ENCUENTRO # 10

TEMA:Operaciones con polinomios

CONTENIDOS:

1. Polinomios. Clasificación.

2. Valor numérico de un polinomio

3. Operaciones con polinomios.

4. Signos de agrupación.

DESARROLLO

Ejercicio reto
q È
3 √
1. El resultado de a a a es:
√ √
4
A. 3
a B. a3 C. a D. a3 E. 1
p p √
2. Al realizar la siguiente operación y simplificar 2 4 16y 5 + 3 4 81y 13 − 4y 4 y se obtiene:
√ √ √ √ √
A. 4y 4 3y B. 5y 3 4 y C. 9y 3 4 y D. y(4 + 5y 2 ) 4 y E. −y 2 4 y

Polinomios
Difinición # 1 Expresiones algebraicas
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras variables
que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división,
potenciación.

Ejemplo 1.1.
3a + 2b − 5 en esta expresión son constantes 3, 2, −5 y las variables son a y b.
(z 2 + 8)(5z 4 − 7), en esta expresión son constantes 8, 5, −7, variable "z" y 2, 4 exponente.

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Difinición #2 Término algebraico
Es un sumando de un expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término
algebraico se le denomina monomio y consta de coeficiente,parte literal (base y exponente).

Ejemplo 1.2.
Término Coeficiente Base(s) Exponente(s)
−8y 3 −8 y 3
1 1
mnx m, n 1, x
23 23

3 3
− (2x + 1)−2 − 2x + 1 −2
4 4

Clasificación de polinomios
Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos

;Monomio: es la mínima expresión algebraica que tiene un sólo término algebraico.

Ejemplo 1.3.

2 B) a2 C) 5x3 y 2 4x
A) x D)
5 7
;Binomio: es un polinomio que consta de dos términos.
Ejemplo 1.4.

A) x + 2 B) a2 − 9 C) m3 + 1 D) x + y

;Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos.

Ejemplo 1.5.

A) x + y + z B) b2 − 9b − 10 C) m3 + m + 4 D) z 4 − 5z 2 m − 6m2

;Polinomio: es un polinomio que consta de más de tres términos.

Ejemplo 1.6.

A a−x+y+z C m3 + m2 − m + 4

B b2 − 9b − 10 − 5d2 D z 4 + 3z 3 − 5z 2 m − 6m2

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Difinición # 3 Grado Absoluto de un Polinomio (GA)
Está dado por el término que tiene mayor grado absoluto.

Difinición # 4 Grado Relativo de un Polinomio (GR)

Está dado por el término de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio.

Ejemplo 1.7.
Determinar los grados del siguiente polinomio.

P = 4x4 y 3 z 5 + 8x5 y 4z 6 + 9x6 y 2 z 8

Solución
Como no se especifica qué grado debe darse, se obtendrán los dos grados: absoluto y relativo.
Grado absoluto de P
GA de 4x4 y 3 z 5 ...es 12 GA de 8x5 y 4 z 6 ...es 15 GA de 9x6 y 2z 8 ...es 16
Luego el GA de P es 16.
Grado Relativo de P
Grado Relativo con respecto a x = 6 (por ser el mayor exponente)
Grado Relativo con respecto a y = 4 (por ser el mayor exponente)
Grado Relativo con respecto a z = 8 (por ser el mayor exponente)

Difinición #5 Polinomio completo respecto a una de sus letras.

Son aquellos polinomios que tienen todas las potencias sucesivas de la letra que se considera,
desde la potencia máxima hasta cero inclusive (término independiente)

Ejemplo 1.8.
El polinomio P (x) = 3x6 + 5x5 − 2x4 + x3 + 7x2 − 6x + 5 es completo respecto a la variable "x"
Observación: Todo polinomio completo de grado "n" tendrá n + 1 términos con respecto a la
letra considerada.

Difinición #6 Polinomio homogéneo

Son aquellos polinomios que tiene todos sus términos de igual grado absoluto.

Ejemplo 1.9.
El polinomio 3x5 + 5x3 y 2 + xy 4 + y 5 es homogéneo

Difinición #7 Polinomio heterogéneo

Son aquellos que sus términos no todos son de igual grado absoluto.

