Facultad de Química, UNAM.

Departamento de Física y Química Teórica

Laboratorio de Fundamentos de Espectroscopia (1309)
Semestre 2018-2

López López Aranza

Chávez Velázquez Elisa
                                                                  

Práctica 1. Ley de Hooke, movimiento armónico simple.

Práctica 2. El péndulo simple
Práctica 3: Movimiento oscilatorio subamortiguado

Introducción

Podemos definir al oscilador armónico (cuerpo que describe un movimiento armónico) a aquel sistema
que al perturbarse recupera la posición de equilibrio describiendo un comportamiento sinusoidal.

Estando en estado de equilibrio, al ser ligeramente perturbado, el sistema tendrá que recuperar aquel
estado inicial de equilibrio.

El primer movimiento oscilatorio armónico que estudiaremos será el simple, el cual es un modelo ideal
que no se presenta en la vida real ya que no consideramos ninguna fuerza no restitutiva como la fuerza
de fricción por ejemplo.

Para este modelo necesitamos recordar que son los cuerpos elásticos:

Un cuerpo elástico es aquel que después de que se le aplica una fuerza, no presenta deformaciones
permanentes, es decir el proceso es completamente reversible. Un cuerpo no elástico queda con
deformación permanente después de que se le aplicó la fuerza. Todos los materiales estructurales son
elásticos solo hasta cierto grado. No existe material estructural que sea perfectamente elástico: según el
tipo de estructura y el tipo de cargas, las deformaciones permanentes son inevitables cuando las cargas
sobrepasan ciertos valores a esto le podemos llamar límite de elasticidad.

Cuando una fuerza deformante se aplica sobre un elástico, el elástico responde sobre el cuerpo que lo
deforma con una fuerza igual y opuesta . A esa fuerza con la que responden los elásticos la llamamos
fuerza elástica.
Robert Hooke fue un físico-matemático, químico y astrónomo inglés que estudió los efectos producidos
por las fuerzas de tensión sobre la elasticidad de un cuerpo y observó que había un aumento de la
longitud del cuerpo y que éste era proporcional a la fuerza aplicada.

Por lo tanto, Hooke estableció una ley fundamental que relaciona la fuerza elástica F y la deformación
producida ΔL. Para una deformación unidimensional, la Ley de Hooke se puede expresar
matemáticamente como:

F s=−k ∆ l
Donde k es la constante de restitución con unidades de n/m
Δl es el cambio de longitud, es decir la deformación, lo que se comprimió o estiro el objeto partiendo del
estado de equilibrio.
Fs. es la fuerza elástica o fuerza resistente del sólido.
Y el signo (-) en la ecuación se debe a la fuerza elástica que tiene sentido contrario al desplazamiento.
Esta fuerza se opone o se resiste a la deformación para intentar volver al estado de equilibrio.
Para comprender mejor este movimiento también es necesario definir algunos conceptos sobre un
oscilador como:
La frecuencía que es una magnitud que cuenta las repeticiones por unidad de tiempo de cualquier
suceso periódico, para calcular esta magnitud se toman en cuenta un número de ocurrencias de el
suceso teniendo en cuenta un intervalo de tiempo, luego estas repeticiones se dividen entre el tiempo
transcurrido.

La frecuencia se mide en hertz (Hz)

Otra propiedad es el periodo de una onda representado por la letra “T” y solo es el tiempo transcurrido
entre 2 puntos equivalentes de la onda.
Claramente, el periodo se miden en unidades de tiempo.
La amplitud de un movimiento oscilatorio, es una medida de la distancia máxima del desplazamiento u
otra magnitud física que varía periódicamente en el tiempo. Es la distancia entre el punto más alejado de
una onda y el punto de equilibrio o medio, como podemos ver en el esquema siguente donde el número
1 indica la amplitud:

Otro buen ejemplo para estudiar el movimiento armónico simple es el péndulo el cual es un sistema que
permite  determinar  el  valor  de  la aceleración  de  la fuerza de  gravedad, para lograr esta
determinación es necesario medir su periodo, la longitud del péndulo y conocer la medida del ángulo con
el que se trabaja. Sabemos también que existe una fuerza provocada por una cuerda, hilo o cable a la
que llamamos tensión.
Se ha establecido que para ángulos pequeños existe una constante de restitución del péndulo:

k = mg/L

donde m sería la masa al extremo del péndulo, g es la aceleración gravitacional y L la longitud del
péndulo.

Si se habla de un movimiento armónico simple, sabemos que la forma de obtener la frecuencia angular
es:

ω2 = k / m

Y sustituyendo la constante antes establecida tenemos que

ω2 = mg / mL

De aquí podemos observar que la masa que cuelga del péndulo no se verá involucrada en nuestra
ecuación resultante:
ω2 = g / L y g =42L / T2

Es decir, graficando en el eje “y” 42L y en el eje “x” T 2, ambos datos (L y T) obtenidos
experimentalmente, obtendremos la aceleración gravitacional.

