SEL 309 Eletromagnetismo

Prof. Dr. Ben-Hur Viana Borges

Campo Magnético Estacionário

Fonte: “Eletromagnetismo”, Hayt Jr, 8ª Edição, Capítulo 7.

1) Definição
Um campo magnético estacionário pode se originar de uma corrente constante, de um ímã
permanente, e de uma campo elétrico variando linearmente com o tempo. Mas aqui, nós
iremos focar nossa atenção no campo magnético produzido por um elemento de corrente
contínua no espaço livre.

2) Lei de Biot-Savart (ou também, Lei de Ampère para o elemento de corrente)

Primeiro, considere uma corrente I circulando em um comprimento diferencial vetorial dL de
um filamento. A lei de Biot-Savart nos diz que, em qualquer ponto P, a magnitude do campo
magnético produzido por dL é proporcional ao produto entre a corrente, a intensidade de dL,
e o seno do ângulo entre o filamento e a reta que conecta o filamento ao ponto P no qual o
campo é desejado. Ainda, a magnitude do campo magnético é inversamente proporcional ao
quadrado da distância de dL ao ponto P. A direção da intensidade de campo magnético é
normal ao plano que contém dL e a linha desenhada do filamento ao ponto P. Das duas
normais possíveis, a escolhida é aquela que está no sentido de progressão de um parafuso
dextrogiro que é girado, pelo ângulo mais curto, de dL até a reta que liga o filamento a P. No
sistema mks, a constante de proporcionalidade é 1/4π.
Matematicamente, a Lei de Biot-Savart é escrita como:

𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 𝐼𝑑𝐋 × 𝐑
𝑑𝐇 = = (A/m) (1)
4𝜋𝑅 2 4𝜋𝑅 3
Com base na figura anterior, a equação (1) torna-se:

𝐼1 𝑑𝐋1 × 𝐚𝑅12
𝑑𝐇2 = 2 (A/m) (2)
4𝜋𝑅12

Tendo em vista que o elemento de corrente não pode ser isolado, as equações (1) e (2) não
podem ser verificadas na prática. Para correntes contínuas, a densidade de carga não é função
do tempo, e a equação da continuidade torna-se:

𝜕𝜌𝑐
∇∙𝐉=− =0
𝜕𝑡

que, após aplicar o teorema da divergência (Aula 5, equação (8)), torna-se:

∮ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒 = 0 (3)
𝑠

que nos diz que qualquer corrente que atravessa uma superfície fechada é igual a zero. Isso
quer dizer que apenas a forma integral da Lei de Biot-Savart mostrada abaixo pode ser
verificada na prática,

𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅
𝐇=∮ (3)
4𝜋𝑅 2

Podemos, também, expressar a Lei de Biot-Savart em termos da densidade de corrente J e da

densidade superficial de corrente K.

Obs.: uma vez que K circula em uma lâmina extremamente fina, isso implica que 𝐉 = ∞ .

Da figura abaixo, podemos concluir que se K é uniforme, a corrente total em uma largura b
será:

𝐼 = 𝐾𝑏

Caso K seja não-uniforme,

𝐼 = ∫ 𝐾𝑑𝑁 (4)
onde dN é o elemento diferencial do caminho no qual a corrente circula. Assim, podemos
escrever IdL da seguinte forma,
𝐼𝑑𝐋 = 𝐊𝑑𝑆 = 𝐉𝑑𝑣 (5)

Com isso chegamos à seguinte forma alternativa da Lei de Biot-Savart,

𝐊 × 𝐚𝑅 𝑑𝑆
𝐇=∫ (6)
𝑠 4𝜋𝑅 2
e

𝐉 × 𝐚𝑅 𝑑𝑣
𝐇=∫ 2
(7)
𝑣𝑜𝑙 4𝜋𝑅

Como exemplo, vamos aplicar a Lei de Biot-Savart no caso ilustrado na figura abaixo, onde
temos om filamento infinitamente longo, e determinar o campo no ponto 2. A geometria do
problema nos diz que não pode haver variação ao longo de z ou 

