대칭(물리학)

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물리학에서, 물리적 시스템의 대칭은 어떤 변환에서도 보존되거나 변하지 않는 시스템의 물리적 또는 수학적 특성이다.

특정 변환 패밀리는 연속(원 회전 등) 또는 이산(예: 좌우 대칭 도형의 반사 또는 정다각형 회전)일 수 있다.연속적이고 이산적인 변환은 대응하는 유형의 대칭을 발생시킵니다.연속 대칭은 Lie 그룹으로 설명할 수 있지만 이산 대칭은 유한 그룹으로 설명할 수 있습니다(대칭 그룹 참조).

이 두 가지 개념인 Lie와 유한군은 현대 물리학의 기본 이론의 기초이다.대칭은 종종 그룹 표현과 같은 수학적 공식에 적응할 수 있으며, 또한 많은 문제를 단순화하는 데 이용될 수 있다.

물리학의 대칭성의 가장 중요한 예는 빛의 속도가 모든 기준 프레임에서 동일한 값을 가지고 있다는 것이고, 이것은 푸앵카레 그룹으로 알려진 시공간 변환 그룹에 의해 특수 상대성 이론에서 설명된다.또 다른 중요한 예는 일반 상대성 이론에서 중요한 개념인 임의의 미분 가능한 좌표 변환 하에서의 물리 법칙 형태의 불변성이다.

일종의 불변으로서

불변성은 일부 특성(예: 수량)을 변경하지 않는 변환에 의해 수학적으로 지정됩니다.이 아이디어는 기본적인 실제 관찰에 적용될 수 있습니다.예를 들어, 온도는 방 전체에 걸쳐 균일할 수 있습니다.온도는 실내 관찰자의 위치에 따라 달라지지 않기 때문에 실내 관찰자의 위치 이동 시 온도는 변하지 않는다고 합니다.

마찬가지로 중심을 중심으로 회전하는 균일한 구면도 회전 전과 똑같이 나타납니다.그 구는 구형의 대칭을 나타낸다고 한다.구체의 축을 중심으로 회전하면 구체의 "모양"이 유지됩니다.

힘의 불변성

위의 아이디어는 관찰된 물리적 대칭을 논할 때 불변성에 대한 유용한 아이디어로 이어집니다; 이것은 힘의 대칭에도 적용될 수 있습니다.

예를 들어 무한장 하전 와이어에 의한 전계는 원통대칭이라고 하는데, 그 이유는 와이어로부터의 소정거리 r에서의 전계강도가 반경 r의 실린더 표면(와이어 축)의 각 점에서 동일하기 때문이다.와이어를 자체 축을 중심으로 회전시켜도 위치나 전하 밀도가 변경되지 않으므로 필드를 보존합니다.회전 위치에서의 필드 강도는 동일합니다.이것은 일반적으로 임의의 요금 체계에 해당되지 않는다.

역학 뉴턴의 이론, 두 몸, 각 질량 m과 원산지에서 x 축을 따라 서로 반대 방향으로 전이됩니다, 한 속도 v1과 속도 v2 시스템(로 옵서버에서 발신지에서 계산되)의 총 운동 에너지는.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.ti을 가진 다른에서.On,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1(v12+v22)고 같은 있냐고 속도 상호 교환할 수 있다.총 운동 에너지는 Y축의 반사 아래 보존됩니다.

위의 마지막 예는 대칭을 표현하는 다른 방법, 즉 물리적 시스템의 일부 측면을 설명하는 방정식을 통해 설명합니다.위의 예는 만약 v와₂ v가 교환된다면₁ 총 운동 에너지가 같을 것이라는 것을 보여준다.

로컬 및 글로벌

대칭은 글로벌 또는 로컬로 크게 분류할 수 있습니다.전역 대칭은 모든 시공간 포인트에서 동시에 적용되는 변환에 대한 특성 불변성을 유지하는 반면, 국소 대칭은 시공간 각 포인트에서 가능한 다른 대칭 변환이 적용될 때 특성 불변성을 유지하는 것입니다; 특히 국소 대칭 변환은 파라미터입니다.시공간 좌표에 의해 편집되는 반면, 전역 대칭은 그렇지 않습니다.이는 글로벌 대칭도 국소 대칭임을 의미합니다.국소 대칭은 게이지 이론의 기초를 형성하기 때문에 물리학에서 중요한 역할을 합니다.

