Formación para la Investigación

Escuela de Física, Facultad de Ciencias

Universidad Industrial de Santander

ESTUDIO DE OSCILACIONES DEL SISTEMA MASA-

RESORTE Y ANALISIS DE OSCILACIONES
AMORTIGUADAS EN UN PENDULO SIMPLE CON
SIMULADORES PhET
Brayan Steven Quitián. Estudiante (2182467) - Ingeniería química.
Carlos José Criado Areniz. Estudiante (2182216) - Ingeniería Eléctrica.
Dubian Palacios Rivera. Estudiante (2182063) - Ingeniería de sistemas.
“La ciencia es la progresiva aproximación del hombre al mundo real.”
Max Planck

RESUMEN
Al realizar esta investigación se puede apreciar como los fenómenos físicos tienden a depender de muchas cosas,
cuando hablamos de un oscilador simple tenemos que hablar de su masa, ya que el comportamiento de este
sistema depende principalmente de ella, como se pudo comprobar al realizar la simulación de un sistema masa
resorte, fue evidente que el periodo del sistema dependía de esta cantidad física dejando clara la relación que
existe entre ambos, comportamiento que también se presentó en el péndulo simple, sin embargo en este sistema
se presentó algo más llamativo, el amortiguamiento que se genera al observar con detalle el cambio de amplitud
del sistema, lo cual nos permitió determinar que el comportamiento presentado por este tipo de péndulo es el de
un movimiento sub-amortiguado, lo cual fue evidente luego de realizar la simulación de dicho sistema y
comparar los valores que presentaban la amplitud y el tiempo, dejando en evidencia la relación que hay entre
estas medidas.

INTRODUCCIÓN
Al observar la Naturaleza nos damos cuenta de que muchos procesos físicos (por ejemplo, la rotación de la tierra
en torno al eje polar) son repetitivos, sucediéndose los hechos cíclicamente tras un intervalo de tiempo fijo. Un
caso interesante de movimiento periódico aparece cuando un sistema físico oscila alrededor de una posición de
equilibrio estable. El sistema realiza la misma trayectoria, primero en un sentido y después en el sentido opuesto,
invirtiendo el sentido de su movimiento en los dos extremos de la trayectoria. Un ciclo completo incluye
atravesar dos veces la posición de equilibrio. La masa sujeta al extremo de un péndulo o de un resorte son
algunos ejemplos de este fenómeno físico.

OBJETIVO GENERAL
Comprender los fenómenos físicos del oscilador simple con un sistema masa resorte y amortiguado con ayuda de
un simulador.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Conocer las características generales de los movimientos oscilatorios.
 Verificar la dependencia del período de oscilación de un sistema masa-resorte al variar la masa

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y la constante elástica del resorte.
 Analizar el amortiguamiento en un péndulo simple a través del cambio de su amplitud.

MARCO TEÓRICO
Oscilador armónico
Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc., es un oscilador armónico si, cuando se
deja en libertad fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o
sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte
ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está
dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición
de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía
potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de
equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La
fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en
energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección
opuesta completando una oscilación.
Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente
con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido
a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento
disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay
pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores,
véase movimiento armónico complejo).

Oscilador armónico sin pérdidas

Para el análisis de un movimiento oscilatorio en condiciones ideales, un modelo muy sencillo es el formado por
el sistema masa-resorte. Cuando un cuerpo está unido a un resorte y el resorte es deformado una distancia x de su
posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza de magnitud igual a la fuerza que generó su deformación, pero
de sentido contrario, pues trata de volver el resorte a la posición de equilibrio. Esta fuerza está dada por la ley de
Hooke
𝑭⃗ = −𝑲𝒚⃗ (1)