Assim,
𝐑12 = 𝐫 − 𝐫 ′ = 𝜌𝐚𝜌 − 𝑧′𝐚𝑧

𝜌𝐚𝜌 − 𝑧′𝐚𝑧
𝐚𝑅12 =
√𝜌2 + 𝑧 ′2

2
𝑅12 = |𝐑12 |2 = 𝜌2 + 𝑧 ′2

Se 𝑑𝐋 = 𝑑𝑧′𝐚𝑧 , logo, temos que,

𝐼𝑑𝑧′𝐚𝑧 𝜌𝐚𝜌 − 𝑧′𝐚𝑧 𝐼𝑑𝑧′𝐚𝑧 𝜌𝐚𝜌 − 𝑧′𝐚𝑧

𝑑𝐇2 = 2 × = 2 ′2
×
4𝜋𝑅12 √𝜌2 + 𝑧 ′2 4𝜋(𝜌 + 𝑧 ) √𝜌2 + 𝑧 ′2
 𝐼𝑑𝑧′𝐚𝑧
𝑑𝐇2 = × (𝜌𝐚𝜌 − 𝑧 ′ 𝐚𝑧 )
4𝜋(𝜌2 + 𝑧 ′2 )3/2

∞
𝐼𝑑𝑧′𝐚𝑧
𝐇2 = ∫ 2 + 𝑧 ′2 )3/2
× (𝜌𝐚𝜌 − 𝑧 ′ 𝐚𝑧 )
−∞ 4𝜋(𝜌

𝐼 ∞ 𝜌𝑑𝑧′𝐚𝜙 𝐼𝜌𝐚𝜙 ∞ 𝑑𝑧′

𝐇2 = ∫ 2 ′2 3/2
= ∫
4𝜋 −∞ (𝜌 + 𝑧 ) 4𝜋 −∞ (𝜌 + 𝑧 ′2 )3/2
2

∞
𝐼𝜌𝐚𝜙 𝑧′
𝐇2 = |
4𝜋 𝜌2 √𝜌2 + 𝑧 ′2
−∞

𝐼
𝐇2 = 𝐚 (8)
2𝜋𝜌 𝜙

Veja que 𝐇2 não é função de φ ou z, e varia inversamente com 𝜌. A direção do vetor

intensidade de campo magnético descreve uma circunferência. As linhas de força são, desta
forma, círculos em volta do filamento, e a separação entre elas é proporcional ao raio, ou
inversamente proporcional à intensidade de 𝐇2 , veja figura abaixo.

Agora, vamos considerar o campo de um elemento de corrente de comprimento finito, como

mostrado na figura abaixo.

Assim,
𝑧2
𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅
𝐇=∮ 2
= ∫
4𝜋𝑅 𝑧1 4𝜋𝑅 2

𝜌tan (𝛼2 ) 𝐼𝑑𝑧𝐚 × (𝜌𝐚𝜌 − 𝑧𝐚𝑧 )

𝑧
𝐇=∫
𝜌tan (𝛼1 ) 4𝜋(𝜌2 + 𝑧 2 )3/2

𝜌tan (𝛼2 ) 𝐼𝜌𝐚𝜙 𝑑𝑧

𝐇=∫
𝜌tan (𝛼1 ) 4𝜋(𝜌2 + 𝑧 2 )3/2
 𝜌tan (𝛼2 )
𝐼𝑧𝐚𝜙 𝐼 tan(𝛼2 ) tan(𝛼1 )
𝐇= | = [ − ]𝐚
4𝜋𝜌√𝜌2 + 𝑧 2 4𝜋𝜌 √1 + tan2 (𝛼2 ) √1 + tan2 (𝛼1 ) 𝜙
𝜌tan (𝛼1 )

O campo H deste problema é, então, dado por,

𝐼
𝐇= (𝑠𝑖𝑛𝛼2 − 𝑠𝑖𝑛𝛼1 )𝐚𝜙 (9)
4𝜋𝜌

Esta equação nos permite encontrar 𝐇 devido a filamentos de corrente arranjados como uma
sequência de segmentos de reta.

Exemplo:
1) [Hayt Jr] Determine H no ponto P2(0.4, 0.3, 0) no campo de uma corrente filamentar de
8 A direcionada do infinito para a origem ao longo do eixo x positivo, e depois da origem
para o infinito ao longo do eixo y, conforme a figura abaixo.
 Vamos considerar primeiro a corrente semi-infinita no eixo x. Da figura podemos extrair
que 𝛼1𝑥 = 90° e 𝛼2𝑥 = atan (0.4/0.3) = 53.1°. A distância radial 𝜌 é medida em
relação ao eixo x, logo, 𝜌𝑥 = 𝑦 = 0.3, que é o afastamento do ponto P em relação ao eixo
x.

