매듭의 아르프 불변성

매듭 이론의 수학적 분야에서, 카히트 아르프의 이름을 딴 매듭의 아르프 불변성은 세이퍼트 표면과 연관된 2차적 형태로부터 얻은 매듭 불변성이다.F가 매듭의 세이퍼트 표면인 경우, 호몰로지 그룹 H₁(F, Z/2Z)는 호몰로지 그룹의 요소를 나타내는 내장된 원의 근방에서 완전한 트위스트의 수 2인치의 형태를 가진다.이 이차 형태의 아르프 불변제는 매듭의 아르프 불변성이다.

Seifert 행렬별 정의

Let $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle v_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 표면의 첫 번째 호몰로학의 기초를 나타내는 속 g의 Seifert 표면의 곡선으로 구성된 매듭의 Seifert 행렬이다.즉, V - V가^T 복합적 매트릭스라는 특성을 가진 2g × 2g 매트릭스라는 뜻이다.매듭의 아르프 불변성은 그 잔여물이다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{g_{2i-1}v_{2i,2i}{\pmod {2}.}$

구체적으로$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle a_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle b_{}}$ i ${\displaystyle \}}$ , ${\displaystyle \mathrm{i}}$= ${\displaystyle 1}$… g ${\displaystyle \{a_{i$},$b_{i}\}\i=1\ldots$ g$}$이$($가) 세이퍼트 표면의 교차 형태에 대한 공통적인 기반이라면, 그 다음이다.

${\displaystyle \operatorname {Arf}(K)=\sum \limits _{i=1}{g}\operatorname {lk} \left(a_{i},a_{i}^{+}\right)\lk} \lk} \pmod {2}{2}}$

여기서 lk는 링크 번호이고${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 a의 양의 푸쉬호프를 의미한다$$.

패스 동등성에 의한 정의

아르프 불변제에 대한 이러한 접근은 루이 카우프만 때문이다.

우리는 2노트가 한정된 일련의 패스 모브에 의해 연관되어 있다면 패스 모브에 상응하는 것으로 정의한다.^[1]

모든 매듭은 매듭이 매듭이 없는 쪽과 같은 쪽이다. 이 두 매듭은 매듭과 같지 않고, 게다가 오른손과 왼손잡이 트레포일은 합과 같다.^[2]

이제 우리는 매듭의 아르프 불변성을 매듭이 매듭이 매듭이 매듭의 매듭과 같을 경우 0으로 정의하고, 매듭이 풀코트와 같을 경우 1로 정의할 수 있다.이 정의는 위의 정의와 동일하다.

파티션 함수별 정의

Vaughan Jones는 매듭 다이어그램과 연관된 서명된 평면 그래프의 파티션 함수를 취함으로써 아르프 불변성을 얻을 수 있다는 것을 보여주었다.

알렉산더 다항식 정의

아르프 불변제에 대한 이러한 접근은 레이몬드 로버텔로가 한다.^[3]내버려두다

${\displaystyle \Delta (t)=c_{0}+c_{1}t+\c_{n}t^{n}+\c_{0}t^{2n}}}}$

알렉산더 다항식이다그렇다면 아르프 불변제는 그 잔재다.

${\displaystyle c_{n-1}+c_{n-3}+\cdots +c_{r}}$

modulo 2, 여기서 r = n 홀수의 경우 0, r = n 짝수의 경우 1이다.

쿠니오 무라스기는^[4] Δ(1) ≡ ±1 modulo 8인 경우에만 아르프 불변성이 0임을 증명했다.

매듭 콩코드를 불변으로 하는 아르프

From the Fox-Milnor criterion, which tells us that the Alexander polynomial of a slice knot ${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$ factors as ${\displaystyle \Delta (t)=p(t)p\left(t^{-1}\right)}$ for some polynomial ${\displaystyle p(t)}$ with integer coefficients, we슬라이스 매듭의$$ 결정인 ${\displaystyle \Delta \mathrm{}(}$- 1${\displaystyle }$) $displaystyle \left \Delta(-1)\오른쪽 }$이(가) 제곱 정수임을 알고 있다.${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) $displaystyle \left \Delta(-1)\오른쪽}$이(가) 홀수 정수이므로$$ 1 modulo 8에 일치해야 한다.무라스기의 결과와 결합하여 이것은 조각 매듭의 아르프 불변성이 사라진다는 것을 보여준다.

메모들

참조

• Kauffman, Louis H. (1983). Formal knot theory. Mathematical notes. Vol. 30. Princeton University Press. ISBN 0-691-08336-3.
• Kauffman, Louis H. (1987). On knots. Annals of Mathematics Studies. Vol. 115. Princeton University Press. ISBN 0-691-08435-1.
• Kirby, Robion (1989). The topology of 4-manifolds. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1374. Springer-Verlag. ISBN 0-387-51148-2.