∢ABC + ∢ACB = 3. Como ∢DEC = ∢BAC, DE ∥ AB; además DE = AB.
180° − ∢A = 144°; entonces ∢ABC = ∢ACB = 72° Por tanto, el cuadrilátero ABED, es un paralelogra-
y ∢ABD = 36° = ∢A, por propiedad de bisectriz, mo, tiene dos lados opuestos paralelos e iguales.
D E
luego BD = DA ... (1)
Además ∢BDC = 180° − 36°− 72° = 72° = ∢BCD, de C
donde se obtiene que BD = BC ... (2)
Por tanto, BD = DA = BC. A B
A
B C
Competencia de la Unidad
Utilizar el área y el volumen de cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones del entor-
no.
Relación y desarrollo
• Construcción de ángulos
Unidad 4: Paralelismo y án- Unidad 5: Figuras semejantes
usando el transportador
gulos de un polígono • Semejanza
• Clasificación y construc-
• Suma de los ángulos inter- • Semejanza de triángulos
ción de triángulos
nos y externos de un polí- • Semejanza y paralelismo
• Clasificación y construc-
gono • Aplicación de semejanza y
ción de cuadriláteros
• Rectas paralelas y ángulos triángulos semejantes
• Clasificación de cuerpos
geométricos
• Figuras simétricas
• Perímetro y área de trián-
gulos y cuadriláteros Unidad 5: Criterios de con-
• Patrones de cubos y pris- gruencia de triángulos Unidad 6: Teorema de Pitágo-
mas rectangulares y trian- • Congruencia de triángulos ras
gulares • Teorema de Pitágoras
• Longitud de la circunferen- • Aplicación del teorema de
cia y área del círculo Pitágoras
• Longitud y área de secto- Unidad 6: Características de
res circulares notables los triángulos y cuadriláteros
• Volumen del prisma • Triángulos
• Traslaciones, giros y sime- • Paralelogramos
tría rotacional Unidad 7: Ángulo inscrito y
central
• Ángulo central e inscrito
• Aplicación de ángulos cen-
tral e inscrito
Séptimo grado Unidad 7: Área y volumen de
sólidos geométricos
Unidad 8: Figuras planas • Características y elemen-
y construcción de cuerpos tos de los sólidos geomé-
geométricos tricos
• Movimiento de figuras en • Cálculo del volumen de só-
el plano lidos geométricos
• Círculos, segmentos y án- • Aplicaciones de volúmenes
gulos • Áreas de sólidos geométri-
• Planos, cuerpos geométri- cos
cos y área total de prisma, • Aplicaciones de áreas
pirámide y cilindro
93
Plan de estudio de la Unidad
1 5. Volumen de la esfera
1 Prueba de la Unidad 7
94
Puntos esenciales de cada lección
95 Guía Metodológica
1 Características y elementos de sólidos geométricos
A los sólidos geométricos que pueden generarse girando una figura plana alrededor de un eje se les
llama sólidos de revolución.
2. ¿Cuál es la figura plana que se ha girado para obtener los siguientes cuerpos geométricos?
a) b)
142
96
Indicador de logro
1.1 Identifica el sólido que se genera al girar una figura plana alrededor de un eje.
Secuencia Propósito
En la Unidad 2 de cuarto grado se trabajaron las P , S El estudiante debe manipular la cartulina en forma
características de los sólidos mediante la observa- de rectángulo con el palillo de dientes y observar que al
ción de figuras en el entorno. Para esta clase se girar dicho rectángulo se generará el cilindro.
busca que el estudiante descubra los sólidos que
se generan al hacer girar figuras planas sobre un E Se presentan dos casos en los que se puede trabajar
eje. con cartulina o simplemente deducir que al girar el trián-
gulo rectángulo se genera el cono y para el caso del cono
truncado el estudiante puede notar que solo observando
un lado del eje, el sólido es generado por un trapecio isós-
celes.
Materiales:
Cartulina, palillo de dientes, pegamento.
2. a) Es un triángulo isósceles.
2. b) Es un trapecio isósceles.
Fecha: U7 1.1
E 2.
P Realiza lo siguiente: Para generar el sólido, la fi-
Gira alrededor del palillo el rectángulo y contesta: gura plana que se ha rotado
¿Qué se puede observar? es la mitad de un trapecio
¿Se forma algún sólido que ya isósceles, como se puede
conoces? ver a la derecha.
97
1
1.2 Características y elementos del cono y la esfera
a) b) c)
d) e) f)
triángulo.
ratri
g h
e
Gen
A B
Base
Radio
143
98
1
Una esfera es un cuerpo redondo formado por una sola Eje de giro
superficie curva. Puede verse también como un sólido de Radio
revolución, haciendo girar un semicírculo alrededor de su
diámetro.
1. Dibuja en tu cuaderno los siguientes sólidos, luego escribe el nombre a los elementos que se indican
con los espacios en blanco y donde sea necesario, traza una flecha para relacionar el nombre con el
respectivo elemento.
Cúspide
Altura
Generatriz
Radio Base
2. Completa colocando los nombres de los elementos de la esfera o dibujando lo que falte, donde co-
rresponda.
Superficie curva
Cuerda
Diámetro
Radio
144
99
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la Unidad 3 de tercer grado se abordó la defini- P , S Identificar los elementos de cada una de las figuras
ción de una esfera y algunos de sus elementos con según lo estudiado en años anteriores, para poder deducir
objetos del entorno, en la Unidad 2 de cuarto gra- características de cada uno de los sólidos geométricos.
do fueron definidas algunas características de los
conos, pirámides, prisma rectangular y cilindro, en C El estudiante leerá la conclusión junto con el docente
esta clase se identificarán algunas características y para conocer las características y elementos del cono y la
elementos del cono y la esfera. esfera, no es necesario escribirlo en la pizarra, puesto que
en la parte de ejercicios ellos podrán realizar el dibujo y
colocar los elementos de dichos cuerpos geométricos.
Posibles dificultades:
No recordar las características de los sólidos
geométricos debido a que los estudiaron hace va-
rios años, en tal caso el docente debe orientarles.
Materiales:
Llevar un cartel con las figuras que se presentan
en el Problema inicial.
Fecha: U7 1.2
R
P Escribe las características de los siguientes cuerpos geométricos.
1. • Cúspide
a) b) c) • Altura
• Radio
• Generatriz
d) e) f)
• Base
• Superficie
S a) Tiene dos bases poligonales y sus caras son planas. curva
• Diámetro
b) Tiene una sola base y una cúspide, además sus caras son planas.
c) Está formado por una sola cara plana circular, un vértice y su cara • Cuerda
lateral es curva. • Radio
d) Todas sus caras son planas y cuadradas.
e) Tiene dos bases circulares y su cara lateral es curva.
f) Es una superficie totalmente curva, no tiene caras laterales ni Tarea: página 149 del Cuader-
bases. no de Ejercicios.
100
2 Cálculo del volumen de los sólidos geométricos
3 cm
El volumen de un prima es:
5 cm VPrisma = Área de base × altura
2. a) Se obtiene un cilindro. 3 cm
9π cm2
El área de un círculo de radio r
9π cm2
b) V = 9π cm2 × 5 cm 5 cm 9π cm2
9π cm2
está dado por la fórmula:
9π cm2
Acírculo = πr2
Se deduce entonces, que el volumen del cilindro se obtiene de una manera análoga r
al volumen de un prisma, es decir, el volumen de un cilindro es igual al producto del
área de la base (AB = πr2) por la altura (h).
h
Vcilindro = AB × h = πr h 2
Observa la siguiente secuencia de cuerpos geométricos, ¿a qué figura plana se aproxima la base del
prisma cuando se aumenta el número de lados? Unidad 7
La base se aproxima a un círculo. Por tanto, el volumen del prisma se aproxima al volumen del cilindro
cuando el número de lados de la base aumenta.
14 cm
15 cm
3 cm 8 cm
10 cm 5 cm Área: 8 cm2
5 cm 8 cm 6 cm 3 cm
3 cm
300π cm3 896π cm3 540π cm3 150 cm3 72 cm3 32 cm3 145
101
Indicador de logro
1.3 Deduce la fórmula para el cálculo del volumen del cilindro de manera análoga al cálculo del volumen
del prisma.
Secuencia Propósito
En las dos clases anteriores se trabajó con las P , S Deducir el volumen de un cilindro de manera aná-
características y elementos de algunos cuerpos loga al cálculo del volumen del prisma, apilando cubos y
geométricos, en esta ocasión se trabajará en de- discos con 1 cm de altura.
ducir el volumen del prisma y del cilindro.
E El ejemplo de esta clase es para que el estudiante ob-
serve que entre más lados tenga la base del prisma, más se
acerca al volumen del cilindro.
d) VPrisma = 50 cm2 × 3 cm
VPrisma = 150 cm3
Fecha: U7 2.1
Si se tiene un prisma y una pirámide que tienen una Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por
base cuadrangular congruente e igual altura, ¿cuántas caras planas y que encierran un volumen.
veces cabe el volumen de la pirámide en el prisma?,
Una pirámide es un poliedro limitado por una sola
¿qué se puede concluir con el resultado obtenido? base poligonal y por varias caras laterales, con for-
ma triangular, que tienen un vértice común.
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base (AB) por su altura (h):
Vpirámide = 13 × AB× h
2. ¿Cuál es la altura de una pirámide que tiene por base un cuadrado de lado 2 cm
y tiene por volumen 16 m3? 12 cm
146
103
Indicador de logro
2.2 Determina la relación entre el volumen de un prisma y el de una pirámide, cuyas bases son congruen-
tes y se utilizan para resolver problemas.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se trabajó con el volumen de P , S Comparar el volumen de una pirámide cuadrangu-
un prisma y un cilindro, realizando comparaciones lar con un prisma cuadrangular, que tenga base y altura
entre el volumen de ambos, en esta clase se de- congruentes, con el objetivo de verificar la relación entre
terminará la relación de los volúmenes entre el volúmenes de estos cuerpos geométricos.
prisma y una pirámide cuando sus bases son con-
gruentes. E En la conclusión se obtiene la fórmula general para el
volumen de una pirámide.
Fecha: U7 2.2
104
2
2.3 Volumen de la pirámide triangular
Se sabe que el volumen de una pirámide es igual a Vpirámide = 13 AB× h y como en este caso la base es un
triángulo, entonces el área de la base es:
AB = 12 × 6 × 4 = 6 2× 4 = 24
2 = 12 cm .
2
1. Para cada uno de los casos, calcula el volumen del prisma y luego el volumen de la respectiva
pirámide:
a) 3 4 b)
Unidad 7
90 cm3 30 cm3
15 cm
6
36 cm 3
12 cm3
3 cm
4 cm
105
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la clase anterior se realizó la deducción del vo- P , S Calcular el volumen de una pirámide triangular, me-
lumen de una pirámide cuadrangular, para esta diante la fórmula general encontrada en la clase anterior.
clase se trabajará con la fórmula del volumen de
la pirámide triangular. E En el ejemplo se busca que el estudiante encuentre el
área de la base, comprendiendo que hay dos alturas, una
de la base y la otra de la pirámide.
Fecha: U7 2.3
denominada AB
Vprisma = AB × h = 6 × 6 = 36 cm3
= 24 Vpirámide = 13 × Vprisma = 13 × 36 cm3 = 12 cm3
1 6×4
AB = 2 ×6×4= 2 2 = 12 cm
2
106
2
2.4 Volumen del cono
Se tiene un cilindro y un cono de bases congruentes, ¿cuántas veces cabe el volumen del cono en el
cilindro?, ¿qué se puede concluir con el resultado obtenido?
El volumen del cono es igual a un tercio del volumen del cilindro; es decir, es un tercio del producto del
área de la base (AB) por la altura (h).
Vcono = 13 AB × h = 13 πr2h
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por su altura. Observa la siguiente
secuencia de cuerpos geométricos:
Solución.
La base se aproxima a un círculo. Así, cuando el número de lados de la base de una pirámide aumenta
más y más, esta se aproxima a un cono.
Calcula el volumen del cilindro, luego encuentra el volumen del cono de igual base y altura que el
cilindro.
a) b)
25 cm
20 cm
12 cm 9 cm
107
Indicador de logro
2.4 Determina la relación entre el volumen del cono y el cilindro de igual radio y altura.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se trabajó con el volumen de la P , S Comparar el volumen del cilindro con un cono que
pirámide triangular, y en la clase 2.1 se dedujo el tenga base y altura congruentes, con el objetivo de ve-
volumen del cilindro mediante el del prisma, aho- rificar la relación entre los volúmenes de estos cuerpos
ra se determinará el volumen del cono mediante geométricos.
el del cilindro.