Assim,
𝑥2
𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅
𝐇1 = ∮ 2
= ∫
4𝜋𝑅 𝑥1 4𝜋𝑅 2
𝜌𝑥 𝐚𝜌 + 𝑥𝐚𝑥
𝐚𝑅 =
√𝜌𝑥2 + 𝑥 2

𝑅 = √𝜌𝑥2 + 𝑥 2
𝑑𝐋 = −𝐚𝑥 𝑑𝑥

−𝑦 tan(𝛼2𝑥 ) 𝜌𝑥 𝐚𝜌 + 𝑥𝐚𝑥
𝐼(−𝐚𝑥 )𝑑𝑥
𝐇1 = ∫ 2 2
×
ytan(𝛼1𝑥 ) 4𝜋(𝜌𝑥 + 𝑥 ) √𝜌𝑥2 + 𝑥 2

𝐼𝐚𝜙 −𝑦 tan(𝛼2𝑥 ) 𝑦𝑑𝑥

𝐇1 = − ∫
4𝜋 ytan(𝛼1𝑥 ) (𝑥 + 𝑦 2 )3/2
2

−𝑦tan(𝛼2𝑥 )
𝐼𝐚𝜙 𝑥 𝐼 tan(𝛼2𝑥 ) tan(𝛼1𝑥 )
𝐇1 = − | = [ − ]𝐚
4𝜋 𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 4𝜋𝑦 √1 + tan2 (𝛼2𝑥 ) √1 + tan2 (𝛼1𝑥 ) 𝜙
𝑦tan(𝛼1𝑥 )

Simplificando, temos,
𝐼
𝐇1 = − [−sin (𝛼2𝑥 ) − sin (𝛼1𝑥 )]𝐚𝜙
4𝜋𝑦

Da figura temos que 𝑦 = 0.3, logo, substituindo valores,

8
𝐇1 = − [−sin (53.13°) − sin (90°)]𝐚𝜙
4𝜋(0.3)

8
𝐇1 = [0.8 + 1]𝐚𝜙
4𝜋(0.3)

12 12
𝐇1 = 𝐚𝜙 = − 𝐚𝑧 A/m
𝜋 𝜋

Para o eixo y, por analogia temos que 𝛼1𝑦 = atan(0.3/0.4) = 36.9° e 𝛼2𝑦 = 90°. Agora
podemos utilizar a mesma equação derivada acima (marcada em amarelo) e substituir os
valores diretamente. Assim, a distância radial 𝜌 é medida em relação ao eixo y, logo, 𝜌𝑦 =
𝑥 = 0.4, que é o afastamento do ponto P em relação ao eixo y.

𝜌𝑦 𝐚𝜌 − 𝑦𝐚𝑥
𝐚𝑅 =
√𝜌𝑦2 + 𝑦 2

𝑅 = √𝜌𝑦2 + 𝑦 2
 𝑑𝐋 = 𝐚𝑦 𝑑𝑦

𝑥 tan(𝛼2𝑦 ) 𝐼(𝐚𝑦 )𝑑𝑦 𝜌𝑦 𝐚𝜌 − 𝑦𝐚𝑥

𝐇2 = ∫ 2 ×
−𝑥tan(𝛼1𝑦 ) 4𝜋(𝜌𝑦 + 𝑦2)
√𝜌𝑦2 + 𝑦 2

𝐼𝐚𝜙 𝑥 tan(𝛼2𝑦 ) 𝑥𝑑𝑦

𝐇2 = ∫
4𝜋 −𝑥tan(𝛼1𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 2 )3/2
2

𝑥 tan(𝛼2𝑦 )
𝐼𝐚𝜙 𝑦 𝐼 tan(𝛼2𝑦 ) tan(𝛼1𝑦 )
𝐇1 = | = − 𝐚𝜙
4𝜋 𝑥√𝑥 + 𝑦 2
2 4𝜋𝑥
−𝑥tan(𝛼1𝑦 ) √1 + tan2 (𝛼2𝑦 ) √1 + tan2 (𝛼1𝑦 )
[ ]

𝐼
𝐇2 = [sin(𝛼2𝑦 ) + sin (𝛼1𝑦 )]𝐚𝜙
4𝜋𝑥

8
𝐇2 = [sin(90°) + sin (36.9°)]𝐚𝜙
4𝜋(0.4)

8 8
𝐇2 = 𝐚𝜙 = − 𝐚𝑧 A/m
𝜋 𝜋

O campo total torna-se, então,

12 8 20
𝐇T = 𝐇1 + 𝐇2 = − 𝐚𝑧 − 𝐚𝑧 = − 𝐚𝑧 A/m
𝜋 𝜋 𝜋

Exemplos:
1) [Hayt Jr] Dados os seguintes valores para P1, P2 e I1L1, calcule H2: (a) P1(0, 0, 2),
P2(4, 2, 0), 2π𝐚𝑧 μA·m; (b) P1(0, 2, 0), P2(4, 2, 3), 2π𝐚𝑧 μA·m; (c) P1(1, 2, 3), P2(−3, −1,
2), 2π(−𝐚𝑥 + 𝐚𝑦 + 2𝐚𝑧 ) μA·m.

