직교군

수학에서, $차원$ n의 직교 군(O $(n))$ 은 고정점을 보존하는 $차원$ n의 유클리드 공간의 거리 보존 변환 군이며, 여기서 군 연산은 변환을 합성함으로써 주어진다.직교 그룹은 일반 선형 그룹과 유추하여 일반 직교 그룹이라고 부르기도 합니다.마찬가지로, n×n 직교 행렬의 $군$ 이며, 여기서 군 연산은 행렬 곱셈에 의해 주어진다(직교 행렬은 역행렬의 전치 행렬과 같은 실행렬이다).직교 그룹은 대수 그룹과 Lie 그룹입니다.컴팩트합니다.

$차원$ n의 직교 그룹에는 두 개의 성분이 연결되어 있습니다.항등원소가 포함된 항등원소는 특수 직교 그룹이라고 하는 정규 부분군이며 SO $(n)$ 로 $표시$ 됩니다. $행렬식$ 1의 모든 직교 행렬로 구성됩니다.이 그룹을 회전 그룹이라고도 하며, 치수 2와 3에서 해당 요소는 점(치수 2) 또는 선(치수 3) 주위의 일반적인 회전입니다.저차원에서 이러한 그룹은 널리 연구되어 왔다. $SO($ $2), SO($ 3 $), SO$ (4 $)$ 를 참조한다.다른 성분은 행렬식 $-1$ 의 모든 직교 행렬로 구성됩니다.이 구성 요소는 두 요소의 곱이 결정식 1이므로 그룹을 형성하지 않는다.

확장으로, 임의의 $필드$ F에 대해서, 그 전치 역행렬과 같도록 $F$ 에 엔트리가 있는 n $\times n$ $행렬$ 을 F $위$ 의 직교 행렬이라고 한다. $n \times n$ 직교 행렬은 일반 $선형군$ $GL$ ( $n,$ $F)$ 의 O $($ $n,$ F $)$ 로 $표시$ 된 부분군을 형성한다.

\displaystyle \operatorname {O}(n,F)=\left\{Q\in\operatorname {GL}(n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}=나는 옳다.}

보다 일반적으로, 필드 위의 벡터 공간에 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 또는 2차^[1] 형식이 주어졌을 때, 형식의 직교 그룹은 형태를 보존하는 반전 선형 맵의 그룹이다.앞의 직교 그룹은 어떤 기준에서 쌍선형 형태가 점곱이거나 그에 상응하는 2차 형식이 좌표의 제곱합인 특수한 경우입니다.

형태를 보존하는 조건이 행렬의 등식으로 표현될 수 있기 때문에 모든 직교 그룹은 대수 군이다.

이름.

"직교 그룹"의 이름은 요소의 다음과 같은 특성에서 유래합니다. $차원$ n의 유클리드 벡터 $공간$ E가 주어졌을 때, $직교군$ O $(n)$ 의 요소는 균일한 스케일링(호모테시)까지 직교 벡터를 직교 벡터에 매핑하는 $E$ 에서 E까지의 선형 맵이다.

유클리드 기하학에서

$직교군$ O $($ $n)$ 는 일반 선형군 GL( $n,$ $R)$ 의 $부분군$ 이며, 유클리드 노름을 보존하는 모든 내형사상으로 구성되어 $\|g(x)\|=\|x\|.$ . 즉 $\|g(x)\|=\|x\|.$ $내형사$ g는 $\|g(x)\|=\|x\|.$ θ g ( $\|g(x)\|=\|x\|.$ ) $=$ x $\|g(x)\|=\|x\|.$ θ . $\|g(x)\|=\|x\|.$ { $디스플레이$ 스타일 \ $g(x)\ x\}$ 이다.

E $(n)$ 가 $차원$ n의 유클리드 $공간$ S의 유클리드 등각체의 군이라고 $하자$ .이 그룹은 같은 차원의 모든 유클리드 공간이 동형이기 때문에 특정 공간의 선택에 의존하지 않는다. $점$ x $δ$ S의 안정기 부분군은 g $(x)$ = $x$ 인 $요소$ g $δ$ E $(n)$ 의 부분군이다. 이 안정기는 점의 원점 선택이 유클리드 공간과 연관된 유클리드 벡터 공간 사이의 동형성을 유도하기 때문에 O $(n)$ 이다.

