Curso de Induccion
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NOMENCLATURA ALGEBRAICA
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CURSO DE INDUCCIÓN Álgebra 2016/07/04
Definición 7 (Términos semejantes). Dos o más términos son semejantes cuanto tienen
la misma parte literal, o sea, cuando tienen letras iguales afectadas de iguales exponen-
tes. Por ejemplo
2a y a; −2xm+1 y 8xm+1
4ab y −6a2 b no son semejantes, porque las letras no tienen los mismos exponentes.
Ejemplos:
1. 3a + 2a = 5a 1 3
3. − a2 b + 2a2 b = a2 b
2 2
5 3
2. 3xm+1 + 5xm+1 − 9xm + 1 = −xm+1 4. x4 + x3 y + 3x4 − x3 y = 4x4 + x3 y
2 2
EJERCICIO 1.
Reducir (los términos semejantes de) los siguientes polinomios:
1. 7a − 9b + 6a − 4b. 5. −1 + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b.
10. −a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c.
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A. IGUALDAD
1. Identidad: a = a.
2. Reciprocidad: si a = b, entonces a = b.
3. Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
B. SUMA
1. Conmutatividad: a + b = b + a, ∀a, b ∈ R
2. Asociativatividad: a + (b + c) = (a + b) + c, ∀a, b, c ∈ R
3. Neutro: ∃! 0 ∈ R, tal que a + 0 = a, ∀a, ∈ R, (el signo de exclamación
después del sı́mbolo de existencia significa único).
4. Inverso: ∀a, ∈ R, ∃! − a ∈ R, tal que a + (−a) = 0.
C. MULTIPLICACIÓN (O PRODUCTO)
1. Conmutatividad: a · b = b · a, ∀a, b ∈ R
2. Asociativatividad: a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R
3. Neutro: ∃! 1 ∈ R, tal que a · 1 = a = 1 · a, ∀a, ∈ R
4. Inverso: ∀a, ∈ R, tal que a 6= 0, ∃! a−1 ∈ R, tal que a · a−1 = 1 = a−1 · x
D. DISTRIBUTIVIDAD (del producto con respecto a la suma, ∀a, b, c ∈ R)
a · (b + c) = a · b + a · c, y de forma equivalente (a + b) · c = a · c + b · c
E. AXIOMAS DE ORDEN
1. Tricotomı́a: si a, b ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:
a>b o a=b o a<b
2. Transitividad: si a < b y b < c ⇒ a < c
3. Monotonı́a, ∀a, b, c ∈ R
a) De la suma: si a > b ⇒ a + c > b + c
b) De la multiplicación: si a > b, y c > 0 ⇒ a · c > b · c
F. AXIOMA DE CONTINUIDAD
Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de
A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el
que se verifique a ≤ c ≤ b, para todo a ∈ A, y b ∈ B.
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SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación (generalmente paréntesis o corchetes), se emplean para indicar
que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como
una sola cantidad.
Ası́, a + (b − c), indica que la diferencia b − c debe sumarse con a, y sabemos que para
efectuar esta suma escribimos a continuación de a las demás cantidades con su propio
signo, tendremos:
a + (b − c) = a + b − c.
Por otra parte, la expresión a − (b + c), indica que de a hay que restar la suma b + c y
como para restar escribimos el sustraendo con los signos cambiados a continuación del
minuendo, tendremos:
a − (b + c) = a − b − c.
1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo
que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Ejemplo:
1. a + (b − c) + 2a − (a + b) = a + b − c + 2a − a − b = 2a − c.
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EJERCICIO 2.
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
Ejemplo:
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MULTIPLICACIÓN
El orden de los factores no altera el producto. Ası́, el producto ab puede escribirse ba;
el producto abc puede escribirse también bac o acb. Esta es la Ley conmutativa de la
multiplicación.
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Ası́, en el producto
abcd = a(bcd) = (ab)(cd) = (abc)d. Esta es la Ley asociativa de la multiplicación.
LEYES DE SIGNOS
Regla 4.
+ por + da + + por − da −
− por − da + − por + da −
Por el axioma C-4. (existencia del inverso multiplicativo), a todo número real a 6= 0,
corresponde un número real, y sólo uno, a−1 , de modo que aa−1 = 1, este número a−1
se llama inverso o recı́proco de a, y también se representa como 1/a.
El inverso o recı́proco de un número (cualquiera distinto de cero), tiene su mismo signo
y por el mismo axioma de existencia del inverso, se puede deducir lo siguiente,
+ entre + da + + entre − da −
− entre − da + − entre + da −
El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un número par de factores
negativos o ninguno. Ası́, (−a)(−b)(−c)(−d) = abcd
El signo del producto de varios factores es − cuando tiene un número impar de factores
negativos. Ası́, (−a)(−b)(−c)) − abc.
