정류자

수학에서, 정류자는 특정 이항 연산이 가환하지 못하는 정도를 나타냅니다.그룹 이론과 링 이론에는 다른 정의가 사용됩니다.

군론

그룹 G의 두 요소 g와 h의 정류자는 다음과 같다.

[g, h] = ghhh⁻¹⁻¹.

이 요소는 g와 h가 출퇴근하는 경우에만 그룹의 정체성과 동일하다(정의 gh = hg [g, h]에서 gh = hg일 경우에만 동일).

그룹의 모든 정류자 집합은 일반적으로 군 연산에서는 닫히지 않지만, 모든 정류자에 의해 생성된 G의 부분군은 닫히고 G의 유도 그룹 또는 정류자 부분군이라고 불린다. 정류자는 0가 및 해결 가능한 그룹과 가장 큰 아벨 지수 그룹을 정의하기 위해 사용된다.

위의 정류자의 정의는 이 기사 전체에 걸쳐 사용되지만, 많은 다른 그룹 이론가들은 정류자를 다음과 같이 정의한다.

[g, h] = ^[1][2]ghhh⁻¹⁻¹.

아이덴티티(그룹 이론)

정류자 정체성은 그룹 ^[3]이론에서 중요한 도구이다.식^x a는 xax로⁻¹ 정의된 a by x의 켤레를 나타냅니다.

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y]}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}}$
3. ${\displaystyle [x}$ , ${\displaystyle z}$ y${\displaystyle }$] $=$ [${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$]${\displaystyle }$[ [ [${\displaystyle x^{}}$, $z$]=$$[ x , $y$]\$cdot [ x$ , $y$${\displaystyle ]^\{}$$y}$ 및$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle xz}$ ,${\displaystyle }$y${\displaystyle {}^{}}$]= [${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$]${\displaystyle z^{}{}^{}}$ [ $x$, y ${\displaystyle ].}$ ${$ $display$style [ $x$, y ]= [ x , $y$]^{ x , $y$} \ $cdotz }$ [ cdotz ]$}$
4. ${\displaystyle [x}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$] ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle x{}^{}}$]${\displaystyle {{}^{}y{}^{}}^{}}$ -$$ { \ $displaystyle \$ left [$x$ , $y^$ { -$$${\displaystyle 1^{}}{\displaystyle }$}$=$ [${\displaystyle {}^{}x{}^{}}$, ${\displaystyle {y{}^{}}^{}}$]$x$ -${\displaystyle {{}^{}}^{}}$1 .$${ $display style \$ [ $x$^ { -$1$ ,$y$ \ $right$ ]= [ $x$]^{ $x$} } 。$}$
5. ${\displaystyle {[}^{}}$ [ ${\displaystyle x^{}}$,$y$ - 1${\displaystyle {{}^{}]}^{}}$ , ${\displaystyle z^{}}$]${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ [ ${\displaystyle {[}^{}}$ ${\displaystyle y^{}{}^{}}$,${\displaystyle {{}^{}}^{}{{}^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {1^{}]}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}{x}^{}}$ ]${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ [${\displaystyle {}^{}}$[ [${\displaystyle {}^{}}$z${\displaystyle {{}^{}}^{}}$, ${\displaystyle {{\mathrm{x}}^{}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$]${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ]${\displaystyle \mathrm{x}}$ $=$ 1 \ $display style$ \$left$[ x ,$y ^$ { - $1$\ $right$] ,$z$ \ $right ]\ cdot$\$left$ [ \$]$$displaystyle \left [ x$$1 .$$}$

아이덴티티(5)는 필립 홀과 에른스트 위트의 이름을 따서 홀-윗 아이덴티티라고도 한다.링 이론 정류자에 대한 야코비 아이덴티티의 그룹 이론 유사체입니다(다음 절 참조).

n.B. 위의 a by x의 켤레 정의는 일부 그룹 ^[4]이론가들에 의해 사용됩니다.다른 많은 군 이론가들은 a by x의 켤레를 ^[5]xax로⁻¹ 정의한다.이는 종종 x ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle {}^{x}a$로 표기됩니다.이러한 표기법에도 유사한 ID가 적용됩니다.