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Ejemplo 1.10.
El polinomio 3x6 − 2x3 y 2 + xy 4 + y 5 es un polinomio heterogéneo

Difinición # 8 Polinomios idénticos

Dos polinomios son idénticos cuando los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

La ¨notación de la identidad de polinomio es "≡", es decir:

P (x) = An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0
Sí
Q(x) = Bn xn + Bn−1 xn−1 + · · · + B1 x + B0
Son polinomios idénticos sí y solo sí: An = Bn , An−1 = Bn−1 , · · · , A1 = B1 , A0 = B0

Difinición # 9 Términos semejantes

Dos o más términos son semejantes cuando tiene la misma parte literal, o sea cuando los
mismos exponentes afectan a las mismas bases.

Ejemplo 1.11.
Los siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo
consiguiente son semejantes.
1 2
−7b con 4b −8x2 y 3 con 7x2 y 3 abc con abc2
6

Reducción de términos semejantes

Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coeficientes,
manteniéndose la parte literal.

Ejemplo 1.12.
Simplifica la expresión −7a + 3a
Solución
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación que da como resultado:

−7a + 3a = (−7 + 3)a = −4a

Ejemplo 1.13.
¿Cuál es el resultado de simplificar −6xy 2 + 9xy 2 − xy 2 ?
Solución
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación para obtener el resultado:

−6xy 2 + 9xy 2 − xy 2 = (−6 + 9 − 1)xy 2 = 2xy 2

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Ejemplo 1.14.
Reduce la expresión 10x2a y b − 5x2a y b + 6x2a y b − 11x2a y b .
Solución
Se efectúa el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene:

10x2a y b − 5x2a y b + 6x2a y b − 11x2a y b = (10 − 5 + 6 − 11)x2a y b = 0x2a y b = 0

Ejemplo 1.15.
Simplifica la expresión 7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z
Solución
Se agrupan los términos semejantes:

7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z = 7x − 12x − 3y + 5y − 8y + 4z + 2z − 3z

Se realiza la reducción:

= (7 − 12)x + (−3 + 5 − 8)y + (4 + 2 − 3)z = −5x − 6y + 3z

Ejemplo 1.16.
Simplifica 0.5a3 b − 3ab3 − 5a3 b + 0.75ab3 − 32 a3 b
Solución
Se expresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifican los términos semejantes.
1 3 2
0.5a3 b − 3ab3 − 5a3 b + 0.75ab3 − 32 a3 b = a3 b − 3ab3 − 5a3 b + ab3 − a3 b
2 ‹  4 ‹3
1 3 3 2 3 3 3 3 1 2 3 3
= a b − 5a b − a b − 3ab + ab = −5− a b + −3 + ab3
2 3 4 2 3 4
31 3 9 3
= − a b − ab
6 4

Ejercicios Propuestos
Simplifica:

1. 3x − 8x 7. 7ab + 4ab − 3ab

2. 6a2 b + 7a2 b 8. 5a2 − 7a2 + 3a2 − 2a2

3. 4xy 4 z 3 − 4xy 4 z 3 9. −m + n + m + n
1 3 1
4. −2a2 b + 12a2 b 10. a3 b − a3 b + a3 b
4 5 6
5. −3a + 5a − 10a 11. −3ax+1 + 2ax+1 − ax+1 + 2ax+1

6. 4x − 3x − 2x 12. 0.25b − 0.4b + 0.2b

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 1 3 3 14. 4mx−2 − 10mx−2 + 3mx−2
13. ab c − ab3 c − ab3 c
2 2
15. 12a2 b + 3ab2 − 8a2 b − 10ab2 − 3a2 b + 6ab2

16. 9a3 b2 c − 5a2 bc2 − 12a3 b2 c + 3a2 bc2 + 4a3 b2 c

17. −3x2 + 2y 2 − 7 + 10x2 − 12y 2 + 15

18. −81m2 − 17mn + 15n2 + 20m2 + 3mn − 17n2 + 53m2 + 18mn + 7n2

19. x2a+1 − 3x3a−2 − 7x2a+1 − 4x3a−2 + 8x2a+1 + 12x3a−2

20. −3am+5 + 10xm+2 + 2am+5 − 3xm+2 − 8am+5

5 3 1 1
21. − a2 − ab + a2 + 5ab − 3a2 − ab
4 2 2 2
2 m−1 1 1 3
22. x − bm−2 + xm−1 − bm−2 − 4xm−1
3 10 2 4

Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus
respectivos valores numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.