Hemos estudiado hasta el momento solo movimientos oscilatorios que han sido considerando
sistemas ideales (resorte y péndulo): como se dijo al principio de esta introducción, sistemas
que oscilan indefinidamente solo bajo la acción de una fuerza, una fuerza
restauradora lineal. En muchos sistemas en la vida real, fuerzas no conservativas como la
fricción van retardando el movimiento.

Como consecuencia, la energía mecánica del sistema va a ir disminuyendo en el tiempo y se

dice que el movimiento esta amortiguado.
La fuerza retardadora se expresa como R=−bV (siendo b es una constante llamada
coeficiente de amortiguamiento) y la fuerza restauradora del sistema es -kx, se puede escribir
la segunda ley de Newton como:

Cuando la fuerza retardadora es mínima en comparación con la fuerza restauradora máxima

(es decir, cuando b es pequeña), la solución a la ecuación se expresa como:

y la frecuencia angular de oscilación es:

Objetivos

1. Comprender las características de un movimiento armónico simple, así como la

tendencia que éste presenta. La dependencia que tiene dependiendo del caso que sea,
de la masa unida al resorte o de la longitud de la cuerda en el péndulo simple.
2. Comprender y comparar los resutados obtenidos al poner al sistema en condiciones
reales de alguna fuerza que retarda el movimiento, es decir, romper la idealidad del
modelo.
Hipótesis

Práctica 1: En la forma estática, la masa definirá la elongación (Δx) del resorte y en el método
dinámico, la cantidad de masa está relacionada con el tiempo de oscilación del resorte. Ya que
k y g son una constante, y x es una variable independiente, la oscilación dependerá de m. La
relación será directamente proporcional, a mayor masa, mayor tiempo tardará.

También, a mayor rigidez del resorte su k de restitución será mas grande y su elongación será
menor que el resorte mas flexible con la misma masa.

Práctica 2: A mayor longitud de péndulo, con el mismo ángulo inicial, el periodo de oscilación
será mayor.

Práctica 3: Si comparamos el movimiento oscilatorio sin estar en el medio acuoso, éste se

mantendrá en movimiento casi constante mas tiempo que el que está en medio acuoso, ya que
el agua ejercerá una fuerza retardante sobre el sistema la cual provocará la disminución del
movimiento hasta detenerlo por completo.

Material y equipo

Para la primera práctica se utliza:

 Soporte
 Pinza con nuez
 Juego de pesas
 Juego de resortes
 Regla
 Balanza
 Fotocompuerta

Para la práctica número dos utilizamos:

 Fotocompuerta ME-8930 de PASCO SCIENTIFIC

 Hilo
 Soporte universal (2 y una varilla extra)
 Juego de pesas
 Transportador
Para la práctica 3:

 Juego de resortes
 Vaso de precipitados con agua
 Soporte universal
 Pinza de nuez
 Juego de pesas

Desarrollo Experimental:

Primero, montamos el sistema como el que se muestra en la figura, pusimos una determinada masa
(previamente establecido su valor) y dejamos que el resorte se elongará solo por acción de esta masa y
medimos la longitud. Repetimos el procedimiento tres veces con la misma masa con diez masas
diferentes.

Para el método dinámico utilizamos el mismo sistema que el descrito anteriormente pero pusimos una
fotocompuerta en la parte de abajo de tal manera que percibiera la masa cuando ésta se movía.
Elongamos solo un poco y soltamos recibiendo el período de oscilación del resorte gracias a la
fotocompuerta .

Hicimos las mismas repeticiones que el anterior.

Para la práctica 2, montamos un sistema tipo péndulo bifilar, el cual se representa en la siguiente
imagen:
solo que en lugar de tener una varilla abajo, colocamos una masa conocida y lo que hicimos fue mover la
masa de la posición de equilibrio a 5 y 15 grados y soltar, recibiendo una señal de la fotocompuerta que
indicaba el periodo. Lo hicimos con dos masas distintas con dos ángulos distintos y dos longitudes
distintas 3 veces cada medición, asi todos nuestros compañeros lo hcieron pero con diferentes datos que
después recopilamos.

Para la tercer práctica montamos el siguiente sistema:

donde pusimos agua hasta la altura a la cual la pesa estuviera cubierta. Después de eso
provocamos una elongación pequeña y soltamos, registrando con una cámara fotográfica el
movimiento. Lo hicimos con una masa y tomamos alrededor de 7 videos para escoger el mejor,
después de esto analizamos el video con el programa Tracker, y los resultados se mostrarán
en el siguiente apartado.