E En el Ejemplo se puede observar que entre más lados
tenga la base de la pirámide más se acerca al volumen del
cono.
Fecha: U7 2.4
108
2
2.5 Volumen de la esfera
Se tiene una esfera y un cilindro con el mismo radio, la altura del cilindro es el diámetro de la esfera,
¿cuántas veces cabe el volumen de la esfera en el cilindro?, ¿qué puedes concluir con el resultado ob-
tenido?
A partir de este resultado, se puede concluir que el volumen de la semiesfera es la tercera parte del
volumen del cilindro; pero la esfera está formada por dos semiesferas. Entonces, el volumen de la
esfera es dos terceras partes del volumen del cilindro.
El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen de un cilindro que tenga el mismo radio y su
altura sea igual al diámetro de la esfera. Es decir,
Vesfera = 23 (Vcilindro) = 23 πr2h ( pero h del cilindro es 2r) A la mitad de una
esfera se le conoce
como semiesfera.
= 23 πr2(2r) = 23 (2πr3) = 43 πr3
El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro; es decir, es dos tercios del pro-
ducto del área de la base (AB) por la altura (h).
Vesfera = 23 (Vcilindro) = 43 πr3
Unidad 7
2m
109
Indicador de logro
3.1 Determina la relación entre el volumen de la esfera y el cilindro con igual radio e igual altura.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se trabajó con el volumen de P , S Comparar el volumen del cilindro con una semies-
un cono realizando la comparación con un cilin- fera que tenga radios congruentes, con el objetivo de ve-
dro, de manera similar se pretende realizar para el rificar la relación entre los volúmenes de estos cuerpos
volumen de una esfera, para este caso se trabajará geométricos.
con una semiesfera y luego el resultado se multi-
plicará por dos. C En la conclusión se obtiene la fórmula general para el
volumen de la esfera.
3. Vsemiesfera = 12 43 πr3
Vsemiesfera = 12 43 π(10)3
Vsemiesfera = 2 000
3
cm3
Fecha: U7 2.5
P Se tiene una esfera y un cilindro con el mismo radio, la R Vcilindro = AB × h = πr2h
altura del cilindro es el diámetro de la esfera, ¿cuántas
veces cabe el volumen de la esfera en el cilindro? ¿Qué Vcilindro = π(1)2(2) = 2π m3
puedes concluir con el resultado obtenido?
Vesfera = 23 Vcilindro
= 23 (2π m3)
S
r 2r Vesfera = 43 π m3
r
Bases iguales
110
3 Aplicaciones de volúmenes
12 cm
Primero se encuentra el volumen de la semiesfera:
1 1 4 3 4 500 250
2 Vesfera = 2 3 πr = 6 (π × 5 ) = 6 π = 3 π =83.3π cm .
3 3
a) b) 12 cm
r = 3 cm
8 cm
5 cm
4 cm
150
111
Indicador de logro
3.1 Utiliza las fórmulas de volúmenes de sólidos geométricos, para determinar el volumen de sólidos
compuestos.
Secuencia Propósito
En las clases anteriores se dedujeron los volúme- P , S Encontrar el volumen total de sólidos compuestos,
nes de algunos sólidos geométricos, en esta clase utilizando las fórmulas que se dedujeron en las clases an-
se utilizarán para calcular el volumen de algunos teriores, para ello se desarrollará cada uno de los sólidos
sólidos compuestos. individuales y luego se sumarán.
= 144
3 π cm = 48π cm
3 3
= 336π cm3
Fecha: U7 3.1
R
1 4
P Calcula el volumen del a) Vsemiesfera = 2 3 πr3
5 cm
siguiente sólido: 12 cm
4 108
= 6 (π × 33) = 6 π
= 18π cm3
S 1
2 Vesfera =
1
2
4 3
3 πr =
4
6 (π ×5 )
3
1 1
Vcono = 3 πr2h = 3 π × 32 × 5
500
= 6 π = 250
3 π = 83.3π cm
3
= 45
3 π cm = 15π cm
3 3
Vcono = 13 πr2h = 13 π × 52 × 12 = 100π cm3 V = Vsemiesfera + Vcono = 18π cm3 + 15π cm3
= 33π cm3
V = 12 Vesfera + Vcono = 250
3 π cm + 100π cm
3 3
= 550
3
π cm3 ≈ 183.3π cm3 Tarea: página 155 del Cuaderno de Ejercicios.
112
3
3.2 Practica lo aprendido
2. ¿Qué cantidad de agua puede almacenar un recipiente esférico con radio igual a 18 cm?
7 776π cm3 o bien 826.03 fl oz.
8 cm
25 cm
5 824
3 π cm
3
5. Compara los volúmenes de los tres cuerpos, ¿qué relación encuentras entre ellos?
Vcilindro = πr3 1 2
Vcono= 3 πr3 Vsemiesfera = 3 πr3 r
r
r
r r r
8. Un laboratorio farmacéutico envasa alcohol en frascos de forma cilíndrica, que miden 4 cm de diámetro
y 10 cm de altura. Calcula la capacidad en litros de cada frasco de alcohol.
0.04π l
151
113
Indicador de logro
1. Vcono = 13 πr2h = 13 π × 32 × 9
2. Vesfera = 43 πr3
= 81
3 π cm = 27π cm
3 3
Vesfera = 43 π(18)3 = 7776π cm3
Luego para encontrar la cantidad de agua que 0.0338135 fl oz
7 776π cm3 = 7 776π cm3 1 cm3
puede contener el cono hay que multiplicar el
resultado por 0.0338135 fl oz.
= 826.03 fl oz
Es decir, si 1 cm3 = 0.0338135 fl oz, entonces
1 = 0.0338135
1 cm3
fl oz
= 2.87 fl oz
Vcilindro = AB × h = πr2h
V = Vsemiesfera + Vcilindro
1 024
= 3 π cm3 + 1 600π cm3
5 824
= 3 π cm3
Observación:
Para el ejercicio 6, dependiendo del instrumento
que se utilice para el cálculo, pueden variar los úl-
timos dígitos.
114
3
3.3 Practica lo aprendido
12 cm 22 cm
18 cm
12 cm
10 cm
5 cm 6 cm
25 cm
42 592
1 000 cm3 150π cm3 432π cm3 3 π cm
3
3. Encuentra la altura de un cilindro cuyo volumen es de 60π cm3 y el radio de la base es de 8 cm.
15
16 cm
5 cm
6 cm
152
115
Indicador de logro
= 3 000
3 cm
3
Vcono = 13 π(5)2(18) = 150π cm3 Vcilindro = 432π cm3
= 1 000 cm3
d) Vesfera = 43 πr3
300π cm3 = π(5 cm)2h 60π cm3 = π(8 cm)2h Vcilindro = 240π cm3
h = 300π cm
h = 60π cm 15
3 3
h = 15
16 cm
Vpirámide = 60 cm3
116
4 Áreas de sólidos geométricos
Dado un cono de papel, se hace un corte como indica la figura, y además, se corta el círculo por la orilla,
pero sin despegarlo del resto del cono:
io
b) Una figura plana compuesta que describe r
d
ra
un sólido geométrico, se conoce como pa-
trón o plano desarrollado del sólido.
como g, y el ángulo central que es la porción del círculo limitada Un sector circular es la por-
por dos radios, que son las generatrices del cono; el arco del sec- ción de círculo limitada por
θ veces la circunferencia del círculo que forma el dos radios, que forman el
tor circular es 360
ángulo central θ.
sector, así la longitud del arco del sector es:
θ θ g L
L = 2πg × 360° = 180° πg
θ
153
117
4
El patrón del cono está compuesto por un círculo de radio r, que es el radio del cono; y por un sector
circular, cuyo radio es la generatriz del cono y el ángulo central θ.
L = 2πr ...(1)
θ
L = 180° πg ...(2)
a) El radio de la base es r = 8 cm
b) La generatriz g = 12 cm y el ángulo central θ = 240°
Solución.
a) L = 2πr; entonces, L = 2π × 8 = 16π; o bien,
θ
b) L = 180° πg; entonces, L = 240°
180°
π × 12 = 43 π × 12 = 4π × 4 = 16π.
Es importante observar que los elementos conocidos son los que determinan la fórmula que se utilizará
para calcular la longitud de arco.
1. Dada la siguiente figura del patrón del cono, escribe el nombre a los elementos indicados.
radio radio
2. Encuentra la longitud de arco de un cono, cuya generatriz mide 10 cm y el ángulo central es 60°.
10π cm
3
154
118
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En esta clase se pretende visualizar a detalle cada P , S Identificar los elementos del cono, mediante el pla-
uno de los elementos del patrón o plano desa- no desarrollado, donde se muestran las figuras geométri-
rrollado del cono, para ello se realizan recortes al cas involucradas, a la vez que se encuentra la longitud de
cono y se despliega para visualizar las figuras pla- arco, la cual se utilizará más adelante para encontrar el
nas que lo forman. Además, se aborda la longitud área de un cono.
de arco.
θ θ
L = 2πg × 360° = 180° πg
Fecha: U7 4.1
P a) Dibuja la figura que se obtiene al recortar el E a) L = 2πr, entonces L = 2π × 8
cono. = 16π;
b) ¿Cómo se llama la figura que se obtuvo?
θ
b) L = 180° πg, entonces
c) Describe qué figuras geométricas aparecen en el cono
desplegado. L = 240° 4
180° π × 12 = 3 π × 12 = 4π × 4
d) Identifica, sobre tu dibujo, las generatrices y el radio del
= 16π
cono. ¿Cuál es la longitud de arco que forma el patrón de
un cono?
R 1. generatriz
Altura o eje
S
Generatriz
119
4
4.2 Relación entre los elementos del patrón del cono
Utilizando las fórmulas de la clase anterior, determina las medidas de los siguientes elementos:
1. El radio r, dado el ángulo central θ del sector circular y la generatriz g del cono.
2. El ángulo central θ del sector circular, dada la generatriz g y el radio r del cono.
3. La generatriz g, dado el ángulo central θ y la longitud de arco del sector circular.
4. La generatriz g dado ángulo central θ y del arco del sector circular L.
θ
1. Por (1) y (2), se obtiene la 2. Por (3), θ = 360° L = 180° πg
g r ............. (4)
siguiente relación:
θ
360° o g
θ
2πr = 180° πg 3. Por (3), g = θ r ............. (5)
θ
r = 360° g …. (3) 4. Por (2), g = 180°L ............. (6)
θπ
Con el ángulo central θ y
generatriz g.
θ
g θ
g L= 180° πg
h
g
r
r 2πr
L = 2πr
Las medidas del cono se pueden calcular cuando la relación de la Radio del cono: r
circunferencia de la base es igual a la longitud de arco del sector Ángulo central del sector circular: θ
circular, es decir: Generatriz del cono: g
θ
L = 2πr ….(1), 2πr = 180° πg Longitud del arco del sector circular: L
Encuentra el ángulo central θ del sector circular, dada la generatriz g = 30 cm y el radio del cono
r = 4 cm.
Unidad 7
Solución.
θ
Como 2πr = 180° × πg; luego θ = 360°
g × r, sustituyendo los valores se tiene:
θ = 360° 360°
g × r = 30 × 4 = 48°; entonces, θ = 48°.
1. Encuentra el ángulo θ del sector circular del plano desarrollado del cono, si la generatriz g = 18 cm y
el radio del cono es r = 9 cm. 180°
2. Encuentra el radio r de un cono, si su generatriz g = 6 cm y el ángulo del sector circular del desarrollo
del cono es θ = 120°. 2 cm
3. Encuentra la generatriz del desarrollo del cono, si su radio mide 4 cm y el ángulo central del sector
circular mide 60°. 24 cm
4. Encuentra la generatriz del desarrollo del cono, si su ángulo es θ = 120° y la longitud de su arco es
L = 8π cm. 12 cm
155
120
Indicador de logro
4.2 Determina la relación entre los elementos del patrón del cono.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se encuentran las fórmulas que P , S Determinar la relación entre los elementos del pa-
se pueden utilizar para la longitud de arco, por lo trón del cono, para ello los estudiantes realizarán los des-
que a partir de ellas se puede deducir la relación pejes necesarios para encontrar 4 fórmulas.
entre los elementos que existen en el patrón del
cono. C Con el ejemplo se espera que el estudiante pueda en-
contrar el ángulo θ, utilizando las dos fórmulas encontra-
das en la clase anterior.