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Donde, K es la constante restauradora del resorte dada en [N/m] y F es la fuerza recuperadora en [N] ejercida por
el resorte, de naturaleza lineal, proporcional a la deformación. Si un sistema está sometido a una fuerza
recuperadora, su movimiento es armónico simple y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación (2)
𝒎𝒂⃗ = −𝑲𝒚⃗ (2)
Si la frecuencia del sistema es 𝜔^2 = 𝐾𝑚 podemos escribir la ecuación de la forma,

𝒅𝟐𝒚⃗
= −𝝎𝟐 𝒚⃗ (𝟑)
𝒅𝒕𝟐
La función y(t) que satisface la ecuación diferencial de segundo orden es
y(t) = Acos (ωt + φ) (4)
Siendo A es la amplitud del movimiento oscilatorio, ω la frecuencia dada en [rad/s] y φ es del desfase. La posición
en [m] de la masa m acoplada al resorte en cada momento con respecto al punto de equilibrio, que realiza el
movimiento oscilatorio es la elongación y. El tiempo en hacer una oscilación completa es el período que está dado
por la ecuación (5).

𝑻 = 𝟐𝝅√𝒎/𝑲

Ecuaciones del movimiento

Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo
comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su
movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

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Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

 el peso mg
 La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, 𝑚𝑔 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 en la dirección tangencial y
𝒎𝒈 · 𝒄𝒐𝒔𝜽 en la dirección radial. Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración de la partícula
es 𝒂⃗ 𝒏 = 𝒗𝟐/𝒍 dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe

𝒎𝒂⃗ 𝒏 = 𝑻 − 𝒎𝒈 · 𝒄𝒐𝒔𝜽
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ determinamos la tensión T del hilo, (véase el
apartado conservación de la energía)
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, 𝑇 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑣2/𝑙
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 Ecuación del
movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es 𝒂⃗ 𝒕 = 𝒅𝒗/𝒅𝒕. La segunda ley de Newton se
escribe
𝒎𝒂⃗ 𝒕 = −𝒎𝒈 · 𝒔𝒊𝒏𝜽
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es at=α·l. La ecuación del movimiento se
escribe en forma de ecuación diferencial
𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐 + 𝒈𝒍𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎

METODOLOGÍA
Esta investigación se llevó a cabo en 3 fases fundamentales en las cuales se hizo uso de los simuladores “PhET
Masas y Resortes” y “PhET Lab de Péndulo” respectivamente con el fin de poder entender mejor la relación que
existe entre el periodo y la masa en un sistema masa resorte y el comportamiento de un péndulo simple.

Fase 1
en la primera fase se utilizó el simulador
PhET Masas y Resortes para generar un
sistema masa resorte, posterior mente se
establecieron diferentes valores de masa
(entre 50 g y 300 g) para los cuales se midió
el tiempo que tardaba el sistema en realizar 10
oscilaciones, cabe aclarar que este
procedimiento se repitió 3 veces con cada
masa con el fin de conseguir un valor más
exacto para el tratamiento de datos.

Imagen 1: simulador PhET Masas y Resortes.

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Fase 2
Para la segunda fase se hizo uso del simulador simulador PhET Lab de Péndulo, en el cual se estableció un sistema
de péndulo simple con masas variables (entre 0.5 kg y 1.5 kg) para las cuales se midió la amplitud que tomaba el
péndulo después de soltarlo a una amplitud inicial determinada por el grupo de investigación(la cual fue la misma
para todas las masas) y el tiempo que tardaban en llegar a dicha amplitud, cabe aclarar que esta simulación se hizo
despreciando la fricción que se pudiera presentar.

Imagen 2: simulador PhET Lab de Péndulo

Fase 3
Para finalizar se comprobaron los datos tomados en las fases anteriores y se prosiguió a realizar el debido
tratamiento de datos, en el cual se comparan los datos obtenidos con los teóricos y se analiza el comportamiento
mostrado por los sistemas.

