UNIVERSIDAD DE VALPARAÍSO

GESTION ENTURISMO Y CULTURA

2018

APUNTES Y EJERCICIOS DE ÁLGEBRA FUNDAMENTAL

(Primera Parte)

a) Términos semejantes
b) Simplificación
c) Factorización
d) Operatoria con expresiones fraccionarias
e) Potencias
f) Raíces

HUMBERTO CÁCERES MILNES

1
 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones

de suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de
potencias, raíces, exponenciación y logaritmación.

EJEMPLOS

1. (7 x  8) 2
x 3
2.  7x
x 1
3. xy  4 x 2 yz 4 z 3

2. TÉRMINO
Las partes que se suman o restan de una expresión algebraica se llaman
términos. El término es la unidad fundamental operativa del álgebra. El
término contiene las operaciones básicas de multiplicación y división.

EJEMPLOS

1. 8x
4 x3
2. 
y
3. 5x xy

4. 4 ab x 1

5. 7 log a

2
 3. PARTES DE UN TÉRMINO

Consta de una parte numérica y otra literal

-9 representa el coeficiente numérico.

-9xy4
xy4 representa el coeficiente literal.

El coeficiente literal se ordena alfabéticamente.

4. TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que poseen la misma parte literal, es decir, los mismos
literales elevados a los mismos exponentes.

EJEMPLOS

1. 6a 2b y  4a 2b
2.  2 x x y 8x x
3. x 2 y 3x
4. 7 xyz no es semejante con 9 xy 2 z

3
 5. NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Según el número de términos que posee una expresión algebraica
tenemos:

MONOMIOS 5x xyz3 4ab

BINOMIOS a-b 7x – 1 8m + 3n

TRINOMIOS x+y–z a2 + 2ab + b2

MULTINOMIOS a + 3b – 4c + 1

Importante: Los términos se separan con los signos + y/o -

6. POLINOMIOS
Los polinomios están formados por términos cuyos coeficientes literales
contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.

Forma general de un polinomio:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ anxn.
en donde ai R, i = 0, 1, 2, ..., n. n  N0

x5 – 2x3 + 7x2 – 4x + 1 Es polinomio

3
x  2x  1
4
No es polinomio.

4
 7. PARÉNTESIS (Signos de agrupación)

TIPOS SIMBOLOGIA EJEMPLOS

Redondo   - ( 5x + 2 )
PARENTESIS
Corchete   [ 3x - 8 ]

Llaves { } { 6 - x }

Angular 7  b3

8. ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
CASO I Cuando el signo ( + ) antecede al paréntesis no interviene en la
operación:
+(x-3y) = x-3y
CASO II Cuando el signo ( - ) antecede al paréntesis si interviene en la
operación:
-(4x-1) = -4x – (-1) = -4x + 1
CASO III Presencia de paréntesis dentro de paréntesis. Estas expresiones se
resuelven desde el interior hacia el exterior de los paréntesis:

- {8x-[x-4(3-x)+1]} = - {8x-[x-12+4x+1]} =

= - {8x-[5x-11]} = - {8x-5x+11} =

= - 8x+5x-11 =

= - 3x-11.

5
 9. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numéricos conservando el factor

literal común.

REDUCIR:

a.) (3x-1)+(x+1)-(2x-3)+4
Eliminando paréntesis: 3x-1+x+1-2x+3+4

Ordenando : 3x+x-2x-1+1+3+4

Reduciendo : 2x + 7.

b.) [2(a-b)-(a+b+3)]-(2a-5b+4)

Eliminando paréntesis: 2a-2b-a-b-3-2a+5b-4

Ordenando : 2a-a-2a-2b-b+5b-3-4

Reduciendo : -a + 2b – 7.

c.) -{-3+4x-y-2[z+y-2x+(7-3z)-4(x-y)-3]}

Eliminando paréntesis : -{-3+4x-y-2[z+y-2x+7-3z -4x+4y-3]}

: -{-3+4x-y-2z-2y+4x-14+6z+8x-8y+6}

: 3-4x+y+2z+2y-4x+14-6z-8x+8y-6

Ordenando : -4x-4x-8x+y+2y+8y+2z-6z+3+14-6

Reduciendo : -16x + 11y – 4z + 11.

