Prática 2: Campo magnético em bobinas.

Bobinas de Helmholtz
1. Objectivos:
(a) Verificação experimental da lei de Biot-Savart.
(b) Medir a densidade de fluxo magnético (campo magnético) e investigar a dependência do campo
magnético com os parâmetros geométricos de construção de bobinas.
(c) Compreender o funcionamento de sondas Hall
(d) Medir campos magnéticos utilizando sondas Hall

2. Teoria

2.1.Espira. Campo magnético no eixo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio R e perímetro l, localizada no plano x-y, com seu eixo ao
longo da direção z, na qual flui a corrente elétrica i, de acordo com a ilustração apresentada na Figura 1. A lei
de Biot-Savart é utilizada para determinar o campo magnético gerado por um elemento de corrente,

⃗ = 𝜇0 𝑖𝑑𝑙×𝑒
𝑑𝐵 𝑟
(1)
4𝜋 𝑟 2

onde 𝜇0 = 4π.10-7 H/m corresponde à permeabilidade magnética no vácuo, 𝒊 a corrente elétrica que flui pela
espira, 𝑑𝑙 o vector elemento de comprimento na direcção da corrente, 𝑟 a distância do elemento de corrente
ao ponto onde pretende-se determinar o campo magnético e 𝑒𝑟 o vector unitário na direccção de 𝑟.

Figura 1: Diagrama para cálculo do campo magnético ao longo do eixo de uma espira.

Sabendo que a distância entre o elemento de comprimento e o ponto P é o módulo do vetor r, a equação (1)
toma a forma:

𝜇 𝑖𝑑𝑙
𝑑𝐵 = 4𝜋0 𝑧 2+𝑅2 (2)

⃗ tomam a forma:
As compontentes do vector 𝑑𝐵
𝜇 𝑅𝑖𝑑𝑙
𝑑𝐵𝑍 = 𝑑𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4𝜋0 3/2 (3)
(𝑧2 +𝑅2 )

𝜇 𝑍𝑖𝑑𝑙
𝑑𝐵𝑦 = 𝑑𝐵. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4𝜋0 3/2 (4)
(𝑧2 +𝑅2 )

1
Este problema apresenta simetria rotacional em torno do eixo Oz. Para cada elemento 𝑑𝑙 , existe um elemento
correspondente do lado oposto da espira, com sentido oposto. Estes dois elementos opostos fornecem
contribuições iguais para a componente BZ do campo magnético, porém fornecem contribuições que se
anulam para as componente na direção perpendicular ao eixo Oz. Para obter a componente BZ do campo
magnético, a equação (3) deve ser integrada ao longo de toda a extensão da espira,

𝜇 𝑅𝑖𝑑𝑙
𝐵𝑧 = ∮ 𝑑𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ∮ 4𝜋0 (𝑧 2+𝑅2)3/2 (5)

Como a integração é feita ao longo do perímetro da espira, todas as grandezas exceto 𝑑𝑙, são constantes,

𝜇0 𝑅𝑖 𝜇 𝑅𝑖(2𝜋𝑅)
𝐵𝑧 =
4𝜋 (𝑧 2 +𝑅 2 )3/2
∮ 𝑑𝑙 = 4𝜋0 (𝑧 2+𝑅2)3/2 (6)

𝜇0 𝑅2𝑖
𝐵𝑧 = (7)
2 (𝑧 2 +𝑅 2 )3/2

Seja considerada uma bobina de N espiras com o mesmo raio R, enroladas de modo tão compacto que a
distância ao centro da bobina é aproximadamente igual à distância z entre o ponto P e ao plano da espira. Cada
espira fornece a mesma contribuição para o campo magnético, sendo o campo total N vezes o campo devido
a uma única espira:

𝜇0 𝑁𝑅 2 𝑖
𝐵𝑧 = (8)
2 (𝑧 2 +𝑅 2 )3/2

Seja considerada outra bobina com N espiras (Figura 2), e comprimento L. Para calcular o campo magnético
desta bobina, o campo magnético de uma única espira deve ser multiplicado pela densidade de espiras N/L e
integrar sobre o comprimento da bobina. O resultado desta integral é:

𝜇0 𝑖𝑁 𝑎 𝑏
𝐵𝑍 (𝑧) = [(𝑅2+𝑎2)1/2 − (𝑅2+𝑏2)1/2 ] (9)
2𝐿

Sendo 𝑎 = 𝑧 + 𝐿/2, 𝑏 = 𝑧 − 𝐿/2 e z a distância do centro da espira ao ponto P.