3. g = 360° 360°
θ r = 60° × 4 = 24 cm 4. g = 180° 180°
θπ L = 120°π × 8π = 12 cm
Fecha: U7 4.2
121
4
4.3 Área superficial del cono
Expresa el área de la cara lateral y del círculo del cono. ¿Cuál es su área total?
a) El área lateral del cono ALateral, es el área del sector circular en el patrón del cono, el cual es
proporcional al área total del círculo con el radio g; πg2, por el ángulo central θ del sector circular:
θ
ALateral = πg2 × 360° ... (1)
Luego por (1) y sustituyendo θ = 360°
g
× r en (1), se tiene:
θ
ALateral = πg2 × 360°
1
= πg2 × 360° ×θ
1
= πg2 × 360° × 360°
g
× r.
ALateral = πrg
Se utiliza el plano desarrollado del cono para calcular su área lateral y total, cuando el radio del cono
es r y la generatriz es g:
Área lateral ALateral: Es el área del sector circular que aparece en el desarrollo del cono. Su área está
dada por:
ALateral = πrg
Como la base del cono es un círculo, se tiene que el área total es:
r = 7 cm
122
Indicador de logro
4.3 Determina el área total del cono a partir de su patrón o plano desarrollado.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se encuentran las fórmulas P , S Determinar el área total del cono, para ello se calcu-
para poder deducir los elementos del cono, ahora lará el área lateral y el área de su base que es un círculo.
se buscará que el estudiante pueda encontrar el
área superficial del cono.
g = 120 π cm2
6 π cm = 20 cm
Fecha: U7 4.3
P Encontrar en el patrón del cono el área de lo si- Luego por (1) y sustituyendo
guiente: g × r en (1), se tiene:
θ = 360°
a) La cara lateral del cono que es un sector circu-
g × r, g es la generatriz del
lar con ángulo θ = 360° ALateral = πrg
cono, la cual es el radio del sector circular.
b) Un círculo de radio r. El área de la base es: ABase = πr2
ATotal = ALateral + ABase = πrg + πr2 = πr(g + r)
S a) El área lateral del cono ALateral, es el área del R ALateral = πrg = π(7)(25) = 175π cm2
sector circular en el patrón del cono, el cual ABase = π(7)2 = 49π cm2
es proporcional al área total del círculo con el ATotal = 175π cm2 + 49π cm2
radio g; πg2, por el ángulo central θ del sector ATotal = 224π cm2
circular:
ALateral = πg2 × 360°
θ
... (1)
Tarea: página 160 del Cuaderno de Ejercicios.
123
4
4.4 Área superficial de la esfera
Se tiene una esfera y un círculo de radio r, ¿qué relación existe entre el área de la esfera comparada con
la del círculo?, ¿qué se puede concluir sobre el área de la esfera?
Para resolver esta situación, es necesario tomar una esfera que se pueda cortar, un cordel y un clavo.
Luego se realiza lo siguiente:
1. Se corta la esfera en 2 partes iguales, formando así dos semiesferas (ver figura A).
2. Se fija el cordel en el centro del círculo de una de las semiesferas, se enrolla hasta cubrir todo el
círculo y se corta lo que sobra (ver figura B); luego se desenrolla el cordel utilizado.
3. Se fija el cordel sobre uno de los polos de la esfera y se enrolla (ver figura C), se repite este proceso
hasta cubrir la esfera.
Como el área de un círculo de radio r es igual a πr2, entonces el área superficial de la esfera es:
Aesfera = 4πr2
Al comparar el área de la esfera con el área lateral de un cilindro, cuyo radio sea igual al de la esfera y
su altura es el diámetro de la esfera, ¿qué se obtiene?, ¿cuál es la relación entre el área de la esfera y
el área lateral del cilindro?
Unidad 7
Se puede hacer la misma actividad anterior, pero ahora cubriendo el cilindro con el cordel y luego cubrir
la esfera con ese mismo cordel.
Solución.
Se puede concluir que, el área de una esfera de radio r es igual al área lateral de un cilindro de radio r
y altura 2r. Es decir, A = 2πrh = 2πr(2r) = 4πr2.
1. ¿Cuál será el área total de una esfera cuyo diámetro es igual a 12 cm? 144π cm2
157
124
Indicador de logro
4.4 Determina la relación entre el área superficial de una esfera y el área del círculo de igual radio.
Secuencia Propósito
En la clase anterior se trabajó con el área lateral y P , S Determinar la relación entre el área superficial de
total del cono, para esta clase se calculará el área una esfera y el área del círculo de igual radio, realizando el
superficial de la esfera, determinando la relación experimento con un cordel y una esfera.
entre esta y el área del círculo de igual radio.
Con el ejemplo se busca que el estudiante también conoz-
ca la relación para encontrar el área superficial de una
esfera con el área superficial del cilindro, el cual se encon-
tró en la Unidad 8 de séptimo grado. De esta manera el
estudiante tendría otra alternativa para encontrar el área
de una esfera.
2. Aesfera = 4πr2
r2 = 36 cm2
r = 6 cm por lo que el diámetro es
12 cm, también se puede utilizar el problema 1
para deducir que el diámetro es 12 cm.
Fecha: U7 4.4
P Se tiene una esfera y un círculo de radio r, ¿qué rela- E Se puede concluir que, el área de
ción existe entre el área de la esfera comparada con la una esfera de radio r es igual al
del círculo?, ¿qué se puede concluir sobre el área de la área lateral de un cilindro de radio
esfera? r y altura 2r. Es decir, A = 2πrh =
S 2πr(2r) = 4πr2
r
R 1. Aesfera = 4πr2
Aesfera = 4π(6)2
Figura A Figura B Figura C Aesfera = 144π cm2
Se corta la esfera Envuelve el cordel alre- Envuelve el cordel
en dos partes igua- dedor de un alfiler colo- alrededor del he-
les. cado en el centro de la misferio.
región circular.
En conclusión, el área de la esfera es cuatro veces el área del Tarea: página 161 del Cuaderno de
círculo, entonces: Aesfera = 4πr2. Ejercicios.
125
5 Aplicaciones de áreas
Luego, del área del círculo de la semiesfera se resta el área del círculo de la tapa del cilindro:
ACírculos = π 62 2 ‒ π 42 2 = 9π ‒ 4π = 5π cm2.
Para encontrar el área superficial de figuras compuestas, se suman o se restan las áreas de cada uno de
los sólidos que aparecen en el problema.
Figura 2
158
126
Indicador de logro
5.1 Utiliza las fórmulas deducidas sobre áreas superficiales de sólidos, para determinar el área superficial
de sólidos compuestos.
Secuencia Propósito
En séptimo grado se trabajó con el área superfi- P , S Calcular las áreas superficiales de sólidos compues-
cial del cilindro, en las clases anteriores de esta tos. Es importante que el estudiante observe que hay áreas
unidad se estudiaron las del cono y la esfera; es que se comparten entre los sólidos las cuales no se deben
el momento oportuno para trabajar con sólidos contar dos veces.
compuestos.
100π cm2
20π cm = r
r = 5 cm
Fecha: U7 5.1
AFigura = ASemiesfera + ALateral + ALcono
P Encuentra el área superficial del siguiente sólido: + ACírculos
Área de la semiesfera: Asemiesfera =
1 = 18π + 32π + 10π + 5π
2 (4πr )
2
5
6 4 Área lateral del cilindro: ALateral = 2πrh = 65π cm2
2 Área lateral del cono: ALcono = πrg
R
Área del círculo: Acírculo = πr2
8 ASemiesfera = 12 (4πr2)
= 2 × π × 52
1
ASemiesfera = 2 (4πr2) = 2 × π × 32 = 18π cm2 = 50π cm2
127
5
5.2 Practica lo aprendido
1. Calcula el área lateral y total de un cono cuya altura mide 4 cm, la generatriz mide 5 cm y el radio de la
base es de 3 cm.
15π cm2 y 24π cm2
5 cm
4 cm
3 cm
4. Una esfera de radio 4 cm será recubierta con una capa metálica de 1 cm de espesor. Calcula la cantidad
de material necesario para recubrir la esfera.
244π
3 cm
3
12 cm
12 cm
14 cm
5 cm
10 cm
Unidad 7
12
159
128
Indicador de logro
108 cm3 = r3 4
Vcapa = 3 (53 − 43)π
ATotal = 15π cm + 9π cm = 24π cm
2 2 2
r = 4.76 cm
Vcapa = 244
3 π cm
3
5. a) ASemiesfera = 1
(4πr2) 6. Vfigura = Vcilindro + Vcono
2
= 2 × π × 52 = πr2h + 13 πr2h
= 50π cm2
ALcono = πrg = π × 5 × 12 = π62(5) + 13 π(3)2(4)
= 60π cm2
= 180π + 12π
AFigura = 50π cm2 + 60π cm2
= 110π cm2 = 192π cm3
129
5
5.3 Practica lo aprendido
Volúmenes de sólidos geométricos:
Volumen de un cilindro: Vcilindro = AB × h = πr2 h Volumen de un cono: Vcono = 13 × AB × h = 13 πr2h
Área total del cilindro: Acilindro = 2πr(h + r) Área de la esfera: Aesfera = 4πr2
3 cm
1. ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuyo radio es de 3 cm y su altura
es de 15 cm? 135π cm3
15 cm
10 cm
6 cm
144π cm2 y 288π cm3 96π cm2 y 96π cm3 240π cm2 y 504π cm3
3. Encuentra el área total de un cono rectangular (altura = radio) de radio 10 cm.
14
240π cm2
cm
10 cm 10 cm
4. Calcula el volumen del siguiente cono:
h = 12 m
100π cm3
r=5m
4 cm
160
130
Indicador de logro
= 400 cm3
Vcono = 13 πr2h
131
Unidad 8. Organización y análisis de datos estadísticos
Competencia de la Unidad
- Organizar, graficar e interpretar la información del entorno, a fin de utilizarla en la toma de decisiones
personales y/o sociales, valorando con criticidad la opinión de los demás.
- Resolver problemas aplicando las medidas de tendencia central a datos estadísticos para analizar,
opinar y obtener conclusiones de manera crítica.
Relación y desarrollo
Séptimo grado
135
Plan de estudio de la Unidad
1 1. Agrupación de datos
1 2. Tabla de frecuencias
1 4. Gráficas estadísticas
1. Tablas y gráficas estadísticas
para variables cuantitativas 1 5. Uso del polígono de frecuencias
1 7. Practica lo aprendido
1 8. Practica lo aprendido
1 2. Media aritmética
1 4. Mediana y moda
2. Medidas de tendencia central
1 5. Propiedades de las medidas de tendencia central
1 6. Practica lo aprendido
1 7. Practica lo aprendido
1 1. Valor aproximado
3. Valor aproximado y dígitos
1 2. Dígitos significativos
significativos
1 3. Cantidades en notación científica
1 Prueba de la Unidad 8
137
1 Tablas y gráficas estadísticas para variables
cuantitativas
1. Se definen las categorías considerando el número de grupos a crear y los límites a considerar.
2. Se colocan los datos uno a uno, en el grupo al que pertenecen, teniendo cuidado que en cada grupo
deben quedar los datos, cuyo valor es igual o mayor al del límite menor, pero que sean menores que
el límite mayor, tal como se muestra en el ejemplo desarrollado, por ejemplo: en el grupo 1 de 20 a
24 quedarón todos los datos que son iguales o mayores a 20, pero menores que 24; lo que significa
que los datos cuyo valor es 24 quedan en el siguiente grupo.
138
Indicador de logro
Secuencia
Anteriormente se trabajó el conteo de elementos organizados según la observación de una característica, por ejem-
plo, en la característica “tipo de animal” se observaba cuántos patos, vacas, gallinas, etc., había de cada uno; otro
ejemplo es respecto a la característica “tipo de verdura” donde se observaba cuántos rábanos, tomates, etc., había.
Para esta clase se organizan las observaciones realizadas en grupos, según rangos de valores que puede tomar la ca-
racterística observada, es decir, se trabaja con variables numéricas, aunque en este nivel no se debe hacer referencia
a los términos: variable categórica o nominal, ordinal o cuantitativa, porque se verán hasta bachillerato.
