Lista 2 Estruturas Algébricas
Lista 2 Estruturas Algébricas
Lista 2 Estruturas Algébricas
1 - Determine quais dos conjuntos abaixo são grupos com relação à operação indicada:
a) Z− com a adição;
b) Z+ com a multiplicação;
c) A = {x ∈ Z; x é par} com a adição;
c) B = {x ∈ Z; x é par} com a multiplicação;
d) C = {−2, −1, 0, 1, 2} com a adição;
e) D = {−1, 1} com a multiplicação.
Mostre que (P(A), ∆) é um grupo abeliano com elemento neutro ∅ e se X ∈ P(A) o seu
inverso é o próprio X.
Cn = {w ∈ C; wn = 1}
x∆y = x + y − 3
é um grupo abeliano.
é um grupo.
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6 - (Produto Direto de Grupos)
a) Sejam (G1 , ∗1 ) e (G2 , ∗2 ) grupos, com elementos neutros e1 e e2 , respectivamente.
Considere o conjunto G = G1 × G2 e a operação
∗: G×G −→ G
(x, y) × (a, b) 7−→ (x, y) ∗ (a, b) = (a ∗1 x, b ∗2 y)
Mostre que G é um grupo, chamado de produto direto de (G1 , ∗1 ) por (G2 , ∗2 ). Mais
geralmente, se (G1 , ∗1 ), (G2 , ∗2 ), ..., (Gn , ∗n ) são grupos, definimos o produto diretos deles
como sendo o grupo (G, ∗), onde G = G1 × G2 × ... × Gn com operação definida por:
9 - Seja (G, ∗) um grupo e x ∈ G tal que que x ∗ x = x. Mostre que x é o elemento neutro de
G.
10 - Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a} sabendo que (G, ∗) é um grupo com
elemento neutro e.
11 - Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a, b} sabendo que (G, ∗) é um grupo com
elemento neutro e.
• a ∗ f = b ∗ d = e;
• a ∗ d = b ∗ c = f;
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• a ∗ c = b ∗ b = d;
• c ∗ d = a.
16 - Seja G um grupo abeliano finito, digamos G = {a1 , a2 , ..., an }. Prove que se x = a1 a2 ....an ,
então x2 = e.
22 - Mostre que H é um subgrupo de (Z, +) se, e somente se, H = mZ = {mx; x ∈ Z}, com
m ∈ Z.
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24 - Sejam H, K e L subgrupos de um grupo G, com H ⊆ L. Mostre que
HK ∩ L = H(K ∩ L).
26 - Sejam G um grupo e a ∈ G − {e}. Mostre que o(a) = 2 se, e somente se, a = a−1 .
as = e, ∀a ∈ G.
33 - Seja G = hai um grupo cı́clico de ordem n. Mostre que at é um gerador de G se, e somente
se, mdc(n, t) = 1.