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Apostila Do Capítulo 7
Apostila Do Capítulo 7
Apostila Do Capítulo 7
Analiticamente, tem-se:
K I dL sen 1
dH = K= dL sen = dL ar
R2 4
I dL ar
Logo: dH =
4R 2
J ar
Como: I = J dS I dL = J dS dL I dL = J dV H = dV
4R 2
⃗ ∘ 𝑑𝐿
∮𝐻 ⃗ = 𝐼.
1
7.3 – Aplicações da Lei circuital de Amper
⃗ ∘ 𝑑𝐿
∮𝐻 ⃗ =𝐼 𝑑𝐿 = 𝑑 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑎
2𝜋
𝐼
∫ 𝐻 ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑑 = 𝐼 → 𝐻=
0 2𝜋𝜌
I
H= a
2
Exemplo de cálculo:
Determine o valor do campo magnético no ponto P (3, 4, 0) na presença de dois fios condutores
⃗⃗⃗⃗ e −𝐚𝐳
localizados sobre os eixos x e z que conduzem correntes de 30A e 25A nas direções +𝐚𝐱 ⃗⃗⃗⃗ .
2
7.3. 2 – Cabo Coaxial, com densidade de corrente constante
Considere um Cabo coaxial com eixo sobre o eixo z, conduzindo uma corrente constante I,
conforme mostra a figura 7.3. São estabelecidas como amperianas circunferências de raios distintos,
com objetivo de determinar o valor do Campo Magnético em regiões específicas.
c: IT = 0 H=0
𝐼
a b: IT = I 𝐻=
2𝜋𝜌
𝐼𝑇 𝜌2 𝜌2
a: 𝐼 = 𝐽 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑎2 𝐼𝑇 = 𝐽 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝜌2 = 𝐼𝑇 = 𝐼 ⋅ 𝑎2
𝐼 𝑎2
𝐼⋅𝜌
𝐻=
2𝜋𝑎2
b c: 𝐼𝑇 = 𝐼 − 𝐼𝜌
𝐼𝜌 𝜌2 −𝑏2 𝜌2 −𝑏2
𝐼 = 𝐽 ⋅ (𝜋 ⋅ 𝑐 2 − 𝜋 ⋅ 𝑏 2 ) 𝐼𝜌 = 𝐽 ⋅ (𝜋 ⋅ 𝜌2 − 𝜋 ⋅ 𝑏 2 ) = 𝐼𝜌 = 𝐼 ⋅
𝐼 𝑐 2 −𝑏2 𝑐 2 −𝑏2
3
7.3. 3 – Bobina de “altura” d e N espiras
Considere uma bobina de “altura” d, composta por N espiras, conduzindo uma corrente
contínua I, cuja seção transversal é apresentada na figura 7.4. É estabelecido um percurso fechado
para se determinar o valor do Campo Magnético no interior da bobina.
B C D A
H • dL = + + + =H d + 0 + 0 + 0 = N I
A B C D
N⋅I
H=
d
7.4 – O Operador Rotacional
4
2 3 4 1
H • dL = =I
+
1
+ +
2 3 4
Hy 1 Hy 1
2 2
1
= Hy y Hy = Hy 0 + ( x)
x 2
1
= [ Hy 0 + ( x)] y
x 2
Hx 1 Hx 1
3 3
2
= Hx (−x) Hx = Hx 0 + ( y )
y 2
2
= [− Hx 0 − ( y )] x
y 2
Hy 1 Hy 1
4 3
3
= Hy (−y ) Hy = Hy 0 − ( x)
x 2
2
= [− Hy 0 + ( x)] y
x 2
Hx 1 Hx 1
' 1
4
= Hx x Hx = Hx 0 − ( y )
y 2 4
= [ Hx 0 − ( y )] x
y 2
2 3 4 1
Hy Hx
Logo: H • dL = 1 + 2 + 3 + 4 = ( x − y ) x y = I
Hy Hx
Como: I = J Z x y ( − ) = JZ
x y
Ou seja: lim xy →0
H • dL
=(
Hy Hx
− ) = JZ
x y x y
Escolhendo outros 2 percursos diferenciais fechados nas direções normais a x e a y, por analogia,
tem-se:
lim yz →0
H • dL
=(
Hz Hy
− ) = Jx
y z y z
lim yx→0
H • dL = ( Hx − Hz ) = J
x z z x
y
Define-se, então, o Operador Rotacional ( ):
H = lim s →0
H • dL
=J
H = J
s
Propriedades do Rotacional:
5
• () = 0 () = 0
Como: I = H • dL = J • dS e H = J
S
𝐼 = ∮𝐻 ⃗ ) • 𝑑⃑𝑆
⃗ • 𝑑 𝐿 = ∫ (𝛻⃗ × 𝐻 Teorema de Stokes
𝑆
⃗)
7.5 – Fluxo Magnético (Φ) e Densidade de Fluxo Magnético (𝐁
Definição: A Densidade de Fluxo é um vetor que expressa a quantidade de Fluxo Magnético que
atravessa uma área e depende no meio.