Resultados

*Los datos en color naranja corresponden al resorte número 1, nuestro resorte mas
compacto. Los datos en color azul corresponden al resorte mas flexible.

I. Ley de Hooke y movimiento armónico simple

T1 ( ±0.0001 T2 ( ±0.0001 T3 ( ±0.0001
m( ±0.01 g) ∆x ( ±0.01 cm) s) s) s)
19.780 1.430 0.281 0.277 0.274
25.130 1.670 0.316 0.313 0.301
30.420 2.030 0.335 0.331 0.330
33.670 2.330 0.350 0.349 0.348
44.080 3.070 0.389 0.386 0.393
49.040 3.430 0.401 0.404 0.464
59.680 4.230 0.441 0.439 0.441
62.930 4.500 0.449 0.448 0.447
68.820 4.830 0.468 0.464 0.450
99.320 7.470 0.551 0.550 0.558

ERROR DE LA
DESVIACION EST´ANDAR
Periodo prom (s) DESVIACION ESTANDAR (s)
0.2774 0.0033 0.0019
0.3101 0.0078 0.0045
0.3321 0.0025 0.0014
0.3490 0.0007 0.0004
0.3893 0.0038 0.0022
0.4231 0.0355 0.0205
0.4402 0.0013 0.0007
0.4482 0.0008 0.0004
0.4604 0.0094 0.0055
0.5530 0.0043 0.0025
INCERTIDUMBRE TIPO INCERTIDUMBRE AL 95%
C T^2 (s^2) (T^2)
0.0019 0.0770 0.0011
0.0045 0.0962 0.0028
0.0014 0.1103 0.0010
0.0004 0.1218 0.0003
0.0022 0.1516 0.0017
0.0205 0.1790 0.0173
0.0007 0.1938 0.0007
0.0004 0.2009 0.0004
0.0055 0.2120 0.0050
0.0025 0.3058 0.0027

delta x ( ±0.001 mg (0.0000978

cm) N)
0.0143 0.1934
0.0167 0.2458
0.0203 0.2975
0.0233 0.3293
0.0307 0.4311
0.0343 0.4796
0.0423 0.5837
0.0450 0.6155
0.0483 0.6731
0.0747 0.9713
*Los valores en amarillo no se consideraron en el algoritmo para sacar la k de
forma gráfica ya que afectan a la linealidad de los valores. Esto puede deberse a
nuestros errores aleatorios cuando veíamos las longitudes.
Método estático  
13.295263767pendiente  
0.149385809incertidumbre pendiente
     
0.023342035ordenada al origen
incertidumbre ordenada al
0.005147861 origen
     
0.999243085 R⌃2  
     
 Fuerza vs Elongación
0.8000
0.7000
0.6000 f(x) = 13.3 x + 0.02
0.5000 R² = 1
Fuerza (N)

0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
0.0000
0.0150 0.0200 0.0250 0.0300 0.0350 0.0400 0.0450 0.0500
Elongación (cm)

y=(13.295 ±0.1493) x+(0.0233 ± 0.00514)

La pendiente de la recta es igual a la constante elástica (k) del resorte utilizado. Tiene un valor
de 13.295 ± [Nm-2].

Método dinámico

4π⌃2m T^2 (s^2)

0.78088310 0.07695076
0.99209263 0.09618268
1.20093346 0.11026827
1.32923832 0.12177773
1.74020865 0.15158044
1.93602160 0.17898540
2.35607196 0.19377604
2.48437682 0.20085336
2.71690470 0.21196816
3.92099644 0.30580900

*Los valores en amarillo no se consideraron en el algoritmo para sacar la k de

forma gráfica ya que afectan a la linealidad de los valores. Esto puede deberse a
nuestros errores aleatorios cuando haciamos la elongación o a errores
sistemáticos pertenecientes a la fotocompuerta
 4.50000000
Periodo vs 4π⌃2m
4.00000000
f(x) = 13.94 x − 0.35
3.50000000 R² = 0.99

3.00000000

2.50000000

2.00000000

1.50000000

1.00000000

0.50000000

0.00000000
0.05000000 0.10000000 0.15000000Periodo (s)
0.20000000 0.25000000 0.30000000 0.35000000

y=(13.895 ±) x+(0.333 ±)
La pendiente de la recta es igual a la constante elástica (k) del resorte utilizado. Tiene un valor
de 13.895 ± [Nm-2]