계속되는

위에서 설명한 회전 대칭의 두 가지 예(구형과 원통형)는 각각 연속 대칭의 예입니다.이러한 특성은 시스템의 기하학이 지속적으로 변경됨에 따라 불변성이 발생한다는 것입니다.예를 들어, 와이어는 축 주위의 임의의 각도로 회전할 수 있으며, 주어진 실린더에서 전계 강도는 동일합니다.수학적으로 연속 대칭은 파라미터화의 함수로 연속적으로 변화하는 변환으로 설명됩니다.물리학에서 연속 대칭의 중요한 하위 클래스는 시공간 대칭입니다.

시공간

거짓말 그룹
고전파 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n)
단순 거짓말 그룹 고전적인 An. Bn. Cn. Dn. 특출한 G2 에프4 E6. E7. E8.
기타 Lie 그룹 원형 로렌츠 푸앵카레 등각군 미분 동형 고리 유클리드
리 대수 리 군-거짓 대수 대응 지수 지도 인접 표현 킬링 폼 색인 단순 리 대수
반단순 리 대수 다이킨 도표 카르타아게브라 루트 시스템 와일기 실제 형태 복잡화 분할 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 거짓말 그룹 표현 리 대수 표현 반단순 리 대수의 표현 이론 고전적 리 그룹의 표현 최대 무게 정리 보렐-바일-병 정리
물리학의 리 그룹 입자 물리 및 표현 이론 로렌츠 군 표현 Poincaré 그룹 표현 갈릴레이 군 표현
과학자 소퍼스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카르탕 헤르만 바일 클로드 셰발리 하리시찬드라 아르만드 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

연속 시공간 대칭은 시공간 변환이 수반되는 대칭입니다.이러한 대칭은 물리적 시스템과 관련된 공간 기하학만을 포함하는 공간 대칭, 시간의 변화만을 포함하는 시간 대칭 또는 공간과 시간 모두의 변화를 포함하는 시공간 대칭으로 더 분류될 수 있다.

• 시간 변환:물리적 시스템은 특정 시간 간격 δt에 걸쳐 동일한 특징을 가질 수 있습니다. 이것은 변환 t → t + a에서 수학적으로 그 간격의 모든 실제 파라미터 t 및 t + a에 대해 불변성으로 표현됩니다.예를 들어, 고전 역학에서, 중력에 의해서만 작용되는 입자는 지구 표면 위의 h 높이에 매달려 있을 때 중력 위치 에너지를 가질 것이다.입자의 높이에 변화가 없다고 가정하면, 이것은 항상 입자의 총 중력 퍼텐셜 에너지입니다.즉, 어떤 시점 t와₀ t + a에서의₀ 입자의 상태를 고려함으로써 입자의 총 중력 퍼텐셜 에너지가 보존된다.
• 공간 변환:이러한 공간 대칭은 r → r → + a →→ 형식의 변환으로 표현되며, 위치의 연속적인 변화에 따라 시스템의 특성이 변경되지 않는 상황을 설명한다.예를 들어, 실내 온도는 실내 온도계의 위치와 무관할 수 있습니다.
• 공간 회전:이러한 공간 대칭은 적절한 회전과 부적절한 회전으로 분류됩니다.전자는 '일반' 회전일 뿐입니다. 수학적으로, 그것들은 단위 결정식을 가진 정사각형 행렬로 표현됩니다.후자는 행렬식 -1을 갖는 정사각형 행렬로 표현되며 공간 반사(반전)와 결합된 적절한 회전으로 구성된다.예를 들어, 구는 적절한 회전 대칭을 가집니다.다른 유형의 공간 회전은 회전 대칭 기사에 설명되어 있습니다.
• Poincaré 변환:이것들은 민코프스키 시공간에서 거리를 유지하는 시공간 대칭이다. 즉, 민코프스키 공간의 등각성이다.그것들은 주로 특수 상대성 이론에서 연구된다.원점을 고정된 상태로 두는 이러한 등각성은 로렌츠 변환이라고 불리며 로렌츠 공분산이라고 알려진 대칭을 일으킨다.
• 투영 대칭:이것들은 시공간에서 지오데식 구조를 보존하는 시공간 대칭이다.그것들은 어떤 매끄러운 다양체에서도 정의될 수 있지만, 일반 상대성 이론의 정확한 해법에 대한 연구에서 많은 응용을 찾을 수 있다.
• 반전 변환:이것들은 시공간 좌표에 다른 등각 일대일 변환을 포함하도록 푸앵카레 변환을 일반화하는 시공간 대칭이다.반전 변환에서는 길이가 불변하는 것은 아니지만, 4개의 점에는 불변하는 교차 비율이 있습니다.