Con una mayor práctica, el proceso de reducción se puede ir efectuando a

medida que se van eliminando los paréntesis.

6
 10. PRODUCTOS NOTABLES
Representan casos de interés de multiplicación de polinomios

Monomio por polinomio a(c + d – e) = ac + ad - ae

Binomio por binomio (a + b)(c – d) = ac – ad + bc - bd

Polinomio por polinomio ( a + b – c)(d – e) = ad – ae + bd – be – cd + ce

Cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cubo del binomio (a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3

Suma por diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2

Ejercicios:

1.) (-6x3y)(-2xy4) = (-6)(-2) (x3x)(yy4) = 12x4y5.

2.) (ab)(4a2b3)(-7ab4) = -28(aa2a)(bb3b4) = -28a4b8.

3.) 4x(3-x) = 4x·3 – 4x·x = 12x-4x2.

4.) -8(3a -2b) = -8·3a - 8·(-2b) = -24a + 16b.

5.) (7x – 2y)(4x – y2) = 28x2 – 7xy2 – 8xy + 2y3.

6.) (2c + b)(3c – b) = 6c2 -2bc +3bc – b2 = 6c2 + bc – b2

7
 7.) (4p – q)2 = 16p2 – 2·4p·q + q2 = 16p2 – 8pq + q2.

8.) (5x + 7y2)2 = 25x2 + 2·5x·7y2 + 49y4 = 25x2 + 70xy2 + 49y4.

9.) (4c – d)(4c + d) = (4c)2 – (d)2 = 16c2 – d2.

10.) (5x +2y)(5x – 2y) = (5x)2 – (2y)2 = 25x2 – 4y2.

11.) (3x – 2z)3 = (3x)3 – 3·(3x)2·2z + 3·(3x)·(2z)2 – (2z)3 =

= 27x3 – 18x2z + 36xz2 – 8z3.

11. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

FACTORIZAR
Factorizar una expresión algebraica consiste en expresarla sólo a través
de productos. Los casos más comunes son los siguientes:

Factor común monomio ab – ac + ad = a(b – c + d)

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Trinomio cuadrado perfecto 9x2 – 24xy + 16y2 = (3x – 4y)2

a2 - b2 = (a + b)(a – b)
2 2
Forma a  b
a2 + b2 no es factorizable en R.

Trinomio tipo:
x2 + bx + c x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Forma a3  b 3
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2)

8
EJEMPLOS:

1.) 6x – 3y = 3(2x – y)

2.) 9a2 + 27ab = 9a(a + 3b)

3.) 5x3y – 10x2y2 = 5xy(x2 – 2xy)

4.) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

5.) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

6.) x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

7.) 9x2 – y2 = (3x + y)(3x – y)

8.) 4x2 -49 = (2x + 7)(2x – 7)

9.) x3 + 1 = (x + 1)(x2 –x + 1)

10.) p6 – 64 = (p2)3 – 43 = (p2 – 4)(p4 +4p2 + 16) =

= (p + 2)(p – 2)(p4 + 4p2 + 16)

11.) x2 – 7x + 6 = (x -1)(x - 6)

12.) x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

13.) 6x2 + 17x + 12 = (2x + 3)(3x + 4)

14.) 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)

15.) 6x2 – 11xy – 10y2 = (3x + 2y)(2x – 5y)

16.) 3x3 + 9x2 + x + 3 = 3x2(x + 3) + 1·(x + 3) = (x + 3)(3x2 + 1)

17.) 3x – 2y + 15xz – 10yz = 3x – 2y + 5z(3x – 2y) =

= (3x – 2y)(1 + 5z).

9
 EJERCICIOS: Factorizar las siguientes expresiones:

1.) 7x – 14x3 2.) 8x3 + 4x2 – 16x

3.) 6x6 + 12x5 – 18x4 + 30x2 4.) 12y9 – 4y6 + 6y5 + 8y4

5.) x3 + 3x2 + x + 3 6.) 4x3 + 6x2 + 2x + 3

7.) 6a– 5b + 12ad – 10bd 8.) x2 – y – 3x2z + 3yz

9.) x2 + 10x + 21 10.) y2 - 4y – 12

11.) x2 – 12x + 27 12.) x2 + 13x + 22

13.) 4y2 – 11y + 6 14.) 6x2 + x – 12

15.) 36y2 – 12y – 15 16.) 18y2 – 21y – 9

17.) 12x2 + 28xy + 8y2 18.) 3x2 + 13xy – 10y2

19.) 6ab2 + 5ab + a 20.) 6bc2 + 13bc + 6b

21.) 6x5y + 25x4y2 + 4x3y3 22 ) 12p4q3 + 11p3q4 + 2p2q5.

