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Lista 3 - Funções Contínuas
Lista 3 - Funções Contínuas
Lista 3 - Funções Contínuas
4º PERÍODO MATEMÁTICA
1. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
{
x2 −4
a ¿ f ( x )= x−2 , se x ≠ 2 em P=2.
L , se x =2
Solução:
Para x ≠ 2 , temos:
x −4 ( x−2 ) ( x+ 2 )
2
= =x+2.
x −2 x−2
Então:
lim
x →2
( x 2−4
x−2 )
=lim (x +2)=2+2=4.
x→2
{
2
x −x
b ¿ f ( x )= x , se x ≠ 0 em P=0.
L , se x=0
Solução:
Para x ≠ 0 , temos:
x2 −x x ( x−1 )
= =x−1.
x x
Então:
lim
x →0
( x 2−x
x )
=lim (x−1)=0−1=−1.
x →0
2. Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua
neste ponto. Justifique.
x 2−4
a ¿ g ( x )= em P=2.
x−2
Solução:
Passando ao limite quando x → 2, temos:
2
lim x −4 2
x→ 2 2 −4 0
= = .
x−2 2−2 0
Para x ≠ 2 , temos:
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
4º PERÍODO MATEMÁTICA
x −4 ( x−2 ) ( x+ 2 )
2
= =x+2.
x −2 x−2
Então:
( )
2
x −4
lim =lim (x +2)=2+2=4.
x →2 x−2 x→2
x 2−x
b ¿ f ( x )= em P=0.
x
Solução:
Passando ao limite quando x → 0, temos:
( )
2 2
x −x 0 −0 0
lim = = .
x →0 x 0 0
Para x ≠ 0 , temos:
x −x x ( x−1 )
2
= =x−1.
x x
Então:
( )
2
x −x
lim =lim (x−1)=0−1=−1.
x →0 x x →0
|x|
c ¿ f ( x )= em P=0.
x
Solução:
Para x ≠ 0.
−¿, temos: ¿
Quando x →0
lim ¿
−¿ |x| 1
x→ 0 = =−1.¿
−x −1
+¿,temos : ¿
Quando x →0
lim ¿
+¿ |x| 1
x→ 0 = =1.¿
x 1
como lim ¿
−¿ |x|
x →0 ≠ lim ¿¿
−x lim |x|
x→0
+¿ |x | , segue que x → 0 nãoexiste . ¿
x x
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
4º PERÍODO MATEMÁTICA
x 2−9
{
d ¿ f ( x )= x−3 , se x ≠ 3 em P=3.
4 , se x=3
Solução:
Para x ≠ 3 , temos:
x2 −9 ( x−3)(x +3)
= =x+3.
x−3 x −3
Então:
( )
2
x −9
lim =lim ( x +3 )=3+3=6.
x →3 x−3 x→ 3
No entanto, f ( 3 )=4.
Logo, o limite não existe.
{
x , se x<1
e ¿ g ( x )= 1 em P=1.
, se x >1
x
Solução:
Quando x → 1+¿, ¿temos:
1
g ( x )= ⇒ lim ¿
x
x →1
+¿
()
1 1
= =1.¿
x 1
{
1+ x 2 , se x ≤ 0
a ¿ f ( x )= 2−x , se 0< x ≤ 2
( x−2 )2 , se x >2
Solução:
Quando x → 0−¿,temos :¿
f ( x )=( x +1 ) ⇒
2
lim ¿
x→ 0 ( x +1)=1. ¿
−¿ 2
lim ¿
Por outro lado, como x→ 0 −¿
f ( x ) =lim f ( 0 ) =1, f ¿ é contínua à esquerda nesse ponto.
x→0
{
x+2 , se x ≤ 0
b ¿ f ( x )= e x , se 0< x <1
2−x , se x ≥1
Solução:
Quando x → 0−¿,temos :¿
f ( x )=x +2 ⇒ lim ¿
−¿
x→ 0 ( x +2) =2.¿
x
f ( x )=e ⇒ lim ¿
x→ 0 + ¿ ( e x )=e 0=1.¿
lim ¿
Por outro lado, como x→ 0 −¿
f ( x ) =lim f ( 0 ) =1, f ¿ é contínua à esquerda nesse ponto.
x→0
lim ¿
Por outro lado, como x→ 1 +¿
f ( x ) =lim f ( 1 ) =1 , f ¿ é contínua à direita nesse ponto.
x→1
{
2
f ( x )= c x3 +2 x , se x <2
x −cx , se x ≥2
Solução:
Quando x → 2−¿ ,temos :¿
lim ¿
x→ 2 ( c x +2 x )=
−¿ 2
lim ¿¿
x→ 2 ( c2 + 2⋅ 2 )=4 c+ 4 ( I ).¿
−¿ 2
SÉRGIO LUCCINI CAMPOS FERREIRA
4º PERÍODO MATEMÁTICA
Igualando ( I ) e ( II ) , obtemos :
2
4 c +4=8−2 c ⇒6 c=4 ⇒ c= .
3
5. Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em R .
{
2
x −4
, se x <2
f ( x )= x−2
2
a x −bx +3 , se 2≤ x <3
2 x−a+b , se x ≥ 3
Solução:
Quando x → 2−¿ ,temos :¿
2
x −4
f ( x )= ⇒ lim ¿
x−2
( )
2
−¿ x −4
x →2 = lim ¿¿
x−2 x→2
−¿
(x+ 2)=2+2=4. ¿
lim ¿
Para que f seja contínua em P=2 , temos que x→ 2 −¿
f ( x )= +¿
lim ¿¿
x →2 f ( x ) , ou seja , ¿
lim ¿
Para que f seja contínua em P=3 , temos que x→ 3 −¿
f ( x )= +¿
lim ¿¿
x →3 f (x ) , ou seja , ¿
1
Para que f seja contínua em R , a=b= .
2
{ √( x−1 )6
Solução:
Passando ao limite quando x → 1.
√ ( x−1 )
( √ ( x−1 )
)
6 6
0
f ( x )= ⇒ lim = .
x−1 x →1 x−1 0
Seja x−1=u , então quando x → 1, u → 0. E ainda x=u+1.
Assim,
( √ ( x −1 )
) ( ) ( √ u6 √ u4 ⋅ u2
) ( ) u √u 4
6
lim =lim =lim =lim =lim ( √ u4 )=¿
x →1 x−1 u→ 0 u u →0 u u→0 u u →0
¿ lim ( √ 04 ) =0.
u→0