유한군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
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추상대수학에서 유한집단은 기초 집합이 유한한 집단을 말한다. 유한 집단은 수학적 또는 물리적 객체의 대칭을 고려할 때, 그러한 물체들이 구조 보존 변환의 제한된 수만을 인정할 때 종종 발생한다. 유한집단의 중요한 예로는 순환집단과 순열집단이 있다.

유한집단에 대한 연구는 19세기에 생겨난 이래 집단 이론의 필수적인 부분이었다. 한 가지 주요 연구 영역은 분류인데, 유한 단순 그룹(비교적 정규 부분군이 없는 그룹)의 분류는 2004년에 완료되었다.

역사

20세기 동안 수학자들은 유한집단 이론의 일부 측면을 매우 심도 있게 연구했는데, 특히 유한집단의 국부론과 해결가능성과 영약집단의 이론이 그러했다.^[1][2] 그 결과 유한단순집단의 완전한 분류가 이루어졌는데, 이는 모든 유한집단을 구축할 수 있는 그 모든 단순집단이 현재 알려져 있다는 것을 의미한다.

20세기 후반에, 체발리와 스타인버그와 같은 수학자들은 또한 고전 그룹과 다른 관련 그룹의 유한한 아날로그에 대한 우리의 이해를 증가시켰다. 그러한 집단의 한 집단은 유한한 분야에 걸친 일반 선형 집단의 집단이 있다.

유한 집단은 수학적 또는 물리적 객체의 대칭을 고려할 때, 그러한 물체들이 구조 보존 변환의 제한된 수만을 인정할 때 종종 발생한다. 「연속 대칭」을 다루는 것으로 볼 수 있는 리 그룹 이론은, 관련 웨이일 그룹의 영향을 강하게 받고 있다. 이들은 유한 차원 유클리드 공간에 작용하는 반사에 의해 생성된 유한 집단이다. 따라서 유한집단의 특성은 이론물리학이나 화학 같은 과목에서 역할을 할 수 있다.^[3]

예

순열 그룹

n 기호의 유한 집합에 있는 대칭군 S는_n 모든 요소가 n 기호의 순열이고, 그룹 연산이 그러한 순열의 구성인 그룹이며, 이는 기호 집합에서 그 자체로 비주사 함수로 취급된다.^[4] n 기호의 집합에 n!(요인 없음) 가능한 순열이 있기 때문에 대칭군 S의_n 순서(원소 수)는 n!이다.

순환군

순환ⁿ 그룹 Z는_n a = a⁰ = e, 정체성의 특정 요소의 힘인 모든 요소를 가진 그룹이다. 이 집단의 대표적인 실현은 통합의 복잡한 n번째 근원으로서 이루어진다. 단결의 원시적 뿌리로 a를 보내는 것은 둘 사이에 이형성을 부여한다. 이것은 어떤 유한한 순환 집단으로도 행해질 수 있다.

유한 아벨 집단

아벨 그룹(Abelian group, communative group)은 두 그룹 요소에 그룹 연산을 적용한 결과가 그들의 순서(communativity의 공리)에 좌우되지 않는 그룹이다. 그것들은 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 지어졌다.^[5]

임의의 유한 아벨리아 집단은 원시 권력 질서의 유한 순환 집단의 직접적인 합에 이형성이며, 이러한 질서는 독특하게 결정되어 불변자의 완전한 체계를 형성한다. 유한 아벨리안 집단의 자동형성 집단은 이러한 불변성의 관점에서 직접 설명할 수 있다. 이 이론은 게오르크 프로베니우스와 루드비히 스틱벨베르거의 1879년 논문에서 처음 개발되었고, 후에 주 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈로 단순화되었고 일반화되어 선형대수의 중요한 장을 형성하였다.

거짓말 유형의 그룹

Lie type 그룹은 필드 k에 값을 가진 환원 선형 대수 그룹 G의 합리적 점의 G(k) 그룹과 밀접하게 관련된 그룹이다. 유한집단은 유한집단에 비아벨적 유한단순집단을 다수 부여한다. 특별한 경우로는 클래식 그룹, 슈발리 그룹, 스타인버그 그룹, 스즈키-리 그룹 등이 있다.

