Geometry">
Aula 06 - Parte 04
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Aula 6 – Parte 4
1. Ângulos ........................................................................................................................................................ 2
I. Ângulo reto, agudo, obtuso ........................................................................................................................ 2
II. Bissetriz de um ângulo ............................................................................................................................... 3
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares .................................................................... 3
IV. Ângulos opostos pelo vértice..................................................................................................................... 4
2. Paralelismo .................................................................................................................................................. 6
I. Lei Angular de Tales .................................................................................................................................... 8
3. Polígonos ...................................................................................................................................................10
I. Polígono Regular ....................................................................................................................................... 12
II. Número de diagonais de um polígono de n lados ................................................................................... 13
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ............................................................................. 16
4. Classificação dos Triângulos ......................................................................................................................24
I. Síntese de Clairaut .................................................................................................................................... 25
5. Teorema de Tales ......................................................................................................................................29
6. Teorema de Pitágoras e suas aplicações...................................................................................................32
I. Diagonal do quadrado ............................................................................................................................... 33
II. Altura do triângulo equilátero ................................................................................................................. 33
7. Semelhança de Triângulos ........................................................................................................................42
8. Quadriláteros ............................................................................................................................................47
I. Trapézios ................................................................................................................................................... 49
II. Paralelogramo.......................................................................................................................................... 50
III. Losango .................................................................................................................................................... 51
IV. Retângulo ................................................................................................................................................. 51
V. Quadrado ................................................................................................................................................. 52
9. Circunferência e Círculo ............................................................................................................................57
10. Relação das questões comentadas...........................................................................................................64
11. Gabaritos ..................................................................................................................................................75
1. Ângulos
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do
ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo.
Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus.
Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos em radianos.
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua
medida é, por definição, 180º (180 graus).
180º
O
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida exatamente o ângulo
ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos.
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso.
Ângulo obtuso
Ângulo agudo
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O
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PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais.
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos
(60’).
1° = 60′
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’).
1 = 60′′
Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois
ângulos congruentes.
Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o
complemento do outro.
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o
suplemento do outro.
Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o
replemento do outro.
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos
lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).
# #
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
Resolução
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois
ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são
replementares se a soma de suas medidas é 360º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup , o seu complemento é
denotado por e o seu replemento é denotado por .
sup = 180 −
comp = 90 −
rep = 360 −
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x
graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.
= 4 ∙ 180 − − 35
= 720 − 4 − 35
5 = 685
= 137
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os
ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180 − 137 = 43 .
Letra C
Resolução
Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas
medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup e
sup = 180 −
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e
72º83’=73º23’
Resolução
Vamos considerar que o ângulo mede graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° − .
Â)* + ) + ), é .* /+ / 58°
− 90° − = 58°
− 90° + = 58°
2 = 148°
= 74°
Resolução
= 3 ∙ 180° −
= 540° − 3
4 = 540°
= 135°
2. Paralelismo
Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo
plano) e não possuem pontos comuns.
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas.
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s.
2 1
r
3 4
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Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles
serão suplementares (a soma é igual a 180º).
Resumindo:
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são
agudos e 4 são obtusos.
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual
a 180º).
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
Resolução
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados.
O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a # e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha
é igual a 5. Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal,
os ângulos agudos são congruentes.
Assim, 6 = # + 5
Letra A
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Resolução
Assim, 2 + 3 + 4 = 180
9 = 180
= 20
O maior ângulo é 4 = 4 ∙ 20 = 80
Letra D
05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de
vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B
e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
Resolução
60° + 8 + 9 = 180°
8 + 9 = 120°
Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta
interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide
em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2.
60º
X
B/2 C/2
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8 9
:+ + = 180°
2 2
8+9
:+ = 180°
2
Como 8 + 9 = 120°:
120°
:+ = 180°
2
: + 60° = 180°
: = 120°
Letra D
3. Polígonos
De acordo com o número ) de lados, os polígonos recebem nomes especiais.
O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de
um polígono por 2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por .
Resolução
Assim, 2 = 94 + 94 + 36 + 36 = 260 .
Letra C
Resolução
Assim, + + 3 + 3 = 96
8 = 96
= 12
Letra A
I. Polígono Regular
Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero.
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo
interno de um triângulo equilátero mede:
180°
= 60°
3
60º
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras:
i) Argumento combinatório
Um polígono de ) lados possui ) vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois
dos ) vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é
relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a 9;< .
Destas 9;< há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos
das 9;< “pseudo-diagonais” retirar os ) lados.