Reporte de investigación del subgrupo 2, grupo B2A presentado a la profesora Zayda en la asignatura de laboratorio de
física III. Fecha: 30/06/2020
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TRATAMIENTO DE DATOS - ANÁLISIS DE DATOS:

Los datos registrados en el laboratorio fueron los siguientes:
1. Para la primera fase:
Oscilaciones [N] = 10

Masa [kg] Tiempo [s] Tiempo [s] Tiempo [s] Tiempo [s] Promedio [s]
0.07 6,81 6,79 6,79 6,81 6,8
0.09 7,67 7,7 7,67 7,68 7,68
0.11 8,48 8,49 8,53 8,51 8,5025
0.13 9,21 9,27 9,23 9,27 9,245
0.15 9,91 9,94 9,91 9,9 9,915
0.17 10,62 10,54 10,59 10,61 10,59
0.19 11,19 11,16 11,18 11,14 11,1675
0.21 11,71 11,69 11,69 11,71 11,7
Tabla 1. Tiempos para las diferentes masas en el sistema masa-resorte.

Para calcular el periodo usamos la siguiente relación:

Masa [kg] Periodo [s] Periodo [s] Periodo [s] Periodo [s]
0.07 0,681 0,679 0,679 0,681
0.09 0,767 0,77 0,767 0,768
0.11 0,848 0,849 0,853 0,851
0.13 0,921 0,927 0,923 0,927
0.15 0,991 0,994 0,991 0,99
0.17 1,062 1,054 1,059 1,061
0.19 1,119 1,116 1,118 1,114
0.21 1,171 1,169 1,169 1,171
Tabla 2. Periodos para las diferentes masas en el sistema masa-resorte.

Masa Periodo [s] Varianza Desviación Coeficiente de

[kg] muestral estándar variación
70 0,68 1,3333E-06 0,0011547 0,1698089
90 0,768 0,000002 0,00141421 0,18414239
110 0,85025 4,9167E-06 0,00221736 0,26078868
130 0,9245 9E-06 0,003 0,32449973
150 0,9915 3E-06 0,00173205 0,17468995
170 1,059 1,2667E-05 0,00355903 0,33607423
190 1,11675 4,9167E-06 0,00221736 0,19855436
210 1,17 1,3333E-06 0,0011547 0,09869235
Tabla 3. Datos estadísticos de los periodos en los diferentes sistemas masa-resorte.

Los datos presentan una baja varianza muestral y baja desviación estándar en lo que indica que los datos no están
tan alejados del promedio del periodo, en general el coeficiente de variación es bastante bajo, se esperan
resultados con un poco porcentaje de error.

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Relación masa-periodo
1,3
1,2
1,1
Periodo [s]
1
0,9
0,8 y = 3,4923x + 0,4561
0,7 R² = 0,9935

0,6
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Masa [Kg]

Gráfico 1. Relación masa-periodo.

Masa [kg] Periodo^2 Periodo

0,07 0,4624 1,6
0,09 0,589824 1,4 y = 6,5215x + 0,0058
0,11 0,72292506 R² = 0,9999
Periodo^2 [s^2]

1,2
0,13 0,85470025 1
0,15 0,98307225 0,8
0,17 1,121481 0,6
0,19 1,24713056 0,4
0,21 1,3689
0,2
Tabla 4. Periodos elevados al 0
cuadrado. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
masa [kg]

Gráfico 2. Relación masa-periodo.

Es posible relacionar la pendiente de la recta del gráfico 2 con la constante k del resorte:
𝑚
𝑇 = 2𝜋√
𝑘
4𝜋 2
𝑇2 = 𝑚
𝑘
4𝜋 2
𝑘= 2 𝑚
𝑇

Mediante la ley de hook tenemos que:

𝐹 = −𝑘𝑥 ; 𝐹 = −(6,5215) ∗ 𝑥
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2. Para la segunda fase:

Se realizan tres simulaciones con diferentes masas, para la primera masa obtenemos los siguientes datos:

Masa [kg] 0,5

Tiempo Max amplitud Delta de Periodo [s]
[s] [grados] tiempo
0 60 1,766666667
0,94 -46 0,94 𝑡1
1,89 37 0,95 7,95
2,75 -31 0,86 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0
3,61 26 0,86 60
4,47 -22 0,86 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1
5,32 19 0,85 13
6,2 -17 0,88 Coef. Atenuación
7,06 15 0,86 0,192376755
7,95 -13 0,89
Tabla 5. Péndulo 1.