리 유형의 유한 집단은 수학에서 순환, 대칭, 교대 그룹 이후에 고려된 첫 번째 집단 중 하나였으며, 원시 유한 분야 위에 투영 특수 선형 집단은 1830년대에 에바리스테 갈루아가 건설한 PSL(2, p)이었다. 리타입의 유한집단에 대한 체계적 탐구는 투사적 특수 선형집단 PSL(2, q)이 q ≠ 2, 3에 대해 단순하다는 카밀레 조던의 정리로부터 시작되었다. 이 정리는 더 높은 차원의 투영 그룹에 일반화되며 유한한 단순 그룹의 중요한 무한 패밀리 PSL(n, q)을 제공한다. 다른 고전 그룹들은 20세기 초에 레오나드 딕슨에 의해 연구되었다. 1950년대에 Claude Chevalley는 적절한 개혁 후에, 반이행 Lie 집단에 대한 많은 이론들이 임의의 분야 k에 대한 대수학 집단의 유사성을 인정하여, 현재 Chevalley 집단이라고 불리는 것의 건설로 이어진다는 것을 깨달았다. 더구나 콤팩트한 심플한 리 그룹의 경우처럼 해당 그룹은 추상적인 그룹(Tits simple organization)으로서 거의 단순한 것으로 나타났다. 다른 유한 단순 집단(예를 들어 마티외 집단)이 존재한다는 것은 19세기부터 알려져 있었지만, 점차 거의 모든 유한 단순 집단이 주기적, 교대적 집단과 함께 체발리 건설의 적절한 확장에 의해 설명될 수 있다는 믿음이 형성되었다. 더욱이 산발적인 집단인 예외는 리 유형의 유한집단과 많은 성질을 공유하고 있으며, 특히 티츠라는 의미에서 그 기하학을 기반으로 하여 구성되고 특성화할 수 있다.

그 믿음은 이제 하나의 정리, 즉 유한한 단순 집단의 분류가 되었다. 유한단순군목록의 검사 결과 유한단위에 걸친 Lie형군은 순환군, 교번군, Tits군, 산발적인 26개 단순군 이외의 모든 유한단순군을 포함하고 있는 것으로 나타났다.

주요 이론들

라그랑주의 정리

유한군 G에 대해 G의 모든 부분군 H의 순서(원소 수)는 G의 순서를 나눈다. 이 정리는 조셉 루이스 라그랑주의 이름을 따서 명명되었다.

실로우의 정리

이것은 주어진 질서의 몇 개의 하위집단이 G에 포함되어 있는지에 대한 정보를 제공하는 라그랑주의 정리와는 부분적인 정반대를 제공한다.

케이리의 정리

아서 케이리를 기리기 위해 명명된 케이리의 정리에는 모든 G그룹은 G에 작용하는 대칭 그룹의 하위그룹에 대해 이형성이 있다고 명시되어 있다.^[6] 이는 G의 요소에 대한 G의 집단행동의 예로서 이해할 수 있다.^[7]

번사이드 정리

그룹 이론에서 번사이드의 정리는 G가 p와 q가 소수인 유한한 순서 pq^ab 그룹이고, a와 b가 음이 아닌 정수라면 G가 해결 가능하다고 말한다. 따라서 각각의 비-아벨라 유한 단순 집단은 적어도 3개의 뚜렷한 소수들로 나누어질 수 있는 질서를 가지고 있다.

페이트-톰슨 정리

더 페이트-톰슨 정리, 즉 홀수 순서 정리는 홀수 순서의 모든 유한 집단이 해결 가능하다고 기술하고 있다. 월터 페이트와 존 그리그스 톰슨(1962년, 1963년)에 의해 증명되었다.

유한단순군 분류

유한단순집단의 분류는 모든 유한단순집단이 다음 가족 중 하나에 속한다는 것을 명시하는 정리다.

• 프라임 오더가 있는 순환 그룹;
• 최소 5도 이상의 교대 그룹;
• 간단한 거짓말 유형 그룹;
• 26개의 산발적인 단순 집단 중 하나;
• Tits 그룹(때로는 27번째 산발적인 그룹으로 간주되기도 한다.