23.) 16x2 – 81 24.) 81x2 – 25y2

25.) x4 – 1 26.) 16x6 – 9

1 2 1 1 1 2
27.) x  28.)  n
9 16 4 25

29.) 7t3 – 63t 30.) 2y3 – 72y

31.) 27r3 – 8s3 32.) 8x5 – x2y3

33.) 64y3 + 27x9 34.) 125m6n9 + 1

10
 12 FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones algebraicas a estudiar en este punto son las fracciones

racionales, es decir, aquellas que no tienen exponentes fraccionarios tanto en
el numerador como en el denominador.

a numerador
 , b0
b deno min ador

13 REGLAS DE LA OPERATORIA CON

FRACCIONES ALGEBRAICAS

 Son las mismas usadas en la operaciones básicas de las fracciones

aritméticas:

a c ad  bc a c a c a c ad
    : 
b d bd b d bd b d bc

 Se destaca la regla: “El valor de una fracción no se altera al multiplicar

o dividir el numerador y el denominador por una misma cantidad,
siempre que ésta sea diferente de cero.”

EJEMPLO:

x  2 x  2 x  1  x  2  x  1 x 2  x  2
    2 , x  5, x 1
x  5 x  5 x  1  x  5 x  1 x  6 x  5

11
 14. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES (Reducción)

Consiste en transformar una fracción en otra que sea equivalente y que se

caracterice por ser irreductible. El procedimiento fundamental es factorizar cada
fracción al máximo y, posteriormente, simplificar los factores comunes.

x2  x  2
Ejemplo: Simplificar:
x2  5x  6

x 2  x  2  x  1 x  2  x  1
  , x  2
x 2  5x  6  x  3 x  2  x  3

NOTA: Es importante establecer la condición x  2 para efectuar la

0
simplificación ya que no es una expresión definida en los reales.
0

Ejercicios. Simplificar al máximo:

x2  6 x  8 x2  2 x  1 x2  5x  6
1.) 2.) 3.)
x 2  16 x2  4 x  3 9  x2

x2  4 x4 x5
4.) 5.) 6.)
x3  8 x3  2 x 2  x x  4x2  4x
3

6 x3 y 3  15 x 2 y x 2 y 2  4 x3 y 4 x 2 y 3  6 x3 y 4
7.) 8.) 9.)
3x 2 y 2  9 x 2 y x2 y  2x2 y 2 2 x 2 y 2  3xy 3

8xy  4 y 2 
2
r s  3r s  9rs
3 2
6 x  3xy
2

10.) 11.) 12.)

r 3  27 4 x 2 y  2 xy 2 8 x3 y  y 4

12
 15. SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIÓN

Signo de la fracción signo del numerador

a

b
Signo del denominador

a a a
 
Ejemplos: 1.)
b b b
a a a
  
2.)
b b b

Ejercicios: simplificar:

9  x 2  y 2  8  x  3 5  x 2  3x  2 
1.) 3 x  y  2.) 40  x 2  9  3.) 10  x 2  4 

x 2  2 x  15 3 x 4 x
 6.) 
4.)
 5  x  5.)
x2  5x  6 4  3x  x 2

13
 16. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Caso 1 : Igualdad de denominadores

Ejemplo:

2x 1 x 1 x
  
 2 x  1   x  1  x  2 x  1  x  1  x  2 x
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

Se observa que si el denominador es común, éste se unifica.

En el numerador se ubican las cantidades presentes en cada

fracción, atendiendo el signo adelante de dicha fracción.

Caso 2 : Distinto denominador

Mediante el uso del Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.), las

fracciones con diferentes denominadores se transforman en
fracciones equivalentes de denominador común.