LEYES DE EXPONENTES
an = a · a · a · a · · · a (n veces)
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a0 = 1; 30 = 1
(an )m = an·m
3
22 = 22·3 = 26 = 64
Hay que tener cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de
un número a una potencia cuyo exponente, a la vez esté afectado por otro exponente.
3 3
Ası́, no es lo mismo (42 ) que 42 . Ejemplo:
3 3
42 = 42·3 = 46 = 4096 y por otra parte 42 = 42·2·2 = 48 = 65536
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MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Ejemplos:
EJERCICIO 3.
Multiplicar:
2. -4 por -8. 9. −4m2 por −5mn2 p. 16. −8m2 n3 por −9a2 mx4 .
3. -15 por 16. 10. 5a2 y por −6x2 .
17. am bn por −ab.
2 3 3 4
4. ab por −ab. 11. −x y por −4y z .
18. −5am bn por −6a2 b3 x.
5. 2x2 por −3x. 12. abc por cd.
m n m n x
6. −4a2 b por −ab2 . 13. −15x4 y 3 por −16a2 x3 . 19. x y c por −x y c .
7. −5x3 y por xy 2 . 14. 3a2 b3 por −4x2 y. 20. −mx na por −6m2 n.
Ejemplos:
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EJERCICIO 4.
Multiplicar:
5. −3an+4 bn+1 por −4an+2 bn+3 . 10. −5ma nb−1 c por −7m2a−3 nb−4 .
Ejemplos:
2 2
− 43 a3 m = − 23 34 a5 bm = − 12 a5 bm
6. 3
ab
7. − 56 x2 y 3 − 10 3 m n+1
= 56 10
3 m+2 n+1+3 1 m+2 n+4
x y x y = 4x y
EJERCICIO 5.
Multiplicar:
1 2
1. 2
a por 54 a3 b. 7. 1
3
a por 53 am .
2. − 37 m2 n por − 14
7 2 3
am. 8. − 43 am por − 52 ab3 .
2 2 3
3. 3
xy por − 53 a2 x4 y. 9. 5 m n
6
a b 3
por − 10 ab2 c.
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EJERCICIO 6.
Multiplicar:
2 m 3 2 4
1. (a)(−3a)(a2 ). 7. 3
a 4
ab (−3a4 bx+1 ).
1 x a
8. − 53 m3 (−5a2 m) − 10
2. (3x2 )(−x3 y)(−a2 x). a m
6. 21 x3 − 32 a2 x − 35 a4 m 12. − 12 x2 y − 53 xy 2 − 34 x2 y .
Ejemplos:
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EJERCICIO 7.
Multiplicar:
8. x3 − 4x2 y + 6xy 2 por ax3 y. 17. −3x3 + 5x2 y − 7xy 2 − 4y 3 por 5a2 xy 2 .
9. a3 − 5a2 b − 8ab2 por −4a4 m2 . 18. xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1 por −2x2 .
EJERCICIO 8.
Multiplicar:
1
1. 2
a − 23 b por 52 a2 . 3 2 3
6. 3a − 5b + 6c por − 10 ax.
2
2. 3
a − 34 b por − 23 a3 b. 7. 2 4
9
x − x2 y 2 + 13 y 4 por 73 x3 y 4 .
3
3. 5
a − 16 b + 25 c por − 53 ac2 . 8. 1 2
2
a − 31 b2 + 13 x2 − 51 y 2 por − 58 a2 m.
2 2
4. 5
a + 13 ab − 92 b2 por 3ax . 9. 2 3
3
m + 12 m2 n − 56 mn2 − 19 n3 por 43 m2 n3 .
1 2
5. 3
x − 25 xy − 41 y 2 por 32 y 3 . 10. 2 6 1 4 2 3 2 4
5
1 6
x − 3 x y + 5 x y − 10 y por − 57 a3 x4 y 3 .
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Ejemplos:
1. (a − 4)(3 + a) = a2 − 4a + 3a − 12 = a2 − a − 12.
EJERCICIO 9.
Multiplicar:
Ejemplos:
3. (2 + a2 − 2a − a3 )(a + 1) = −a4 − a2 + 2.
EJERCICIO 10.
Multiplicar:
1. x2 + xy + y 2 por x − y. 6. m4 + m2 n2 + n4 por m2 − n2 .
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EJERCICIO 11.
Multiplicar:
1. ax − ax+1 + ax+2 por a + 1.
2. xn+1 + 2xn+2 − xn+3 por x2 + x.
3. ma−1 + ma+1 + ma+2 − ma por m2 − 2m + 3.
4. an+2 − 2an + 2an+1 por an + an+1 .
5. xa+2 − xa + 2xa+1 por xa+3 − 2xa+1 .
