매시 제품

대수적 위상에서 매시 제품은 컵 제품을 일반화하는 (Massey 1958)에서 도입된 상위 질서의 코호몰로지 연산이다.매시 제품은 윌리엄 S에 의해 만들어졌다. 미국의 대수학 위상학자인 매시.

매시 트리플 제품

Let ${\displaystyle a,b,c}$ be elements of the cohomology algebra ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ of a differential graded algebra ${\displaystyle \Gamma }$. If ${\displaystyle ab=bc=0}$, the Massey product ${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$ is a subset of $$${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle$ H$^{n}(\$Displaystyle H${\displaystyle ^\{n}$}(\$Gamma$ $)\},$ 여기서 $n{\displaystyle }$ = deg ${\displaystyle }$ ( )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle (b}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{deg}}$(${\displaystyle \mathrm{c}}$)${\displaystyle }$- 1 ${\displaysty n=\deg(a)+\deg(c$)+\$deg(c)-1$

Massey 제품은 대수적으로 정의되며, $u{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$, w , w ,${\displaystyle w}$$${\$displaystyle u$$,$v,$w}$ 원소의 동등성 등급에$$ $요소$ a${\displaystyle }$, $,b,c}$을(를) 들어 올리고$,$ 이러한 요소들의 Massey $제품$을 가져간 다음, 코호몰로지(cohomology)로 푸시한다$.$이것은 잘 정의된 코호몰로지 클래스를 만들거나 불규칙성을 초래할 수 있다.

$'{\$을$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$ ${\displaystyle {(u}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle(-1)^{\deg(u)+1}u}$로 정의하십시오$.$$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 요소 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$u}의 코호몰로지 클래스는${\displaystyle }$[${\displaystyle u}$] ${\displaystyle [u]}$로 표시된다$.$3가지 코호몰로지 클래스의 매시 트리플 제품은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \langle [u],[w],\angle =\{\bar {{s}w+{\bar{u}}}}\mid ds={\bar}v,dt={\bar {v}w\}}}$

3개의 공동 호몰로지 클래스의 Massey 제품은 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ $){\displaystyle H^{*}(\$$Gamma )}$의 요소가 아니라 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ($$의 요소 집합으로$,$ 아마도 $비어$ 있고 두 개 이상의 요소를 포함할 수 있다.$u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ ,$$w {\$displaystyle u,v,$w}이(가) 도${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ , k , k$${\$displaystyle$ i$,j$$,$$k}$을(를$)$ 가지고$$ 있는 경우, Massey 제품은 $도{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$+${\displaystyle k}$ - ${\displaystyle 1}$$$${\$$displaystyle$ $i+$$k-1$}과 함께 차등 d$}$에서 가져온$$${\displaystyle -1}$을$($가 있다$.$

Massey 제품은 제품 ${\displaystyle u}$ v$${\$displaystyle uv}$ $및{\displaystyle }$ v$$ ${\displaystyle w}${\$displaystyle vw}$이(가) 모두 정확하다면 비어 있지 않으며, 이 경우 해당 요소는 모두 몫 그룹의 동일한 요소에 있다.

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\감마 )[w].}$

따라서 Massey 제품은 위의 지수 그룹에서 값을 취하면서 첫 번째 또는 마지막 두 개의 곱이 0이 되는 등급의 곱에 대해 정의된 함수로 간주할 수 있다.

