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    S01.s1. INTEGRALES IMPROPIAS PDF

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    Jham Muñoz
    Este documento presenta una sesión sobre integrales impropias. Explica que las integrales impropias surgen al integrar funciones sobre intervalos no acotados o cuando la función no es continua. Cubre los tipos de integrales impropias, incluidas las de primera y segunda especie, y proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos. El objetivo de la sesión es que los estudiantes aprendan a identificar integrales impropias y determinar su convergencia o divergencia.

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    S01.s1. INTEGRALES IMPROPIAS PDF

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    Jham Muñoz
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    Este documento presenta una sesión sobre integrales impropias. Explica que las integrales impropias surgen al integrar funciones sobre intervalos no acotados o cuando la función no es continua. Cubre los tipos de integrales impropias, incluidas las de primera y segunda especie, y proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos. El objetivo de la sesión es que los estudiantes aprendan a identificar integrales impropias y determinar su convergencia o divergencia.

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    de 18

    Matemática para

    ingenieros 2
    Integrales impropias
    SEMANA 01 SESIÓN 01
    ÍNDICE:

    • Esquema de la Unidad
    • Saberes previos
    • Logro de la sesión
    • Definición de una integral impropia.
    • Tipos de integrales impropias
    • Ejercicios explicativos
    • Ejercicio reto
    • Conclusiones
    ESQUEMA DE LA UNIDAD

    INTEGRALES
    IMPROPIAS

    TEOREMA DE TEOREMA DE
    PRIMERA SEGUNDA
    COMPARACIÓN COMPARACIÓN DEL
    ESPECIE ESPECIE
    DIRECTA LIMITE

    LIMITES DE INTEGRACIÓN DE
    INTEGRACIÓN UNA FUNCIÓN NO
    INFINITOS CONTINUA
    Considere la región limitada por la gráfica
    de la función y = f(x), el eje X y las rectas 𝑏
    verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y A 𝐴 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    continua en el intervalo [a; b]. 𝑎

    Si 𝑓 toma tanto valores positivos como


    y
    𝑦y =
    = f𝑓(x)
    (𝑥)
    negativos, dicha integral nos da la
    𝑏
    R T x
    diferencia de áreas de todas las regiones
    0 a 𝑐 𝑑 b න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑅 + −𝑆 + 𝑇
    comprendidas entre la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) y S
    𝑎
    el eje X, en el intervalo [𝑎; 𝑏]. 𝑑

    𝑆 = න −𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    𝑐
    Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante identifica una integral
    impropia y determina la convergencia o divergencia de dicha integral.
    INTEGRALES IMPROPIAS
    ✓ Si 𝑓 es una función continua, un integral impropia se genera al integrar la función sobre
    un intervalo no acotado de la forma: ‫ۦ‬−∞; 𝑏]; [𝑎; +∞ۧ; −∞; +∞ .
    ✓ Si 𝑓 es una función no continua, un integral impropia se genera al integrar la función
    sobre un intervalo acotado de la forma 𝑎; 𝑏 pero considerando que 𝑓(𝑐) no existe,
    siendo 𝑎 < 𝑐 < 𝑏
    INTEGRALES IMPROPIAS
    INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE
    Para una función continua 𝑓 se tiene:

    A B
    −∞ 𝑡 𝑏 𝑎 𝑡 +∞

    𝑏 𝑏 +∞ 𝑡

    𝐴 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐵 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥


    𝑡→−∞ 𝑡→+∞
    −∞ 𝑡 𝑎 𝑎

    Si 𝐴, 𝐵, son valores reales, se dirá que las integrales convergen.


    Si 𝐴, 𝐵 salen ±∞, se dirá que las integrales no convergen (divergen)
    INTEGRALES IMPROPIAS
    Observación
    Si la función es par y por ende la región es
    simetrica según:

    −∞ 𝑛 +∞ D
    −∞ 0 +∞
    +∞ 𝑛 +∞
    +∞ +∞
    𝐶 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐷 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2. න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    −∞ −∞ 𝑛
    −∞ 0

    Cada integral se procede como en el


    caso anterior
    INTEGRALES IMPROPIAS
    INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE
    Para una función no continua 𝑓 se puede tener:

    A B
    𝑏−𝜀 𝑏 𝑎 𝑎+𝜀 𝑏
    𝑎
    𝑏 𝑏
    𝑏 𝑏−𝜀 𝐵 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    𝜀→0
    𝐴 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑎+𝜀
    𝜀→∞
    𝑎 𝑡
    INTEGRALES IMPROPIAS

    𝑎 𝑐 b

    𝑏 𝑐 𝑏

    න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥


    𝑎 𝑎 𝑐

    Cada integral se procede como en el caso anterior


    Ejercicios explicativos
    1. Determine si las siguientes integrales convergen o divergen.
    0
    𝑑𝑥
    a) න 4
    𝑥
    −∞ 5𝑒
    +∞
    5𝑑𝑥
    b) න 2
    −∞ 1 + 𝑥
    5
    𝑑𝑥
    c) න
    2 𝑥−2

    2. Calcular
    ∞
    𝑑𝑥
    න 𝑥 −𝑥
    0 4𝑒 + 9𝑒
    Ejercicios explicativos
    3. La rapidez promedio de las moléculas de un gas ideal es

    3 ∞
    4 𝑀 2 𝑣2
    𝑣ҧ = න 𝑣 3 . 𝑒 −𝑀2𝑅𝑇 𝑑𝑣
    𝜋 2𝑅𝑇
    0

    Dónde 𝑀 es el peso molecular del gas, R es la constante de los gases, T es la temperatura del gas y 𝑣 es la

    rapidez molecular. Demuestre que

    8𝑅𝑇
    𝑣ҧ =
    𝜋𝑀
    ¡AHORA TODOS A PRACTICAR!

    Datos/Observaciones
    Ejercicio reto
    1
    Utilice la sustitución 𝑢 = para demostrar que
    𝑥

    ∞
    𝑙𝑛𝑥
    න 𝑑𝑥 = 0
    1 + 𝑥2
    0

    Datos/Observaciones
    CONCLUSIONES

    Integrales impropias Representación Definición

    lim න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    𝑡→−∞
    𝑡

    +∞
    න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
    𝑎

    Datos/Observaciones

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