20 24
23 24
23 24 29
20 26 28
21 26 29
22 24 28 34
22 27 29 35 36
20 24 30 34 36
De 20 a 24 De 24 a 28 De 28 a 32 De 32 a 36 De 36 a 40
Fecha: U8 1.1
139
1
1.2 Tabla de frecuencias
La tabla en la que se organizan los grupos de datos de una serie, tal como el ejemplo desarrollado, se
llama tabla de distribución de frecuencias y a cada grupo de datos formado se le llama clases, de don-
de se puede decir que los datos del ejemplo han sido organizados en 5 clases. Además, al total de datos
que corresponde a cada clase se le llama frecuencia.
Por tanto, para organizar una serie de datos en una tabla de distribución de frecuencias, es necesario:
• Organizar los datos en tantas clases como sea necesario.
• Realizar el conteo de los datos que pertenecen a cada clase para determinar la frecuencia.
Mario y Carlos se reúnen todas las tardes para jugar baloncesto, durante el último mes han llevado un
registro de los tiempos jugados por cada uno, cuyos datos se muestran a continuación:
Mario Carlos
10 13 24
11 15 21 21 22
12 14 21 17 21 24
11 13 16 20 13 18 20 22
12 15 17 19 11 13 16 19 23
Unidad 8
11 13 16 20 11 14 16 19 22
10 14 17 19 23 11 13 18 19 22
12 13 18 20 22 10 15 17 20 23
De 10 a 13 De 13 a 16 De 16 a 19 De 19 a 22 De 22 a 24 De 10 a 13 De 13 a 16 De 16 a 19 De 19 a 22 De 22 a 25
140
Indicador de logro
Secuencia Propósito
En la Unidad 2 de cuarto grado se trabajaron las P , S El estudiante debe manipular la cartulina en forma
características de los sólidos mediante la observa- de rectángulo con el palillo de dientes y observar que al
ción de figuras en el entorno. Para esta clase se girar dicho rectángulo se generará el cilindro.
busca que el estudiante descubra los sólidos que
se generan al hacer girar figuras planas sobre un E Se presentan dos casos en los que se puede trabajar
eje. con cartulina o simplemente deducir que al girar el trián-
gulo rectángulo se genera el cono y para el caso del cono
truncado el estudiante puede notar que solo observando
un lado del eje, el sólido es generado por un trapecio isós-
celes.
Fecha: U8 1.2
R
P A partir de la ilustración de la clasificación de los 1. Mario Carlos
datos en el texto: Minutos Minutos
Número de días Número de días
1. Organiza los grupos en una tabla. de juego de juego
28 - 32 8
32 - 36 2
36 - 40 1
Total 30
Tarea: página 167 del Cuaderno de Ejercicios.
141
1
1.3 Elementos de la tabla de frecuencias
1. Al analizar el tamaño de la primera clase, puede observarse que es igual a 4 unidades. Por ejemplo:
20 21 22 23 24 Extremo mayor
Extremo menor
4 unidades
2. Al observar la primera clase, se puede obtener el valor del número que está en el centro de la clase,
gráficamente contando igual cantidad de unidades desde cada uno de los extremos, tal como se
muestra a continuación:
3. Al observar la tabla puede verse que la clase, cuyo valor que está en medio es 30, es la clase de 28 a
32, y tiene una frecuencia de 8.
164
142
1
Al tamaño de una clase se le llama ancho de clases y a los valores extremos límite de clases; por
ejemplo, para la primera clase, de 20 a 24, los límites de clase son 20 y 24, se tiene que
Límite inferior = extremo menor = 20
Ancho de clase = 24 ‒ 20 = 4.
Límite superior = extremo mayor = 24
El número que está en el centro de cada clase se llama punto medio y se determina mediante la
ecuación:
límite superior + límite inferior
Punto medio = 2
3. Investiga la edad de tus compañeras y compañeros de grado, con los datos recopilados realiza lo
Unidad 8
siguiente:
a) Identifica el dato menor y el dato mayor, luego organízalos en 5 grupos. Un ejemplo de solución
podría ser:
b) Organiza los datos en una tabla de frecuencias. a) Menor: 1.60, mayor: 1.70
c) Determina los límites de clases y las respectivas frecuencias.
d) Calcula el punto medio de cada clase.
165
143
Indicador de logro
1.3 Calcula el punto medio de una serie de datos organizados en una tabla e interpreta los resultados.
Secuencia
Como en la clase anterior se estableció el significado del término clase, ahora se abordarán a detalle los elementos
de una clase.
Fecha: U8 1.3
144
Solución de algunos ítems:
b)
Número de
Estatura en estudiante
metros
f
De 1.60 a 1.62 6
De 1.62 a 1.64 8
De 1.64 a 1.66 10
De 1.66 a 1.68 8
De 1.68 a 1.70 5
De 1.70 a 1.72 1
Total 38
c) y d)
Clase Límite inferior Límite superior Frecuencia Punto medio
145
1
1.4 Gráficas estadísticas
1. Representa mediante rectángulos las clases con las respectivas fre- Edades f
cuencias. 20 - 24 8
2. Qué características tiene la gráfica que muestra la distribución de los 24 - 28 11
clientes atendidos en la sucursal A de la sala de belleza. 28 - 32 8
3. Grafica el punto medio y la frecuencia de cada clase como pares or-
32 - 36 2
denados.
36 - 40 1
4. Une con segmentos de recta los puntos graficados en el numeral
Total 30
anterior.
N°de clientes
10
2. Al observar la gráfica puede verse que los primeros rectángulos son más altos, lo que indica que la
mayor cantidad de clientes que se atendió tiene una edad entre 20 y 32 años. Además, como el lí-
mite superior de una clase es igual al inferior de la siguiente, los rectágulos quedan pegaditos, uno a
continuación del otro.
4
4. Al unir los puntos se obtiene una línea poligo-
nal abierta que inicia en el punto medio de la 2
primera clase y termina en el punto medio de
0
la última clase, tal como se muestra en la gráfi- 20 24 28 32 36 40
ca de la derecha. Edades
166
146
1
La gráfica que se obtiene al representar las clases con sus respectivas frecuencias se le llama histogra-
ma y para elaborarlo se realiza lo siguiente:
• Tiene forma parecida a la de una montaña y la parte más alta indica dónde se encuentra concentrado
el mayor número de datos.
• Los rectángulos que forman el histograma tienen un área proporcional a la frecuencia de su clase.
2. A medida que los rangos de las edades aumentan, el número de personas en cada uno disminuye.
Unidad 8
167
147
Indicador de logro
Secuencia Propósito
Los estudiantes ya conocen algunas gráficas esta- P , S A la hora del desarrollo de la Solución para no dibu-
dísticas como lo son: la gráfica de barras, de líneas, jar dos gráficas, se recomienda realizar el numeral 1, 2 y
de faja y pastel, así como el pictograma, de mane- luego regresar al gráfico del numeral 1 para hacer el nu-
ra que ahora se introducen las gráficas utilizadas meral 3 y 4.
para datos que están agrupados por clases; es de-
cir, el histograma y el polígono de frecuencias.
N° de clientes
N° de clientes
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
20 24 28 32 36 40
20 24 28 32 36 40
Edades
Edades
2. A medida que los rangos de las edades au- Cuando se resuelva el ítem en la pizarra se recomienda ha-
menta, el número de personas en cada uno cerlo de la siguiente manera:
disminuye. Realizar el numeral 1, 2 y luego regresar al gráfico del nu-
meral 1 para hacer el numeral 3.
Fecha: U8 1.4
P Con la tabla de frecuencias presentada en el texto: R 1 y 3
1. Representa mediante rectángulos las clases con las res-
pectivas frecuencias.
11
10
pares ordenados. 2
10
S
8
1., 3. y 4. 6
edad aumenta, el número
de personas en cada uno de
4
ellos disminuye.
0
20 24 28 32 36 40
Edades
2. Los primeros rectángulos son más altos, indica que la
mayoría de clientes atendidos tienen entre 20 y 32 años.
También los rectángulos están consecutivos sin espacio Tarea: página 169 del Cuaderno de
entre ellos. Ejercicios.
148
1
1.5 Uso del polígono de frecuencias
Así, sucesivamente, se determinan los porcentajes de las clases restantes, obteniendo los resultados
de la tabla.
168
149
1
3. Al representar los resultados de cada una de las secciones mediante un polígono de frecuencias en
un mismo plano, se obtiene la gráfica 1, en la cual no se pueden realizar comparaciones por tener
distinto número de datos, pero si en lugar de las frecuencias se toman los porcentajes, entonces se
puede hacer una comparación gráfica entre los resultados de las dos secciones (ver gráfica 2).
1. 2.
18 40
Resultados sección B
Porcentaje de alumnos
16
Número de alumnos
35
14
30
12
25
10
20
8
15
6
4 10
2 Resultados sección A 5
0 20 40 60 80 100
0 20 40 60 80 100
Puntajes
Puntajes
Gráfica 1 Gráfica 2
La comparación de datos estadísticos generalmente no se puede realizar directamente con las frecuen-
cias de cada clase, en estos casos, es necesario calcular la razón entre la frecuencia de cada clase y el
total de la frecuencia; tal como se hizo en el ejemplo anterior, totalfrecuencia
de frecuencias , a este cociente se le llama
frecuencia relativa(fr). Considerando que el total de las frecuencias es igual al número de datos (n),
f
entonces fr = totalfrecuencia
de frecuencias = n .
Al producto que se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100 se le llama frecuencia relativa
f
porcentual (fr%), es decir que fr% = totalfrecuencia
de frecuencias × 100 = n × 100 se utiliza para determinar los porcen-
tajes de datos que corresponden a cada clase de la distribución; para facilitar el análisis y/o comparación
de una o más series de datos.
150
Indicador de logro
1.5 Compara información estadística mediante polígonos de frecuencias.
Secuencia Propósito
Los estudiantes ya conocen el término frecuencia P , S Lo importante es hacer notar el hecho de que la dife-
de una clase, por lo que ahora se ampliará a fre- rencia entre el número de estudiantes entre cada sección
cuencia relativa y frecuencia relativa porcentual, evita que se pueda hacer una comparación directa entre
a través de la presentación de su importancia para las gráficas de las frecuencias absolutas, haciéndose nece-
realizar comparaciones entre conjunto de datos sario el uso de la frecuencia porcentual para poder hacer
con diferente número de elementos. una comparación objetiva del desempeño de las dos sec-
ciones.
Porcentaje de días
Arrobas de café Cuadrilla 1 Cuadrilla 2 fr1 fr2 fr1 fr2
20
0-3 1 2 0.04 0.04 4 4
15 Cuadrilla 1
3-6 2 4 0.08 0.09 8 9
10 Cuadrilla 2
6-9 3 7 0.12 0.16 12 16
5
9 - 12 5 8 0.20 0.18 20 18
12 - 15 6 10 0.24 0.22 24 22 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Arrobas de café
15 - 18 5 7 0.20 0.16 20 16
18 - 21 2 5 0.08 0.11 8 11
21 - 24 1 2 0.04 0.04 4 4
Total 25 45 1.0 1.0 100 100
0.04 0.04 4 4
realiza otro histograma para los porcentajes. 1.0 1.0 100 100
1. No, los grupos no tienen igual cantidad de estudiantes. 2.
S 2. Puntajes Sección
25
3.
Porcentaje de días
20
Sección Sección Sección
15 Cuadrilla 1
(A) (B) (A) (B) 1. 2.
10 Cuadrilla 2
18 40
16
Número de alumnos
35
14
30
0 3 6 9 12 15 18 21 24
20 - 40 0.17 0.18 17 18 12
25 Arrobas de café
40 - 60 0.40 0.38 40 38
20
8
15
mejor desempeño.
6
60 - 80 0.20 0.22 20 22 4 10
2 Resultados sección A 5
Puntajes
0 20 40 60 80 100
Puntajes
Tarea: página 171 del Cuaderno de Ejer-
Total 1.00 1.00 100% 100%
cicios.
151
1
1.6 Interpretación de datos estadísticos
3. Si se aceptarán a los estudiantes que hayan obtenido al menos 50 puntos de la prueba, para deter-
minar el total de estudiantes, se suman las frecuencias de las respectivas clases:
25 + 12 + 9 + 7 + 2 = 55; por tanto, serán aceptados únicamente 55 estudiantes.
152
Indicador de logro
Secuencia Propósito
Tiempo en Número de
fr fr % 1. 28 + 25 = 53 %
segundos alumnos/as
2. 8 + 5 + 2 = 15 %
8-9 11 0.28 28
3. Entre la primera y segunda clase se tiene el 50 % de los
9 - 10 10 0.25 25 estudiantes. De tal manera que el tiempo que se tarda
10 - 11 8 0.20 20 un estudiante seleccionado no debe ser de 10 o más se-
11 - 12 5 0.12 12 gundos, es decir, el máximo que se aceptará es 9 segun-
12 - 13 3 0.08 8 dos.
