리 그룹-리 대수 통신

수학에서 Lie group-Lie 대수적 대응은 Lie group을 Lie 대수학 또는 그 반대로 대응시킬 수 있도록 하며, 그러한 관계의 조건을 연구한다. 서로 이형적인 거짓말 집단은 서로 이형적인 리알헤브라를 가지고 있지만, 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다. 분명한 한 가지 예는 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$각각 실제 좌표 공간과 원 그룹 참조)으로 서로 이형성이지만 Lie 알헤브라는 서로 이형성이다. 그러나 단순히 연결된 리 집단으로 우리의 주의를 제한함으로써, 리 집단-리 대수적 대응은 일대일로 될 것이다.^[1]

이 글에서 거짓말 그룹은 진짜 거짓말 그룹을 가리킨다. 복합 및 p-adic 사례에 대해서는 복합 Lie 그룹 및 p-adic Lie 그룹을 참조하십시오. 이 글에서 다지관(특히 눕는 그룹)은 두 번째로 셀 수 있는 것으로 가정한다. 특히 다지관은 최대 카운트할 수 있는 많은 연결 구성요소를 가지고 있다.

기본 사항

Lie 그룹의 Lie 대수학

Lie 그룹 G의 Lie 대수학의 구성을 이해할 수 있는 방법은 다양하다. 한 가지 접근방식은 좌변량 벡터 필드를 사용한다. G에서 벡터 필드 X는 G에서 임의의 g에 대해 h를 사용할 경우 왼쪽 번역에서 불변이라고 한다.

${\displaystyle (dL_{g})(X_{h}=X_{gh}})$

여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L_{g}:$$G\to G}$은(는) $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{g}(x)=gx}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle g_{}}$)${\displaystyle }$: T ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (dL_{g})$로 정의된다.$T_{h}G\to T_{gh}G}$는 접선 공간 사이의 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 차등이다.

${\displaystyle \mathrm{Lee}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$을(를) G의 모든 좌변환 변이 벡터 필드의 집합으로 설정하십시오$$. 그것은 진짜 벡터 공간이다. 또한, 그것은 Li-bracket 아래에서 닫힌다. 즉$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$] ${\displaystyle [X,Y]}$은(는) X, Y일 경우 좌변환 불변이다$$. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$은 G에 있는 모든 벡터 필드의 Lie 대수학의 Lie 하위 대수로서 G의 Lie 대수라고 불린다. 좌상변위 벡터장의 공간은 다음과 같이 식별하여 보다 구체적으로 이해할 수 있다:좌상변위 벡터장을 주어 좌상변위 벡터장을 주어 그 가치를 정상에서 취할 수 있고, 정체에 접선 벡터를 주어 좌상변위 벡터장으로 확장할 수 있다. 이 서신은 양방향 모두 일대일이고, 또한 비굴하다. 따라서 Lie 대수학은 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle T_{e}G}$에서 X와 Y의 대괄호와 정체성의 접선공간으로 생각할 수 있으며, 이들을 좌상변환 벡터장까지 확장하여 벡터장의 대괄호를 취하여 그 결과를 정격으로 평가할 수 있다$$.

또한 ID 요소에서 지원을 받는 G에 대한 분포의 Hopf 대수 대수 원시 요소의 Lie 대수로서$$ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$ $){\displaystyle \operatorname {Lie} (G)$의 또 다른 화신이 있다. 이에 대해서는 아래 #관련 구성을 참조하십시오.

매트릭스 리 그룹

G가 닫힌 부분군 정리에 의해 GL(n;C)의 닫힌 부분군이며 따라서 Lie 그룹이라고 가정한다. 그렇다면 G의 Lie 대수학은 다음과^[2][3] 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Lie}(G)=\left\{X\in M(n;\mathb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{{}\in }}모든 }t\in \mathb {R}\right\}}.}$

예를 들어, 이 기준을 사용하여 클래식 콤팩트 그룹의 대응 관계를 설정할 수 있다(cf. 아래의 "컴팩트 거짓말 그룹"의 표).

동형성

만약

${\displaystyle f:G\to H}$

리 집단 동형성, 그 다음 정체성 요소에서의 차이

${\displaystyle df=df_{e}:\operatorname {Lie}(G)\to \operatorname {Lie}(H)}$

리 대수 동형성(Brackets go to brackets to brackets)이며, 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle d}$ f${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X))}$ ${\displaystyle \exp(df(X)=f(\exp)($X$)},$ 여기서 "exp"는 지수(expensive map)이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Lie}(\ker(f))$$=\ker(df)}$^[4].
• f의 이미지가 닫힌 경우${\displaystyle <sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-5"><a\; href="\#cite\_note-5">[5]</a></sup>\mathrm{Lie}}$ lie${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) =${\displaystyle \mathrm{im}}$ ⁡ ( ) = im ${\displaystyle }$(${\displaystyle d}$ f${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Lie}(\operatorname {im})(f)$$=\operatorname {im} (df)}$과^[6](와) 첫 번째 이형성 정리 보유: f는 Lie 그룹의 이형성을 유도한다.

