𝒃

Decimos que la integral ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 es impropia si:

 La función integrando tiene puntos de discontinuidad en el intervalo Integrales Condición de convergencia y

 Convergente: si la integral
resulta ser una número real.
[𝒂, 𝒃]
impropias
divergencia  Divergente: si la integral no
 Por lo menos uno de los límites de integración 𝒂 o 𝒃 es infinito. resulta ser un número real.

Se clasifican en

Criterios para evaluar integrales

=
Funciones discontinuas
Límites de integración
impropias

infinito
Si 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo (𝑎, 𝑏] entonces
considerando valores 𝜀 > 0 para, definimos: Criterio de comparación
𝑏 𝑏 Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 ≤ 𝑥 < +∞ se define:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 𝑏 𝑏 𝑏 ∞ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝜀→0 𝑎+𝜀
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Sean ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 ∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 dos integrales impropias Ejemplo: calcular ∫𝜋 →
2 𝑥2
𝑎 𝑏→∞ 𝑎 tales que:
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 | |≤
1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥  𝑓(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥) 𝑒𝑛 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑥2
Ejemplo: calcular ∫0 √𝑥 → lim ∫𝜀 𝑥 = 𝑏 1
𝑦 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∫𝜋
∞ 𝑑𝑥
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝜀→0 √
+∞ 𝑑𝑥 𝑏 𝑑𝑥
 𝑠𝑖 ∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑥2 𝑥2
1 Ejemplo: calcular ∫1 𝑥 2 → lim ∫1 𝑥 2 = 𝑏
2
lim 2√𝑥|𝜀 = 2 ∴ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏→+∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝜀→0 𝑏 Por el criterio de comparación la integral dada
−1 𝑎
lim ( 𝑥 )| = 1 ∴ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 es convergente.
𝑏→+∞ 1
Si 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏) entonces
considerando valores 𝜀 > 0 para, definimos: 1 𝑑𝑥
Si 𝑓(𝑥) es continua en −∞ < 𝑥 ≤ 𝑏 se define:
Criterio de convergencia para - Ejemplo: calcular ∫0 3
√1−𝑥4
→
𝑏 𝑏−𝜀
funciones discontinuas
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑏 𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑎 𝜀→0 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1
−∞ 𝑎→−∞ 𝑎 Sea 𝑓(𝑥) una función continua en el intervalo
𝑓(𝑥) =
[𝑎, 𝑏] 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐 : (1 − 𝑥)1/3 (1 + 𝑥)1/3 (1 + 𝑥 2 )1/3
1 𝑑𝑥 1−𝜀 𝑑𝑥
Ejemplo: calcular ∫0 → lim ∫0 = 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 1,1 + 𝑥 → 2, 1 + 𝑥 2 → 2
1−𝜀
√1−𝑥 𝜀→0 √1−𝑥
0 𝑑𝑥 - 𝑓(𝑥) ≥ 0
lim (−2√1 − 𝑥 )|0 = 2 ∴ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Ejemplo: calcular ∫−∞ (𝑥−1)3 → 1 𝐴
𝜀→0 - lim 𝑓(𝑥) 𝑥 − 𝑐
𝑥→𝑐
𝑚
= 𝐴 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 ≠ 0 , ∞ 𝑓(𝑥)~ 1/3 2/3
=
0 𝑑𝑥 −1 0 (1 − 𝑥) 2 (1 − 𝑥)𝑚
lim ∫𝑎 (𝑥−1)3
= lim (2(𝑥−1)2 )| = 𝐴
𝑎→−∞ 𝑎→−∞ 𝑎 1 1
𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑓(𝑥)~ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑐
Si 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] excepto en el punto −1 (𝑥 − 𝑐)𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚 = 𝑦 𝐴 = 2/3
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 3 2
𝑥 = 𝑐 entonces considerando valores 𝜀 𝑦 𝜀´ > 0, definimos: 2
𝑏
1
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑚 < 1 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑚 ≥ 1 𝑚=
𝑏 𝑐−𝜀 𝑏
𝑎 3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < 1, 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑎 𝜀→0 𝑎 𝜀´→0 𝑐+𝜀´ Si 𝑓(𝑥) es continua en −∞ < 𝑥 < +∞ se define:
+∞ 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎→−∞
lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞ 𝑏→+∞ 𝑎
Criterio de convergencia para
3 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥
Ejemplo: calcular ∫0 (𝑥−1)2
+ lim ∫1+𝜀´ (𝑥−1)2 = límites infinitos
𝜀´→0
1 1−𝜀 1 3 1
lim (− )| + lim (− )| = lim( − +∞ 𝑑𝑥
𝑥−1 𝑥−1 𝜀→0 𝜀 Ejemplo: calcular ∫−∞ = Sea 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑎 ≤ 𝑥 < +∞ 𝑠𝑖 ∞ 𝑑𝑥
𝜀→0 0
−1 1
𝜀´→0 1+𝜀´
𝑏
𝑥 2 +4𝑥+9 - Ejemplo: calcular ∫1 5
√𝑥 5 +2
→
1) + lim ( 2 + 𝜀´) = ∞ ∴ 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏 𝑑𝑥
=
1
tan −1 𝑥+2
( )| =
𝜀´→0 lim
𝑎→−∞ 𝑎
∫ (𝑥+2)2 +5
lim
𝑎→−∞ √5 √5 𝑎 - 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏→+∞ 𝑏→+∞
1 𝜋 𝜋 𝜋 - lim 𝑓(𝑥)𝑥 𝑚
= 𝐴 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 ≠ 0 , ∞ 1 1 1 1
( 2 − (− 2 )) = ∴ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥→+∞
5 = = ~
√5 √5 √x 5 +2 5 2 5 2 𝑥
𝐴 √x 5 (1 + ) x. √(1 + )
𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑓(𝑥)~ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → +∞ x5 x5
𝑥𝑚 1
= 𝑚
+∞ 𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑚 > 1 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑚 ≤ 1
𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚 = 1 ∴ 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

ELABORADO POR: JUAN G. JULCA CHINCHAY

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