수학적으로, 시공간 대칭은 보통 매끄러운 다양체의 매끄러운 벡터 장에 의해 설명된다.벡터 필드와 관련된 기본 국소 미분 동형은 물리적 대칭에 더 직접적으로 대응하지만, 벡터 필드 자체는 물리적 시스템의 대칭을 분류할 때 더 자주 사용됩니다.

가장 중요한 벡터 필드 중 일부는 다양체의 기본 메트릭 구조를 보존하는 시공간 대칭인 킬링 벡터 필드입니다.대략적으로 말하면, 킬링 벡터장은 다양체의 두 점 사이의 거리를 유지하며 종종 등각선이라는 이름으로 통합니다.

디스크리트

이산 대칭은 시스템의 비연속적인 변화를 설명하는 대칭입니다.예를 들어 직각의 배수에 의한 회전만이 정사각형의 원래 모양을 보존하기 때문에 정사각형의 개별 회전 대칭이 있습니다.이산 대칭은 때때로 일종의 '스왑'을 수반하며, 이러한 스왑을 보통 반사 또는 교환이라고 한다.

• 시간 반전:많은 물리 법칙들이 시간의 방향이 뒤바뀌었을 때 실제 현상을 묘사한다.수학적으로, 이것은 $변환{\displaystyle }$ t$→$ - ${\displaystyle t}$ \ $displaystyle$t , \ $rightarrow$ -$$t$$로 표현됩니다. 예를 들어, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\${ $displaystyle$ F , =$m${ \ $ddot${$r}}$$t{\displaystyle }$t {$\$ $displaystyle$ t$$$\}$ t$$ replaced replaced mathem , , , mathem ${\displaystyle \mathrm{mathem}}$ mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem mathem이는 수직으로 던져진 물체의 움직임을 기록한 후(공기 저항을 무시한 경우) 재생함으로써 설명할 수 있습니다.객체는 녹음이 정상적으로 재생되는지 또는 반대로 재생되는지 여부에 관계없이 공기를 통해 동일한 포물선 궤도를 따릅니다.따라서 객체가 최대 높이에 있는 순간에 대한 위치는 대칭입니다.
• 공간 반전:이는 r ${\displaystyle \to }$ - ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ $→$ {$displaystyle {vec {r},\rightarrow -{\vec {r}}}$ $형식$의 변환으로 나타나며 좌표가 '변형'일 때 시스템의 불변성을 나타낸다.다른 말로 하자면, 이것은 특정 물체와 거울 이미지 사이의 대칭이다.
• 활공 반사:이것들은 번역과 반사로 표현된다.이러한 대칭은 벽지 대칭으로 알려진 일부 결정 및 평면 대칭에서 발생합니다.

C, P, T

입자물리학의 표준모형에는 세 가지 관련된 자연근대칭성이 있습니다.이것들은 우리가 살고 있는 우주와 어떤 종류의 변화가 일어나는 우주가 구별되지 않아야 한다고 말한다.

• 모든 입자가 반입자로 치환되는 우주인 C대칭성(전하대칭성)
• P-대칭성(패리티 대칭성)은 모든 것이 세 개의 물리적 축을 따라 대칭되는 우주입니다.이것은 오치엔-슝에 의해 증명된 약한 상호작용을 제외한다.