2 1 4
Ejemplo:  2 2
5ab a 15b
a.) Solución (Método 1)

Cálculo del M.C.M.:

MCM (5ab ; a2 ; 15b2) = 15a2b2

2 1 4 2  3ab   115b   4  a
2 2
  6ab  15b 2
 4a 2
  
5ab a 2 15b2 15a 2b2 15a 2b2

14
 b.) Solución (Método 2)

En este caso, hallado el MCM: 15a2b2, se multiplica cada fracción

(numerador y denominador) por los términos que faltan para
completar el MCM.

2 1 4 2  3ab  1  15b2  4  a2 
        
5ab a 2 15b2 5ab  3ab  a 2  15b2  15b2  a 2  =

6ab 15b2 4a 2 6ab  15b2  4a 2

= 2 2
 2 2
 2 2

15a b 15a b 15a b 15a 2b2

Ejercicios: Operar y reducir:

a2 7a a 3
1.)   2a 2  a  2
2a  2 8a 2  8 4a  4 R:
8  a 2  1

1 1 1 1
   2n 2  4n  1
2.)
 n  1 n  1  n  13 n R:
2
n  n  1
3

2 1 3 7x  4
3.)   R:
2 x2  5x  3 2 x2  x  6 x2  x  2  x  1 x  2  2 x  3

a  1 a  2 a 2  2a  6
4.)   5a
3a  3 6a  6 9a 2  9 R:
18  a  1

15
 2 2x  3 6 x  12 4x  5
5.)  2  3 R:
x  2 x  2x  4 x  8 x2 2 x  4

x  y x  2y y
6.)   2 R: 0
xy xy  y 2
x  xy

2x  1 x2 2x 3x 2  2 x  1
7.)  2  R:
12 x  8 6 x  x  2 16 x  8 4  3x  2  2 x  1

1 1 x x x
8.)   
3 1  x 4 
R:
3  3x 3  3x 6  6 x 2  2 x 2
2

x 1 x3 2 x2  7 x  7
9.)  2 R:
x  x  2 x 1
2
 x  2  x  1 x  1

x2 x3 4
10.)  2 R:
x  x 6 x 9
2
 x  3 x  2 

y 3 y2 2 y2  9 y  7
11.)  2 R:
y  10 y  25 y  4 y  5  y  5  y  1
2 2

x 4 x2 9x  4
12.)  2  2 R:
x  4 x  x  2 x  3x  2
2
 x  2  x  2  x  1

1 1 4 y
13.)  2 R:
x  4y x  4 xy  4 y 2  x  2y  x  2y
2 2 2

16
17. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

En general se aplican las reglas:

a c ac b a b a a c
  a  c 
b d bd c c b b

Ejemplos: Operar y reducir:

2a 15b 30ab 6
1.) 2
 2  2 2
5b a 5a b ab

2.)
14 x x 2  3x  2
 
14 x

 x  1 x  2   x  2
4x  4 21x 2
4  x  1 21x 2 6x

x  3 x 2  2 x  8 x  3  x  4  x  2  x  4
3.)    
x2 x2  9 x  2  x  3 x  3 x  3

x 2  x  2 18  2 x 2 x 2  2 x  8  x  2  x  1 2  3  x  3  x  x  4  x  2 
4.)   
2 x2  8 x2  5x  4 x2  6 x  9 2  x  2  x  2  x  1 x  4   x  3
2

  x  1 x  3
=
 x  1 x  3

Ejercicios:

6 x3 x2  5x  4 2x2  2x
1.)  R:
x 2  16 3x 2 x4

y 2  2 y  3 y 2  3 y  10 y2  5 y  6
2.)  2 R:
y 5 y  5y  6 y6

17
 2 y2  y  3 5 y3  2 y 2 y2
3.)  R:
6  11y  10 y 2 3 y 2  5 y  2 2  3y

15x 2  x  2 2 x 2  x  36 5x  2
4.)  R:
2 x 2  5x  18 3x 2  11x  4 x2

27 y 3  8 4 y 2  25
5.)  R: 2y  5
6 y 2  19 y  10 9 y 2  6 y  4

mx y  x m2  x 2  y  x 
6.)     x
m  x m2  mx y 2  x 2  y  R:
y

x 2  3x  2 x 2  3x  2 x 2  x  2
7.)   1
x2  4 x  4 x2  x  2 x2  2 x  1 R:

x 2  2 x  1 2 x 2  7 x  4 3x 2  2 x  5
   2 x  1  x 2  1
8.)
2  x  4   x 2  x  1
R:
3x  5 2 x3  2 x 2  16