Respostas: −8.51𝐚𝑥 + 17.01𝐚𝑦 nA/m; 16𝐚𝑦 nA/m; 18.9𝐚𝑥 – 33.9𝐚𝑦 + 26.4𝐚𝑧 nA/m

2) [Hayt Jr] Um filamento de corrente pelo qual passam 15 A na direção 𝐚𝑧 se posiciona ao

longo de todo eixo z. Calcule H em coordenadas cartesianas em: (a) PA( 0, 4); (b) PB(2,
−4, 4).

Respostas: 0.534𝐚𝑦 A/m; 0.477𝐚𝑥 + 0.239𝐚𝑦 A/m

3) Lei Circuital de Ampère

A Lei Circuital de Ampère nos diz que a integral de linha do campo H em um caminho
fechado é igual à corrente contínua envolvida pelo caminho. Matematicamente, temos,

𝐼 = ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 (10)

A corrente positiva é aquela que circula na direção do avanço de um parafuso dextrogiro,

girado na direção na qual o caminho fechado é percorrido. Conforme a figura abaixo, a
integral de linha em (1) produzirá o mesmo resultado para os caminhos a e b, mas um
resultado inferior para o caminho c.

Como exemplo, considere a linha de transmissão coaxial infinita da figura abaixo, pela qual
flui uma corrente total I, uniformemente distribuída no condutor central e -I no condutor
externo. A simetria do problema nos diz que o campo H não é função de z ou .

Para facilitar a análise, podemos dizer com base na simetria do problema que:
• Os condutores se constituem de filamentos. Não há filamentos com componente na
direção z. A Lei de Biot-Savart permite inferir isso sem fazer o produto vetorial;
• O componente 𝐻𝜌 em φ = 0o, produzido por um filamento posicionado em ρ = ρ1, φ = φ1,
é cancelado pelo componente 𝐻𝜌 produzido pelo filamento simetricamente posicionado
em ρ = ρ1, φ = −φ1 (veja figura (b) acima);
• Com isso, teremos apenas a componente 𝐻𝜙 .

Logo, para um caminho circular de raio ρ, onde a < ρ < b, chegamos à expressão de campo
para a componente 𝐻𝜙 ,
𝐼
𝐻𝜙 =
2𝜋𝜌
ou
𝐼
𝐇= 𝐚
2𝜋𝜌 𝜙

Caso ρ < a, temos que a corrente envolvida será,

𝜌2
𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝐼
𝑎2
e que,
 𝜌2
2𝜋𝜌𝐻𝜙 = 𝐼
𝑎2
ou
𝐼𝜌
𝐻𝜙 = para 𝜌 < 𝑎
2𝜋𝑎2

Para 𝜌 > 𝑐, nenhuma corrente será envolvida e 𝐻𝜙 = 0. Isso ocorre porque o campo
produzido por cada condutor irá se cancelar tendo em vista que as correntes nestes condutores
tem sinais opostos.

E para 𝑏 < 𝜌 < 𝑐, temos que,

𝐼 𝑐 2 − 𝜌2
𝐻𝜙 =
2𝜋𝜌 𝑐 2 − 𝑏 2
A variação da intensidade do campo magnético com o raio é mostrada na figura abaixo,
supondo b =3a, c = 4a. Note a continuidade do campo magnético em todas as fronteiras.

Considere, agora, uma lâmina de corrente que flui na direção +y, posicionada no plano z = 0,
como mostra a figura abaixo.