E $(n)$ 부터 O $(n)$ 까지 자연군 $동형사$ p가 존재하며, 이는 다음과 같이 정의된다.

p(g)(y-x)=g(y)-g(x)

여기서, 통상대로, 두 개의 점을 빼는 것은 두 번째 점을 첫 번째 점에 매핑하는 변환 벡터를 나타낸다.이것은 잘 정의된 동형사상입니다. 왜냐하면, 간단한 검증 결과, 두 개의 점 쌍이 같은 차이가 있는 경우, g에 $의한$ 이미지에 대해서도 마찬가지입니다(자세한 내용은 아핀 공간 subtract 뺄셈 및 Weyl의 공리를 참조하십시오).

$p$ 의 커널은 변환의 벡터 공간입니다.따라서 변환은 E $(n)$ 의 정규 부분군을 형성하고, 두 점의 스태빌라이저는 변환 작용 하에서 켤레이며, 모든 스태빌라이저는 O $(n)$ 와 동형이다.

게다가, 유클리드 그룹은 O $(n)$ 와 번역 그룹의 반직접 산물이다.따라서 유클리드 그룹의 연구는 본질적으로 O $(n)$ 의 연구로 환원된다.

특수 직교군

유클리드 벡터 공간의 직교 기저를 선택함으로써, 직교 그룹은 다음과 같은 행렬인 직교 행렬의 군(행렬 곱셈 아래)과 식별될 수 있다.

QQ^{\mathsf {T}}=I

이 방정식에서 Q의 $행렬식$ 의 제곱은 1이 $되고$ , 따라서 $Q$ 의 행렬식은 1 또는 $-1$ 이 $된다$ . $행렬식$ 1을 갖는 직교 행렬은 SO $(n)$ 라고 하는 특수 직교 군이라는 부분군을 형성하며, 공간의 방향을 보존하는 O $(n)$ 의 모든 직접 등각체로 구성됩니다.

$SO(n)$ 는 결정식의 커널로서 O(n)의 정규 부분군이다. SO( $n)$ 는 곱셈군 ${-1, +1$ }인 군 동형사상이다.또한 직교기는 SO $(n)$ 의 반직접 곱이며, 2개의 원소를 가진 군이다. 왜냐하면 어떤 $반사$ r이 주어질 때 하나는 $O (n)$ \ $SO (n$ ) $= r$ $SO ($ n)를 가지기 때문이다.

2개의 원소 {± $I$ }( $여기$ 서 I는 항등행렬)를 가진 그룹은 정규 부분군이며 O $(n)$ 의 특성 부분군이며, n이 짝수인 $경우$ SO $(n)$ 의 부분군이다.n이 홀수일 $경우$ O $(n)$ 는 SO $(n)$ 와 {± $I$ }의 내부 직접 곱이다.모든 양의 $정수$ k에 대해 k배 회전의 $순환군 k$ C는 O $(2)$ 와 SO( $2)$ 의 정규 부분군이다.

표준 형식

O $(n)$ 의 모든 원소에 대해 행렬이 다음 형태를 갖는 직교 기저가 있다.

{bmatrix} {\begin{matrix} R_{1} &\&\dots &\\&R_{k} \end {matrix} & 0 \ \ \ begin{matrix} \ pm 1 &\\\&\\pm 1 \end {matrix} {matrix}, \\\begin {m {m

여기서 $행렬 1$ R, $...,$ $R$ 은_k 2x2 회전 행렬이며, 이는 형태의 행렬이다.

(\displaystyle {bmatrix} a&b&a\end {bmatrix},

$a^{2}+b^{2}=1.$ $a^{2}+b^{2}=1.$ + $a^{2}+b^{2}=1.$ 2 $=$ . $a^{2}+b^{2}=1.$ {\ $display a^{2}+b^{2$ }= $1.$ $}$

이는 복소공역인 고유값을 다시 정리하고 직교행렬의 고유값의 절대값이 모두 1이라는 점을 고려하여 스펙트럼 정리에 의한 결과이다.

대각선에 짝수 $-1$ 이 있는 경우에만 요소는 SO $(n)$ 에 속합니다.

n = $3$ 의 $특별$ 한 경우는 오일러의 회전정리로 알려져 있는데, 이것은 SO( $3)$ 의 모든 (비-비-비-비-비-비-원소)가 고유한 축-각 쌍에 대한 회전이라고 주장한다.

리플리케이션

반사는 표준 $형식$ 이 다음과 같은 O( $n)$ 의 요소이다.

(\displaystyle\displaystyle\bmatrix)-1&0&\0&I\end {bmatrix},}

$여기$ 서 I는 $(n-1)\times(n-1)$ 항등 행렬이고, 0은 행 또는 열 0 행렬을 나타냅니다.즉, 반사란 초평면에 대한 미러 이미지의 공간을 변환하는 변환입니다.