Figura 2: Solenoide. (a) Vista em perspectiva. (b) Corte longitudinal.

2
O campo magnético no centro da bobina é obtido a partir de (9), considerado z = 0 , assim, a expressão (9)
é escrita como:

𝜇 𝑖𝑁
𝐵𝑍 (0) = √4𝑅02 (10)
+𝐿2

Se L>>R, teremos a equação do campo magnético no centro de um solenóide ideal:

𝜇0 𝑖𝑁
𝐵= (11)
𝐿
A figura abaixo ilustra o comportamento do campo magnético no interior de um solenóide em função de
qualquer valor de z.

Figura 3: Campo magnético no interior de solenóides (bobinas) em função da distância z.

2.2.Bobinas de Helmholtz

Uma par de bobinas na configuração de Helmholtz consiste de duas espiras circulares idênticas paralelas tal
que a distância entre elas seja igual ao seu raio. As correntes que atravessam cada uma são iguais e têm o
mesmo sentido. A figura 4 mostra a configuração.

Figura 4: Geometria para calcular o campo magnético de uma bobina de Helmholtz.

3
O campo magnético no eixo comum às duas espiras pode ser calculado pelo princípio da superposição: o
campo resultante é simplesmente a soma dos campos gerados por cada espira. De acordo com a figura, estamos
considerando que o eixo comum é o eixo z e que z = 0 corresponde ao ponto médio do centro das espiras (que
portanto se localizam em z = R/2 e z = – R/2). Logo o campo magnético em uma posição z ao longo do eixo é

2
⃗ (𝑍) = 𝜇0 𝑁𝑖𝑅 [
𝐵
1 1
+ ((𝑧+𝑅/2)2+𝑅2)3/2] 𝑒𝑧 (12)
2 ((𝑧−𝑅/2)2 +𝑅 2 )3/2

A figura 5 mostra o campo magnético do par de bobinas de Helmholtz. A característica mais importante é que
ele é praticamente constante na região entre as bobinas; suas derivadas até a ordem três são nulas no ponto
médio (z = 0). Essa é uma forma fácil e prática de gerar um campo magnético constante numa região do
espaço, e com amplo acesso a essa região. O valor aproximado do campo magnético entre as espiras é
facilmente obtido considerando z = 0 na equação 12:

8 𝜇0 𝑁𝑖
⃗ 𝑎𝑝 (𝑧) = 3/2
𝐵 𝑒𝑧 (13)
5 𝑅

Figura 5: Campo magnético em função da distância z em bobinas de Helmholtz (Helmholtz coil).

No par de bobinas na configuração de anti-Helmholtz, a configuração é a mesma da bobina de Helmholtz,

mas uma das correntes é invertida, como mostrado na figura 6.

4
 Figura 6: Geometria para calcular o campo magnético de uma bobina anti-Helmholtz.

Seguindo as mesmas convenções usadas no par de Helmholtz, o campo magnético é:

2
⃗ (𝑧) = 𝜇0𝑁𝑖𝑅 [
𝐵
1 1
− ((𝑧+𝑅/2)2+𝑅2)3/2 ] 𝑒𝑧 (14)
2 ((𝑧−𝑅/2)2 +𝑅 2 )3/2

A característica importante desse campo é que seu módulo varia aproximadamente de forma linear ao longo
do eixo. No ponto médio (z = 0), o campo é nulo, e a segunda derivada também, de modo que a aproximação
usando uma função linear é muito boa. O resultado é:

⃗ 𝑎𝑝 (𝑧) = 48
𝐵
𝜇0 𝑁𝑖𝑧
𝑒𝑧 (15)
55/2 𝑅 2

2.3. Efeito Hall

Figura 7: Sonda de Hall

Actualmente, uma das maneiras mais práticas para se medir campo magnético faz uso do efeito Hall,
observado por Edwin Hall, físico americano, em 1879.

Consideremos uma placa condutora pela qual passa uma corrente eléctrica de intensidade I. Apliquemos
a placa um campo magnético B uniforme na direcção perpendicular à corrente. A experiência mostra que
aparece entre as faces inferior e superior da placa uma diferença de potencial UH. Esta é chamada de
tensão Hall e o fenómeno é conhecido como efeito Hall.