A densidade superficial de corrente é 𝐊 = 𝐾𝑦 𝐚𝑦 . Como a lâmina é infinita nas direções x e y,

H não pode variar nestas direções. Primeiro, apenas veja a Lei de Biot-Savart:
𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 𝐼𝑑𝐋 × 𝐑
𝑑𝐇 = = (11)
4𝜋𝑅 2 4𝜋𝑅 3
Se considerarmos a lâmina como sendo constituída por filamentos condutores, a Lei de Biot-
Savart nos mostra que as contribuições para 𝐻𝑧 de pares simétricos se cancelam, resultando
 em 𝐻𝑧 = 0. Também podemos ver que 𝐻𝑦 = 0, já que 𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 não produzirá componente
nesta direção. Assim, só teremos a componente 𝐻𝑥 .
Seguindo o caminho 1-1’-2’-2-1 sugerido na figura acima, a Lei Circuital de Ampère no diz
que:

𝐼 = ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 = 𝐻𝑥1 𝐿 + 𝐻𝑥2 (−𝐿) = 𝐾𝑦 𝐿

Simplificando,
𝐻𝑥1 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦

Caso o caminho escolhido seja 3-3’-2’-2-3, encontraremos,

𝐻𝑥3 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦

Comparando a as duas últimas equações vemos que 𝐻𝑥3 = 𝐻𝑥1, e que 𝐻𝑥 é o mesmo para
qualquer z.
A simetria nos diz que:
1
𝐻𝑥 = 𝐾𝑦 (𝑧 > 0)
2
1
𝐻𝑥 = − 𝐾𝑦 (𝑧 < 0)
2
Assim,
1
𝐇 = 𝐊 × 𝐚𝑁
2
onde 𝐚N é o unitário normal à superfície.
Agora, se incluirmos uma segunda lâmina em z = h com corrente circulando no sentido
inverso, onde 𝐊 = −𝐾𝑦 𝐚𝑦 a expressão para H entre as lâminas torna-se,

𝐇 = 𝐊 × 𝐚𝑁 (0 < 𝑧 < ℎ)
e
𝐇=0 (𝑧 < 0, 𝑧 > ℎ)
4) Rotacional
Nesta seção, a Lei Circuital de Ampère será utilizada para discutirmos a terceira e última das
derivadas espaciais na análise vetorial, ou seja, o rotacional.
Primeiro, iremos obter a forma pontual da Lei Circuital de Ampère. Mas para isso, vamos
escolher em coordenadas cartesianas um caminho fechado incremental de lados ∆𝑥 e ∆𝑦,
como ilustra a figura abaixo.
Suponha que uma corrente produza o seguinte campo elétrico no centro do quadrado,

𝐇 = 𝐻𝑥0 𝐚𝑥 + 𝐻𝑦0 𝐚𝑦 + 𝐻𝑧0 𝐚𝑧

A integral fechada de H dL ao longo do caminho especificado na figura resulta, para o

caminho 1-2, em
(𝐇 ∙ ∆𝐋)1−2 = 𝐻𝑦,1−2 ∆𝑦

Assim,
𝜕𝐻𝑦 1
𝐻𝑦,1−2 =̇ 𝐻𝑦0 + ( ∆𝑥)
𝜕𝑥 2
Logo,

1 𝜕𝐻𝑦
(𝐇 ∙ ∆𝐋)1−2 =̇ (𝐻𝑦0 + ∆𝑥) ∆𝑦
2 𝜕𝑥
Para o segmento 2-3,
1 𝜕𝐻𝑥
(𝐇 ∙ ∆𝐋)2−3 =̇ 𝐻𝑥,2−3 (−∆𝑥) =̇− (𝐻𝑥0 + ∆𝑦) ∆𝑥
2 𝜕𝑦

Repetindo para os seguimentos restantes e somando, temos

𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 =̇ ( − ) ∆𝑥∆𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
A Lei Circuital de Ampère nos diz que o resultado da equação acima deve fornecer a corrente
que é envolvida pelo caminho. Logo, para uma corrente qualquer J, a corrente envolvida será,

∆𝐼 =̇ 𝐽𝑧 ∆𝑥∆𝑦
e
𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 =̇ ( − ) ∆𝑥∆𝑦 = 𝐽𝑧 ∆𝑥∆𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦

Ou ainda,
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥
=̇ − = 𝐽𝑧
∆𝑥∆𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

No limite em que o caminho fechado tende a zero,

 ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥
lim = − = 𝐽𝑧
∆𝑥,∆𝑦→0 ∆𝑥∆𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Fazendo uma análise semelhante, mas escolhendo caminhos fechados orientados

perpendicularmente a cada um dos dois eixos coordenados restantes, teremos,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦
lim = − = 𝐽𝑥
∆𝑦,∆𝑧→0 ∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧
lim = − = 𝐽𝑦
∆𝑧,∆𝑥→0 ∆𝑧∆𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥

Logo, podemos concluir que o rotacional é definido como,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋
∇ × 𝐇 = lim
∆𝑆𝑁 →0 ∆𝑆𝑁

onde ∆𝑆𝑁 é a área plana envolvida pela integral de linha fechada. O subscrito N indica que o
componente do rotacional é normal à superfície em questão.