More casually, if the two pairwise products ${\displaystyle [u][v]}$ and ${\displaystyle [v][w]}$ both vanish in homology (${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$), i.e., ${\displaystyle uv=ds}$ and ${\displaystyle vw=dt}$ for some chains ${\dis$$playstyle s}$ and ${\displaystyle t}$, then the triple product ${\displaystyle [u][v][w]}$ vanishes "for two different reasons" — it is the boundary of ${\displaystyle sw}$ and ${\displaystyle ut}$ (since ${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$ and ${\displaystyle [}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [displaystyle]=0}$ 왜냐하면 호몰로지 요소는 주기이기 때문이다$$.경계 $체인{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$과 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$은(는) 호몰로지(homology)로 이동하면 사라지는 불변성을 가지고 있으며$$, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaysty sw}$와 ${\displaystyle u}$ ${\displaystystyle ut}$이 같은 경계를 가지고$$ 있기 때문에(등급을 올바르게 처리하는 것이 기호 규약)를 빼면 cocyconcommoncommoncommissing)가 된다.차이가 사라짐)과 그에 따라 동족학에서 잘 정의된 요소를 얻음 — 이 $단계$는 n-차원 지도/${\displaystyle \mathrm{지도}}$의 null-homotopies/messages-homology에서 n${\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle$ n$+1}$ st$$ 호모토피 또는 동족학 그룹을 정의하는 것과 유사하다.

기하학적으로, 다지관의 단일한 코호몰로지에서는, 포앵카레 이원화에 따른 바운딩 다지관과 교차로 측면에서 제품을 단면적으로 해석할 수 있다: 코키클에 듀얼은 사이클이고, 종종 닫힌 다지관으로 표현될 수 있다(경계가 없음), 제품에 듀얼은 교차점이며, 바운딩 제품의 뺄셈은 글루이 있다.ng 경계를 따라 두 개의 경계 다지관이 함께 Massey 제품의 호몰로지 클래스 듀얼을 나타내는 닫힌 다지관을 얻는다.실제로 다지관의 호몰로지 클래스는 항상 다지관으로 표현될 수 없지만(표현 주기는 특이점을 가질 수 있다) 이러한 주의와 함께 이중 그림은 정확하다.

고차 매시 제품

More generally, the n-fold Massey product ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ of n elements of ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ is defined to be the set of elements of the form

${\displaystyle {\a}_{1,1}a_{2,n}+{\bar}a_{1,2}a_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar{a}_{1,n-1}a_{n,n}}}}}}$

그 방정식의 모든 해법에 대하여.

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$,

with ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ and ${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$, where ${\displaystyle {\bar {u}}}$ denotes ${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$.

The higher order Massey product ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$ can be thought of as the obstruction to solving the latter system of equations for all ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$, in the sense that it contains the 0 cohomology class이 방정식이 해결 가능한 경우에만.이 n-폴드 Massey 제품은 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$ 오더$$ 코호몰로지 연산인데, 이는 많은 하위 오더 매시 운영이 0을 포함해야 함을 의미하며, 더욱이 이 제품은 하위 오더 연산을 포함하는 조건에 따라 모두 다르게 표현된다.2중 Massey 제품은 일반적인 컵 제품일 뿐이며 1차 주문 코호몰로지 작업이며, 3중 Massey 제품은 위에서 정의한 트리플 Massey 제품과 동일하며 2차 코호몰로지 작업이다.

J. Peter May(1969)는 Eilenberg-Moore 스펙트럼 시퀀스의 차이를 설명하는 데 사용할 수 있는 Matric Massey 제품이라고 불리는 추가 일반화를 설명했다.

적용들

보로미아 링의^[1] 보완은 3중 매시 제품을 정의하고 0이 아닌 것을 예시한다.보어의 코호몰리는 알렉산더 이중성을 사용하여 계산할 수 있다는 점에 유의하십시오.u, v, w가 3개의 링에 1-코칭인 경우, 어느 2개의 제품이 해당 링크 번호의 배수이므로 0인 반면, 3개 원소의 Massey 제품은 0이 아닌 것으로 보아 보로미아 링이 연결되어 있음을 알 수 있다.대수학은 기하학을 반영한다: 고리는 쌍으로 연결되지 않은 상태로, 쌍으로 된 (2배) 제품은 사라지지만, 전체적으로 연결되어, 3배 제품이 사라지지 않는 것과 일치한다.

