매듭 이론

작은 매듭(왼쪽 위)과 작은 매듭(아래)을 포함한 다양한 매듭의 예

가장 단순한 비사소한 매듭인 삼엽상 매듭의 매듭 다이어그램

위상수학에서 매듭이론은 수학적 매듭을 연구하는 학문이다.수학적인 매듭은 신발끈이나 밧줄의 매듭과 같이 일상생활에서 나타나는 매듭에서 영감을 얻었지만, 가장 단순한 매듭은 반지(또는 매듭 풀기)이다.수학 언어에서 매듭은 3차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{3}$ , $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $(\displaystyle \mathbb$ {R $} ^{3$ }) $\mathbb {R} ^{3}$ 에 원을 내장한 것입니다(위상학에서 원은 고전적인 기하학적 개념이 아니라 모든 동형사상에 구속됩니다).두 $\mathbb {R} ^{3}$ 의 수학적 매듭은 R $3($ 주변 등방성 등방성이라고 함 $)$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ 변형을 통해 다른 매듭으로 변환할 수 있는 경우 등가입니다. 이러한 변환은 절단을 수반하지 않거나 스스로 통과하지 않는 매듭 문자열의 조작에 해당합니다.

매듭은 다양한 방법으로 설명할 수 있습니다.다른 설명 방법을 사용하면 동일한 매듭에 대한 설명이 여러 개 있을 수 있습니다.예를 들어, 매듭을 기술하는 일반적인 방법은 매듭 다이어그램이라고 불리는 평면 다이어그램으로, 어떤 매듭도 다양한 방법으로 그릴 수 있습니다.그러므로 매듭 이론의 근본적인 문제는 두 서술이 언제 같은 매듭을 나타내는지 결정하는 것이다.

이 문제에 대한 완전한 알고리즘 솔루션이 존재하며, 복잡성은 알려지지 않았습니다.실제로, 매듭은 종종 매듭 불변량, 즉 매듭에 대한 다른 설명에서 계산했을 때 동일한 수량을 사용하여 구별된다.중요한 불변량에는 매듭 다항식, 매듭 군 및 쌍곡선 불변량이 포함됩니다.

매듭 이론의 창시자들에 대한 원래 동기는 매듭과 연결의 표를 만드는 것이었다. 이것은 서로 얽힌 여러 요소의 매듭이다.19세기 매듭 이론이 시작된 이래로 60억 개 이상의 매듭과 고리가 표로 작성되었습니다.

더 많은 통찰력을 얻기 위해 수학자들은 매듭 개념을 몇 가지 방법으로 일반화했다.매듭은 다른 3차원 공간에서 고려할 수 있으며 원 이외의 물체를 사용할 수 있습니다. 매듭(수학)을 참조하십시오.고차원 매듭은 (n+2)차원 유클리드 공간에 내장된 n차원 구이다.

역사

1200년 켈트어 책에 나오는 복잡한 켈트어 매듭 세공

고고학자들은 매듭 묶기가 선사시대로 거슬러 올라간다는 것을 발견했다.정보를 기록하고 사물을 묶는 것과 같은 용도 외에도, 매듭은 미학과 정신적 상징성 때문에 인간을 흥미롭게 했다.매듭은 기원전 수세기 전의 다양한 형태의 중국 미술품에 나타난다.끝없는 매듭은 티베트 불교에서 나타나는 반면, 보로미아 고리는 다른 문화에서 반복적으로 나타나며 종종 단결의 힘을 상징한다.켈트어 책을 만든 켈트어 수도승들은 복잡한 켈트어 매듭으로 페이지 전체를 장식했다.

첫 번째 매듭표 작성자 피터 거스리 타이트

매듭의 수학적 이론은 위치의 기하학과 관련된 매듭의 속성을 논할 때 위상 특성의 중요성을 명시적으로 지적한 알렉상드르-테오필 반데르몽드에 의해 1771년에 처음 개발되었다.매듭에 대한 수학 연구는 연결 적분을 정의한 칼 프리드리히 가우스와 함께 19세기에 시작되었습니다.1860년대에, 원자가 에테르에 매듭이 있다는 켈빈 경의 이론은 피터 거스리 테이트가 완전한 분류를 위한 최초의 매듭 표를 만들도록 이끌었다.1885년에 타이트는 최대 10개의 교차점이 있는 매듭 표를 발표했는데, 이것이 타이트 추측으로 알려지게 되었다.이 기록은 초기 매듭 이론가들에게 동기를 부여했지만, 매듭 이론은 결국 토폴로지의 떠오르는 과목의 일부가 되었다.

