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Lista de Exercícios de Estruturas Algébricas
Lista de Exercícios de Estruturas Algébricas
Lista de Exercícios de Estruturas Algébricas
8º PERÍODO MATEMÁTICA
Lista de exercícios de Estruturas Algébricas
¿ √ ( x 3+ y 3) + z3 =
3
√( √ x + y ) + z =( √ x + y ) ⋅ z=( x ⋅ y ) ⋅ z
3 3 3 3 3 3 3 3 3
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
8º PERÍODO MATEMÁTICA
Elemento neutro:
Seja a ∈ R ,tal que x ⋅ a=x e a ⋅ x=x .
Assim,
x ⋅ a=x ⇒ √ x3 + a3=x ⇒ x3 + a3=x 3 ⇒ a=0
3
a é o elemento neutro.
Elemento inverso:
Seja x ' ∈ R , tal que
'
x ⋅ x =e
⇒ √ x + x =0⇒ x + x =0 ⇒ x =−x ⇒ x =−x
3 3 '3 3 '3 3 '3 '
Comutatividade:
x ⋅ y=√ x + y =√ y + x = y ⋅ x
3 3 3 3 3 3
Logo,
¿ R , ×>¿ é um grupo abeliano.
3. Mostre que R munido da operação Δ tal que x Δ y=x + y−3 é um grupo
comutativo.
Associatividade:
Sejam x , y , z ∈ R
x Δ ( y Δ z )=x Δ ( y+ z−3 )=x + ( y + z−3 )−3=x + y −3+ z−3=¿
¿ ( x Δ y )+ z−3= ( x Δ y ) Δ z
Elemento neutro:
Seja a ∈ R
x Δ a=x ⇒ x +a−3=x ⇒ a=3
a Δ x =x ⇒ a+ x−3=x ⇒ a=3
Existe o elemento neutro e ele é igual a 3.
Elemento simétrico:
'
x + x −3=3
⇒ x + x ' =6 ⇒ x ' =6−x
'
⇒ x Δ x =6−x
Comutatividade:
x Δ y=x + y−3= y + x−3= y Δ x .
Portanto,
¿ R , Δ>¿ é um grupo comutativo
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
8º PERÍODO MATEMÁTICA
5. Mostre que R × R−{ ( 0 , 0 ) } munido da operação Δ definida por
( a , b ) Δ ( c , d )=( ac−bd , ad+ bc ) é um grupo abeliano.
Associatividade:
Sejam ( a , b ) , ( c , d ) , ( m ,n ) ∈ R × R− { ( 0 ,0 ) }
( ( a , b ) Δ ( c , d ) Δ ( m , n ) )=( a ,b ) Δ ( cm−dn , cn+ dm) =¿
¿ ( acm−adn−bcn−bdm , acn+adm+ bcm−bdn ) =¿
¿ ( ac−bc , ad +bc ) Δ ( m, n ) =( a , b Δ ( c , d ) ) Δ ( m , n ).
Comutatividade:
( a , b ) Δ ( c , d )=( ac−bd , ad+ bc ) =( ca−db , cb+ da )=¿
¿ ( c , d ) Δ ( a , b) .
Elemento neutro:
Seja e=( e1 , e2 ) ∈ R × R−{ ( 0 , 0 ) }
( a , b ) Δ ( e1 , e 2 ) = ( a , b )
⇒ ( a e1−b e 2 , a e 2+ b e1 ) =( a , b )
Assim,
{ {
a e 1−b e 2=a ⇒ a ( e 1−1 ) −b e 2=0 ⇒ e=( 1 , 0 )
a e 2+ b e 1=b a e 2 +b ( e 2−1 ) =0
Elemento inverso:
( a , b ) Δ ( a' ,b ' ) =( 1 , 0 )
⇒ ( aa' −bb ' ,ab ' +ba ' ) =( 1, 0 )
Daí vem,
{aaab'−bb ' =1
' +ba '=0
'
1+ b b '
⇒ L1=a =
a
' −ba '
⇒ L2=b =
a
Substituindo a ' em L2, temos:
( )
'
1+ b b 2 '
b +b b
−b −
' a a
b= =
a a
⇒ a2 b ' =−b
2 ' 2 '
⇒ a b +b b =−b
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
8º PERÍODO MATEMÁTICA
⇒b ' ( a 2+ b2 )=−b
' −b
⇒b =
a2 +b2
De forma análoga, obtemos:
' a
a=
a + b2
2
e a b c e a b c
e e a b c e e a b c
a a e c b a a e c b
b b c e a b b c a e
c c b a e c c b e a
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Um mesmo elemento não pode ser repetido em uma mesma linha ou coluna,
logo,
cc=b
ca=b
ab=c
bb=e
ac=e
bc=a
19.