Se registran diez (10) mediciones en puntos máximos de la oscilación y se tiene como punto de referencia
positiva el inicio de la oscilación (parte derecha del péndulo); se calcula el tiempo entre un ángulo y otro, a partir
de estos datos se hace el cálculo del periodo mediante el promedio de dichos tiempos multiplicado por dos (2);
finalmente para calcular el coeficiente de atenuación se registran los valores de 𝑡1 mediante la diferencia entre el
tiempo final y el tiempo inicial, el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0 es el ángulo inicial de la oscilación y el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1 el ángulo final, por
último, mediante la siguiente relación obtenemos el valor del coeficiente de atenuación.

1
Coeficiente de atenuación: 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1
𝑡1∗ln⁡( )
𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0

Gráfico 3. Movimiento sub-amortiguado péndulo 1.

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Se analizan los datos usando Python, se puede observar como el movimiento del péndulo se ajusta al coeficiente
de amortiguamiento, y como el ángulo del péndulo disminuye respecto al tiempo en una forma cosenoidal, también
cabe resaltar que el periodo disminuye respecto avanza el tiempo, en la gráfica se observa como la distancia entre
los puntos máximos de las curvas disminuye.

Para el segundo péndulo obtenemos los siguientes datos:

Masa [kg] 1
Tiempo [s] Max amplitud [grados] Delta de tiempo Periodo [s]
0 60 1,786666667
0,92 -50 0,92 𝑡1
1,84 42 0,92 8,04
2,75 -36 0,91 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0
3,63 32 0,88 60
4,53 -28 0,9 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1
5,38 25 0,85 13
6,25 -22 0,87 Coef. Atenuación
7,14 20 0,89 0,190223284
8,04 -18 0,9
Tabla 6. Péndulo 2.

Se registran diez (10) mediciones en puntos máximos de la oscilación y se tiene como punto de referencia positiva
el inicio de la oscilación (parte derecha del péndulo); se calcula el tiempo entre un ángulo y otro, a partir de estos
datos se hace el cálculo del periodo mediante el promedio de dichos tiempos multiplicado por dos (2); finalmente
para calcular el coeficiente de atenuación se registran los valores de 𝑡1 mediante la diferencia entre el tiempo final
y el tiempo inicial, el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0 es el ángulo inicial de la oscilación y el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1 el ángulo final, por último, obtenemos
el valor del coeficiente de atenuación.

Gráfico 4. Movimiento sub-amortiguado péndulo 2.

Se analizan los datos usando Python, se puede observar como el movimiento del péndulo se ajusta al coeficiente de
amortiguamiento, y como el ángulo del péndulo disminuye respecto al tiempo en una forma cosenoidal, también
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cabe resaltar que el periodo disminuye respecto avanza el tiempo, en la gráfica se observa como la distancia entre
los puntos máximos de las curvas disminuyen. Se observa un desajuste en los últimos datos, esto se debe la
varianza muestral, sin embargo, la gráfica tiene una buena aproximación al movimiento del péndulo.

Para el tercer péndulo obtenemos los siguientes datos:

Masa [kg] 1,3

Tiempo [s] Max amplitud [grados] Delta de tiempo Periodo [s]
0 60 1,8
0,94 -50 0,94 t1
1,85 43 0,91 8,1
2,76 -38 0,91 Theta0
3,67 33 0,91 60
4,57 -29 0,9 Theta1
5,44 26 0,87 13
6,31 -24 0,87 Coef. Atenuación
7,2 22 0,89 0,188814223
8,1 -19 0,9
Tabla 7. Péndulo 3.