특정 부분군의 진정한 모듈인 많은 아이덴티티가 사용됩니다.이것들은 특히 해결 가능한 그룹과 0가수 그룹의 연구에 유용할 수 있다.예를 들어, 모든 그룹에서 세컨드 파워는 정상적으로 동작합니다.

${\displaystyle(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][y,x],y]}$

파생된 부분군이 중심인 경우

${{displaystyle(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

링 이론

링의 두 요소 a와 b(관련 대수 포함)의 정류자는 다음과 같이 정의된다.

$(\displaystyle [a,b]=ab-ba).}$

a와 b가 출퇴근하는 경우에만 제로입니다.선형 대수학에서, 공간의 두 내형상이 하나의 기저로 통근 행렬에 의해 표현된다면, 그것들은 모든 기저로 표현된다.정류자를 Lie 브래킷으로 사용함으로써 모든 연관대수를 Lie 대수로 변환할 수 있다.

링 또는 연관대수의 두 요소 a와 b의 반교합자는 다음과 같이 정의된다.

$(\displaystyle\{a,b\}=ab+ba)$

$[{\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b{}_{]}}$+ {{ $displaystyle [ a$ , $b$] _ { +$$} is$$${\displaystyle }$、 [ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b{}_{]}}$ -$$\ $displaystyle$$[ a$ , $b$] _ { -$$} isututut ^[6]utututututututututututututututututututututut sometimes sometimesututut sometimes sometimes antic anticutut sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes sometimes반교합자는 덜 자주 사용되지만 클리포드 대수와 조던 대수를 정의하기 위해 그리고 입자 물리학에서 디락 방정식의 도출에 사용될 수 있습니다.

힐베르트 공간에 작용하는 두 연산자의 정류자는 양자역학에서 이들 연산자에 의해 기술된 두 관측가능성이 동시에 얼마나 잘 측정될 수 있는지를 수량화하기 때문에 중심 개념이다.불확실성 원리는 궁극적으로 로버슨-슈뢰딩거 ^[7]관계에 의해 그러한 정류자에 대한 정리이다.위상공간에서, 함수별 생성물의 등가 정류자는 모얄 괄호라고 불리며, 언급된 힐베르트 공간 정류자 구조와 완전히 동형입니다.

아이덴티티(링 이론)

정류자에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

리알게브라 항등식

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=440B,A]}$
4. $\displaystyle [A, [B,C]+[C,A]+[C,[A,B]=0}$

관계(3)는 반상환성, (4)는 야코비 항등식이다.

추가 아이덴티티

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A, BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A, BCDE]=[A,B] CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB, CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,B],C],D]+[[B,C],D],A]+[[C,D],A]+[[D,A],B]+[[D,A],B],C]$

A가 링 R의 고정 요소인 경우 ID(1)는 ${\displaystyle {맵}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ A${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \to }$R \$displaystyle \operatorname {ad} _{A:$${\displaystyle \mathrm{광고}}$ A $ar$ ( $B$ ) ${\displaystyle =}$[ ${\displaystyle A}$, $]$ { $display$style \$operatorname {ad } _$ {$A$} (B) $=$ [A$$,$$B$]$}가 주는 R\right 화살표 R. 즉, 지도 광고는_A 링 R의 파생물을 정의합니다.아이덴티티(2), (3)는 3개 이상의 요인에 대한 라이프니츠 규칙을 나타내며, 모든 도출에 유효하다.아이덴티티(4)~(6)는 라이프니츠 규칙으로도 해석할 수 있다.동일성(7), (8)은 Z-이원형을 나타낸다.

위의 식별 정보 중 일부는 위의 ± 첨자 ^[8]표기법을 사용하여 반교합자까지 확장할 수 있습니다.예를 들어 다음과 같습니다.

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm}=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm}B}$
2. ${\displaystyle [AB, CD]_{\pm}=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm}B}$