13 - 14 2 0.05 5
14 - 15 1 0.02 2
Total 40 1 100
1. 28 + 25 = 53 %
S 1. 0.9 + 5.5 + 9.1 + 14.5 = 30 %.
2. 8 + 5 + 2 = 15 %
2. 8.2 + 6.4 + 1.8 = 16.4 % ≈ 16 %.
3. El tiempo que se tarda un estudian-
3. Se suman las frecuencias de las respectivas clases:
te seleccionado no debe ser de 10 o
25 + 12 + 9 + 7 + 2 = 55.
más segundos.
Por tanto, se aceptarán 55 estudiantes.
Tarea: página 172 del Cuaderno de
Ejercicios.
153
1
1.7 Practica lo aprendido
1. A continuación se muestran los registros que lleva una unidad de salud, del peso en libras, de los niños
que cumplieron 3 años.
28 32 38 25 27 37 19 26 35 23
30 26 18 33 29 21 34 28 31 39
29 35 30 31 22 34 25 16 30 29
24 34 20 26 31 23 35 29 30 27
29 28 27 31 30 31 28 26 29 33
2. Una psicóloga llevó un registro sobre el número de películas que han visto cada uno de sus pacientes,
estos datos los clasificó en niños y adultos, considerando la edad.
Niños Adultos
8 15 22 19 15 17 18 20 17 12 10 12 5 8 13 10 12 8 7 9
16 16 17 21 23 18 20 21 20 20 11 10 9 9 11 15 12 17 14 10
15 18 17 19 20 23 22 10 17 19 9 8 15 16 10 14 7 16 9 1
19 21 20 18 18 24 11 19 31 16 4 11 12 7 9 10 3 11 14 8
17 18 19 20 18 18 39 18 19 16 12 5 10 9 7 11 14 10 15 9
a) Con los datos del número de películas que ven los niños, realiza lo siguiente:
• Organiza los datos en una tabla de distribución de frecuencias con 8 clases, con un ancho de clases
igual a 4.
• ¿Cuántas películas ve la mayor cantidad de niños?
• Representa la información mediante un histograma.
b) Con los datos sobre el número de películas que ven los adultos, haz lo siguiente:
• Organiza los datos en una tabla de frecuencias con 6 clases (utiliza un ancho de clases igual a 3).
• ¿En cuál clase queda ubicada la mayor cantidad de adultos?
• Representa la información mediante un histograma.
Unidad 8
c) ¿Es posible comparar las dos distribuciones mediante la gráfica del polígono de frecuencias? Justifica
tu respuesta.
171
154
Indicador de logro
1.7 Resuelve problemas correspondientes a tablas y gráficas estadísticas para variables cuantitativas.
cantidad de niños
29
28
31
10
30
31 5
28
29 0
30 16 20 24 28 32 36 40
29 Peso en libras
31
26 29
27 30 33
27 31 35
26 30 34
24 29 34
23 25 31 35
20 26 28 34
16 22 26 29 33 39
18 21 27 30 35 37
19 23 25 28 32 38
De 16 a 20 De 20 a 24 De 24 a 28 De 28 a 32 De 32 a 36 De 36 a 40
2. a) b) c) Sí es posible. Porque se tiene
n.° de n.° de n.° de igual número de niños que
n.° de niños películas adultos adultos.
películas
8 a 12 3 0a3 1
3a6 4
d) Semejanza: Ambas gráficas
12 a 16 4 tienen una mayor cantidad de
16 a 20 26 6a9 8
datos a un lado del centro de
20 a 24 14 9 a 12 21 la distribución.
24 a 28 1 12 a 15 10 Diferencia: La gráfica de a)
28 a 32 1 15 a 18 6 tiene la mayor cantidad de
Total 50 datos a la izquierda del centro
32 a 36 0
de la distribución, mientras
36 a 40 1 que en b) la mayoría de los
Total 50 datos están a la derecha.
20 20
N° de niños
15
15
N° de adultos
10
10
5
0 5
8 12 16 20 24 28 32 36 40
N° de películas observadas 0 3 6 9 12 15 18
N° de películas observadas
155
1
1.8 Practica lo aprendido
Realiza de manera ordenada lo que se solicita en cada situación planteada.
1. El tiempo que transcurre entre la finalización de la presentación de Tiempo Número de
un chiste y el momento en que una persona comienza a reírse se en ds personas
denomina tiempo de reacción. En este contexto, la presentación del 13 - 19 4
chiste es un estímulo y la aparición de la risa, la reacción. Se hizo un 19 - 25 9
experimento con un grupo de personas, en el que se midió el tiem- 25 - 31 36
po de reacción de sus integrantes ante un chiste y se registraron los
31 - 37 32
siguientes datos en décimas de segundos (ds).
37 - 43 12
a) Representa la distribución mediante un polígono de frecuencias. 43 - 49 7
b) ¿Cuántas personas reaccionaron en un tiempo igual o mayor a 19 Total 100
décimas de segundos, pero menor a 37? 77 personas
c) ¿Cuántas personas reaccionaron a un tiempo igual o mayor a 37 décimas de segundos? 19 personas
d) Calcula el tiempo promedio de reacción de la clase de personas que reaccionan entre las 25 y 31
décimas de segundos. 28 ds
e) Determina el porcentaje de personas que reaccionaron antes de las 25 décimas de segundos. 13 %
f) Determina el porcentaje de personas que reaccionaron en un tiempo igual o mayor a 31 décimas de
segundos. 51 %
2. En una fábrica se ha medido la longitud de 1 000 tornillos para de-
Longitud Número de
terminar si la máquina cortadora está ajustada y se han obtenido los
en mm tornillos
siguientes datos:
67 - 72 5
a) Representa la información mediante un histograma. 10 % 72 - 77 95
b) Si se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el in- 77 - 82 790
tervalo de 77 a 87 mm, ¿cuál es el porcentaje de piezas defectuo- 82 - 87 100
sas? 11 % 87 - 92 10
c) Calcula el porcentaje de piezas cuya medida es inferior a 77 mm. Total 1 000
d) Determina el porcentaje de tornillos cuya medida es 87 mm o
más. 1 %
3. La tabla muestra los tiempos en que han sido anotados los goles en los distintos partidos jugados en
una temporada de fútbol, en tu cuaderno completa la tabla y realiza lo que se pide en cada caso.
Tiempo en Punto
minutos
Goles (f)
medio
fr fr%
0 - 15 5
15 - 30 6
30 - 45 8
45 - 60 7
60 - 75 8
75 - 90 6
Total
172
156
Indicador de logro
1.8 Resuelve problemas correspondientes a tablas y gráficas estadísticas para variables cuantitativas.
1.a) b) 9 + 36 + 32 = 77 personas. e)
c) 12 + 7 = 19 personas. Tiempo Número de
25 + 31 fr fr%
40
d) 2 = 56 2
= 28 ds. en ds personas
35
30
13 - 19 4 0.04 4
N° de personas
25 19 - 25 9 0.09 9
20
15 25 - 31 36 0.36 36
10 31 - 37 32 0.32 32
5
0 37 - 43 12 0.12 12
13 19 25 31 37 43 49
Tiempo en décimas de segundo (ds) 43 - 49 7 0.07 7
Total 100 1 100
4 + 9 = 13 %.
f) 32 + 12 + 7 = 51 %.
2. a) b) c) 9.5 + 0.5 = 10 %.
Longitud Número de
800
fr fr% d) 1 %.
Número de tornillos
en mm tornillos
600
67 - 72 5 0.005 0.5
400
72 - 77 95 0.095 9.5
200 77 - 82 790 0.790 79.0
0 82 - 87 100 0.100 10.0
67 72 77 82 87 92
Longitud del tornillo en mm 87 - 92 10 0.010 1.0
Total 1 000 1 100
100 – (79 + 10) = 100 – 89 = 11 %.
3. a) y b)
Tiempo en Punto
Goles (f) fr fr%
minutos medio
8
0 - 15 5 7.5 0.125 12.5
Cantidad de goles
157
2 Medidas de tendencia central
Los datos corresponden al registro del total de clientes atendidos en las dos sucursales de una pana-
dería.
Sucursal A Sucursal B
14 23 38 40 19 31 10 22 24 20 30 57
49 26 24 30 32 34 46 29 28 24 21
1. Al ordenar los datos de los clientes atendidos en las dos sucursales de la panadería, se tiene:
Sucursal A: 14, 19, 23, 24, 26, 30, 31, 32, 38, 40, 49.
Sucursal B: 10, 20, 21, 22, 24, 24, 28, 29, 30, 34, 46, 57.
Sucursal A Sucursal B
Cantidad menor: 14 Cantidad menor: 10
Cantidad mayor: 49 Cantidad mayor: 57
La cantidad de clientes atendidos en sucursal A La cantidad de clientes atendidos en la
oscila entre 14 y 49. sucursal B oscila entre 10 y 57.
3. Como la mediana es el dato que ocupa la posición central en la serie de datos, entonces, para cada
una de las series se tiene:
Sucursal A Sucursal B
14, 19, 23, 24, 26, 30, 31, 32, 38, 40, 49 10, 20, 21, 22, 24, 24, 28, 29, 30, 34, 46, 57
Como son 11 datos, entonces la mediana es el Como tiene 12 datos, entonces se toman los dos
dato que ocupa la posición central, es decir, la valores centrales y se calcula el punto medio
posición 6, por tanto: mediana = 30. entre ambos, es decir: mediana = 24 2+ 28 = 26.
• En la sucursal A, todos los datos aparecen una sola vez, por tanto, no tiene moda.
Unidad 8
5. Para calcular la media aritmética es necesario sumar todos los datos y dividir el resultado entre el
número de datos, tal como se aprendió en educación básica; Media aritmética = Suma de todos los datos
número de datos
entonces, para los datos de las dos sucursales, se tiene:
173
158
2
Sucursal A: 14, 23, 38, 40, 19, 31, 49, 26, 24, 30, 32.
Sucursal B: 10, 22, 24, 20, 30, 57, 34, 46, 29, 28, 24, 21.
Tal como se aprendió en eduación básica, se pueden calcular valores representativos que pueden des-
cribir una serie de datos, los cuales se han calculado en el ejemplo anterior y se detallan a continuación:
La mediana es el valor que ocupa la posición central en una serie de datos, cuando ya han sido orde-
nados de menor a mayor. Para determinar el valor de la mediana, se consideran los siguientes casos:
a) Cuando el número de datos n es impar, la mediana es el dato x que ocupa la posición central. En
este caso, para determinar la posición central se utiliza la fórmula n 2+ 1, para el ejemplo anterior de la
sucursal A, n = 11, entonces la posición de la mediana es: 112+ 1 = 122 = 6.
b) Cuando el número de datos n es par, la mediana es el número que se encuentra entre los datos
centrales, pues al determinar la posición de la mediana, se obtiene un valor que no corresponde a
la posición de ningún dato de la serie, por ejemplo, para el caso de la sucursal B, n = 12, entonces, al
determinar la posición de la mediana, 122+ 1 = 132 = 6.5, lo que indica que la mediana es el número que
está entre el dato 6 y el dato 7. En este caso, la mediana = Punto medio de los dos datos centrales.
La moda es el valor que aparece la mayor cantidad de veces en una serie, es decir, la moda es el dato
que tiene la mayor frecuencia. En casos en que todos los datos aparecen igual cantidad de veces, se
dice que la serie no tiene moda o que carece de moda.
La media aritmética (µ) es el número que resulta de dividir la suma de todos lo datos x entre el número
los x
de datos n y que se conoce también como promedio. Media aritmética = Suma de todos
n .
Las siguientes series de datos corresponden a las ventas expresadas en dólares, de los últimos 15 días,
de las dos sucursales de la minitienda La Esquina:
Sucursal 1: 125, 35, 50, 40, 80, 100, 70, 50, 125, 75, 80, 90, 80, 80, 35.
Sucursal 2: 100, 75, 50, 80, 60, 40, 70, 75, 140, 90, 75, 70, 150, 50, 90.
159
Indicador de logro
Secuencia
En esta clase se hace un recordatorio de lo estudiado en primero y segundo ciclo respecto a las medidas de tendencia
central (moda, mediana y media) para datos que no están resumidos en una tabla de frecuencias (no agrupados).
1. 2.
Sucursal 1: 35, 35, 40, 50, 50, 70, 75, 80, 80, 80, 80, Sucursal 1:
90, 100, 125, 125. El mínimo es 35 y el máximo es 125 dólares.