20세기 초의 위상학자 막스 덴, J. W. 알렉산더와 다른 사람들은 매듭군의 관점에서 매듭을 연구했고 알렉산더 다항식과 같은 호몰로지 이론의 불변성을 연구했다.이것은 일련의 돌파구가 주제를 바꾸기 전까지 매듭 이론의 주요 접근법이 될 것이다.

1970년대 후반, 윌리엄 서스턴은 쌍곡기하학을 쌍곡선 기하학을 쌍곡선화 정리와 함께 매듭 연구에 도입했다.많은 매듭이 쌍곡선 매듭인 것으로 나타나 새롭고 강력한 매듭 불변량을 정의할 때 기하학을 사용할 수 있게 되었습니다.1984년 Vaughan Jones에 의한 존스 다항식의 발견 (Sossinsky 2002, 페이지 71-89)과 에드워드 위튼, 막심 콘체비치 등의 후속 기여는 통계학 및 양자장 이론에서 매듭 이론과 수학적 방법 사이의 깊은 연관성을 드러냈다.그 이후로 수많은 매듭 불변성이 양자군이나 플로어 호몰로지와 같은 정교한 도구를 이용해 발명되었다.

20세기의 마지막 수십 년 동안, 과학자들은 DNA와 다른 고분자의 매듭 현상을 이해하기 위해 물리적 매듭을 연구하는 데 관심을 갖게 되었다.매듭 이론은 분자가 키랄인지 아닌지를 결정하기 위해 사용될 수 있다(Simon 1986).양끝이 제자리에 고정된 끈인 엉킴은 DNA에 대한 토포이소머라아제의 작용을 연구하는데 효과적으로 사용되어 왔다(Flapan 2000).매듭 이론은 위상 양자 계산 모델을 통해 양자 컴퓨터를 구성하는 데 매우 중요할 수 있다(Collins 2006).

매듭 등가

왼쪽에는 매듭을 풀고 그에 상응하는 매듭이 있습니다.오른쪽에 있는 매듭과 같은 복잡한 매듭이 매듭을 푸는 것과 동일한지 확인하는 것이 더 어려울 수 있습니다.

매듭은 1차원 선분부터 시작하여 임의로 주위를 감싸고 그 두 자유단을 융합하여 닫힌 루프를 형성함으로써 작성된다(Adams 2004). (Sossinsky 2002) $간단히$ 말해, 매듭K(\ $displaystyle$ K)는 $K$ "비활성"만을 갖는 "비활성" $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ 연속 함수 K: [ $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ 1 $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ 3 $(\$ K $\colon [0,1]\to \mathBBR ^{3$ 이다. $K(0)=K(1)$ 위상학자들은 매듭이 다른 매듭과 일치하도록 교차하지 않고 부드럽게 밀 수 있다면 매듭과 고리나 땋기 같은 다른 얽힘이 동등하다고 생각한다.

매듭 등가성의 개념은 두 개의 매듭이 우주에서 상당히 다른 위치에 있더라도 언제 같은 것으로 간주되어야 하는지에 대한 정확한 정의를 제공하는 것입니다.공식 수학적 정의는 방향 보존 $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ h: $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $→$ R $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ \ $display h \ mathbb { R$ ^ { r } ^ { } \ $to$ \ $mathbb { R$ } ^ { 3 $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $h(K_{1})=K_{2}$ $h(K_{1})=K_{2}$ = 2인 $h(K_{1})=K_{2}$ 의 $K_{1},K_{2}$ $K_{1},K_{2}$ $($ 스타일 $K_$ {1 $}, K_$ ${$ $2$ }})가 동일하다는 $K_{1},K_{2}$ 것입니다 $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ .

매듭 등가성을 정의하는 또 다른 방법은 $t_rightarrow \mathbb$ { $R$ \ $mathbb {$ R $} ^{$ 3} \mathbb { $R}$ \ $mathqle {\mathbb$ {R} \ $displaystyle {h_{t}$ \ $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ { $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ } \ $m}$ \ $m$ of $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ 1 $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ 2개의 동형상이 연속적으로 존재하는 경우 2개의 매듭 등가 동등하다는 것입니다.첫 번째 매듭을 두 번째 매듭으로 묶습니다(좀 더 형식적으로:두 개의 $K_{1}$ K $({$ 과 $K_{1}$ $K_{2}$ 2({ $displaystyle K_{2})$ 는 $K_{2}$ $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ $다음$ 과 $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 같은 연속 $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ H: $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ × $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ [ $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ , 1 $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 3({ $displaystyle$ H:\ $mathbb$ {R $} ^{3}\times$ [ $0,$ 1 $]\rightarrow \mathbb {R})$ 이 있는 경우 등가 됩니다 $.$ $x\in \mathbb {R} ^{3}$ x $x\in \mathbb {R} ^{3}$ $x\in \mathbb {R} ^{3}$ 3 ( $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ , $t$ ) $display$ R 3 ( $x$ , t $)\ display$ $style$ $x\in \mathbb {R} ^{3}$ H ( $x$ , $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ )\ $in$ \ $mathbb { R$ ^ { $3}$ ） $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ 、 R $\mathbb {R} ^{3}$ $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ ( \ $displaystyle$ \ $mathbb { R }^$ { $3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ display display $H(x,0)=x$ $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ $=$ 0 $H(x,0)=x$ ) $H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ 。c) $H(K_{1},1)=K_{2}$ ( $H(K_{1},1)=K_{2}$ 1, $H(K_{1},1)=K_{2}$ ) $H(K_{1},1)=K_{2}$ $H(K_{1},1)=K_{2}$ 2 ( $H(K_{1},1)=K_{2}$ \ $displaystyle$ H ( $K _$ {1} ) = $K$ _ {2} $H(K_{1},1)=K_{2}$ ）. 이러한 $함수$ H ( \ $displaystyle$ H)를 $H$ 주변 아이소토피라고 합니다.)

이 두 개의 매듭 등가 개념은 어떤 매듭이 등가인지에 대해 정확히 일치합니다.방향 보존 동형사상 정의에서 등가하는 2개의 노트는 주변 아이소토피 정의에서도 동등하다. $\mathbb {R} ^{3}$ R $3$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ 보존 $동형사상$ 자체가 동일성에서 시작하는 $주변$ 아이소토피의 최종 단계이기 때문이다 $.$ 반대로, 주변 등위성의 t $= 1(최종$ ) $t=1$ $t=1$ 는 다른 매듭을 포함하는 방향 보존 동형이어야 하기 때문에 주변 등위성의 정의에서 2노트에 해당하는 2노트는 방향 보존 동형성 정의에서도 동일하다.

매듭 이론의 기본 문제인 인식 문제는 두 개의 매듭의 등가성을 결정하는 것입니다.이 문제를 해결하기 위한 알고리즘이 존재하며, 첫 번째 알고리즘은 1960년대 후반에 볼프강 하켄에 의해 제시되었다(Has 1998).그럼에도 불구하고 이러한 알고리즘은 매우 시간이 걸릴 수 있으며 이론의 주요 쟁점은 이 문제가 실제로 얼마나 어려운지를 이해하는 것입니다(Hass 1998).언노팅 문제라고 불리는 언노트를 인식하는 특별한 케이스가 특히 중요합니다(Hoste 2005).2021년 2월, Marc Lackenby는 준다항 ^[1]시간에 실행되는 새로운 언노 인식 알고리즘을 발표했습니다.

매듭도

매듭을 시각화하고 조작하는 유용한 방법은 매듭을 평면에 투영하는 것입니다. 매듭이 벽에 그림자를 드리우는 것을 생각해 보십시오.투영 방향을 조금만 바꾸면 매듭의 "그림자"가 한 번 가로로 교차하는 교차점이라고 불리는 이중점을 제외하고 1대 1이 됩니다(롤프슨 1976).각각의 교차로에서 원래의 매듭을 재현할 수 있도록 오버스트레인을 언더스트레인과 구별해야 합니다.이것은 종종 아래로 들어가는 가닥을 끊음으로써 이루어집니다.결과 다이어그램은 각 교차점에서 어느 가닥이 넘고 어느 가닥이 아래에 있는지 추가 데이터가 포함된 침지 평면 곡선입니다(이러한 다이어그램은 매듭을 나타낼 때 매듭 다이어그램, 링크 다이어그램을 나타낼 때 링크 다이어그램이라고 합니다).마찬가지로, 4공간에서 매듭된 표면은 3공간에서 침지된 표면과 관련될 수 있다.