5a  x
9.) a 2
 3ax  4 x 2  
ab  4bx
R:
 a  x  5a  x 
b

8a3  b3 bx 2  2bx 4a 2  12ab  9b2

10.)    x  2 2a  3b 
2a  3b 4a 2b  2ab2  b3 2ax  bx R:

18
18. DIVISIÓN DE FRACCIONES

En general se aplican las reglas:

a c a d ad b ac a a
:    a:  :c 
b d b c bc c b b bc

Ejemplos: Operar y reducir:

5 x3 y 35 xy 2 5 x3 y 18 z 6x2
1.) :   
3z 2 18 z 3z 2 35 xy 2 7 yz

x2  16 x 2  6 x  8  x  4  x  4   x  3 x  1 x 2  x  12
:   
2.)
x  1 x2  2x  3 x 1    x  2
x  4 x  2

h2  9 h2  6h  9  h  3 h  3  y  x  y  x   h  3 y  x 
:   
3 x  y  3  h  3
3.)
3x  3 y y 2  x 2  
2
h 3

xy 2  y 2
x3  x 2 y xy 2  y 2 x 2  xy  2 y 2
 3  
x 2  2 xy  y 2 x  x 2 y x 2  2 xy  y 2
4.) x 2  xy  2 y 2
y 2  x  y   x  2 y  x  y  y2  x  2 y 
  2
x2  x  y   x  y
2
x  x  y

15x 2  31x  14 5 x 2  2 x  7  5 x  7  2  3x  x  x  2  x  5
: 3   
x3  4 x x  3x 2  10 x x  x  2  x  2   5x  7  x  1
5.)

 2  3x  x  5
 x  2 x  1

19
 19. FRACCIONES COMPUESTAS

Una fracción compuesta está formada por una o varias fracciones simples
en el numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en
identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1 1 1 1 x 1
     1  x.
1.- 1 1 x x 1  x 1
1 1 1
1 x 1 x 1 x 1
1
x x

2.-
1 1 1 1 2a  3 a  2
1  1  1  1  1 
1 1 a 1 2(2a  3)  (a  1) 3a  5 3a  5
2 2 2
1 2(a  1)  1 2a  3 2a  3
2
a 1 a 1

1 1 yx

x y xy yx x2 y2 xy
 2   
3.- 1

1 y  x2 xy  y  x  y  x  x  y
2 2 2 2
x y x y

a  a2 a  a2
a 2  1  a 2  1  a(1  a)  a  1   1  a  1
4.- a a  a(a  1) (a  1)(a  1) a  a 2  a a(a  1) a
a
a 1 a 1

20
Ejercicios: Operar y reducir:
1
a 2b 2 
1.  8ab ab(4a 2b2  2ab  1)
1 R:
4 2 2 16ab  8
ab

 a 4b  b   a  2b   a3  b  8b3 
2.  ab   1  3 3 R:
 b a  a  8b  a 2  2ab  4b2

7a  4
2
3.  4a  1 4
4a  3a
2 R:
4a  1
 3a 2
a2
1
3a  2

6  9a
4a 
4.  a 1
a2
6a  a
2
R:
6 a 1
2a  a  1
1
3
a 1

3  5x2
 2x
5.  5x  7 1  5x
3x  7 R: 
2 3x  14
3x  1
2
x4

 x3   2 x x3
6.   1  :   x2  x  5
 x  2x  8   2  x 4  x 
2 R:
x  14  2 x 2

21
 20. POTENCIAS

Cuando un número se multiplica muchas veces por sí mismo, se

obtiene la potencia del número.
Ejemplo: 5  5  5  5  5  5  56  15.625
Generalizando: Potencia es el producto de varios factores iguales.

exponente bn = b·b·b·…·b, n veces.

n
b bR n Z
base

Reglas de las potencias: Para cualquier número real a y b y

número positivo m y n, se tiene que:

1) a m ·a n  a m  n
am am 1
2)  a mn ( si m  n)   si n  m
a n
a n a nm
 ab   a m ·b m
m
3)
m
a am
4)    m b  0
b b
5) a   a
m n mn

