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Questão 1 - Págian 261
Questão 1 - Págian 261
Questão 1 - Págian 261
Exerccio 1. Seja p um nmero primo e G um grupo no-abeliano de ordem p3 . Mostre que: a) |Z(G)| = p. b) Z(G) = G . c) G/Z(G) Z/pZ Z/pZ = Demonstrao. a) Como Z(G) < G ento |Z(G)| | |G|. Agora vejamos os possveis casos: (i) |Z(G)| = p3 pois G no abeliano (isto |Z(G)| = |G|).
G G (ii) |Z(G)| = p2 pois caso contrario Z(G) = p e assim Z(G) cclico logo Z(G) = G o qual no possvel (ver pgina 140). (iii) |Z(G)| = 1 (isto Z(G) = {e}) pois o centro tem sempre pelo menos p elementos para qualquer grupo de ordem potencia de um primo (ver pgina 233).
= p2 , assim
G Z(G)
G Z(G)
um grupo
abeliano (ver pgina 234), isto Z(G) G tal que abeliano. Logo como G G o menor subgrupo normal tal que G abeliano (ver pgina 140) ento Z(G) G . Agora como: (i)
= 1 pois caso contrario G = G logo Z(G) = {e} o qual no possvel pois |Z(G)| = p.
G G
Estruturas Algbricas
Pgina 2
(ii)
G = p pois caso contrario G cclico (por tanto abeliano) logo G abeliano (de fato: seja a G tal que < aG >= G/G ento abG = (aG )(bG ) = (bG )(aG ) = baG assim ab = ba).
G G
(iii)
= p3 pois caso contrario G = {e} assim dado x, y G temos xyx1 y 1 = e isto xy = yx logo G abeliano.
G G
ento |G | = p, e como G Z(G) temos Z(G) = G . c) Como |Z(G)| = p ento cclico logo existe b Z(G) tal que < b >= Z(G). Seja x G\Z(G) ento < x >= Z(G), considerando y < x > ento < x > < / y >= {e}. Tambm | < x > | = | < y > | = p, pois x G\Z(G). Logo < x, y > um subgrupo de G/Z(G) com ordem p2 assim < x, y >= G/Z(G). Por ultimo consideremos o homomorsmo: : G/Z(G) Z/pZ Z/pZ xn y m (n, m) o qual claramente bijetivo, por tanto um isomorsmo.