Ejemplo 3.1.
1
Determina el valor numérico de la expresión:x4 y 2z 3 ; si x = 4, y = 3, z =
2
Solución
 ‹3 las operaciones
Se sustituyen los respectivos valores dex, y, z y se efectúan  ‹ indicadas para obtener
1 1 2304
el valor numérico de la expresión: x4 y 2 z 3 = (4)4 (3)2 = (256)(9) = = 288
2 8 8
Ejemplo 3.2.
5x2 2xy y 1
¿Cuál es el valor numérico de − − , si x = 2, y = ?
3 5 3x 4
Solución
Se sustituyen los respectivos valores de x, y y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el
valor numérico de la expresión:
5x2 2xy y 5(2)2 2(2)( 14 ) 1
− − = − − 4
3 5 3x 3 5 3(2)
4 1
5(4) 20 1 1 800 − 24 − 5 771 257
= − 4 − 4 = − − = = =
3 5 6 3 5 24 120 120 40

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Ejercicios Propuestos
Encuentra el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si: m = −2,
1 1 1
n = 3, p = , x = , y = 10, z =
4 3 2
1. 2m + n m2 n2 y 2
12. + +
2 3 4
2. m − n + y mn mp np
13. + −
3. 8p + 3x z x m

2z + 6x 9x2 8z 2
4. 14. − +3
n 3 2
É É
5. 5m − 2n + 3y √ 3 24
15. p− + xy
m y  x 5
6. +m+6
n z 8p − z 12x − m 2
16. − +
2
m +n +1 2 2n z x
7.
p+x mn
 ‹2 17. − pn + z n
z−x 32
8.
2m + n 2(p − x) m2 + n2
18. ÷
9. p2 + 2px + x2 z p
19. 3(p − x)m
10. m2 − 3mn + n2
√ √
p y 5 m2 n2 3 6 + y √
11. − +3 20. + −3 p
x z 2 4

Lenguaje algebraico
Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.

Ejemplo 4.1.
Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico.

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 Lenguaje común lenguaje algebraico
Un número cualquiera m.
Un número cualquiera aumentado en siete. j+7
La diferencia de dos números cualesquiera. f −q
El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5
x
La división de un número entero entre su antecesor
x−1
d
La mitad de un número
2
El cuadrado de un número. y2
b+c
La semisuma de dos números
2
Las dos terceras partes de un número 2
(x − 5) = 12
disminuido en cinco es igual a 12 3
Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2
Las tres quintas partes de un número más la 3 1
p + (p + 1) = 3
mitad de su consecutivo equivalen a 3 5 2
√
La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades. a−b

Ejercicios Propuestos
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:

1. Un número disminuido en tres.

2. El triple de un número excedido en ocho.

3. El cociente de dos números cualesquiera.

4. Tres números enteros pares consecutivos.

5. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera.

6. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera.

7. El recíproco de un número.

8. La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.

9. La suma de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera.

10. El precio de un artículo disminuido en su 15%.

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 11. El exceso de 50 sobre el doble de un número.

12. Tres números impares consecutivos.

13. El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de
su ancho.

14. La edad de una persona hace 10 años.

15. El exceso del cubo de un número sobre la mitad del mismo.

16. Los ángulos de un triángulo, si el primero es el doble del segundo.

17. La cantidad de alcohol en un recipiente de x litros de una mezcla si la concentración de

alcohol es 30%.

18. La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia.

19. Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su recíproco
equivale a 10.