Sucursal 2: 40, 50, 50, 60, 70, 70, 75, 75, 75, 80, 90, Sucursal 2:
90, 100, 140, 150. El mínimo es 40 y el máximo es 150 dólares.
3. 4.
Sucursal 1: 80 dólares Sucursal 1: 80 dólares
Sucursal 2: 75 dólares
5. 6.
Sucursal 1: Sí, como el valor de la media aritmética de la sucur-
1 115 sal 2 es mayor que la de la sucursal 1 y el período de
15 = 74.33 dólares
tiempo en el que se observaron las ventas es el mismo
Sucursal 2: (15 días), entonces se puede decir que la sucursal 2 ha
1 215 = 81 dólares generado mayores ingresos.
15
Fecha: U8 2.1
R
P Para los datos en cada sucursal (A y B): 1.
1. Ordena la cantidad de clientes de menor a mayor. S1: 35, 35, 40, 50, 50, 70, 75, 80, 80, 80, 80,
2. Identifica la cantidad mínima y luego la máxima. 90, 100, 125, 125.
3. Determina la mediana. S2: 40, 50, 50, 60, 70, 70, 75, 75, 75, 80, 90,
4. Determina la moda. 90, 100, 140, 150.
5. Calcula la media aritmética. 2. S1: mínimo: 35; máximo: 125.
S2: mínimo: 40; máximo: 150.
S 1. A: 14, 19, 23, 24, 26, 30, 31, 32, 38, 40, 49 3. S1: 80 dólares,
B: 10, 20, 21, 22, 24, 24, 28, 29, 30, 34, 46, 57 S2: 75 dólares.
2. A: el dato menor es 14 y el menor es 49. 4. S1: 80 dólares,
B: el dato menor es 10 y el mayor es 57. S2: 75 dólares.
3. Mediana. A: 30; B: 24 2+ 28 = 26
4. Moda. A: no tiene moda; B: 24 5. S1: 1115
15 = 74.33 ≈ 74 dólares.
5. Media. A: 326
11
= 29.6; B: 345
12
= 28.8 S2: 1215
15 = 81 dólares.
Tarea: página 176 del Cuaderno de Ejercicios.
160
2
2.2 Media aritmética
1. Como ya se aprendió a calcular el punto medio en una distribución de frecuencias en clases anterio-
res, entonces para calcularlos se aplica la fórmula: punto medio = Límite superior2+ límite inferior , y se le agrega
otra columna a la tabla anterior para escribir los resultados. Por ejemplo, para la clase 1:
Pm = 24 2+ 20 = 22
Número Punto
Edades de clientes medio
f (Pm)
20 - 24 8 22
24 - 28 11 26
28 - 32 8 30
32 - 36 2 34
36 - 40 1 38
Total 30
2. Se multiplica el punto medio de cada clase por la respectiva frecuencia, y se le agrega una nueva
columna a la tabla para agregar los resultados, por ejemplo para la clase 1 se tiene:
Número de Punto
Edades clientes medio Pm × f
f (Pm)
20 - 24 8 22 176
Unidad 8
24 - 28 11 26 286
28 - 32 8 30 240
32 - 36 2 34 68
36 - 40 1 38 38
Total 30 808
175
161
2
3. Se suman los resultados obtenidos en el numeral anterior, luego se divide el resultado entre el
número de datos.
4. El resultado del numeral 3 es 26.9 y la media aritmética de los datos sin organizar en distribución
de frecuencias calculado mediante el uso de un programa informático es 26.2, tal como se muestra
arriba, la diferencia entre los dos valores es pequeña, por lo que se puede utilizar cualquiera de las
dos formas para calcular el promedio de las edades.
Para determinar la media aritmética de una serie de datos organizados en una distribución de frecuen-
cias, se utiliza la ecuación: Media aritmética = Suma de todos los productos de Pm × f
Número de datos , tal como se muestra en el
ejemplo desarrollado.
a) Completa la tabla.
b) Calcula la media aritmética. Aproximadamente 26.9 años.
2. Compara la media aritmética de las dos sucursales, ¿en cuál de las dos es mayor la edad promedio de
los clientes atendidos? En ambas sucursales la edad promedio de los clientes atendidos es aproxima-
damente 26.9 años.
Número de
Punto
Edades clientes f × Pm
medio (Pm)
(f)
20 - 24 11
24 - 28 8
28 - 32 6
32 - 36 3
36 - 40 2
Total 30
176
162
Indicador de logro
Secuencia
Ya se ha calculado la media aritmética para datos no agrupados, de manera que ahora se calculará para datos agru-
pados.
Número de Punto
Edades clientes medio f × Pm
f (Pm)
20 - 24 11 22 242
24 - 28 8 26 208
28 - 32 6 30 180
32 - 36 3 34 102
36 - 40 2 38 76
Total 30 808
Fecha: U8 2.2
4. El resultado es 26.9 y la media aritmética de
P Con los datos de la tabla: los datos sin agrupar es 26.2, la diferencia
1. Calcula el punto medio de cada clase.
2. Multiplica el punto medio por la frecuencia de entre los dos valores es pequeña.
su clase. R 1. Número de
Punto medio
3. Suma los productos obtenidos en el literal 2, Edades clientes
f
(Pm)
f × Pm
32 - 36 3 34 102
1., 2. y 3. Edades Número de
clientes
Punto medio
Pm × f
(Pm) 36 - 40 2 38 76
f
Total 30 808
S
20 - 24 8 22 176
24 - 28 11 26 286 808
= 26.9 2. 808
30
≈ 26.9 años
30
28 - 32 8 30 240 3. En ambas sucursales la edad promedio
32 - 36 2 34 68
de los clientes atendidos es aproximada-
36 - 40 1 38 38
mente 26.9.
Total 30 808
Tarea: página 177 del Cuaderno de Ejercicios.
163
2
2.3 Propiedades de la media aritmética
La empresa A tiene 25 empleados y les paga un salario promedio de 350 dólares, mientras que la em-
presa B tiene únicamente 15 empleados con un salario promedio de 600 dólares.
1. Calcula el monto mensual que invierte cada una de las empresas en el pago de los empleados.
2. Si la empresa B realiza un aumento general de 50 dólares, ¿cuál es el nuevo salario promedio?
3. Los empleados de la empresa A piden un aumento para el próximo año, el dueño de la empresa les
presenta dos opciones, ¿calcula el nuevo salario promedio en cada caso?, ¿cuál opción recomenda-
rías a los empleados?, ¿por qué?
a) Un aumento general de 65 dólares.
b) Un aumento del 20% sobre el salario actual.
EMPRESA A EMPRESA B
Salario promedio = media aritmética = $350 Salario promedio = media aritmética = $600
1. El monto mensual se determina multiplicando el salario promedio por la cantidad de empleados que
tiene cada empresa.
2. Si la empresa aumenta 50 dólares en el salario a todos los empleados, entonces estará invirtiendo
cada mes un total de
9 000 + 15(50) = 9 000 + 750 = 9 750, al dividir el total entre el número de empleados se tiene:
9 750
15 = 650; por tanto, el nuevo salario mensual será de 650 dólares; observa que es la media que se
tenía más los 50 dólares.
Opción 1: aumento general de 65 dólares Opción 2: aumento del 20% sobre el salario actual
Justificación:
• Recomendaría la primera opción, pues aunque el salario promedio es 5 dólares menos que la segun-
da opción, todos recibirán igual cantidad y es más justo, ya que en el caso de la segunda opción reci-
birán mayor aumento los que tengan el salario más alto, mientras que los que ganan menos tendrán
un menor aumento.
177
164
2
A partir de la definición de la media aritmética µ = Suma de todosn los datos (x) , se obtiene que la suma de los
datos de una serie es igual a n veces la media aritmética; es decir, nµ = Suma de todos los datos x. La
media aritmética posee algunas propiedades, entre las cuales se tienen:
• Si a todos los valores de la variable se les suma una misma cantidad, la media aritmética queda au-
mentada en dicha cantidad. Por ejemplo, la serie 3, 4, 5, 4, 9; tiene µ = 5, si a cada dato se le suma 2,
se obtiene la serie 5, 6, 7, 6, 11; cuya media es µ = 5 + 2 = 7.
• Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la media aritmética queda
multiplicada por dicha constante. Por ejemplo, la serie 3, 4, 5, 4, 9; tiene µ = 5, si cada dato se multi-
plica por 2, se obtiene la serie 6, 8, 10, 8, 18 cuya media es µ = 5(2) = 10.
1. Durante un mes, el Dr. Martínez llevó un registro del pago realizado por sus pacientes en cada cita a
la que asistieron, al final realizó el cálculo y obtuvo un pago promedio de 75 dólares; para el próximo
mes ha pensado poner una promoción y tiene las dos propuestas siguientes:
a) Descuento del 10% sobre el costo total al momento de realizar el pago. $67.5
b) Descuento de 10 dólares sobre el monto a pagar. $65
Calcula el valor medio de pago en cada caso, ¿cuál opción crees que beneficia más a los pacientes?,
¿por qué?
2. En un supermercado, cada cajera/o al final del turno entrega una venta promedio de $3,500.00. Con
el objetivo de mejorar las ventas, el administrador propone a todos los cajeros las siguientes opcio-
nes:
a) Aumentar las ventas en un 10% sobre el total que entregan en este momento. $3,850
b) Aumentar 300 dólares más de la meta establecida en ese momento. $3,800
Calcula el valor medio de venta en cada caso, ¿cuál opción crees que beneficia a la empresa? Justifica
tu respuesta.
La propuesta del literal a) es la opción que más beneficia a la empresa porque ganará $50 más.
4. Un conductor estuvo yendo dos horas a una velocidad promedio de 120 km/hora, la hora siguiente
viajó a una velocidad de 90 km/hora. Calcula la velocidad media a la que viajó durante toda la carre-
ra.
La velocidad promedio que tuvo el conductor durante todo el viaje fue de 110 km/h.
178
165
Indicador de logro
Secuencia
En esta clase se presentarán dos propiedades de la media aritmética; al sumar o multiplicar por una constante a
cada uno de los datos del conjunto.
Fecha: U8 2.3
R
P Con los datos en el texto: 1.
1. Calcula el monto mensual que paga cada empresa.
2. En B se aumentan $50, ¿cuál es el nuevo salario promedio? a) 75 – 75 × 0.1
3. En A, para los casos de: = 75 – 7.5
a) Un aumento de 65 dólares = 67.5
b) Un aumento del 20 % sobre el salario actual b) 75 – 10 = 65
¿Cuál es el nuevo salario promedio en cada caso? ¿Cuál op- Descontar $10 sobre el monto a pa-
ción recomendarías a los empleados? ¿Por qué? gar es la mejor opción. Muy pocas
personas gastan $100, cuyo 10 % es
S En A: salario promedio = $350. En B: salario promedio = 10.
$600.
1. Monto mensual = 350 × 25 = 8 750; El descuento directo de los $10 es
Monto mensual = 600 × 15 = 9 000. una opción que beneficia a la mayo-
2. 9 000 + 15(50) = 9 000 + 750 = 9 750; entonces 9 15750 = 650.
ría de los clientes.
10 375
3. Opción 1: 8 750 +
25
65 × 25 = 25 = 415
Opción 2: 8 750 + 20 %(8 750) 500 = 420
= 1025
25
La opción 1, aunque el salario promedio es $5 menos que la Tarea: página 178 del Cuaderno de
opción 2, todos recibirán igual cantidad y es más justo. Ejercicios.
166
2
2.4 Mediana y moda
El punto medio de la clase donde se encuentra la mediana corresponde aproximadamente al dato que
ocupa la posición central de la serie, es decir corresponde al valor de la mediana; mientras que el punto
medio de la clase de mayor frecuencia corresponde aproximadamente al valor de la moda.
Cuando se tiene una distribución de frecuencias, existen distintos métodos para determinar el valor
de la mediana y la moda, en este caso se ha considerado únicamente el método que se conoce como
aproximado, donde
179
167
Indicador de logro
Secuencia
Para seguir con el cálculo de las medidas de tendencia central para datos agrupados, ahora se calculará la mediana y
la moda.
2.
10
Número de clientes
2
moda
0
20 24 28 32 36 40
Edades
Fecha: U8 2.4
R
P Con los datos presentados en el texto: 1.