6) a b   a
m n k mk
b nk
7) a 0  1 ( a  0) ( por definición)
n
n 1 1
8) a  n (a  0)    an (a  0)
a a
n n
a b
9)      (a, b  0)
b a
a m bn
10)  (a, b  0)
b n a m
22
Ejercicios: Operar y reducir:

24  x 2 
4
2 4
 2x  16 x8
1)  3    12
y  y
4
 y  3

2)  3x 4   2 y 3   33  x 4   2   y 3   27·4 x12 y 6  108 x12 y 6

3 2 3 2 2

2 x4  x2 y 
0
2 x 4·1 2 x 4·x 4 x8
3)  2 4 2   2
4x y 
2 2 2
4 x y 16 y 8 y
2
 5 zw 
3
 2  25 z w  8 
2 2
25·8 z 2 w2 50
4)   
 2   2 2 
·  6 3
   
 w z  4x y  w z  4x y w z
2 2 6 3
 2 xy  x 2 y 2 w4 z
4
 ab 2  c 2 d 2  a 3   ab 2 c 4 d 2 a3  4  a 4  4 a16
5)  3 4 · 3  · 2 3     3 4 · 6 · 6 9    10 8 2   40 32 8
 c d  b   b c    c d b b c   b c d  b c d
3 2
 2ab3   4a 3d 3 
 2 2  · 2 
 c d   b c  8a 3b9 16a 6 d 6 c10 4c 2
6) 5
 6 6 · 4 2 · 10 5 5  5
 2a bd 
2 c d b c 32a b d ad
 2 
 c 
3 5
 2a 2b   5 2 3   b 2c   c 2  8a 6b3 25a 4b 6 b10c 5 c 2 25b18c
2

7)   2  ·  a b  ·  3  · 2    6 · · 15 · 2  5
 c   4   a  a b c 16 a a b 2a
3 2 5
 2c 2 d 2   4a 3c 1   2c 2 d  8a 3b9 16a 6 d 6 c10 4c 2
8)  1 3  · 2 3  :  2 1   6 6 · 4 2  5
 a b  c d b c 32a b d ad
10 5 5
 a b  bd 

23
 21 SIGNOS DE UNA POTENCIA

1.) Base positiva: Si la base es positiva, la potencia es positiva,

es decir, no importa el signo del exponente.

Si b  R y n  Z  bn  0

53  125 22  0, 25
3 4
Ejemplos: 5  4 625
   15, 625 1  
2  5 6561

2.) Base negativa: Si la base es negativa, el signo de la potencia

depende de si el exponente es par o impar.

bn > 0 , si n es par

Si b  R  y n Z
bn < 0 , si n es impar

 3  9  5  125

2 3

Ejemplos:
 0, 2   0,0016  0,5  0,03125
4 5

En resumen:

  
par

  
impar

     
par

    
impar

24
 22 NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica se usa para expresar en forma abreviada

cantidades muy grandes o muy pequeñas, tal como se expone a
continuación:

Forma general: x 10n , x  R , n  Z , 1  x  10

Escribir un número en notación científica: x·10n

1) Mueva la como decimal del número

dado de tal modo que haya sólo un dígito
significativo ( diferente de cero ) a su
izquierda. El número resultante es x.

Ej.: 163.800.000 1,63800000

0,000836 8,36

2) Cuente los lugares que movió la coma

Procedimiento decimal en el paso 1. Si la coma decimal
corrió hacia la izquierda, n es positivo.
En cambio si la coma se movió hacia la
derecha, n es negativo.

Según los ejemplos:

163.800.000 = 1,638·108
0,000836 = 8,36·10-4

3) Se escribe por lo tanto el número:

X·10n

25
 Ejercicios

Cifra Paso intermedio Notación

Convencional ilustrativo científica

9.000.000 106 9.000.000 9·106

5.300.000.000 109 5.300.000.000 5,3·109

0,000000147 10-7 0,000000147 1,47·10-7

La distancia aproximada de la Tierra al Sol es de 149.600.000 Km. y

la longitud de onda de su luz ultravioleta es de 0,000035 cm.
Exprese estas cantidades en notación científica:

149.600.000 Km. = 1,496·108 Km.

0,000035 cm. = 3,5·10-5 cm.

