Tarea de Termo

Considere el monobloque de un automóvil hecho de hierro fundido (𝑘 = 52 W/m°C 𝑦 𝛼 = 1.
7 ×
10−5 m2 /s). El motor se puede considerar como un bloque rectangular cuyos lados tienen 80 cm,
40 cm y 40 cm. El motor está a una temperatura de 150°C cuando está encendido. Entonces se
expone al aire atmosférico a 17°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 6 W/m2 °C.
Determine a) la temperatura en el centro de la superficie superior cuyos lados tienen 80 cm por 40
cm y b) la temperatura en la esquina después de 45 min de enfriamiento.
Desarrollo
Suposiciones
1- La conducción de calor en el bloque es tridimensional y, por lo tanto, la temperatura varía en

las tres direcciones.
2- Las propiedades térmicas del bloque son constantes.
3- El coeficiente de transferencia de calor es constante y uniforme en toda la superficie.
4- El número de Fourier es 𝜏 > 0.2, de modo que las soluciones aproximadas de un término (o las
tablas de temperatura transitoria) son aplicables (se verificará esta suposición).
Propiedades
Las propiedades térmicas del hierro fundido se dan a conocer.
𝑘 = 52 W/m°C 𝑦 𝛼 = 1.7 × 10−5 m2 /s

Análisis
Este bloque rectangular puede estar formado físicamente por la intersección de dos paredes planas
infinitas de espesor 2𝐿 = 40 cm (llamados planos A y B) y una pared plana infinita de espesor 2𝐿 =
80 cm (llamada plano C). Se medirá 𝑥 desde el centro del bloque.
a) El número de Biot se calcula para cada una de las paredes planas:
ℎ ∙ 𝐿A=B (6 W/m2 °C) ∙ (0.2 m)

𝐵𝑖A = 𝐵𝑖B = = = 0.0231
𝑘 (52 W/m°C)
ℎ ∙ 𝐿C (6 W/m2 °C) ∙ (0.4 m)

𝐵𝑖C = = = 0.0462
𝑘 (52 W/m°C)
Las constantes 𝜆1 y 𝐴1 que corresponden a estos números de Biot son, de la Tabla 4-2, pág.231:
Página 1 de 3
𝜆1 (A, B) = 0.150 y 𝐴1 (A, B) = 1.0038
𝜆1 (C) = 0.212 y 𝐴1 (C) = 1.0076
Los números de Fourier son:
−5 m2 60 s
𝛼 ∙ 𝑡 (1.7 × 10 s ) ∙ (45 min ∙ 1 min)
τ(A, B) = 2 = = 1.1475 > 0.2
𝐿 (0.2 m)2
−5 m2 60 s
𝛼 ∙ 𝑡 (1.7 × 10 s ) ∙ (45 min ∙ 1 min)
τ(C) = 2 = = 0.2869 > 0.2
𝐿 (0.4 m)2
En el centro de la superficie superior del bloque (cuyos lados miden 80 cm y 40 cm) está en el
centro de la pared plana con 2𝐿 = 80 cm, en el centro de la pared plana con 2𝐿 = 40 cm, y
en la superficie De la pared plana con 2𝐿 = 40 cm. Las temperaturas adimensionales son:
𝑇0 − 𝑇∞ 2 2
θ0 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (A) = = 𝐴1 ∙ 𝑒 −𝜆1 ∙𝜏 = (1.0038) ∙ 𝑒 −(0.150) ∙(1.1475) = 0.9782
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇∞ 2 𝐿
θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (B) = = 𝐴1 ∙ 𝑒 −𝜆1 ∙𝜏 ∙ cos (𝜆1 ∙ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝐿
2 ∙(1.1475)
θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (B) = (1.0038) ∙ 𝑒 −(0.150) ∙ cos(0.150) = 0.9672
𝑇0 − 𝑇∞ 2 2
θ0 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C) = = 𝐴1 ∙ 𝑒 −𝜆1 ∙𝜏 = (1.0076) ∙ 𝑒 −(0.212) ∙(0.2869) = 0.9947
𝑇𝑖 − 𝑇∞
Entonces la temperatura central de la superficie superior del cilindro será:
𝑇(𝐿, 0,0, 𝑡) − 𝑇∞
[ ] = θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (B) ∙ θ0 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (A) ∙ θ0 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C)
𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜
𝑇(𝐿, 0,0, 𝑡) − 17
[ ] = (0.9782) ∙ (0.9672) ∙ (0.9947)
150 − 17 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑇(𝐿, 0,0, 𝑡) − 17
[ ] = 0.9411
𝑇(𝐿, 0,0, 𝑡) = 142.2 °C
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b) La esquina del bloque está en la superficie de cada pared plana. La temperatura adimensional
para la superficie de las paredes planas con 2𝐿 = 40 cm se determina en la parte (a). La
temperatura adimensional para la superficie de la pared plana con 2𝐿 = 80 cm se determina a
partir de:
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇∞ 2 𝐿
θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C) = = 𝐴1 ∙ 𝑒 −𝜆1 ∙𝜏 ∙ cos (𝜆1 ∙ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝐿
2 ∙(0.2869)
θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C) = (1.0076) ∙ 𝑒 −(0.212) ∙ cos(0.212)
θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C) = 0.9724
Entonces la temperatura de la esquina del bloque será:
𝑇(𝐿, 𝐿, 𝐿, 𝑡) − 𝑇∞
[ ] = θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (C) ∙ θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (B) ∙ θ(𝐿, 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 (A)
𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑇(𝐿, 𝐿, 𝐿, 𝑡) − 17
[ ] = (0.9724) ∙ (0.9672) ∙ (0.9672)
𝑇(𝐿, 𝐿, 𝐿, 𝑡) − 17
[ ] = 0.9097
𝑇(𝐿, 𝐿, 𝐿, 𝑡) = 138 °C
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Considere el monobloque de un automóvil hecho de hierro fundido (𝑘 = 52 W/m°C 𝑦 𝛼 = 1.

1- La conducción de calor en el bloque es tridimensional y, por lo tanto, la temperatura varía en

Las propiedades térmicas del hierro fundido se dan a conocer.

𝑘 = 52 W/m°C 𝑦 𝛼 = 1.7 × 10−5 m2 /s

a) El número de Biot se calcula para cada una de las paredes planas:

ℎ ∙ 𝐿A=B (6 W/m2 °C) ∙ (0.2 m)

ℎ ∙ 𝐿C (6 W/m2 °C) ∙ (0.4 m)

𝜆1 (C) = 0.212 y 𝐴1 (C) = 1.0076

Los números de Fourier son:

𝑇(𝐿, 0,0, 𝑡) = 142.2 °C

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