1. Identifica la clase donde está la mediana a) La clase modal es: 20 a 24. La
2. Calcula el punto medio de la clase identificada en el lite-
ral 1 moda es:
3. Identifica la clase donde está la mayor frecuencia 20 + 24 = 44 = 22 años.
2 2
4. Calcula el punto medio de la clase que tiene la mayor
frecuencia b) Como 30 = 15, la clase mediana
2
es: 24 a 28 porque 11 + 8 = 19. La
S 1. Como el total de datos es 30, la mitad es 15, entonces la mediana es:
mediana está en la segunda clase; pues 8 + 11 = 19. 24 + 28 = 52 = 26 años.
2 2
2. Pm = 24 2+ 28 = 52
2 = 26.
3. De 24 a 28.
4. 26.
Tarea: página 179 del Cuaderno de
Ejercicios.
168
2
2.5 Propiedades de las medidas de tendencia central
1. Para determinar las medidas de tendencia central de cada serie, se trabajan por separado:
Para la serie C: 9, 12, 15, 15, 21, 24, 30 Moda = 15 Mediana = 15 µ = 9 + 12 + 15 + 157 + 21 + 24 + 30 = 18
2. Al comparar los valores de la moda, mediana y media aritmética de la serie A con los de la serie B, se
puede observar que el valor de la moda y de la mediana, se mantienen, pero el de la media arimética
aumenta.
3. Al comparar los valores de la moda, mediana y media aritmética de la serie A con la serie C, se puede
observar que quedan multiplicados por 3. Por ejemplo la moda y la mediana para la serie A es 5 y
para la serie C es 15, la media para la serie A es 6 y para la serie C es 18.
• La media aritmética se utiliza únicamente para series de datos cuantitativos (numéricos); aunque la
media es confiable en el sentido de que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos, pue-
de verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos, tal como
se muestra en el numeral 2 del ejemplo anterior.
Determina la moda, mediana y media arimética para cada una de las siguientes series de datos:
A) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5
B) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 9
C) 0, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 10
D) 0, 5, 5, 10, 10, 15, 15, 15, 20, 25
169
Indicador de logro
2.5 Interpreta situaciones a partir de las propiedades de las medidas de tendencia central.
Secuencia
Ahora se presentan las características de las medidas de tendencia central. La clase se enfatiza en que al calcular la
media y mediana en un conjunto de datos numéricos, estas no se ven afectadas por los valores extremos, mientras
que la media sí, aunque en ocasiones esa característica es la que convierte a la media en una medida confiable ya
que toma en cuenta a todos los valores del conjunto de datos.
C) Para la serie: 0, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 10 D) Para la serie: 0, 5, 5, 10, 10, 15, 15, 15, 20, 25
10 Moda: 15; mediana:
Moda: 6; mediana: 6 + 4 = 2 = 5;
48
media: 10 = 4.8
2 10 2+ 15 = 25 120
2 = 12.5; media: 10 = 12
Observación:
Por motivos de espacio las medidas de tendencia central calculadas para cada serie no están en el plan de pizarra
pero se recomienda que se escriban antes de responder el literal 1 para que los estudiantes puedan verificar sus
respuestas.
1. Para los literales A) y B) la moda y la mediana son las mismas, pero la media es diferente, ya que toma en cuenta
todos los datos para ser calculada y el último dato es distinto. Las series de C) y D) se pueden obtener de multiplicar
por 2 y 5 respectivamente la serie A); también las medidas de tendencia central de C) y D) se obtienen de multipli-
car por 2 y 5 respectivamente las de la serie A).
2. Las medidas de tendencia central en cada uno de los literales quedaría aumentada también en 6.
Fecha: U8 2.5 R
P Con las series de datos A, B y C. 1. En A) y B) la mediana y la
1. Determina la moda, mediana y media aritmética para cada moda son las mismas. La
serie. media es diferente porque
2. Al intercambiar el 10 de la serie A por el 20 de la serie B, toma en cuenta todos los
¿qué sucede con la moda, mediana y media de las series A valores para ser calculada.
y B?
3. Al multiplicar por 3 los datos de A, se obtiene C, ¿qué rela- Para C) y D) sus medidas de
ción hay entre las medias, medianas y modas de A y C? tendencia central son igua-
S 1. A: Moda = 5, mediana = 5, µ = 3 + 4 + 5 + 57 + 7 + 8 +10 = 6 les a multiplicar por 2 y 5
respectivamente las de la
B: Moda = 5, mediana = 5, µ = 3 + 4 + 5 + 57 + 7 + 8 +20 = 7.4
C: Moda = 15, mediana = 15, µ = 9 + 12 + 15 + 157 + 21 + 24 + 30 = 18 serie A).
2. La moda y la mediana se mantienen, pero el de la media
aritmética aumenta.
3. En la serie C la moda, mediana y media son el triple (multi- Tarea: página 180 del Cuaderno
plicadas por 3) de las de la serie A. de Ejercicios.
170
2
2.6 Practica lo aprendido
3. La tabla muestra los tiempos en que han sido anotados los goles en Tiempo en
los distintos partidos de una temporada de fútbol. Completa la tabla Goles (f)
minutos
y realiza lo que se pide en cada caso. 0 - 15 5
15 - 30 6
a) Calcula el tiempo promedio. Aprox. 46.7 minutos 30 - 45 7
b) Determina la moda del tiempo. 52.5 minutos 45 - 60 8
c) Calcula el valor de la mediana. 52.5 minutos
60 - 75 7
75 - 90 6
Total 39
181
171
Indicador de logro
1. a) 2. a)
Tiempo Número de Longitud Número de
Pm f × Pm Pm f × Pm
en ds personas en mm tornillos
13 - 19 4 16 64 67 - 72 5 69.5 347.5
19 - 25 9 22 198 72 - 77 95 74.5 7 077.5
25 - 31 36 28 1008 62
77 - 82 790 79.5
805.0
31 - 37 32 34 1088
82 - 87 100 84.5 8 450.0
37 - 43 12 40 480
87 - 92 10 89.5 895.0
43 - 49 7 46 -322
Total 1 000 79 575
Total 100 3160
Media = 79 575
1 000 ≈ 79.6 mm
Media = 3 160
100 = 31.6 ds
b) La clase modal es de 77 a 82, por tanto la moda
b) La clase modal es de 25 a 31, por tanto la
56 es: 77 2+ 82 = 159 = 79.5 mm.
moda es 25 + 31 = 2 = 28 ds. 2
2
c) Como 1 000 = 500, la clase mediana es de 77 a 82
c) Como 1002 = 50, la clase mediana es de 31 a
2
porque 5 + 95 + 790 = 890, por tanto la mediana
37 porque 4 + 9 + 36 + 32 = 81, por tanto la
es :
mediana es: 77 + 82 = 159 = 79.5 mm.
31 + 37 = 68 = 34 ds. 2 2
2 2
3. a) 4.a)
Tiempo en Nº de
Goles (f) Pm f × Pm Peso (kg) Pm f × Pm
minutos niños
0 - 15 5 7.5 37.5 24.5 - 27.5 3 26 78
15 - 30 6 22.5 135.0 27.5 - 30.5 7 29 203
30 - 45 7 37.5 262.5 30.5 - 33.5 10 32 320
45 - 60 8 52.5 420.0 33.5 - 36.5 6 35 210
60 - 75 7 67.5 472.5 36.5 - 39.5 3 38 114
75 - 90 6 82.5 495.0 39.5 - 42.5 1 41 41
Total 39 1822.5 Total 30 966
Media = 1 822.5
39 ≈ 46.7 minutos Media = 966 30 = 32.2 kg
b) La clase modal es de 30.5 a 33.5, por tanto la
b) La clase modal es de 45 a 60, por tanto la moda es: 30.5 + 33.5 = 64 2 = 32 kg.
2
moda es: 45 2+ 60 = 105
2 = 52.5 minutos. c) Como 30 = 15, la clase mediana es de 30.5 a
2
33.5 porque 3 + 7 + 10 = 20, por tanto la media-
c) Como 39 2
= 19.5, la clase mediana es de 45 na es :
a 60 porque 5 + 6 + 7 + 8 = 26, por tanto la 30.5 + 33.5 = 64 = 32 kg
2
2
mediana es :
45 + 60 = 105 = 52.5 minutos.
2 2
172
2
2.7 Practica lo aprendido
2. Los agricultores de cierta cooperativa han llevado un registro de la cantidad de quintales de maíz reco-
gidos por manzana. Los resultados fueron:
32, 37, 54, 70, 74, 75, 76, 109 , 66, 77, 90, 96, 30, 41, 42, 69, 36 , 59, 60, 55, 70, 47, 32, 99,
48. 30, 32, 32, 36, 37, 41, 42, 47, 48, 54, 55, 59, 60, 66, 69, 70, 70, 74,
a) Ordena los datos de menor a mayor. 75, 76, 77 90, 96, 99, 109.
b) Agrupa los datos en cinco intervalos de amplitud 16, comenzando por la clase de 30 a 46.
c) Encuentra la moda, media y mediana.
d) Al haber calculado los valores representativos, ¿qué conclusiones puedes sacar?
3. En una cooperativa dedicada a la agricultura, el salario medio es de 160 dólares. A partir del 2017 el
nuevo salario promedio será de 200 dólares. Si la cooperativa tiene 50 empleados:
a) ¿Cuánto pagaba mensualmente en concepto de planilla de salarios durante 2016? 160 × 50 = 8,000
b) ¿Cuánto deberá pagar mensualmente en concepto de planilla de salarios durante 2017?
c) Determina el incremento mensual en concepto de planilla. 10,000 – 8,000 = 2,000 dólares
200 × 50 = 10,000
4. Pregunta la edad a cada uno de tus compañeras/os, luego determina:
a) La edad media, moda y mediana.
b) Si para el próximo año se mantienen exactamente los mismos compañeros, ¿cuál será la edad me-
dia, moda y mediana.
c) Si en 10 años todos estuviesen juntos, ¿cuál sería la edad promedio?
5. Don Carlos tiene una tienda y mensualmente lleva el registro de las ganancias, al final del año descubrió
que tuvo una ganancia mensual promedio de 300 dólares.
a) Determina el total de ganancias obtenidas durante todo el año. 3,600 dólares
b) Si para el 2017, espera un aumento del 10% en las ganacias, ¿cuál sería el nuevo promedio mensual
de las ganacias? 330 dólares
6. Don Antonio paga un promedio de 14 dólares mensualmente en concepto de energía eléctrica, deter-
mina el gasto total anual en energía eléctrica. 168 dólares
182
173
Indicador de logro
35
40
39
46
48
59
60 65
Media = 1 524
30 = 50.8 cl.
15
Moda: 46 2+ 54 = 100
2 = 50 cl.
De 30 a 38 De 38 a 46 De 46 a 54 De 54 a 62 De 62 a 70
Mediana: 46 2+ 54 = 100
10
2 = 50 cl.
5
0
30 38 46 54 62 70
2. c) 3.
a) 30, 32, 32, 36, 37, 41, 42, 47, 48, 54, Moda: No hay moda. a) 160 × 50 = 8,000 dólares
55, 59, 60, 66, 69, 70, 70, 74, 75, 76, 77 b) 200 × 50 = 10,000 dólares
Media: 1 544
25 = 61.76 quintales.
90, 96, 99, 109. c) 10,000 – 8,000 = 2,000 dólares
Mediana: 60 quintales.
b)
70 d) Los valores de la media y la me-
32 69
diana son cercanos. La moda no
se puede determinar.
36 48 77
42 47 66
41 55 76
30 60 75 99
37 59 74 96
32 54 70 90 109
De 30 a 46 De 46 a 62 De 62 a 78 De 78 a 94 De 94 a 110
N° de clientes
día de la secretaria en cada una de las 10
dos sucursales A y B de la sala de belle-
za El Buen Gusto, realiza lo siguiente:
8
1. Traza una línea vertical para identifi- Sucursal A
car el valor de la moda. 6
2. Compara los valores de la moda, Sucursal B
mediana y media aritmética, luego
4
identifica qué posición le correspon-
de a la media y la mediana respec-
to a la moda, para cada distribución 2
(estos valores han sido calculados en
clases anteriores).
0 18 22 26 30 34 38 42
Edades
1. En la gráfica se muestra la línea vertical que se traza desde el punto más alto del polígono hacia la
recta horizontal o eje x, el punto donde corta al eje x, es el valor aproximado de la moda. Para la
sucursal A es 26 y para la sucursal B es 22.
