브룬어 링크

Brunnian link
이 4개 구성 요소 링크는 브룬어 링크다.

위상의 한 갈래인 매듭 이론에서, 브루니안 링크는 하나의 요소가 제거되면 사소한 비연계 원들의 집합이 되는 비종교적 링크다. 즉, 어떤 루프를 자르면 다른 루프가 모두 자유로워진다(따라서 두 루프가 직접 연결될 수 없다).

브루니안이라는 이름은 헤르만 브룬의 이름을 따서 지은 것이다. 브룬의 1892년 기사 우베르 베르케퉁에는 그러한 연결의 예가 포함되어 있었다.

예

보로미아 링은 가장 단순한 브룬어 링크다.
6개의 구성 요소인 "러버밴드" 브루니안 링크 같은 구조로 인해 임의의 수의 구성요소를 가진 브루니안 연계가 이루어진다.

가장 잘 알려져 있고 가장 간단한 브루니안 링크는 세 개의 언코트의 링크인 보로미아 링이다. 그러나 3번 이상일 때마다 그 수의 루프를 포함하는 브루니안 재산과의 연계는 무한히 많다. 다음은 보로미아 링과 같지 않은 비교적 단순한 3개 구성 요소인 브루니안 링크가 있다.

  • 12구간 연결.

  • 18와 10의 연결고리.

  • 24시간 연결.

6크로싱 보로미아 고리 외에 가장 단순한 브루니안 링크는 아마도 10크로싱 L10a140 링크일 것이다.[1]

n-구성 요소인 브루니안 링크의 예는 "rubberband" 브루니안 링크스에 의해 주어지는데, 여기서 각 구성 요소는 다음 구성 요소들을 ababab으로−1−1 루프하고, 마지막 구성 요소는 첫 번째 구성 요소 주변을 순환하며 원을 형성한다.[2]

비원형

브루니안 링크가 기하학적 원들로 구성되는 것은 불가능하다. 좀 더 일반적으로, 링크에 각 구성요소가 원이고 두 구성요소가 연결되지 않는다는 속성이 있다면, 그것은 사소한 것이다. 마이클 프리드먼과 리처드 스코라가 쓴 이 증거는 4차원 쌍곡선 공간의 푸앵카레 볼 모델의 경계로 그 연계가 담긴 3차원 공간을 구현하고, 원의 쌍곡선 볼록 선체를 고려한다. 이것들은 쌍곡선 공간의 2차원 하위공간이며, 이들의 교차 패턴은 원의 쌍방향 연계를 반영한다. 두 개의 원이 연결되면 선체가 교차점을 가지지만 원들이 연결되지 않은 것으로 가정하면 선체가 분리된다. 푸앵카레 공의 단면을 동심 3차원 구에 의해 취하면, 각 구와 원의 선체가 교차하는 것은 다시 원형으로 만들어진 연결고리로, 이 단면 계열의 단면들은 다른 어떤 것도 건너지 않고 각각 한 점으로 수축시키는 모든 원의 연속적인 움직임을 제공한다.[3]

분류

브루니안 링크는 (Milnor 1954)에서 존 밀너에 의해 링크-호모토피까지 분류되었고, 그가 소개한 불변자는 현재 밀너 불변제라고 불린다.

(n + 1)-구성 요소인 브루니안 링크는 연결 그룹의 요소로서 생각할 수 있는데, 브룬니아가 마지막 연결을 제거하여 다른 요소들을 연결 해제하기 때문에, 이 경우(일반적으로 그렇지 않지만)는 n-구성 요소 언링크의 링크 보완의 기본 그룹이다. n-구성요소 Unlink의 링크 그룹은 n개의 발전기 F에n 대한 자유 그룹인데, 단일 링크의 링크 그룹은 unknot의 매듭 그룹인 정수이고, 연결되지 않은 유니언의 링크 그룹은 구성 요소의 링크 그룹의 자유 제품이다.

링크 그룹의 모든 요소가 브룬어 링크(Brunnian link)를 제공하는 것은 아니며, 다른 요소를 제거하는 것도 나머지 n 요소의 연결을 해제해야 하기 때문이다. 밀너는 브룬어니안 연계에 해당하는 집단 원소가 자유집단의 하부 중앙계열의 등급화된 리 대수학과 관련이 있다는 것을 보여주었는데, 이것은 자유리 대수학에서는 "관계"로 해석할 수 있다.

매시 제품

주요 기사: 매시 제품

브루니안 링크는 Massey 제품을 통한 대수적 토폴로지에서 이해할 수 있다: Massey 제품은 그것의 조건의 모든 (n - 1) 폴드 제품이 사라지는 경우에만 정의되는 n-폴드 제품이다. 이는 모든 (n - 1) 컴포넌트 서브링크들이 연결되지 않고 있는 브룬니안 속성에 해당하지만, 전체 n 컴포넌트 링크는 서로 연결되지 않는다.

브룬어 땋은 머리

참고 항목: 클로즈드 브레이드
표준 땋은 머리 모양은 브루니안이다. 검은 가닥을 제거하면 파란색 가닥은 항상 빨간 가닥 위에 있고, 따라서 다른 가닥을 제거하기 위해 서로 땋아지지 않는다.

브룬어 땋은 것은 그 끈 중 하나를 제거하면 사소한 것이 되는 땋은 것이다. 브룬어 땋은 머리들은 땋은 그룹의 하위 그룹을 형성한다. 2-sphere 위에 브룬니안이 아닌 2-sphere 위에 땋은 브룬니안은 2-sphere의 호모토피 그룹에 비종교적인 요소를 낳는다. 예를 들어, 보로미아 링에 해당하는 "표준" 브레이드는3 홉프 진동 S → S를2 발생시키며, (일상 브레이딩에서와 마찬가지로) 이것의 반복도 브룬니안이다.

실제 사례

많은 모순된 퍼즐과 몇몇 기계적인 퍼즐은 브룬니안 링크스의 변종이며, 한 조각이 나머지 조각들과 부분적으로만 연결되어 있어 구조를 해체하는 것을 목표로 하고 있다.

브룬니안 체인은 레인보우룸이나 원더룸과 같은 기기를 이용해 탄력 있는 밴드로 웨어러블하고 장식적인 아이템을 만드는 데도 사용된다.

참조

  1. ^ 바-나탄, 드로르(2010-08-16). "올 브런니안, 아마도" [학술 펜시브]
  2. ^ "러버밴드" 브루니안 링크스
  3. ^ Freedman, Michael H.; Skora, Richard (1987), "Strange actions of groups on spheres", Journal of Differential Geometry, 25: 75–98, doi:10.4310/jdg/1214440725; 특히 Lemma 3.2, 페이지 89 참조

추가 읽기

외부 링크