차원 2에서는 모든 회전이 두 반사의 산물입니다.보다 정확하게는 각도 $θ$ 의 회전은 축이 $θ$ / $2인$ 2개의 반사의 곱이다.

O $(n)$ 의 모든 원소는 $최대$ n개의 반사의 산물이다.이는 위의 표준 형식과 2차원의 경우에서 바로 비롯됩니다.

카르탕-디오도네 정리는 이 결과를 2와 다른 특성 장에 걸쳐 비퇴생 2차 형식의 직교 군으로 일반화시킨 것이다.

원점(지도 v $µ$ -v $)$ 을 통한 반사는 $n개$ 미만의 반사의 곱이 아닌 O( $n) 요소$ 의 예이다.

구의 대칭군

직교 $그룹$ O $(n)$ 는 ( $n$ - $1)-$ 구(n = $3$ 의 $경우$ , 이것은 구면일 뿐)와 원점이 중심에서 선택되는 경우 구면 대칭을 가진 모든 물체의 대칭 그룹입니다.

원의 대칭군은 O( $2)$ 이다.방향 보존 $부분군$ SO $(2)$ 는 (실제 Lie 그룹으로) 절대값의 복소수 1의 곱셈 그룹인 U(1 $)$ 라고도 $알려진$ 원 그룹에 동형이다.이 동형식은 $절대값$ 1의 $복소수$ exp $(cos$ i)= $cos(cos)$ + $i$ sin(sin $)$ 을 특수 직교 행렬로 보낸다.

(\displaystyle {bmatrix(\varphi)\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cos(\varphi)\end{bmatrix}).}

고차원에서 O $(n)$ 는 더 복잡한 구조를 가지고 있다(특히 더 이상 가환적이지 않다).n-sphere와 $O(n)$ 의 위상 구조는 강한 상관 관계가 있으며, 이 상관 관계는 두 위상 공간 연구에 널리 사용됩니다.

그룹 구조

$그룹 O ($ n)와 $SO ($ n)는 $차원$ n $(n -$ 1)/ $2$ 의 실제 콤팩트 Lie 그룹이다. $그룹$ O $(n)$ 에는 2개의 연결된 컴포넌트가 있으며 SO $(n)$ 는 ID 컴포넌트, 즉 ID 매트릭스를 포함하는 연결 컴포넌트가 있습니다.

대수군으로서

$직교군$ O $(n)$ 는 $A^{\mathsf {T}}A=I.$ $A^{\mathsf {T}}A=I.$ A $A^{\mathsf {T}}A=I.$ $.$ { $style A^{\mathsf$ { $T$ $}}A=I.}$ 이 $A^{\mathsf {T}}A=I.$ 방정식의 두 구성원은 대칭 행렬이므로 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 은 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ n ( $n$ + 1 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 2 {\ $displaystyle$ \textstyle ${+1$ }{displaystyle\textstyle A}{1}{1}{{}}}}}{{{{}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}{{}}}}}} $}}}}$ 개의 $\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}$ 방정식은 직교 행렬의 엔트리가 모두 만족해야 하지만 비직교 행렬의 엔트리가 모두 만족하는 것은 아닙니다.

이것은 O $(n)$ 가 대수 집합이라는 $것$ 을 증명한다.게다가, 그 차원이 다음과 같은 것을 증명할^{[citation needed]} 수 있다.

{n(n-1)}{2}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}

즉, O( $n)$ 가 완전한 교차점임을 $의미$ 합니다.이는 모든 환원 불가능한 구성요소가 동일한 치수를 가지며 내장된 구성요소가 없음을 의미합니다.실제로 O $(n)$ 는 2개의 환원 불가능한 성분을 가지며, 이들은 결정인자 기호(det $(A)$ = $1$ $또는$ det $(A)$ = –1)로 구별된다.둘 다 같은 $차원$ n $(n -$ 1) / $2$ 의 비칭상 대수 변종이다. det $(A)$ = $1인$ 성분은 SO $(n)$ 이다.

최대 토리족 및 와일족

콤팩트 Lie군 G의 최대 토러스란 $T$ 와^k 동형인 k개의 최대 서브그룹이며, $여기$ 서 T $=SO(2)$ 는 표준 1차원 토러스이다.^[2]

O $(2n)$ 와 SO $(2n)$ 에서, 모든 최대 토러스에 대해, 토러스가 형태의 블록 대각 행렬로 구성된 기초가 있다.