20. El doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete.

Operaciones con polinomios

Suma y Resta de polinomios
Suma los polinomios

Se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 5.1.
Suma los siguientes polinomios: 5x3 − 3x2 − 6x − 4; −8x3 + 2x2 − 3; 7x2 − 9x + 1
Solución
Los polinomios se escriben de la siguiente forma y se realiza la reducción de términos semejantes:

(5x3 − 3x2 − 6x − 4) + (−8x3 + 2x2 − 3) + (7x2 − 9x + 1) = −3x2 + 6x2 − 15x − 6

Ejemplo 5.2.
Efectúa la siguiente operación: (2x − 7y − 3z + 6) + (−9x + 4z) + (−x + 4y + z − 8)
Solución
Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes en
columnas; asimismo, se reducen los coeficientes término a término.

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 2x −7y −3z +6
−9x +4z
+ −x +4y +z −8
−8x −3y +2z −2
Ejemplo 5.3.  ‹  ‹
1 3 1 3 a+1 1 b−1 1
Realiza la siguiente operación: xa+1 − y b−1 − + x − y −
2 4 6 2 3 4
Solución
Se acomodan en forma vertical los términos semejantes y se realiza la operación columna por
columna:
1 a+1
x − 43 y b−1 − 16
2

3 a+1
+ x − 31 y b−1 − 14
2

13 b−1 5
2xa+1 y− − 12
12
13 5
Por consiguiente, el resultado es: a+1 − y b−1 −
12 12

Resta de polinomios

Es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción

de términos semejantes.
Nota: El minuendo aparece después de la frase "de" y el sustraendo aparece después de la palabra
"restar".
Ejemplo 5.4.
Realiza la siguiente operación:(4a − 2b − 5c) − (3a − 5b − 7c).
Solución
En este ejemplo 4a − 2b − 5c representa al minuendo y 3a − 5b − 7c al sustraendo. Se suprimen
los paréntesis y se procede a efectuar la reducción de términos semejantes.
(4a − 2b − 5c) − (3a − 5b − 7c) = 4a − 3a − 2b + 5b − 5c + 7c
= a + 3b + 2c
Ejemplo 5.5.
De 16x2 − 7x − 8 restar 6x2 − 3x + 6.
Solución
El minuendo es 16x2 − 7x − 8 y el sustraendo es 6x2 − 3x + 6, entonces al sustraendo se le cambia
el signo −(6x2 − 3x + 6) = −6x2 + 3x − 6 y se acomodan los polinomios en forma vertical para
realizar las operaciones entre los términos semejantes:

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 16x2 −7x −8
−6x2 +3x −6
10x2 −4x −14
Por tanto, el resultado es: 10x2 − 4x − 14

Ejemplo 5.6.
3 1 1 1
Resta − a2 b − 6b3 + 2a3 − ab2 de a3 − 2b3 + a2 b − ab2 .
4 2 3 3
Solución
1 1
En este caso el minuendo es a3 − 2b3 + a2 b − ab2 y el polinomio sustraendo al cual se cambia
3 3
3 1
el signo y se ordenan respecto a los exponentes es:− a2 b − 6b3 + 2a3 − ab2
4 2
 ‹
3 1 3 1
− − a2 b − 6b3 + 2a3 − ab2 = −2a3 + a2 b + ab2 + 6b3
4 2 4 2
Se acomodan los polinomios y se reducen los términos semejantes:
1 3 1
a + a2 b −ab2 −2b3
3 3
3 1
−2a3 + a2 b + ab2 +6b3
4 2
5 3 13 2 1 2
− a + a b − ab +4b3
3 12 2
5 13 1
Finalmente, el resultado es:− a3 + a2 b − ab2 + 4b3
3 12 2

Ejercicios Propuestos
Realiza lo siguiente.