Un jet jumbo tiene un peso de 7,75·105 libras, mientras que una

araña casera pesa 2,2·10-4 libras. Exprese estas cantidades en
notación estándar:

7,75·105 lbs. = 775.000 lbs.

2,2·10-4 lbs. = 0,00022 lbs.

26
23 RADICALES Y EXPONENTES RACIONALES

Raíces: Un proceso muy relacionado con la potenciación es la

extracción de raíces.
De la geometría se sabe que si una arista de un cubo mide x
unidades, su volumen será x3 unidades cúbicas. Si se invierte
este proceso, determinamos que si el volumen de un cubo está
dado por V unidades cúbicas, la longitud de su arista deberá ser
la raíz cúbica de V, lo que se expresa por:

3
V unidades.

Partes de una raíz: Indice de la raíz

Signo radical

n
A .......... Raíz n-ésima de A.

Cantidad subradical

Ejemplos:

3
Raíz cúbica de 8 = 8 = 2, dado que: 23 = 8.

4
Raíz cuarta de 81 = 81 = 3, puesto que: 34 = 81.

Raíz cuadrada de 25 =
2
25  25 = 5, ya que: 52 = 25.
5
Raíz quinta de 243 = 243 = 3, dado que: 35 = 243.

3
Raíz cúbica de 1.000 = 1.000 = 10, puesto que: 103 = 1.000.

27
 Nota: Para un número real a y un número impar n, sólo un
n
número real satisface a a . Este único número se le conoce como
la n-ésima raíz principal de a, o simplemente raíz n-ésima de a.

En cambio, para un índice par n, existen dos casos posibles:

n
1.- Para a negativo, no hay ningún número real igual a a.

Ejemplos: 8  R 4
25  R
2.- Para a positivo, existen dos números reales cuya n-ésima
potencia es igual a a.

Ejemplos:
4
81  3 y 4
81  3
64  8 y 64  8

Importante: Con el fin de tener una raíz n-ésima, definimos la

n
raíz (principal) a , como el valor positivo b que satisface a
bn = a.

Se resume este análisis como sigue:

La raíz (principal) n de un número real se define como:

n
a  b sólo si a  bn
sujeto a las condiciones:

a=0 a>0 a<0

n par
n
a 0 n
a 0 n
a no es real

n impar
n
a 0 n
a 0 n
a 0
Nota: Cuando se nos pide la raíz de un número, damos la raíz principal.
28
 Propiedad de los exponentes racionales.

Para el entero positivo n y cualquier entero m (con a  0 cuando m  0

y m está reducido a la expresión más simple) :
n

   a
m 1 m m
1.  a  a n n n

2.  a n   a m  n  n a m si a es no negativo cuando n es par.

m 1

Nota: En el resto del análisis supondremos que todas las expresiones

son reales.

Propiedades de las raíces:

 
n
1.  n
an  n
a a

2.  n
a·b  n
a ·n b
n
a a
3.  n  n
b  0
b b
4.  n m
a  n·m
a
5.  a p·m 
p·n n
am
6.  n
a ·m b  n·m
a m ·b n
7.  n
a :mb  n·m
a m : bn b  0
8.  n
1 1 n
0 0

29
 Ejercicios: Operar y reducir cada expresión siguiente:

 4x2 y4 z 2  3xy    2xy2 z  3xy   2xy2 z 3xy

2
1.- 12 x3 y5 z 2 

6 x2 y·3 4 x5 y 2  3 24 x7 y3  3 8x6 y3·3x  3  2 x 2 y  ·3x  2 x 2 y·3 3x

3
2.  3

16 x 4 y 2  3·2  4 x 2 y   3 4 x 2 y
2
3.  6

4.  3
2 6 3
22·6  3
24  3·2 24  6 24

  
5.  3 2  2 5  2  15 2  3 4  10  2 2  13 2  6  10  13 2  4

 
2
6.  3  2 2  9  12 2  4·2  9  12 2  8  17  12 2

7.  63  175  4 112  9·7  25·7  4 16·7  3 7  5 7  4·4 7  14 7

4
32m7 n9 4
24·2·m4 m3n8 n 2mn2 4 2m3n
8.     n 4 2m3n
2mn 2mn 2mn

9.  2 3 16  3 54  2 3  2  ·2  3  3 ·2  2· 2  3 2  3 3 2   3 2

3 3

5· x4  2 x2 y  y 2  5· x2  y 
2
10 y 5 y 5x  10 x y  5 y
2 4 2 2
x2  y
10.  5  2  4     2 · 5
x x x4 x4 x4 x