유한 단순 집단은 소수들이 자연수의 기본 구성 요소인 방식을 연상시키는 방식으로 모든 유한 집단의 기본 구성 요소로 볼 수 있다. 더 요르단-홀더 정리는 유한집단에 관한 이 사실을 보다 정확하게 진술하는 방법이다. 그러나 정수 인자화 사례와 관련하여 유의적인 차이는 그러한 "건물 블록"이 동일한 구성 시리즈를 가진 비이성적 그룹이 많을 수 있거나 다른 방식으로 말하면 확장 문제가 고유한 해결책을 가지고 있지 않을 수 있기 때문에 반드시 그룹을 고유하게 결정하지는 않는다는 것이다.

정리의 증빙은 약 100명의 저자가 쓴 수백 개의 저널 기사에 수만 페이지로 구성되어 있으며, 대부분 1955년에서 2004년 사이에 출판되었다. 고렌슈타인(1992년), 라이온스, 솔로몬은 점차적으로 증빙의 단순하고 수정된 버전을 출판하고 있다.

지정된 주문의 그룹 수

양의 정수 n을 주어진다면, 얼마나 많은 순서의 집단의 이형성 유형이 있는지를 결정하는 것은 전혀 일상적인 문제가 아니다. 라그랑주의 정리는 그 비식별성 요소들 중 어느 하나에서 생성되는 주기적인 하위 그룹이 전체 그룹임을 암시하기 때문에 모든 프라임 순서의 그룹은 순환적이다. 만약 n이 프라임의 제곱이라면, 두 가지 가능한 이소모르피즘 형태의 순서 n이 있는데, 둘 다 아벨리안이다. n이 프라임의 더 높은 힘이라면 그레이엄 히그만과 찰스 심스의 결과는 n 질서의 그룹들의 이형성 유형의 수에 대해 점증적으로 정확한 추정치를 제공하며, 그 수는 힘이 증가함에 따라 매우 빠르게 증가한다.

n의 주요 인자화에 따라, 예를 들어, Sylow 이론과 같은 결과의 결과로서, n 순서 그룹의 구조에 약간의 제약이 가해질 수 있다. 예를 들어, q < p가 p - 1과 p - 1이 q로 분할되지 않은 프리타임일 때 모든 순서 pq의 그룹은 주기적이다. 필요하고도 충분한 조건은 주기 번호를 참조한다.

n이 제곱이 없는 경우, n의 어떤 그룹도 해결할 수 있다. 그룹 문자를 사용하여 증명된 번사이드의 정리에서는 n이 3개의 뚜렷한 소수 이하로 분리될 때, 즉, p와 q가^ab 소수인 경우, a와 b가 음이 아닌 정수인 경우 n의 모든 순서가 해결될 수 있다고 명시한다. By the Feit-길고 복잡한 증거를 가지고 있는 톰프슨 정리, n이 이상할 때 n의 모든 순서가 풀릴 수 있다.

모든 양의 정수 n에 대해, 대부분의 순서 n 그룹은 해결 가능하다. 어떤 특정한 질서에 대해 이것을 보는 것은 보통 어렵지 않지만(예를 들어, 최대 이형성까지, 하나의 해결 불가능한 집단과 12개의 해결 가능한 질서의 60) 모든 질서에 대한 그것의 증거는 유한한 단순 집단의 분류를 사용한다. 어떤 양의 정수 n의 경우, 순서의 단순 그룹이 거의 두 개 있고, 순서의 비 이형성 단순 그룹이 두 개 있는 양의 정수 n이 무한히 많다.

순서의 고유 그룹 표 n

순서 n	# 그룹[8]	아벨리안	비아벨리안
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크

• OEIS 시퀀스 A000001(순서 n의 그룹 수)
• OEIS 시퀀스 A000688(오더 n의 아벨 그룹 수)
• OEIS 시퀀스 A060689(Abelian이 아닌 그룹의 순서 n)
• GroupNames의 작은 그룹
• 소순 그룹의 분류자