1. Suma los polinomios 3x − 8y − 2z; 7x + 3y + z

2. Efectúa (5x2 − 5x + 6) + (2x2 − 7x + 4) + (−6x2 + 10x − 10)

3. Suma y 3 − y; 2y 2 − 5y + 7; 4y 3 − 5y 2 + 3y − 8
5 2 2 1 3 1 1 3
4. Suma los polinomios x − 5xy + y 2; − x2 + xy − y 2 ; −2x2 + xy − y 2
2 3 3 2 4 2 4
 ‹  ‹
1 1 1 1 1 5 2 3 5
5. Efectúa − a2 + b2 − ab + − a2 + b2 + ab) + (− b2 + ab + a2
6 8 2 3 4 6 3 4 6
3 2x 5 x 1 2
6. ¿Cuál es el resultado de sumar b − b + b; − b2x + bx − b; −b2x + 2bx ?
8 6 4 3
 ‹  ‹  ‹
1 1−y 5 1−2y 1 2 1 1−y 1 1−2y
7. x − x − x1−3y + − x1−y + x1−3y + x1−2y + x + x
3 4 6 3 2 3

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 8. ¿Cuál es el resultado de (3x3 − 5x2 − 6x + 3) − (2x3 + 4x − 8)

9. Efectúa (4x3 y 2 − x2 y 3 + 6x4 y − 8xy 4) − (12x2 y 3 − 3xy 4 + 4x3 y 2 − 9x4 y)

10. Realizar (3xa+2 − 7xa+1 − 8xa + 3xa−1 ) − (4xa+2 + 6xa+1 − 7xa − 9xa−1 )
 ‹  ‹
3 3 1 2 2 1 3 5 2 2
11. ¿Cuál es el resultado de x − x + − x − x − x−1
2 4 3 2 2 3
12. Resta 16x6 y 4 − 3x3 y 2 + 8x7 y 5 de 4x7 y 5 + 9x3 y 2 + 10x6 y 4

13. Resta 3mx−6 − 7mx−5 + 8mx−9 − 12mx+1 de 4mx−9 − 6mx−5 + 2mx−2 − 8mx+1
1 5 3
14. Resta a b − a3 b3 − 6a4 b2 de 3a3 b3 − 8a5 b − 41 a4 b2 + 21 a2 b4
2 4

Signos de agrupación
Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben
considerar como una sola. Los signos son:
a)Corchetes [ ] b)Paréntesis ( ) c)Llaves { } d)Barras | |

Reglas para suprimir los signos de agrupación

Si el signo de agrupación está precedido por el signo “+”, éste se suprime y las cantidades que
están dentro de él conservan su signo.

+(−a + b − c) = −a + b − c

Si el signo de agrupación está precedido por el signo "-", este se suprime y cambia el signo de
cada una de las cantidades que se encuentren dentro de él.

−(x − 2y + 3z) = −x + 2y − 3z
−|2x − 3y| = −(2x − 3y) = −2x + 3y

Si en una expresión existen varios signos de agrupación se suprimen aquellos que no contengan
otros. Este proceso se repite hasta llegar a una expresión que carezca de signos de agrupación.

Ejemplo 5.7.
Simplifica 2x + {−[5y + (3x − z) + 2 − (−x + y − |z + 4|)] − (−x + y)}
Solución
Se suprime las barras

2x + {−[5y + (3x − z) + 2 − (−x + y − z − 4)] − (−x + y)}

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Se suprimen los paréntesis:

2x + {−[5y + 3x − z + 2 + x − y + z + 4] + x − y}

Se suprimen los corchetes:

2x + {−5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y}

Se suprimen las llaves:

2x − 5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y

Se agrupan y reducen los términos semejantes:

2x − 5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y = −x − 5y − 6

Ejemplo 5.8. §  • ˜‹ª

1 3 2 1
Simplifica x − x − 2y + − y − −x + y − |x − y|
2 4 3 4
§
Solución  • ˜‹ª
1 3 2 1
x− x − 2y + − y − −x + y − |x − y|
2 4§ 3 • 4 ˜‹ª
1 3 2 1
= x− x − 2y + − y − −x + y − x + y
2 §4 3 4 ª
1 3 2 1
= x− x − 2y + (2x − y + x − y + x − y)
2 §4 3 4 ª
1 3 2 1
= x− x − 2y + 2x − y + x − y + x − y
2 4 3 4
1 3 2 1
= x − x + 2y − 2x + y − x + y − x + y
2 4 3 4
17 47
=− x+ y
4 12