보다 일반적인 경우, n-구성 요소 브런치 링크 –${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n-1)}$ -구성$$ 요소 하위 링크는 연결되지 않지만, 전체 n-구성 요소 링크는${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n-1)$- 구성$$ 요소 하위 링크가 연결되지 않은 연결은 N-폴드 Masey 제품에 해당된다.$({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n-1)}$폴드$$ Massey 제품 및 n폴드 Massey 제품의 비바니싱에 해당하는 전체 n-구성 요소 링크.

우에하라&매시(1957)는 매시 트리플 제품을 사용해 화이트헤드 제품이 자코비 아이덴티티를 만족한다는 것을 증명했다.

AHSS(Atiyah-Hirzebruch 스펙트럼 시퀀스)를 통해 꼬인 K 이론을 계산할 때 더 높은 순서의 매시 제품이 나타난다.In particular, if H is the twist 3-class, Atiyah & Segal (2008) harvtxt error: no target: CITEREFAtiyahSegal2008 (help) showed that, rationally, the higher order differentials ${\displaystyle d_{2p+1}\ }$ in the AHSS acting on a class x are given by the Massey product of p copies of H with a single copy of x.

다지관이 공식적이라면(Dennis Sullivan의 관점에서), 우주에 있는 모든 매시 제품들은 사라져야 한다. 따라서 주어진 다지관이 공식적이지 않다는 것을 보여주기 위한 하나의 전략은 비독점적 매시 제품을 전시하는 것이다.여기에서 공식 다지관은 그것의 드 Rham 복합체의 유한 차원 "최소 모델"에서 합리적인 호모토피 타입을 추론할 수 있는 것이다.Deligne 외 연구진(1975)은 소형 Kahler 다지관이 형식적이라는 것을 보여주었다.

살바토레 앤 롱고니(2005)는 매시 제품을 사용해 렌즈 공간에 있는 두 점의 구성 공간의 호모토피 타입이 렌즈 공간의 단순한 호모토피 타입에 크게 의존한다는 것을 보여준다.

참고 항목.

• 토다 브래킷

참조

• Atiyah, Michael; Segal, Graeme (2006), "Twisted K-theory and cohomology", Inspired by S. S. Chern, Nankai Tracts in Mathematics, vol. 11, Hackensack, NJ: World Scientific Publishers, pp. 5–43, arXiv:math.KT/0510674, doi:10.1142/9789812772688_0002, MR 2307274
• Deligne, Pierre; Griffiths, Phillip; Morgan, John; Sullivan, Dennis (1975), "Real homotopy theory of Kähler manifolds", Inventiones Mathematicae, 29 (3): 245–274, Bibcode:1975InMat..29..245D, doi:10.1007/BF01389853, MR 0382702
• Massey, William S. (1958), "Some higher order cohomology operations", Symposium internacional de topología algebraica (International symposium on algebraic topology), Mexico City: Universidad Nacional Autónoma de México and UNESCO, pp. 145–154, MR 0098366
• May, J. Peter (1969), "Matric Massey products", Journal of Algebra, 12 (4): 533–568, doi:10.1016/0021-8693(69)90027-1, MR 0238929
• McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2nd ed.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521567599, ISBN 978-0-521-56759-6, MR 1793722, Chapter 8, "Massey products", pp. 302–304; "Higher order Massey products", pp. 305–310; "Matric Massey products", pp. 311–312{{citation}}: CS1 maint : 포스트스크립트(링크)
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Configuration spaces are not homotopy invariant", Topology, 44 (2): 375–380, arXiv:math/0401075, doi:10.1016/j.top.2004.11.002, MR 2114713
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "The Jacobi identity for Whitehead products", Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton, N.J.: Princeton University Press, pp. 361–377, MR 0091473

외부 링크

• Massey 제품 및 그 응용 프로그램 - 많은 명시적 예시 포함
• Adams Spectrum Sequence의 Massey 제품 - 이러한 계산을 수행하는 방법을 이해하는 데 유용한 참조 자료 포함
• An Adams Spectrum Sequence Primer - Bruner의 노트
• Massey 제품 및 A-infinity 구조