축소도는 환원식 교차로(중간 또는 분리식 교차로도)가 없거나 환원식 교차로가 모두 ^[2]^[3]제거된 매듭 다이어그램입니다.꽃잎 돌기는 이중점을 형성하는 대신 매듭의 모든 가닥이 단일 교차점에서 만나며, 네스트되지 않은 "꽃잎"^[4]을 형성하는 루프로 연결된 돌기의 일종입니다.

리드마이스터 이동

1927년, J. W. Alexander와 Garland Baird Briggs, 그리고 독립적으로 Kurt Reidemister는 매듭의 이 도형 형태를 사용하여 동일한 매듭에 속하는 두 개의 매듭 도형이 아래 그림과 같이 세 가지 종류의 연속적인 움직임으로 연관될 수 있다는 것을 증명했다.현재 Reidemeister 움직임이라고 불리는 이러한 작전은 다음과 같습니다.

어느 방향으로든 비틀었다 폈다 하세요.
한 가닥을 다른 가닥 위로 완전히 옮깁니다.
교차로 위 또는 아래로 가닥을 완전히 이동합니다.

**리드마이스터 이동**
타입 I	타입 II


타입 III

동등한 매듭의 도표가 레이더미스터의 움직임에 의해 연결된다는 증거는 하나의 매듭을 다른 매듭으로 만드는 운동의 평면 투영 아래에서 일어나는 일에 대한 분석에 의존합니다.한 점에서 두 개 이상의 가닥이 교차하거나 한 점에서 여러 가닥이 접선하는 경우와 같이 "이벤트" 또는 "대격변"이 발생한 경우를 제외하고 거의 모든 시간이 매듭 다이어그램이 되도록 이동을 배열할 수 있습니다.면밀한 검사를 통해 복잡한 사건은 제거될 수 있으며, 가장 단순한 사건만 남습니다. (1) "꼬임" 형성 또는 펴짐, (2) 한 점에서 접선이 되어 통과하는 두 가닥, (3) 한 점에서 교차하는 세 가닥입니다.이것이 바로 Reidemeister의 움직임이다(Sossinsky 2002, ch. 3) (Likorish 1997, ch. 1)

매듭 불변량

그림 8매트의 보완을 나타내는 3D 프린팅
프랑수아 게리토, 사울 슐레이머, 앙리 세게르만의 작품

매듭 불변량은 동등한 매듭(Adams 2004)(1997년 Likorish)에 대해 동일한 수량(Rolfsen 1976)이다.예를 들어, 불변량이 매듭 다이어그램에서 계산되는 경우, 동등한 매듭을 나타내는 두 개의 매듭 다이어그램에 대해 동일한 값을 제공해야 합니다.불변량은 두 개의 다른 노트에서 동일한 값을 취할 수 있으므로, 그것만으로는 모든 노트를 구별할 수 없을 수 있습니다.기본 불변량은 삼색성이다.

"고전적" 매듭 불변량은 매듭 보체의 기본군인 매듭 군과 매듭 보체의 무한 순환 덮개로 구성된 모듈인 알렉산더 불변량에서 계산할 수 있는 알렉산더 다항식을 포함한다.20세기 후반에, "양자" 매듭 다항식, 바실리예프 불변량, 쌍곡 불변량과 같은 불변량이 발견되었다.앞서 언급한 불변량은 현대 매듭 이론의 빙산의 일각일 뿐이다.

매듭 다항식

매듭 다항식은 다항식인 매듭 불변량입니다.잘 알려진 예로는 존스와 알렉산더 다항식이 있다.알렉산더 다항식의 변형인 알렉산더-콘웨이 다항식은 정수 계수를 갖는 변수 z의 다항식이다.

알렉산더-콘웨이 다항식은 실제로는 서로 얽힌 하나 이상의 노트로 구성된 링크의 관점에서 정의됩니다.위에서 설명한 매듭에 대한 개념(예: 다이어그램 및 리드미스터 이동)도 링크에 적용됩니다.