Em coordenadas cartesianas:

𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥

∇×𝐇=( − ) 𝐚𝑥 + ( − ) 𝐚𝑦 + ( − ) 𝐚𝑧 (12)
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Na forma de um determinante,

𝐚𝑥 𝐚𝑦 𝐚𝑧
𝜕 𝜕 𝜕
∇×𝐇=| | (13)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝐻𝑧

Em coordenadas cilíndricas:
1 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝜙 𝜕𝐻𝜌 𝜕𝐻𝑧 1 𝜕(𝜌𝐻𝜙 ) 1 𝜕𝐻𝜌
∇×𝐇=( − ) 𝐚𝜌 + ( − ) 𝐚𝜙 + ( − ) 𝐚𝑧 (14)
𝜌 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙
Em coordenadas esféricas:

1 𝜕(𝐻𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝜕𝐻𝜙 1 1 𝜕𝐻𝑟 𝜕(𝑟𝐻𝜙 )

∇×𝐇= ( − ) 𝐚𝑟 + ( − ) 𝐚𝜃
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜙 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝑟
1 𝜕(𝑟𝐻𝜃 ) 𝜕𝐻𝑟
+ ( − ) 𝐚𝜙 (15)
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃

Exemplo:
1) [Hayt Jr] Suponha que 𝐇 = 0.2𝑧 2 𝐚𝑥 para z > 0, e 𝐇 = 0 nos outros pontos, conforme
mostrado na figura abaixo. Calcule ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 ao longo de um caminho quadrado de lado d,
centrado em (0, 0, z1) no plano y = 0 onde z1 > d/2.
 1 2 1 2
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 = 0.2 (𝑧1 + 𝑑) 𝑑 + 0 − 0.2 (𝑧1 − 𝑑) 𝑑 + 0 = 0.4𝑧1 𝑑2
2 2

No limite, à medida que a área tende a zero, podemos aplicar a relação,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 0.4𝑧1 𝑑2
(∇ × 𝐇)𝑦 = lim = lim = 0.4𝑧1
𝑑→0 𝑑2 𝑑→0 𝑑2

Como os outros componentes serão zero, temos que,

∇ × 𝐇 = 0.4𝑧1 𝐚𝑦

Sem ir pela definição, podemos usar a forma em determinante, ou seja,

𝐚𝑥 𝐚𝑦 𝐚𝑧
𝜕 𝜕 𝜕 𝜕
∇×𝐇=| | = (0.2𝑧 2 )𝐚𝑦 = 0.4𝑧𝐚𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝐻𝑧

Que produz o mesmo resultado quando z = z1.

 Retomando a definição do rotacional aplicada à Lei Circuital de Ampère (e da definição de
rotacional), obtemos,

∇×𝐇=𝐉 (16)

que é a forma pontual da Lei Circuital de Ampère, e também a segunda das quatro equações
de Maxwell para campos não variantes no tempo. Podemos aproveitar e escrever a terceira
equação de Maxwell,
∇×𝐄 = 0 (17)

que é a forma pontual de ∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 = 0, também para campos não variantes no tempo.

Exemplos [Hayt Jr]:

5) Teorema de Stokes
Considere a figura abaixo.

Aplicando a definição de rotacional em cada elemento de área ∆𝑆 seguindo o caminho

indicado na figura, temos,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋∆𝑆
=̇ (∇ × 𝐇)𝑁
∆𝑆
 com o subscrito N indicando a superfície normal dada pela regra da mão direita. Isso é o
mesmo que escrevermos,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋∆𝑆
=̇ (∇ × 𝐇) ∙ 𝐚𝑁
∆𝑆
Ou ainda,
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋∆𝑆 =̇ (∇ × 𝐇) ∙ 𝐚𝑁 ∆𝑆 = (∇ × 𝐇) ∙ ∆𝐒

Determinando a circulação de todos os ∆𝑆 que compõem S e somando (cancelamentos irão

ocorrer já que as paredes interiores são percorridas uma vez em cada direção). Somente as
fronteiras externas não sofrem cancelamentos. Com isso, temos,

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 ≡ ∫ (∇ × 𝐇) ∙ 𝑑𝐒 (18)
𝑠

Esta equação é uma identidade, e vale para qualquer campo vetorial, sendo denominada de
Teorema de Stokes.