30
Ejercicios: Operar y reducir al máximo:

2 3
4
1.  3
2.  3
x 3.  3 y

4.  3 5.  3 3
a 6.  3 4
a3
7.  3
a: a 8.  4
b: b 9.  3
5:4 5
10.  6
8: 2 11.  6 : 3 16 12.  4
cd 3 : cd

 
5
4
13.  3
16 y 14.  3 4
8a 3
15.  3
ax 2

16.  3
9b9 17.  33 34 3 18.  x 4  y 4
a10 9x2 y6
19.  6 20.  4 21.  3
a
4b 2 4b 4
a 1 1 4 a a b
22.   4 23.  b a  2
a 1 1  a2 a2 b b a
24.  4
48 x 4 y  4 2a 4 y  8 4 y 2 25.  6
64a 2 x 6  9 a 3b 9

Respuestas:

1.  48 3 3 2.  6
x 3.  6 y 4.  4
3
6
a5 4
b3
5.  9
a 6.  4
a 7.  8. 
a b
6
54 4
c3d
9.  12
5 10.  1 11.  12. 
2 c
2 3 2 y2
13.  14.  4
2a 15.  ax 3 3 a 2 x
y2
x4  y 2
16.  b 6 9b3 17.  312 3 18. 
x2 y
a 3 4a 2b 2 y 6 xy
19.  20.  21.  12
a
2b 2b

22. 
 a  2 a2 1 23. 
 a  2b  ab
a  a  1 b
24.  2 x 4 3 y  1  a  4 2 y 25.   2 x  b  3 a

31
 Operaciones de racionalización :

Al proceso de eliminar un radical de un denominador se le llama

racionalización del denominador.
Para racionalizar el denominador se multiplica al numerador y al
denominador por un factor adecuado que racionalice al
denominador, es decir, que deje al denominador libre de radicales.
Al factor se le llama factor de racionalización.
Los siguientes productos especiales se utilizan para encontrar
algunos factores de racionalización:

 a  b  a  b   a 2  b2
 a  b   a 2  ab  b2   a3  b3
 a  b   a 2  ab  b2   a3  b3

Ejercicios: Racionalizar los denominadores:

1. 
3
5

3· 5 3 5
5· 5 5
 5 : factor de racionalización 
2. 
2

2  10  2  
20  2 2 2 5  2 2
 
5 2
10  2  10  2  10  2  10  4 6 3

3. 
x y

 x y  3 x  2 y  
3 x 2 y 3 x 2 y  3 x  2 y 

3 x 2  2 xy  3 xy  2 y 2 3 x  5 xy  2 y

3 x    2 y  9x  4 y
2 2

3 3
2a 2 2a 2 2a 2 ·3 32 b 3
2·32 a 2b 3
18a 2b
4.  3    
3b 2 3
3b 2 3
3b 2 ·3 32 b 3
33 b3 3b

  2 m  2 
1· 
2
3 3 2
m
1 
5.  
m 2
 m  2   m   2 m  2 
3 2
3 3 3 2

3
m2  2 3 m  4 3
m2  2 3 m  4

  m8
3
3
m  23

32
Ejercicios: Racionalizar los denominadores:

2x 2 xy
1.  sol.:
18 xy 3y
6 3 2x
2.  sol.:
2x x
2 3 2 15
3.  sol.:
5 5
x 2 2x  x  6
4.  sol.:
2 x 3 4x  9
3 5 1  15
5.  sol.:
2 3 5 7
x2 3 x  2  2 x2  4
6.  sol.:
3 2 x  2 1 4x
3 3
8tz 2 2t 2 z 2
7.  sol.: 
3
32t 2 2t
6
x2 y 6
xy 3
8.  sol.:
6
27 xy 4 3y

1 1 3 y  3 y2
9.  sol.:
1 3 y 1 y

10. 
1
sol.:
1  
2  a 3 a  2 2 
1 2  a a 2  6a  1

33