• T대칭성(시간반전대칭성), 시간의 방향이 반대인 우주.T-대칭성은 직관에 반하지만(미래와 과거는 대칭적이지 않음) 표준 모델이 엔트로피와 같은 글로벌 속성이 아닌 로컬 속성을 기술한다는 사실로 설명됩니다.시간의 방향을 제대로 되돌리기 위해서는 빅뱅과 그에 따른 저엔트로피 상태를 "미래"에 두어야 할 것이다.우리가 "과거" ("미래")의 엔트로피가 현재보다 낮다고 인식하기 때문에, 이 가상의 시간 반전 우주의 거주자들은 우리가 과거를 인식하는 것과 같은 방식으로 미래를 인식하게 될 것이고, 그 반대도 마찬가지일 것이다.

이 대칭들은 오늘날의 우주에서는 각각 깨져 있기 때문에 거의 대칭에 가깝다.그러나 표준 모형에서는 세 가지 조합(즉, 세 가지 변환의 동시 적용)이 CPT 대칭이라고 하는 대칭이어야 한다고 예측합니다.CP 위반, 즉 C-대칭성과 P-대칭성의 조합 위반은 우주에 상당한 양의 중입자 물질이 존재하기 위해 필요합니다.CP 위반은 입자물리학에서 현재 연구의 성과가 높은 분야이다.

이 섹션에는 오해의 소지가 있는 부품이 포함되어 있을 수 있습니다. 토크 페이지에 제시된 제안사항에 따라 이 기사를 명확하게 해주시기 바랍니다.(2015년 6월)

초대칭성

초대칭으로 알려진 대칭의 한 종류는 표준 모델에서 이론적 진보를 시도하기 위해 사용되었습니다.초대칭성은 표준 모형에서 이미 개발된 것 외에 또 다른 물리적 대칭, 특히 보손과 페르미온 사이의 대칭이 있다는 생각에 기초하고 있습니다.초대칭성은 각 유형의 보손이 초대칭 파트너로서 슈퍼 파트너라고 불리는 페르미온을 가지고 있으며, 그 반대도 마찬가지라고 주장한다.초대칭성은 아직 실험적으로 검증되지 않았다: 알려진 입자는 다른 알려진 입자의 슈퍼파트너로서 올바른 성질을 가지고 있지 않다.현재 LHC는 초대칭 테스트를 위한 실행을 준비하고 있습니다.

물리대칭수학

물리적 대칭을 설명하는 변환은 일반적으로 수학적 그룹을 형성합니다.집단 이론은 물리학자들에게 수학의 중요한 영역이다.

연속 대칭은 연속 그룹(거짓말 그룹이라고 함)에 의해 수학적으로 지정됩니다.많은 물리적 대칭은 등각성이며 대칭 그룹에 의해 지정됩니다.때때로 이 용어는 보다 일반적인 유형의 대칭에 사용됩니다.구체의 축을 통과하는 모든 적절한 회전 집합은 특수 직교 그룹 SO(3)라고 불리는 Lie 그룹을 형성합니다('3'은 일반 구체의 3차원 공간을 의미합니다).따라서 적절한 회전을 갖는 구의 대칭군은 SO(3)이다.회전 시 공 표면에서의 거리가 유지됩니다.모든 로렌츠 변환의 집합은 로렌츠 군이라고 불리는 군을 형성합니다(이것은 푸앵카레 군으로 일반화 될 수 있습니다).

이산 그룹은 이산 대칭을 나타냅니다.예를 들어 정삼각형의 대칭은 대칭군₃ S로 특징지어진다.

국소대칭에 기초한 물리이론은 게이지이론이라고 불리며, 그러한 이론에서 고유한 대칭은 게이지대칭이라고 불립니다.세 가지 기본 상호작용을 설명하는 데 사용되는 표준 모델의 게이지 대칭은 SU(3) × SU(2) × U(1) 그룹에 기초한다. (대략적으로 SU(3) 그룹의 대칭은 강한 힘을, SU(2) 그룹은 약한 상호작용을, U(1) 그룹은 전자기력을 설명한다.)