T1 ( ±0.0001 T2 ( ±0.0001 T3 ( ±0.0001

m( ±0.01 g) ∆x ( ±0.01 cm) s) s) s)
19.78 1.47 0.3442 0.3429 0.342
25.13 2.13 0.3735 0.3732 0.3735
30.42 2.73 0.3995 0.3952 0.3968
33.67 2.93 0.4164 0.4161 0.413
44.08 3.87 0.4621 0.4648 0.4606
49.04 4.77 0.4826 0.483 0.4827
59.68 5.9 0.5236 0.5241 0.517
62.93 5.9 0.5342 0.5368 0.5358
68.82 6.37 0.5552 0.5525 0.5524
99.32 9.83 0.6572 0.6533 0.6554
 Error de
Tprom (s) desv. Est desviación
0.3430 0.0011 0.0006
0.3734 0.0002 0.0001
0.3972 0.0022 0.0013
0.4152 0.0019 0.0011
0.4625 0.0021 0.0012
0.4828 0.0002 0.0001
0.5216 0.0040 0.0023
0.5356 0.0013 0.0008
0.5534 0.0016 0.0009
0.6553 0.0020 0.0011

Incertidumbre tipo Incertidumbr

c T^2 (s^2) e al 95%(T^2)
0.0006 0.1177 0.0004
0.0001 0.1394 0.0001
0.0013 0.1577 0.0010
0.0011 0.1724 0.0009
0.0012 0.2139 0.0011
0.0002 0.2331 0.0002
0.0023 0.2720 0.0024
0.0008 0.2869 0.0008
0.0009 0.3062 0.0010
0.0011 0.4294 0.0015

delta x ( ±0.001 mg (0.0000978

cm) N)
0.01470 0.19345
0.02130 0.24577
0.02730 0.29751
0.02930 0.32929
0.03870 0.43110
0.04770 0.47961
0.05900 0.58367
0.05900 0.61546
0.06370 0.67306
0.09830 0.97135

Método  
estático
9.3346 pendiente
0.207329681 incertidumbre pendiente
   
0.05029 ordenada al origen
incertidumbre ordenada al
0.010718989 origen
   
0.99787 R

Fuerza vs Elongación
1.20000

1.00000

0.80000 f(x) = 0.08 x + 0.06

Fuerza (n)

R² = 0.94
0.60000

0.40000

0.20000

0.00000
0.00000 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 10.00000 12.00000
Elongación (cm)

Método dinámico

4π⌃2m T^2 (s^2)

0.7808831 0.1176719
0.9920926 0.1394276
1.2009335 0.1577414
1.3292383 0.1723634
1.7402086 0.2139063
1.9360216 0.2330637
2.3560720 0.2720318
2.4843768 0.2868674
2.7169047 0.3062147
3.9209964 0.4294181
 Periodo vs 4π⌃2m
4.5000000
4.0000000
f(x) = 10.11 x − 0.41
3.5000000 R² = 1
3.0000000
4π⌃2m (g)

2.5000000
2.0000000
1.5000000
1.0000000
0.5000000
0.0000000
0 0 0 00 00 0 0 0
0 00 0 00 0 00 00 00 0 00 0 00 0 00
1 00 1 50 2 00 25
0Periodo (s)
30
0
3 50 4 00 4 50
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

DISCUSION DE RESULTADOS
1ª:

2ª: los resultados obtenidos son congruentes con la hipótesis; mientras más larga fuera la
cuerda del péndulo, los tiempos medidos con la fotocompuerta aumentaron también.

Con base en esta información podemos decir que existe una relación directa entre la longitud
de cuerda y el periodo de un péndulo.

La medición del ángulo no fue tan precisa ya que se pudieron haber cometido errores al colocar
la cuerda en el origen del transportador con el que se determinaron las medidas, de la misma
manera al medir la longitud de la cuerda pudo existir algún error ya que lo que medimos en
realidad era la altura de un triángulo.

Esto último es una de las razones que pudieron afectar los resultados obtenidos en el
experimento, pero incluso tomando en cuenta el resultado final de la práctica (el valor de la
aceleración gravitacional) no se aleja mucho a lo esperado.

3ª:

Conclusiones

 La constante elástica (k) del resorte utilizado tiene un valor de 106.17 [Nm-2].
 La constante de aceleración gravitacional calculada es de 9.750.42 [m/s2]

 El experimento debe realizarse con objetos de diferencia de masa más grande.

 Se debe dejar que el resorte se restaure por algunos momentos para que el periodo sea
confiable con el movimiento armónico simple.

Referencias

 Serway, R. (2008). Física para Ciencias e Ingeniería. México: EDITEC. 7ma ed.
 George, C. (2009). Vibrations and Waves. UK: Wiley.
 Cuando la fuerza retardadora es pequeña, el carácter oscilatorio del movimiento se
conserva, pero la amplitud disminuye en el tiempo, con el resultado de que al final el
movimiento cesa.
 La amplitud decae exponencialmente con el tiempo. Para movimiento con una
constante de resorte y masa de cierto objeto, las oscilaciones se amortiguan más
rápidamente para valores más grandes de la fuerza retardadora.