Se registran diez (10) mediciones en puntos máximos de la oscilación y se tiene como punto de referencia positiva
el inicio de la oscilación (parte derecha del péndulo); se calcula el tiempo entre un ángulo y otro, a partir de estos
datos se hace el cálculo del periodo mediante el promedio de dichos tiempos multiplicado por dos (2); finalmente
para calcular el coeficiente de atenuación se registran los valores de 𝑡1 mediante la diferencia entre el tiempo final
y el tiempo inicial, el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎0 es el ángulo inicial de la oscilación y el 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎1 el ángulo final, por último, obtenemos
el valor del coeficiente de atenuación.

Gráfico 5. Movimiento sub-amortiguado péndulo 3.

Se analizan los datos usando Python, se puede observar como el movimiento del péndulo se ajusta al coeficiente de
amortiguamiento, y como el ángulo del péndulo disminuye respecto al tiempo en una forma cosenoidal, también
cabe resaltar que el periodo disminuye respecto avanza el tiempo, en la gráfica se observa como la distancia entre
los puntos máximos de las curvas disminuye. Se observa un desajuste en los últimos datos, esto se debe la varianza
muestral, en está grafica se observa un poco más respecto a la anterior, notamos este desajuste cada vez que se
aumentaba la masa, sin embargo, la gráfica tiene una buena aproximación al movimiento del péndulo.
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CONCLUSIONES
Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando
movimientos oscilatorios alrededor de dicha posición.

El periodo de oscilación de un sistema masa resorte es directamente proporcional a la masa que posee el sistema.

En un péndulo simple el amortiguamiento es débil, debido a que la fuerza disipada es pequeña en comparación con
la fuerza de restitución, lo cual genera un movimiento sub-amortiguado. Dicho movimiento se puede relacionar
con una constante de amortiguamiento.

Es posible calcular la constante de un resorte y la constante de amortiguamiento en un péndulo simple mediante

análisis experimental.

Pese a las dificultades que se presentaron en la práctica, se logró trabajar en grupo y lograr superarlas, de esta
manera se consiguieron los resultados óptimos y esperados, con un poco porcentaje de error.

REFERENCIAS Y CITAS
[1] - Stewart I. Gauss. Investigación y Ciencia, nº 12, septiembre 1977, págs. 96-107

[2] – Io. Interpretación de variables en un experimento (PDF). R/. Aula virtual Universidad Industrial de
Santander. (https://tic.uis.edu.co/ava/course/view.php?id=12590&section=3)
[3] – F3M2 (PDF). ESTUDIO DE OSCILACIONES DEL SISTEMA MASA- RESORTE Y
ANALISIS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS EN UN PENDULO SIMPLE CON
SIMULADORES PhET R/.
https://drive.google.com/file/d/1sjxHGmxpTBdPzc4h4JJdDC9XayyTVkEJ/view
[4] – Autores. (28/06/2020). Practica 2. R/.
https://colab.research.google.com/drive/19Hi0B2BAANs1rUiTf7fr9yVAiWg0fmmC?usp=sharing

[5] - PhET. INTERACTIVE SIMULATIONS. Masa resorte. R/. https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-

and-springs- basics/latest/masses-and-springs-basics_es.html.

[6] – Autores. (18/06/2020). Datos. R/.

https://drive.google.com/file/d/1pv09GBOynXY4Sz6CAGZyVDSzclN1lUKN/view?usp=sharing

[7] - PhET. INTERACTIVE SIMULATIONS. Lab de péndulo. R/

https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum- lab/latest/pendulum-lab_es.html
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ANEXOS

Imagen 3: simulación de sistema masa resorte

Imagen 4: simulación péndulo simple.

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Imagen 5. Tratamiento de datos, Excel.

Imagen 6. Tratamiento de datos, Python.

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