또한 그룹에 의한 작용에 의해 기능하는 에너지의 대칭에 의한 감소와 대칭 그룹의 변환의 자발적인 대칭 파괴는 입자 물리학의 주제를 설명하는 것으로 보인다(예를 들어, 전자성의 통합과 물리 우주론의 약한 힘).

보존의 법칙과 대칭

물리적 시스템의 대칭 특성은 해당 시스템을 특징짓는 보존 법칙과 밀접하게 관련되어 있습니다.노에터의 정리는 이 관계를 정확하게 묘사한다.이 정리는 물리적 시스템의 각각의 연속적인 대칭은 그 시스템의 물리적 특성이 보존된다는 것을 암시한다.반대로 각 보존량은 대응하는 대칭을 가진다.예를 들어, 공간 변환 대칭(즉, 공간의 동질성)은 (선형) 운동량의 보존을 야기하고, 시간 변환 대칭(즉, 시간의 동질성)은 에너지 보존을 야기한다.

다음 표는 몇 가지 기본 대칭과 관련된 보존 수량을 요약한 것입니다.

학급	불변성	보존수량
적절한 직교 시간 로렌츠 대칭	시간 내 번역 (균질성)	에너지
	공간 번역 (균질성)	선형 운동량
	우주에서의 회전 (로피)	각운동량
	로렌츠 부스트 (로피)	질량 모멘트 N = tp - Er
이산 대칭	P, 좌표 반전	공간적 패리티
	C, 전하 결합	전하 패리티
	T, 시간 반전	시간 패리티
	CPT	패리티의 산물
내부 대칭(와 무관) 시공간 좌표)	U(1) 게이지 변환	전하
	U(1) 게이지 변환	렙톤 생성수
	U(1) 게이지 변환	과충전
	U(1)Y 게이지 변환	약초전하
	U(2) [U(1) × SU(2)]	전약력
	SU(2) 게이지 변환	아이소스핀
	SU(2)L 게이지 변환	약한 이소스핀
	P × SU (2)	G패리티
	SU(3) "감는 번호"	중입자수
	SU(3) 게이지 변환	쿼크색
	SU(3) (대략)	쿼크 플레이버
	S(U(2)×U(3) [ U (1) × SU (2) × SU (3) ]	표준 모델

수학

물리학의 연속적인 대칭은 변환을 보존합니다.아주 작은 변환이 다양한 입자장에 어떻게 영향을 미치는지 보여줌으로써 대칭성을 지정할 수 있다.이러한 두 개의 극소 변환의 정류자는 같은 종류의 세 번째 극소 변환과 같기 때문에 리 대수를 형성합니다.

일반 $필드{\displaystyle }$ h$)$ {$displaystyle$ h$(x)}($미분 동형이라고도 함)로 기술된 일반 좌표 변환은 스칼라${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$($)$ {$displaystyle \phi(x$ 스피너${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$($)$ {$displaystyle$$\psi$$(x$$)}$ 또는$$$$ 벡터 $필드{\displaystyle }$ A$x)$에 대해 다음과 같이 표현될 수 있는 극소 효과를 가진다.아인슈타인 합계 규칙) :

$\displaystyle \phi (x)=h^{\mu }(x)\display_{\mu }\phi (x)}$

$\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\display _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\display _{\mu }h_{\nu }{\nu }(x)\displaystypa ^{\psi }$

$\displaystyle \mu }(x)=h^{\nu }(x)\display_{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

중력이 없으면 h$)$ {$displaystyle$ h$(x)}$의 형태를 $제한$하는 Poincaré 대칭만 보존됩니다.

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

여기서 M은 (로렌츠 및 회전 대칭을 제공하는) 반대칭 행렬이고 P는 (변환 대칭을 제공하는) 일반 벡터입니다.다른 대칭은 여러 필드에 동시에 영향을 미칩니다.예를 들어, 로컬 게이지 변환은 벡터와 스피너 필드 모두에 적용됩니다.