Obs.: O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície a uma integral de linha
fechada, enquanto o Teorema da Divergência relaciona uma integral volumétrica a uma
integral de superfície fechada.

Exemplo [Hayt Jr]:

6) Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético

A densidade de fluxo magnético no espaço livre é definida matematicamente como,
Wb
𝐁 = μ0 𝐇 ou Tesla (T) (19)
m2
onde μ0 = 4𝜋 × 10−7 H/m é a permeabilidade magnética do espaço livre. Hoje em dia, a
unidade Tesla é mais utilizada para B. Podemos dizer que B é o campo de força associado a
H. Podemos agora definir o fluxo magnético que atravessa uma superfície como sendo,

Φ = ∫ 𝐁 ∙ 𝑑𝐒 = μ0 ∫ 𝐇 ∙ 𝑑𝐒 Wb (20)
𝑠 𝑠

definido aqui no espaço livre. Se outro meio for considerado, basta trocar μ0 por μ
(permeabilidade magnética do meio de interesse). Em se tratando de Φ, a unidade será sempre
o Wb (Weber).
Em nossos estudos, vimos pela Lei de Gauss que as cargas são as fontes de fluxo elétrico
(linhas que começam nas cargas positivas e terminam nas negativas).
Quando o assunto é fluxo magnético, é importante dizer que não existe uma fonte para as
linhas de fluxo magnético. As linhas de fluxo magnético são fechadas e não terminam em
uma “carga magnética”.
Portanto, a Lei de Gauss para campo magnético é dada por,

∮ 𝐁 ∙ 𝑑𝐒 = 0 (21)
𝑠

E do Teorema da Divergência ∯ 𝐀 ∙ 𝑑𝐒 = ∭(∇ ∙ 𝐀)𝑑𝑣 (ver equação (20) da Aula 3),

obtemos que,
∇∙𝐁=0 (22)
A equação (22) é a quarta e última equação de Maxwell para campos estacionários.
Agrupando todas as quatro, temos,
∇ ∙ 𝐃 = 𝜌𝑣

∇×𝐄=0
(23)
∇×𝐇 = 𝐉

∇∙𝐁=0
Podemos também incluir as relações entre D e E e entre B e H, também conhecidas como
relações constitutivas, relacionadas aqui (por conveniência) ao espaço livre,
𝐃 = ε0 𝐄 (24)
𝐁 = μ0 𝐇 (25)
Além da relação entre E e V,
𝐄 = −∇𝑉 (26)
Podemos também expressar o grupo de equações em (23) na forma integral,

∮ 𝐃 ∙ 𝑑𝐒 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣
𝑠 𝑣

∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 = 0
(27)
∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 = ∫ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒
𝒔

∮ 𝐁 ∙ 𝑑𝐒 = 0
𝑠

onde foram usadas, respectivamente, as definições de divergente, de rotacional na segunda e

terceira, e novamente de divergente.
 Exemplo [Hayt Jr]:

7) Potencial escalar e vetor magnéticos

Em nossa trajetória até aqui, vimos como obter E de uma configuração de cargas, e como
obter a intensidade de campo elétrico E a partir do potencial V pela relação 𝐄 = −∇𝑉. Vimos
também que a equação de Laplace nos permitiu desenvolver um método de obter o potencial
V de potenciais conhecidos. Agora, iremos definir uma quantidade intermediária que nos
permite obter B (e por extensão, H). Essa quantidade é definida como o potencial vetor
magnético A (energia potencial por elemento unitário de corrente), definido como,

∇×𝐀=𝐁 (28)

que é consistente com a definição de ∇ ∙ 𝐁 = 0, já que se aplicarmos o ∇ ∙ nos dois lados de

(28) iremos obter zero como resultado. O potencial vetor magnético A tem unidade de Wb/m
ou Tm.

Podemos agora encontrar o campo magnético a partir do potencial A,

1
𝐇= ∇×𝐀 (29)
𝜇0
E, por sua vez, aplicando ∇ × nos dois lados de (29), temos,
1
∇×𝐇=𝐉= ∇×∇×𝐀
𝜇0
ou,
1
∇×𝐇= ∇×∇×𝐀 (30)
𝜇0
onde ∇ × ∇ × 𝐀 = ∇(∇ ∙ 𝐀) − ∇2 𝐀 é uma identidade vetorial. ∇2 𝐀 é o Laplaciano de A.
Retomaremos esta equação mais à frente.