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Ejercicios Propuestos
Simplifica

1. 3x − {2y − (5x + 3y)}

2. −(6a − 3b) − {5a − 9b − (2c − 9b)}

3. −10x − (8x − 4y + 2z) + (5x − 4y − 2z) − (10x − 3y − 4z)

4. 2a − {7a − (3a − 7b) + (10a − 9b)}

5. −(x + y) + [3x − 2y + {−8x − 5y − (6x − 8y − 7y)} − 6x]

6. 8x2 − {3x2 − 6y − |2x − 3y| − [9x2 − 6y − 4x] − (2x2 − 9y + 6x) − 3x2 }

7. −{−6x + 3y − (8x − [2y − 4x − |2x − 6y| + 10x] − 9y) + 12x}

8. −9y + 3z − {5x − 10y − 8z − (2x − 6y + 7z − [2x − 3y])}

9. −6x + 8 {8y − (−[4x − 9y − 6z] − 7x) − 6y} − (8x − [3y − 2z] − 9y)
§ ª
2 1 3 2 1
10. a − − b − (2a − b) + a − b
3 5 5 3 2
§  ‹ª
2 1 1 1 1
11. − x − (3x − y) + x− y− x− y
5 2 5 6 3

Ejercicios de entrenamiento
1. Al efectuar x3 + y 3 − (x3 + 2x2 y 2 + y 3 ) + [−x3 + y 3] se obtiene:

A. −x3 + y 2 − 2x2 y 2 C. x3 − y 3 − 2x2 y 2 E. −x3 − y 3 − 2x2 y 2

B. x3 + 2y 3 + 2x2 y 2 D. x3 + y 3 + 2x2 y 2

2. Al reducir la expresión − (x2 + y 2 )+[−3x2 + y 2 − (−2x2 + y 2 − {x2 − y 2 }) + 2x2 ] se obtiene:

A. x2 − 2y 2 B. x2 + y 2 C. 2y 2 − x2 D. x − 2y E. x2 + 2y 2

3. P − Q = −xm+2 − am+3 − 3, si Q = 2xm+2 − am+3 + 6, entonces el valor de P es:

A. xm+2 − 2am+3 + 3 C. xm+2 − am+3 E. am+3 + xm+2 − 9

B. xm+2 + 2am+3 − 3 D. 2am+3 − xm+2 − 3

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 √ √
4. Si 7nxn−1 y − 5x7 son términos semejantes, entonces el valor de n2 + 17 es:

A. 9 B. 8 C. 1 D. 12 E. 131

5. El valor numérico de M para a = −1; M = −10a − 2b + 6a + 2b

A. 1 B. 2 C. −2 D. 4 E. 8

P (1) P (1)
P (2) − P (0)
6. Si P (x) = 2x2 − 1, calcular
P (−2) + P (−1)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6

7. Si los polinomios P (x) = (a − 2) x3 + (2a − b − 3) x + (2c − 3b) y

Q(x) = −4x3 − 5x + 6, son idénticos, entonces a + b + c =

A. 1 B. 2 C. −1 D. −4 E. 3

8. Si P (x + 2) = 2 (x + 2)3 + x2 + 4x + 4, entonce el valor de E = P (3) es:

A. 60 B. 63 C. 68 D. 65 E. 70

x+2
9. Si P (x) = entonces el valor de E = P (P (P (P (2))))
x+1
18 24 58 140 4
A. B. C. D. E.
15 17 41 99 3

10. Si P (x − 1) = 8 − 5x, indique el valor de P (3)

A. 12 B. 10 C. −13 D. −12 E. −7

11. Si P (x + 2) = −2 − 3x, entonces el valor de P (−3) es:

A. 11 B. 10 C. 13 D. 15 E. −5

P (4)
12. Sea los polinomios P (x) = x2 − 4x + 2 y Q (x) = x2 − 5x − 16, calcule
Q (−2) + 6
A. 1 B. 2 1 D. −2 1
C. E. −
2 2

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 13. Si P (3x + 1) = 15x − 4, hallar P (2x + 3)

A. 10x + 1 B. 10x + 3 C. 10x − 5 D. 10x − 6 E. 10x + 6

14. Hallar (m2 − n2 ), si se cumple que (m + n − 3) x2 y + (m − n − 2) xy 2 ≡ 0

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

15. Se tiene el polinomio P (x, y) = a2 xa+7 −bxa y b + aby b+4 , determine la suma de los coeficientes
sabiendo que es homogéneo.