{\displaystyle {bmatrix} R_{1}&\dots &\0&R_{n}\end {bmatrix},

여기서 $각 j$ R은 SO( $2)에 속한다$ .O $(2n$ $+ 1$ ) 및 $SO(2n$ $+ 1$ )에서 최대 토리는 동일한 형태를 가지며 행과 0의 열, 대각선의 1로 둘러싸여 있습니다.

평범한 초등abelian 2-subgroup고 T×{1}의 해당 서클 인자에 추론에 따르면{±1}n 행위의 각{±1}요소의 심상치 않은 요소가 되었고, 그 대칭 군 Sn는 대칭 군, 행위의 SO(2n+1)의 바일 그룹은 반직접 제품{±1}n⋊ Sn{\displaystyle\와 같이{1\\pm}^{n}\rtimes S_{n}}. 에{± $1} n$ 과 $($ 와) T × { $1$ }을(를) 모두 인자로 변환합니다.Weyl 그룹의 $원소는 O$ (2n) × {± $1$ } $행렬$ 로 표시됩니다. $S n$ 인자는 2x2 블럭이 있는 블럭 순열 행렬과 대각선에 있는 최종 1로 표시됩니다. ${\pm1} n$ 성분은 2x2 블록의 블록 대각 행렬로 표시됩니다.

({displaystyle} {bmatrix} 1 & 0 & 1 \ \ \ end { bmatrix } } {}}\ { text {or } \quad { bmatrix } ) 。

결정식 1을 만들기 위해 선택한 마지막 성분 ± $1$ .

SO(2n)의 바일 그룹은 서브 그룹 Hn− 1⋊ Sn<>{±1}nSn{\displaystyle H_{n-1}\rtimes S_{n}< ⋊.}그 SO(2n+1), Hn−1 &lt의 S_{n}\{\pm 1\}^{n}\rtimes는 불완전 변태의{±1}n은 커널{±1}n→{±1}ϵ 1⋯ϵ n{\displaystyle \le(ϵ 1,…,ϵ n)↦에 의해 주어집니다.피트(\epsilon_{ $1,\ldots ,\epsilon$ _ ${n}\right)\mapsto \epsilon$ _{ $1$ $}\n$ $cdots \epsilon$ _ ${n$ ; 즉, $H n -1$ < ${\pm1$ }는 짝수 마이너스 부호를 가진 서브그룹입니다.SO $(2n)$ 의 와일기는 SO $(2n +$ 1)의 와일기를 대표하는 표준 $주입$ SO $(2n)$ → $SO(2n$ +1)에 따른 사전 이미지로 SO( $2n$ $)$ 로 $나타낸다$ .Those matrices with an odd number of ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ blocks have no remaining final $-1$ coordinate to make their determinants positive, and hence cannot be represented in $SO(2 n)$ .

토폴로지

저차원 토폴로지

저차원(실제) 직교 그룹은 익숙한 공간입니다.

$O(1) =$ $S 0$ , 2점 이산 공간
$SO(1) = {1}$
$SO(2)$ 는¹ S입니다.
$SO(3)$ 는³ RP
$SO(4)$ 는 SU $(2)$ × $SU(2) = S 3$ × $S$ 로³ 이중으로 커버된다.

기본 그룹

대수 위상의 관점에서, n > $2$ 에 $대하여$ $,$ $SO (n,$ R)의 기본 ^[4]그룹은 2차 순환이며, 스핀 $그룹$ Spin( $n)$ 은 그것의 보편적 커버이다.n = $2$ 의 $경우$ 기본 그룹은 무한 순환이고 범용 커버는 실제 라인에 해당합니다( $그룹$ Spin(2 $)$ 는 연결된 고유한 2중 커버입니다).

호모토피 그룹

일반적으로, 실직교군의 호모토피군 $δ k ($ O)는 구체의 호모토피군과 관련되기 때문에 일반적으로 계산하기 어렵다.그러나 포함 수열의 직접 한계로 정의된 안정적인 직교 그룹(무한 직교 그룹이라고도 함)의 호모토피 그룹을 계산할 수 있습니다.

\displaystyle \operatorname {O} (0)\operatorname {O} (1)\operatorname {O} (2)\cdots \cdots \operatorname {O} {k=0}^{\infty}\operatorname {O} (k)

포함이 모두 닫혀 있기 때문에, 따라서 공보정이 이루어지기 때문에, 이것은 결합으로도 해석될 수 있다.한편, $S$ 는ⁿ O $(n +1)$ 의 균일한 공간이며, 1개는 다음 파이버번들을 가지고 있습니다.

\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},

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