$\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)=\displayda(x).\param ^{\alpha \param }\psi ^{\param }(x)}$

$\displaystyle \mu }(x)=\display_{\mu }\displayda(x),}$

$여기$서 ${\$ { $displaystyle$ \$tau }$는 특정 Lie 그룹의 생성기입니다.지금까지 오른쪽 변환에서는 동일한 유형의 필드만 포함되었습니다.초대칭은 여러 유형의 혼합 필드가 어떻게 사용되는지에 따라 정의됩니다.

일부 물리학 이론과 다른 이론이 아닌 또 다른 대칭은 다음과 같은 종류의 와일 변환을 수반하는 스케일 불변성이다.

${\displaystyle\phi(x)=\Omega(x)\phi(x)}$

만약 장이 이러한 대칭을 갖는다면, 장이론 또한 거의 확실히 일치 불변하다는 것을 보여줄 수 있다.즉, 중력이 없을 경우 h(x)는 다음과 같은 형태로 제한된다.

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }x_{\nu }x_{\nu },$

D는 척도 변환을 생성하고 K는 특수 등각 변환을 생성합니다.예를 들어, N = 4 초양-밀스 이론은 이러한 대칭성을 가지지만 일반 상대성 이론은 그렇지 않습니다. 등각 중력 같은 다른 이론은 그렇지 않습니다.장 이론의 '작용'은 이론의 모든 대칭에서 불변이다.현대 이론 물리학의 대부분은 우주가 가질 수 있는 다양한 대칭에 대해 추측하고 모형으로서 필드 이론을 구성하기 위해 불변량을 찾는 것과 관련이 있다.

문자열 이론에서 문자열은 무한한 수의 입자 필드로 분해될 수 있으므로 문자열 월드 시트의 대칭은 무한한 수의 필드를 혼합하는 특수 변환과 동일합니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

일반 독자

• 레온 레더맨과 크리스토퍼 T. 힐(2005) 대칭과 아름다운 우주.Amherst NY: Prometheus Books.
• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things.존스 홉킨스 대학교누르다.
• Victor J. Stenger(2000년)의 타임리스 리얼리티: 대칭성, 단순성, 다중 우주.버팔로 NY: 프로메테우스 북스.12장은 대칭, 불변성, 보존 법칙에 대한 온화한 입문이다.
• Anthony Zee (2007) 무서운 대칭: 현대물리학에서의 아름다움의 탐구, 2부프린스턴 대학 출판부 ISBN978-0-691-00946-9. 1986년 제1호 맥밀런 출판.

테크니컬 리더

• Bading, K. 및 Castellani, E., ed. (2003) 물리학의 대칭성: 철학적 성찰케임브리지 대학교누르다.
• -------- (2007) "고전 물리학의 대칭과 불변화" (J., and John Earman, ed.) "물리학의 철학 파트 B."North Holland: 1331-68.
• Debs, T. 및 Redhead, M. (2007) 객관성, 불변성 및 표기법: 물리과학의 대칭성.하버드 대학교누르다.
• John Earman (2002) "법칙, 대칭, 대칭 깨짐: 불변성, 보수 원칙 및 객관성입니다."2002년 과학철학협회 회의 연설
• G. Karmbach H.E:양자수학: WIGRIS. RGN 출판물, 델리, 2014년
• Mainzer, K.(1996) 자연의 대칭.베를린:드 그루이터.
• Mouchet, A. "대칭의 네 가지 측면에 대한 성찰: 물리학이 이성적 사고를 어떻게 예시하는지"유럽물리학저널 H38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
• Thompson, William J.(1994) 각운동량: 물리 시스템의 회전 대칭에 관한 일러스트레이션 가이드.Wiley. ISBN 0-471-55264-X.
• Bas Van Fraassen(1989)의 법칙과 대칭.옥스퍼드 대학교누르다.
• 유진 위그너(1967) 대칭과 반사.인디애나 대학교누르다.

외부 링크

• 물리학에 관한 파인만 강의 제1권.I장 52: 물리 법칙의 대칭성
• 스탠포드 철학 백과사전: "Symmetry" - K. Bading and E.카스텔라니.
• 양자장 이론을 지원하는 교육학 6장: 대칭, 불변성, 그리고 보존 링크를 클릭하면 물리학에서 대칭에 대한 단순하고 단계적인 소개를 할 수 있습니다.