Se impusermos a seguinte condição adicional,

∇∙𝐀=0 (31)

e usarmos a definição de B e a Lei de Biot-Savart, poderemos obter A de uma corrente

conhecida I da seguinte forma,

𝜇0 𝐼𝑑𝐋
𝐀=∮ (filamento) (32)
4𝜋𝑅
Podemos, também, obter uma expressão para A a partir de uma fonte de corrente distribuída,

𝐼𝑑𝐋 = 𝐊𝑑𝑆

que no caso de uma circulação de corrente por um volume com densidade 𝐉, temos,

𝐼𝑑𝐋 = 𝐉𝑑𝑣

Com isso, obtemos as seguintes soluções alternativas para A,

𝜇0 𝐊𝒅𝑆
𝐀=∫ (lâmina) (33)
𝒔 4𝜋𝑅

𝜇0 𝐉𝑑𝑣
𝐀=∫ (volume) (34)
𝒗 4𝜋𝑅

Assim como no caso eletrostático (onde definimos um potencial conservativo V), podemos
também definir um potencial escalar magnético Vm que, diferentemente de V, não é um campo
conservativo. No caso magnetostático, vimos que,

∇×𝐇=0
sempre que 𝐉 = 0, mas

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 = 𝐼

mesmo que 𝐉 seja zero ao longo do caminho de integração. Ao darmos uma outra volta
completa no caminho, o resultado aumenta de I. Porém, se nenhuma corrente é envolvida pelo
caminho, podemos definir uma função potencial de valor único, tal que,

𝑎
𝑉𝑚,𝑎𝑏 = − ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 (35)
𝑏

Exemplo [Hayt Jr]:

1) Considere o potencial vetor magnético em volta de um filamento diferencial, como ilustra
a figura abaixo. O filamento encontra-se na origem no espaço livre, e se estende no
sentido positivo de z de forma que 𝑑𝐋 = 𝑑𝑧𝐚𝑧 . Utilize coordenadas cilíndricas para
encontrar 𝑑𝐀 no ponto (ρ, φ, z):
O que se pede neste problema é que encontremos 𝑑𝐀, que é a forma diferencial da
equação (32), ou seja,

𝜇0 𝐼𝑑𝐋
𝑑𝐀 =
4𝜋𝑅

Temos que,
𝑅 = √𝜌2 + 𝑧 2

𝑑𝐋 = 𝑑𝑧𝐚z
Logo,
𝜇0 𝐼𝑑𝑧𝐚z
𝑑𝐀 =
4𝜋√𝜌2 + 𝑧 2

Como só temos unitário na direção 𝐚z , 𝑑A𝜙 = 𝑑A𝜌 = 0. Portanto,

𝜇0 𝐼𝑑𝑧
𝑑𝐴𝑧 = (36)
4𝜋√𝜌2 + 𝑧 2

Agora podemos calcular a intensidade de campo magnético, que é obtida tomando-se o

rotacional de (36),
1 1 𝜕𝑑𝐴𝑧
𝑑𝐇 = ∇ × 𝑑𝐀 = (− ) 𝐚𝜙
𝜇0 𝜇0 𝜕𝜌

𝐼𝑑𝑧 𝜌
𝑑𝐇 = 𝐚
4𝜋 (𝜌 + 𝑧 2 )3/2 𝜙
2

que é o mesmo valor que será obtido por meio da Lei de Biot-Savart.

Agora, vamos retornar à equação (30), rescrita aqui por conveniência,

1
∇×𝐇= ∇×∇×𝐀 (37)
𝜇0
onde ∇ × ∇ × 𝐀 = ∇(∇ ∙ 𝐀) − ∇2 𝐀 é uma identidade vetorial. ∇2 𝐀 é o Laplaciano de A.

Lembre-se de que em (31) impusemos a condição (cuja prova é deixada como exercício)
de que ∇ ∙ 𝐀 = 0. Com isso, de (37),
 1 1
∇×𝐇= [∇(∇ ∙ 𝐀) − ∇2 𝐀] = − ∇2 𝐀 (38)
𝜇0 𝜇0

Com um pouco de álgebra, e com a ajuda do potencial eletrostático e da equação de

Poisson, podemos chegar à seguinte expressão para o Laplaciano de A,

∇2 𝐀 = −𝜇0 𝐉 (39)

Assim, substituindo (39) em (38), obtemos a equação (16) a partir da definição do

potencial vetor magnético A, ou seja,

∇×𝐇=𝐉