Como mostra a figura 7, devido a força magnética, os electrões são desviados para a face superior o que
faz com que esta face se torna carregada negativamente pela acumulação de electrões e que a face inferior
fica carregada positivamente devido ao défice de electrões. É assim que aparece uma tensão entre as faces,
tensão de Hall.

No estado de equilíbrio o campo eléctrico de Hall actua sobre cada portador de carga com uma força
eléctrica que contrabalança a força magnética:

𝐹𝑒 = 𝐹𝑚 (16)
onde 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 e 𝐹𝑚 = 𝑞𝑣𝐵 (pois 𝑣 é perpendicular a 𝐵). Então, da igualdade acima resulta:
5
 𝐸 = 𝑣𝐵 (17)
O campo eléctrico está relacionado com a tensão de Hall pela relação:
𝑈
𝐸𝐻 = 𝑏𝐻 (18)
A velocidade pode ser determinada pela expressão:
𝑗 𝐼 𝐼
𝑣 = 𝑛 𝑞 = 𝐴𝑛 = 𝑏𝑑𝑛 (19)
0 0𝑞 0𝑞
Logo, relacionando as equações obtemos a tensão de Hall:
𝐼𝐵
𝑈𝐻 = 𝑅 (20)
𝑑
1
onde 𝑅 = [𝑚3 /𝐶] chama-se constante de Hall.
𝑛0 𝑞

3. Material a utilizar
✓ Fonte de alimentação
✓ Bobinas
✓ Multímetro
✓ Teslâmetro
✓ Condutores
✓ Régua graduada
✓ Sonda de Hall (ponta de prova)

4. Procedimento Experimental
4.1. Campo magnético numa bobina.
Antes da montagem, preste atenção ao seguinte: Não ultrapasse a corrente máxima especificada em cada
bobina. No laboratório será indicado um valor máximo para a corrente (não superior a 3 A). Deve montar o
experimento de acordo com a figura 8.

Figura 8: Montagem experimental da medição do campo magnético de uma bobina.

Exercício 1: Meça o comprimento da bobina de 1000 espiras com um paquímetro ou calcule tendo em conta
o diâmtro do fio (d = 0,8 mm) e o número de espiras. Utilize a sonda de Hall. Meça o campo magnético ao
longo do eixo central da bobina variando a coordenada z entre o centro da mesma (z = 0) e a sonda, em passos
de 1 cm, até o limite do comprimento da bobina, em ambos os sentidos. No relatório faça um gráfico em

6
EXCEL, do campo medido em função da coordenada z. Compare os valores medidos com os valores teóricos
obtidos com a equação (9). Com o valor medido do campo magnético no centro da bobina, no relatório,
compare o valor com o valor teórico que será calculado coma equação (10).

Exercício 2: Repetir o exercício 1 com a bobina de 250 espiras e diâmetro de fio de 1,6 mm.

Exercício 3: No relatório, analise, usando a equação (11), qual das duas bobinas corresponde melhor com o
modelo ideal e justifique a sua análise.

4.2. Bobinas de Helmholtz.

Antes da montagem, preste atenção ao seguinte: Não ultrapasse a corrente máxima especificada em cada
bobina. No laboratório será indicado um valor máximo para a corrente (não superior a 3 A). Deve montar o
experimento de acordo com a figura 9.

Figura 9: Montagem experimental das bobinas de Helmholtz.

Exercício 4: De acordo com a figura 9, meça e observa as características das bobinas (número de espiras,
diâmetro, número de espiras e distância entre elas). Cuidado com o sentido das correntes na bobina, que deve
ser tal que os campos magnéticos de cada uma delas se somem no centro do conjunto. Ajuste a corrente na
fonte para 3 A e verifique se a leitura do voltímetro conectado a sonda está abaixo da tensão de saturação da
mesma. Caso o sensor Hall esteja saturado reduza a corrente. Em seguida, meça o campo magnético, no eixo,
em função de z, com o zero no centro das duas bobinas, tal como mostrado na figura 4. Meça valores do
campo magnético em passos de 2 cm até ao limite da distância entre as bobinas. No relatório faça um gráfico
em EXCEL, do campo medido em função da coordenada z. Compare os valores medidos com os valores
teóricos obtidos com a equação (12). Com o valor medido do campo magnético no centro das bobinas, no
relatório, compare o valor com o valor teórico que será calculado coma equação (13).
Exercício 5: Inverter o sentido da corrente numa das bobinas e repita o exercício 4 usando as equações (14) e
(15).