방향성이 있는 링크 다이어그램, 즉 링크의 모든 구성요소가 화살표로 표시된 우선 방향을 갖는 링크 다이어그램에 대해 설명합니다.다이어그램의 특정 교차에 대해 $L_{+},L_{-},L_{0}$ L + $L_{+},L_{-},L_{0}$ , $L_{+},L_{-},L_{0}$ - , L $L_{+},L_{-},L_{0}$ { \ $displaystyle L_{$ + }, $L_{-}, L_{0}$ 을 $L_{+},L_{-},L_{0}$ 그림과 같이 다이어그램 변경에 따른 방향 링크 다이어그램으로 $L_{+},L_{-},L_{0}$ .

원래 다이어그램은 선택한 교차로 설정에 따라 $L_{+}$ L $L_{+}$ + {\ $displaystyle L_{+}}$ $L_{-}$ L $L_{-}$ - {\ $displaystyle L_$ 중 $L_{+}$ 입니다.그런 다음 규칙에 따라 Alexander-Conway 다항식 $C(z)$ ( $C(z)$ )\ $displaystyle$ C ( $z$ 가 재귀적으로 정의됩니다.

$C(O)=1$ ( $C(O)=1$ ) $=$ $C(O)=1$ {{ $displaystyle$ C $(O$ )=1 $}$ $C(O)=1$ ( $O$ 서O {\ $displaystyle$ O}는 $O$ 매듭을 푼 다이어그램입니다)
$C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).$

두 번째 규칙은 종종 스키인 관계라고 불리는 것입니다.이러한 규칙이 방향 링크의 불변성을 제공하는지 확인하려면, 다항식이 세 가지 리드미스터 이동 하에서 변하지 않음을 결정해야 한다.많은 중요한 매듭 다항식은 이러한 방식으로 정의할 수 있습니다.

다음은 스키인 관계를 사용한 일반적인 계산의 예입니다.그것은 삼각뿔 매듭의 알렉산더-콘웨이 다항식을 계산한다.노란색 패치는 관계가 적용되는 위치를 나타냅니다.

C()

= C()

+ z C()

는 unknot 및 Hopf 링크를 제공합니다.표시된 Hopf 링크에 관계를 적용합니다.

C()

= C()

+ z C()

는 0의 크로스(실제로 2개의 컴포넌트의 링크 해제)와 언노트로 변형 가능한 링크를 제공합니다.링크 해제에는 약간의 교묘함이 필요합니다.

C()

= C()

+ z C()

이는 처음 두 다항식이 매듭 해제이므로 C(두 성분의 연결 해제) = 0임을 의미합니다.

이 모든 것을 종합하면, 이하를 알 수 있습니다.

\displaystyle C(\mathrm {trfoil})=1+z(0+z)=1+z^{2}}

알렉산더-콘웨이 다항식이 매듭 불변량이기 때문에, 이것은 삼각형이 매듭 해제와 동일하지 않다는 것을 보여준다.그래서 트리포일은 정말 "코티드"입니다.

왼손 삼엽매듭이요.
오른손 삼엽매듭이요.

사실, 오른쪽과 왼쪽의 삼각뿔이라고 불리는 두 개의 삼각뿔 매듭이 있는데, 이것은 서로의 거울 이미지이다.이것들은 서로 같지 않다. 즉, 양성바이러스가 아니라는 뜻이다.이것은 매듭 다항식이 발명되기 전에 군 이론 방법을 사용하여 맥스 덴에 의해 증명되었다.그러나 각 종류의 삼엽충의 알렉산더-콘웨이 다항식은 거울 이미지로 위의 계산을 통해 볼 수 있듯이 같을 것입니다.존스 다항식은 사실 왼손과 오른손 삼엽 매듭을 구별할 수 있다(Lickorish 1997).

쌍곡선 불변량

윌리엄 서스턴은 많은 매듭이 쌍곡선 매듭이라는 것을 증명했는데, 이는 매듭이 보완된 것(즉, 매듭 위에 있지 않은 3-공백의 점 집합)이 특히 쌍곡선 기하학의 기하학적 구조를 허용한다는 것을 의미한다.쌍곡선 구조는 매듭에만 의존하므로 쌍곡선 구조에서 계산되는 모든 양은 매듭 불변량입니다(

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