⃗ =μ⋅H
B ⃗⃗ (Weber/m2 ou Tesla) [Wb/m2 ou T]
⃗ • ⃗ds
Φ = ∫S B (Wb)
Exemplo de cálculo:
Determine o valor do fluxo magnético, em função da permeabilidade magnética, que atravessa
a área estabelecida por: 3 ≤ x ≤ 5 e 2 ≤ y ≤ 8, sabendo que nessa região tem-se dois fios condutores
localizados sobre os eixos x e y que conduzem correntes de 5A e 3A nas direções −𝐚𝐱 ⃗⃗⃗⃗ e +𝐚𝐲
⃗⃗⃗⃗ .
6
Anexo ao Capítulo 7 – Campo Magnético Estacionário
ROTACIONAL
H H y H H z H y H x
▪ CARTESIANAS: H = z − a x + x − a y
+ − az
y z z x x y
▪
1 H z H
CILÍNDRICAS: H = −
H
a + −
H z
a +
1 H
−
( )
H
az
z z
▪ ESFÉRICAS:
1
(
H sen )
H 1 1 H r rH
( ) a +
1 (rH ) H r
−
H =
rsen
−
r r rsen − r
a + r r
a
Lista de Exercícios
1 – Um filamento infinitamente longo, se estende sobre o eixo x e conduz uma corrente de 10 mA,
no sentido + ax. Determine, em coordenadas cartesianas o valor do vetor campo magnético
no ponto P ( 3, 2, 1 ). Resp = - 0,31 ay + 0,63 az mV/m
2 – Se cada um dos três eixos coordenados conduz uma corrente filamentar de 1 A nos sentidos
+ ax, + ay e + az, determine o vetor H no ponto P ( 2, 3, 4 ) em coordenadas cartesianas.
Resp = - 4,57 ax – 1,08 ay + 3,1 az
3 – Para uma bobina, com eixo sobre o eixo z, com 50 espiras e de comprimento 20 cm, sabendo
que o campo magnético na região externa da mesma é praticamente nulo, determine o valor
do campo magnético no interior da bobina, quando uma corrente de 2 A, circula pela
bobina. Resp = 500 az
7
4 – Para o cabo coaxial de uma linha de transmissão, representado pela figura a seguir, com: a
= 1cm, b = 3cm e c = 3.5cm, considerando a densidade de corrente uniformemente
distribuída e que o condutor interno conduz uma corrente de 10 A em um sentido e o
condutor externo conduz o mesmo valor de corrente no sentido contrário. Determine o
modulo de campo magnético nas regiões:
a) raio a; Resp = 15915 V/m
b) a raio b; Resp = 1.591 / V/m
c) b raio c. Resp = 6 / - 4897 V / m
7 – Um filamento condutor infinitamente longo, se estende sobre o eixo z e conduz uma corrente
elétrica de 0,5 A, no sentido +az. Determine o valor do fluxo magnético na região definida
por x = 0; 0 y 2 e 0 z 2. Resp = 0.11 Weber