N° de clientes
10
8
Sucursal A
6
Sucursal B
0 18 22 26 30 34 38 42
Moda B Edades
µB = 27
Moda A
Mediana A µA = 26.9
Mediana B
Unidad 8
175
2
Para una distribución de frecuencias, la forma del gráfico depende de la relación que existe entre el
valor de la moda, mediana y media aritmética, es decir:
• Si en una distribución de frecuencias, la moda, mediana y media aritmética tienen igual valor, se dice
que es una distribución simétrica.
• Si en una distribución de frecuencias, la moda, mediana y media aritmética tienen la siguiente re-
lación media > mediana > moda, se dice que la distribución es asimétrica o con cola a la derecha
(sesgada a la derecha).
• Si en una distribución de frecuencias, la moda, mediana y media aritmética tienen la siguiente re-
lación: media < mediana < moda, se dice que la distribución es asimétrica o con cola a la izquierda
(sesgada a la izquierda).
Media
Media Moda Mediana Moda Media
Mediana Moda Mediana
Asimétrica hacia Asimétrica hacia
la izquierda la derecha
1. Observa la forma de las siguientes gráficas, las cuales corresponden a una distribución de datos, lue-
go realiza lo siguiente para cada caso:
a) Identifica el valor aproximado de la moda.
b) Determina la relación entre media, moda y mediana a partir de la forma del gráfico.
35 35
30 30
25 25
20 20
15 15
Polígono de frecuencias
Polígono de frecuencias 10
10
5
5
0
0
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 5 10 15 20 25 30 35 40 45
184
176
Indicador de logro
2.8 Analiza la relación entre las medidas de tendencia central a partir de una gráfica.
Secuencia
Para esta clase se hace una correspondencia entre la relación de orden de las medidas de tendencia central y la for-
ma de la gráfica de la distribución de frecuencias.
Propósito
En la clase 2.4 se mostró que la moda es el punto medio de la clase que tiene mayor frecuencia absoluta, por lo que
se espera que, ahora los estudiantes para dar respuesta al numeral 1 del Problema inicial tracen la línea vertical a
partir del punto más alto del histograma que representa la mayor frecuencia hacia el eje x, determinando así el punto
medio de la clase con mayor frecuencia absoluta.
Si es necesario, puede orientar a los estudiantes que vean la clase 2.3 donde se especifica el procedimiento para
calcular la media.
Fecha: U8 2.8
R
P Para cada sucursal, según su polígono de frecuencia:
35 35
1.
30 30
20
20
la gráfica al eje. 15
15
Polígono de frecuencias
5
5
8
ca el valor de la moda está entre 25 y 30.
respecto a la moda y me-
Sucursal A
4
diana, prácticamente
derecha de la mediana. Es simétrica a la
2
moda = mediana = media
izquierda. En la segunda gráfica hay una
0 18 22 26 30 34 38 42
Sucursal B.
distribución simétrica. Las tres medidas de
Moda B Edades
µB = 27
177
Solución de algunos ítems:
1.
a) El valor de la moda en la primera de las gráficas está entre 25 y 26.
En la segunda gráfica el valor de la moda está entre 25 y 30.
35 35
30 30
25 25
20 20
15 15
Polígono de frecuencias
Polígono de frecuencias 10
10
5
5
0
0
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 5 10 15 20 25 30 35 40 45
b) En la primera gráfica la moda está a la derecha de la mediana, por tanto es asimétrica hacia la izquierda.
En la segunda gráfica se observa una distribución simétrica, por tanto las tres medidas de tendencia central son
iguales.
2. Es asimétrica hacia la derecha porque moda < mediana < media aritmética (6.5 < 7 < 7.7).
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Observación:
En el literal a) las coordenadas de los puntos que corresponden a cada intervalo son: (16.5, 5), (19.5, 12), (22.5, 15),
(25.5, 35), (28.5, 5), (31.5, 2). De estos datos se calcula:
Media = 23.7, moda = 25.5, mediana = 25.5.
En el literal b) las coordenadas son: (11, 3), (16, 12), (21, 18), (26, 34), (31, 18), (36, 12), (41, 3)
Media = moda = mediana = 26.
178
3 Valor aproximado y dígitos significativos
Calcula el valor de 33 ÷ 7 y realiza lo siguiente: En ciencias se usan dos clases de números: los que se
cuentan o definen y los que resultan de una medición.
1. Redondea el resultado hasta las centésimas.
Del número contado o definido se puede especificar su
2. Diferencia entre el valor real y el valor redondeado.
valor exacto, pero el valor exacto de un número medi-
3. Calcula el rango del valor real. do no puede conocerse.
Cuando se calcula un cociente aplicando un proceso de división o mediante el uso de una calculadora,
se pueden obtener hasta ocho o más dígitos. Para redondear a 2 o 3 cifras significativas se aplican las
reglas de redondeo aprendidas en educación básica.
• Si el primer dígito que se eliminará es menor que 5, ese dígito y todos los dígitos que le siguen, sim-
plemente se eliminan.
• Si el primer dígito que se eliminará es mayor de 5 o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, to-
dos los dígitos siguientes se suprimen y el valor del último dígito que se conserva se aumenta en una
unidad.
El número obtenido después de aplicar redondeo se llama valor aproximado y al resultado con todos
los dígitos se le llama valor real o valor exacto. A la diferencia entre el valor real y el aproximado se le
llama margen de error.
El valor absoluto del margen de error, puede ser como máximo la mitad de la unidad a la que se
aproxima un número, por ejemplo: si se tiene como resultado 12 redondeado hasta las unidades, el
valor absoluto del margen de error puede ser como máximo 0.5, por tanto el valor real puede estar
entre 11.5 y 12.5; es decir:
11.5 ≤ 12 < 12.5
Si el resultado fuese 8.4 redondeado hasta las décimas, el valor absoluto del margen de error puede
ser como máximo 0.05, por tanto el valor real puede estar entre 8.35 y 8.45; es decir, 8.35 ≤ 8.4 < 8.45.
Unidad 8
179
Indicador de logro
Secuencia
En primero y segundo ciclo se ha trabajado el valor aproximado de un número. Para los estudiantes que compren-
dieron este contenido anteriormente, esta clase servirá como repaso y para los que no será un refuerzo.
La aproximación es muy utilizada en estadística, por esta razón realizar este repaso/refuerzo es importante en esta
unidad. Además en esta clase se debe permitir el uso de calculadora a los estudiantes.
Fecha: U8 3.1
R
P Calcula el valor de 33 ÷ 7 y luego:
1.
1. Redondea el resultado hasta las centésimas. Redondeo hasta las décimas:
2. Resta del valor real y el valor redondeado. a) 3.5 b) 5.2 c) 2.5
3. A partir del valor redondeado, determina el rango para Cálculo y redondeo a las centésimas:
el valor real. d) 18 ÷ 7 = 2.571428... ≈ 2.57
e) 10 ÷ 3 = 3.333333... ≈ 3.33
S 33 ÷ 7 = 4.714285714285714…
f) 26 ÷ 11 = 2.363636... ≈ 2.36
1. Al redondear hasta las centésimas, se obtiene 4.71.
2. A esta diferencia se le llama “margen de error”. 2.
a) 3.5465 – 3.5 = 0.0465
(4.714285714285714...) ‒ (4.71) = 0.004285714 b) 5.23178 – 5.2 = 0.03178
Observa que 0 ≤ |margen de error| ≤ 0.005. c) 2.5 – 2.4751 = 0.0249
d) 2.571428... – 2.57 ≈s 0.001428...
3. Al redondear 4.71, este puede representar muchos e) 3.333333.. – 3.33 ≈ 0.0033...
valores, por ejemplo: 4.705, 4.706, 4.707, ... hasta f) 2.363636 – 2.36 ≈ 0.003636...
antes de 4.715. Si fuera 4.715 se aproxima a 4.72. Tarea: página 185 del Cuaderno de
Entonces 4.705 ≤ 4.71 < 4.715. Ejercicios.
180
3
3.2 Dígitos significativos
1. Al redondear el dato la población de los dos departamentos a las unidades de millar más próxima, se
tiene:
Cuscatlán Ahuachapán
El dígito que ocupa la posición de las unidades de El dígito que ocupa la posición de las unidad de
millar es 1, al redondear es necesario considerar millar es el 9, al redondear es necesario conside-
la regla y como el número que sigue es 4, simple- rar la regla y como el dígito que ocupa la posición
mente se eliminan los dígitos siguientes, así se siguientes es 5, se le suma una unidad, así se ob-
obtiene que 231 480 ≈ 231 000. tiene que 319 503 ≈ 320 000.
En este caso, 231 000 oscila entre 230 500 y En este caso, 320 000 oscila entre 319 500 y
231 499, es decir, 230 500 ≤ 231 000 < 231 500. 320 499, es decir, 319 500 ≤ 320 000 < 320 500.
Entonces, el 2, 3 y 1 son dígitos significativos. Entonces el 3, 2 y 0 son dígitos significativos.
Cuando se aproxima una cantidad o cuando se realiza cualquier medición o cálculo, los dígitos que tie-
nen un significado real y que por tanto aportan alguna información para determinar el valor real, se les
llama dígitos significativos o cifras significativas. Para determinar la cantidad de dígitos significativos
se consideran ciertas reglas, entre las que se tienen:
1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos; por ejemplo, 345 tiene 3
dígitos significativos.
2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos; por ejemplo, 2 109 tiene 4 cifras signifi-
cativas.
186
181
3
3. Los ceros a la izquierda del primer dígito, que no es cero, sirven solamente para fijar la posición del
punto decimal y no son significativos, por ejemplo 0.048, tiene solamente 2 cifras significativas.
4. En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del último número
diferente de cero son significativos; por ejemplo, 3.20000 × 105, tiene 6 cifras significativas.
5. En un número que no tiene punto decimal y que termina con uno o más ceros (como 4 700), los ceros
con los cuales termina el número pueden ser o no significativos. El número es ambiguo en términos
de cifras significativas. Para especificar el número de cifras significativas, se requiere información
adicional acerca de cómo se obtuvo el número. Si el número es resultado de una medición, los ceros
probablemente no son significativos. Si el número ha sido contado o definido, todos los dígitos son
significativos (suponiendo que el recuento haya sido perfecto).
Para evitar la ambigüedad sobre el número de cifras significativas de un número, se expresan como
el producto de un número por una potencia de 10 (un número que tenga un solo dígito en la parte
entera) × (potencia de 10) de la forma a × 10n, donde 1 ≤ a < 10, tal como se muestra en el numeral
2 del ejemplo desarrollado. Cuando un número está expresado de esta forma, se dice que está en
notación científica.
La notación científica se utiliza para expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños, en
este grado se trabajará únicamente para números muy grandes.
1. Expresa la extensión territorial de Centroamérica como notación científica, considera los casos
siguientes:
a) 2 cifras significativas.
b) 3 cifras significativas.
c) 4 cifras significativas.
Solución.
1. Al expresar en notación científica, se tiene:
a) 507 900 ≈ 5.1 105 b) 507 900 ≈ 5.08 × 105 c) 507 900 = 5.079 × 105
Por tanto, la cantidad de dígitos significativos que se deben tomar, depende de qué tan pequeño se
desee el margen de error de los datos con los que se está trabajando.
Unidad 8
Expresa las siguientes cantidades en notación científica con 4 cifras significativas, para tal efecto, hay
que redondear hasta el cuarto dígito desde la izquierda.
182
Indicador de logro
3.2 Analiza las reglas para determinar los dígitos significativos de una cantidad.
Fecha: U8 3.2
183
3
3.3 Cantidades en notación científica
2. 150 000 tiene 3 dígitos significativos: 1, 5 y 0, pues los otros ceros se obtienen de la aproximación.
3. Para expresar en notación científica 150 000 000, se coloca el punto después del 1, luego se cuentan
los dígitos que quedan a la derecha del punto; es decir, 150 000 000 = 1.50000000 × 108, como solo los
primeros 3 dígitos son significativos, se dejan únicamente dos dígitos después del punto; entonces,
1.50 × 108.
En cada una de las situaciones siguientes, realiza lo que se indica en cada literal, sobre los datos que
aparecen en negrilla.
188
184
Indicador de logro
Secuencia
En la clase anterior se introdujo la notación científica, por lo que ahora se aplicará en situaciones del contexto
científico.
4. 5.
a) 25 559 ≈ 25 560 km a) 384 403 ≈ 384 400 km
b) 2.556 × 104 km b) 3.844 × 105 km
Fecha: U8 3.3
185
Anexos
Pruebas
Se proporcionan las pruebas de cada unidad, de trimestre y la final, para que los docentes las
fotocopien y apliquen a los estudiantes cuando corresponda.