A. 37 B. 39 C. 38 D. 35 E. 36

16. Calcular a + b + c, si el polinomio P (x, y) = xa+3 y 2 + 5xb−5 y + 6x8y c+4 + x10 y 9 es homogéneo.

A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 E. 44

17. ¨
Si p (x) y Q (x) son polinomios idénticos, calcular a + b + c.
P (x) = 5x3 − 3x2 − 4
Q (x) = 3ax3 − 6bx2 − 2x2 + c + 4x2 + 3
2 7 7 5 9
A. B. − C. D. E. −
3 2 2 2 2

18. Hallar a + b + c, si se sabe que el polinomio P (x) = xa−8 + xa+b−3 + xc−1 es completo y
ordenado en forma decreciente.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7

19. Hallar el valor de m + n + p, para que el polinomio P (x) sea completo y ordenado
m
decrecientemente P (x) = mxm−10 + nxm−n−5 + xp−n+6
n
A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 E. 58

20. Determinar el grado relativo de P (x, y) = axa+8 + abxa y b − by b+16 , respecto a "y" sabiendo
que es homogéneo:

A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 E. 26

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 a−b a+b
21. Si P (x, y) = a2 xa + bx2 y6 + ax6 ya , es un polinomio homogéneo, hallar la suma
de sus coeficiente.

A. −5 B. −4 C. 5 D. 6 E. 7

22. Si P (x) = mx2 − x y P (x) + P (2x) + P (−3x) = 28x2 , determina el valor de "m".

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 E. 7

23. Si (2a + b) x2 − 6x + 1 = 6x2 − (4a − b) x + 1, el valor de a + b es:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

24. En el polinomio P (x) = mx2 + mx + 2, se verifica que P (1) = 3P (−1), calcular m + 1:

A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 E. 1

25. Sean los polinomios P (x) y Q(x) tal que P (x + 3) = 3x − 5 y P (Q (x)) = 6x + 4, calcular
P (−1) + Q (1):

A. −17 B. −10 C. −9 D. 7 E. 13

26. Dada la expresión P (x) tal que: P (x) = P (x − 1)+P (x − 2), además se sabe que P (1) = 3;
P (2) = 4. El valor de P (P (P (0)))

A. 7 B. 4 C. 3 D. 1 E. 14

27. Si P (x + 2) = 6x + 1 y P (f (x)) = 12 − 17, entonces el valor de f (10)

A. 23 B. 20 C. 22 D. 21 E. 19

28. Determinar en cuanto difieren "p" y "q" para que con cualquier valor de "x" se cumpla que:

27 + 8x ≡ p (x + 4) + q (2x + 3)

A. 7 B. 5 C. 1 D. 3 E. 2

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 29. A partir de P (3x + 1) = 15x − 4, hallar P (2x + 3)

A. 10x + 1 B. 10x + 3 C. 10x − 5 D. 10x − 6 E. 10x + 6

30. Si F (x + 4) = 2x + 3, hallar F (3x + 1)

A. 2x + 1 B. 3x − 1 C. 6x − 3 D. 6x + 2 E. 6x + 3

31. Sabiendo que el polinomio P (x) = (ax + b) (x − 1) + c (x2 + x + 1) es idéntico a

Q(x) = 2x2 + 5x − 1, calcular a + b − c

A. 1 B. 1 C. −1 D. 0 E. 3

32. Si P (x + 3) = 5x + 7 y P (Q (x) − 3) = 15x + 2, calcular P [Q (1)]

A. 32 B. 35 C. 37 D. 81 E. 120

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