  ${\displaystyle G/\ker(f)\to \operatorname {im}(f).}$

• 체인 규칙은 유지된다: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle f:$$G\to H}$ 및$$ $G{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ K ${\displaystyle g:$$H\to K}$은(는) Lie group homomorphism이고, $다음$은 d${\displaystyle (g}$ ${\displaystyle \circ }$ f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$ )${\displaystyle \circ }$ (d ${\displaystyle f}$ )${\displaystyle d(g\circ f)=(dg)\circle (df)}$이다$.$

는 리 군의 H는 닫힌 subgroup[7]G특히 다음}리 ⁡(G){\displaystyle \operatorname{리}(G)의 리 subalgebra}. 또한, f, f는 몰입 교육과 그렇게 GH. 예를 들어 되기 위해 잠입형(리)서브 그룹으로 알려져injective은, G/ker ⁡(f)⁡(H){\displaystyle \operatorname{리}(H) 누우세요. {$\displaystyle G/\ker(f)}$는 H의 몰입된 하위 그룹이다$$. f가 굴절적이면 f는 하위 그룹이고, 게다가 G가 작으면 f는 구조 그룹의 커널과 함께 주요 번들이다. (Ehresmann의 보조정리)

기타 속성

Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ G$=G_{1}\time \cdots \time G_{r}}$은(는) Lie 그룹의 직접 산물이며 ${\displaystyle p_{}}$:${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle {Gi}_{}}$ ${\$$G\to G_{i}}$ 투영$$. 그런 다음 d ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle {Gi}_{}}$) ${\displaystyle dp_{i}:\operatorname {Lie}(G)\to \operatorname {Lie}(G_{i})$에 표준$$ 식별 정보를 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {Lie}(G_{1}\times \cdots \times G_{r}=\operatorname {Lie}(G_{1})\plus \cdots \oplus \opplus \operatorname {Lie}(G_{r}).}$

If ${\displaystyle H,H'}$ are Lie subgroups of a Lie group, then ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').}$

G를 연결된 Lie 그룹이 되게 하라. H가 Lie 그룹인 경우, 모든 Lie 그룹 동형상${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ f$:$$G\to H}$ is uniquely determined by its differential ${\displaystyle df}$. Precisely, there is the exponential map ${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$ (and one for H) such that ${\displaystyle f(\exp(X))$$=\exp(df(X))}$ 및$$ G가 연결되어 있으므로 f를 고유하게 결정한다.^[8] 일반적으로 U가 연결된 위상학군 G에서 ID 요소의 이웃인 경우, ${\$n}{n}}{$n}}}$는 열린(헨스 닫힌) 하위군이기 때문에 G와 일치한다. 자, ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$G${\displaystyle }$) → ${\displaystyle G}${\$displaystyle \exp$:\$operatorname {Lie}(G)\to$ G$}$는 제로벡터 근방에서 아이덴티티 요소의 근방에 이르는 국부적 동형성을 정의한다$$. For example, if G is the Lie group of invertible real square matrices of size n (general linear group), then ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ is the Lie algebra of real square matrices of size n and ${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!$$}}$.

통신문

리 그룹과 리 알헤브라의 대응은 다음과 같은 세 가지 주요 결과를 포함한다.

• 거짓말의 세 번째 정리: 모든 유한차원 리얼 리 대수학은 단순하게 연결된 몇몇 리 그룹의 리 대수다.^[9]
• 동형체 정리: If ${\displaystyle \phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$ is a Lie algebra homomorphism and if G is simply connected, then there exists a (unique) Lie group homomorphism ${\displaystyle f:$$G\to H}($예$$: $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi =df$^[10]
• 부분군-부분군-부분군 정리: G가 Lie 그룹이고 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이($가) Lie의$Lie 하위 그룹$($필수적으로 $닫히지$ 않음$)$ H가 Lie 대수 h ${\$의 Lie 하위 그룹 H와 연결된 고유한 하위 그룹(필수적으로 닫히지 않음)이 있다$.$^[11]

서신의 두 번째 부분에서는 G가 단순히 연결되어 있다는 가정을 생략할 수 없다. 예를 들어 SO(3)와 SU(2)의 리알헤브라는 이형성이지만,^[12] SO(3)가 SU(2)에 해당하는 동형성은 없다.^[13] 오히려 동형성은 단순하게 연결된 그룹 SU(2)에서 단순하게 연결된 그룹 SO(3)^[14]로 이어진다. 만약 G와 H가 단순히 연결되어 있고 이형성 리알헤브라를 가지고 있다면, 위의 결과는 G와 H가 이형성이라는 것을 보여줄 수 있다.^[15] f를 구성하는 한 가지 방법은 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식을 사용하는 것이다.^[16]

리의 세 번째 정리 증명

아마도 위의 첫 번째 결과에 대한 가장 우아한 증거는 아도의 정리를 사용하는 것으로서, 어떤 유한차원 리 대수학(어떤 특징의 분야에 걸쳐도)은 리 대수 g $l{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$의 리 하위 대수학이라고 말한다. The proof goes as follows: by Ado's theorem, we assume ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))}$ is a Lie subalgebra. Let G be the subgroup of ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ generated by ${\displaystyle e^{\mathfrak {g}}}$ and let ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ be a simply connected covering of G; it is not hard to show that ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ is a Lie group and th표지 지도에는 Lie 집단 동형성이 있다. $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$= ${\displaystyle T\mathfrak{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$= g ${\$