6. 3ax−2 − 2ax−1 + ax por a2 + 2a − 1.
7. 3ax−1 + ax − 2ax−2 por ax − ax−1 + ax−2 .
8. ma+1 − 2ma+2 − ma+3 + ma+4 por ma−3 − ma−1 + ma−2 .
9. xa−1 + 2xa−2 − xa−3 + xa−4 por −xa−3 + xa−1 − xa−2 .
10. an b − an−1 b2 + 2an−2 b3 − an−3 b4 por an b2 − an−2 b4 .
11. ax + bx por am + bm .
12. ax−1 − bn−1 por a − b.
13. a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m por a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2 .
14. xa+2 y x−1 + 3xa y x+1 − 4xa+1 y x por −2x2a−1 y x−2 − 10x2a−3 y x − 4x2a−2 y x−1 .
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EJERCICIO 12.
Multiplicar:
1 1
1. 2
a − 3
por 31 a + 12 b. 5. 2 2
5
m + 13 mn − 1 21 n2 por 32 m2 + 2n2 − mn.
2. x − 25 y por 56 y + 31 x. 6. 3 2
8
x + 41 x − 2
5
por 2x3 − 13 x + 2.
1 2
3. 2
x − 13 xy + 14 y 2 por 23 x − 23 y. 7. 1
3
ax − 12 x2 + 23 a2 por 32 x2 − ax + 23 a2 .
1 2
4. 4
a − ab + 23 b2 por 14 a − 32 b. 8. 2 3
7
x + 21 xy 2 − 51 x2 y por 14 x2 − 23 xy + 65 y 2 .
EJERCICIO 13.
Desarrollar y simplificar:
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EJERCICIO 14.
Desarrollar y simplificar:
4. x2 (y 2 + 1) + y 2 (x2 + 1) − 3x2 y 2 .
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5a + (a − 2 (a + 3b − 4a − 4b)) .
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EJERCICIO 15.
Desarrollar y simplificar:
DIVISIÓN
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Definición 10 ( DIVISIÓN). Es una operación que tiene por objeto, dado el producto
de dos factores (dividendo) y uno de los factores(divisor ), hallar el otro factor(cociente).
Por ejemplo
2
Ası́ la operación de dividir 6a2 entre 3a, que se indica 6a
3a
consiste en hallar una cantidad
que multiplicada por 3a de 6a2 . Esa cantidad(cociente) es 2a
LEYES DE SIGNOS
Regla 12.
+ entre + da + + entre − da −
− entre − da + − entre + da −
Definición 11. Para dividir potencias de la misma base se deja de la misma base y se
le pone de exponente la diferencia entre entre el exponente del dividendo y el exponente
del divisor. Por ejemplo
a5
= a5−3 = a2
a3
a2 sera el cociente de esta división si multiplica a por a3 reproduce el dividendo, y en
efecto a2 × a3 = a5
20a2
= 4a
5a
Vemos que el coefiente del cociente 4, es el cociente de dividir 20 entre 5.
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Regla 13. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y conti-
nuación se escribe en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que tiene
el divisor. El signo lo da la Ley de los signos.
Ejemplos:
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4a3 b2 −20mx2 y 3
1. −2ab
= −2a2 b 3. 4xy 3
= −5mx
−5a4 b3 c xm y n z n
2. −a2 b
= a2 b 2 c 4. 3xy 2 z 3
= − 13 xm−1 y n−2 z n−3
EJERCICIO 16.
Dividir:
Sea (a + b − c) ÷ m. tendremos:
a+b−c a b c
(a + b − c) ÷ m= = + − .
m m m m
podemos enunciar lo siguiente.
Regla 14. Se divide cada unos de los términos del polinomios por el monomio separando
los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley distributiva de la división.
Ejemplos:
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5. 4x8 − 10x6 − 5x4 entre 2x3 . 12. an bn + an−1 bn+2 − am−2 bn+4 entre a2 b3 .
6. 6m8 − 8m2 n + 20mn2 entre −2m. 13. xm+2 − 5xm + 6xm+1 − xm−1 entre xm−2 .
7. 6a8 b3 − 3a6 b5 − a2 b3 entre 3a3 b3 .
14. 4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3 en-
8. x4 − 5x6 − 10x2 + 15x entre −5x. tre −2ax+2 bm−4 .
Regla 15. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se
divide el primer término del dividendo en el primero del divisor y tendremos el primer
término del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo
de su semejante. Si algún término de este producto no tiene térrmino semejante en el
dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del
dividendo y el divisor.
Se divide el primer término del resto del resto entre el primer término del divisor y
tendremos el segundo término del cociente.
Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, cambiando los signo.
Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan
las operaciones anteriores; y ası́ sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
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Ejemplos:
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