= = 9;< − )
)∙ )−1
== −)
2∙1
Pois bem, então de cada vértice partem ) − 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi
perguntado em prova!!
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices.
Portanto, o número de diagonais é igual a:
)∙ )−3
==
2
Resolução
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
)∙ )−3
==
2
20 ∙ 20 − 3
== = 170 >./* )/. .
2
Letra C
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Resolução
)∙ )−3
==
2
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o
próprio vértice nem para os vértices adjacentes.
Um hexágono possui
6∙ 6−3
== = 9 >./* )/. .
2
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma,
)−3 = 9
) = 12
Letra B
Resolução
==)
)∙ )−3
=)
2
) ∙ ) − 3 = 2)
)−3 = 2
)=5
Letra C
?@ = 180° ∙ ) − 2
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender
a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite
calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo.
Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais
podemos traçar?
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono.
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono liga dois
vértices. Só que os lados não são diagonais.
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um
polígono.
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho
na figura abaixo).
Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos
demais.
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não
podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio.
Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando
ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele.
Abaixo detalhamos as duas diagonais:
Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar n − 3
diagonais (onde n é o número de vértices do polígono).
Por que precisamos subtrair 3?
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice
em análise.
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados:
→
n−3
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos.
Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um
pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica:
3 × 180º = 540º
E nós podemos fazer isto para qualquer figura.
Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar
n − 3 diagonais. Com isso, dividimos a figura em n − 2 triângulos. Logo, a soma dos ângulos
internos de um polígono de n lados é dada por:
(n − 2) × 180 º
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados
→
(n − 2) × 180 º
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida.
Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de ) lados é igual a:
180° ∙ ) − 2
7@ =
)
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar.
) = 3 → , .â)* +
) = 4 → C /> .+á,
)=5→ ),á* )
11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,
com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e
P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o
total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
Resolução
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x
– 3” obtendo − 3 − 2 ∙ 180 . O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir
o “n” por “x” obtendo − 2 ∙ 180 . Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus
ângulos internos será + 3 − 2 ∙ 180 . Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º,
temos a seguinte equação:
540 ∙ = 4.320
=8
)∙ )−3
==
2
11 ∙ 11 − 3
== = 44
2
Resolução
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se
em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos
considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da
ESAF).
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma
medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de ) lados é igual a:
180° ∙ ) − 2
7@ =
)
O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º
(cinco graus).
7@G = 7@H + 5°
180° ∙ )I − 2 180° ∙ )J − 2
= + 5°
)I )J
180° ∙ ) + 1 − 2 180° ∙ ) − 2
= + 5°
)+1 )
180° ∙ ) − 1 180° ∙ ) − 2
= + 5°
)+1 )
180° ∙ ) − 1 180° ∙ ) − 2 + 5° ∙ )
=
)+1 )
180° ∙ ) − 180° 180° ∙ ) − 360° + 5° ∙ )
=
)+1 )
180° ∙ ) − 180° 185° ∙ ) − 360°
=
)+1 )
Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau.
5)< + 5) − 360 = 0
)< + ) − 72 = 0
−K ± √K < − 4/
)=
2/
−1 ± N1< − 4 ∙ 1 ∙ −72
)=
2∙1
−1 ± √289 −1 ± 17
)= =
2 2
−1 + 17 16
)= = =8
2 2
n 2 + n = 72
n × ( n + 1) = 72
Letra A
Questão anulada
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa
certa. Sabemos que X tem n + 1 lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais
que Y.
A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que
é falso.
13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares
colados.
Resolução
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com ) lados utilizamos a fórmula:
?; = 180° ∙ ) 2
?F 180° ∙ 5 2 180° ∙ 3
?F 540°
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm
todos os ângulos com as mesmas medidas).
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5.
540°
7 108°
5
0 216° 360°
144°
O0O0 180°
2O 0 144° 180°
2O 36°
O 18°
Letra A
Tem os três lados Tem dois lados congruentes. Tem os três lados não-
congruentes. congruentes.
Tem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto. Tem um ângulo obtuso.
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo
oposto é o ângulo do vértice.
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como
Pons Asinorum).
Ângulo do vértice
Ângulos Congruentes
BASE
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos
medem 60º.
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos?
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será
equilátero.
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no
início desta página).
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados?
I. Síntese de Clairaut
Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo
B e o lado c é oposto ao ângulo C.
c b
B a C
14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode
ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
Resolução
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos.
Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
13< ? 6< 0 12<
169 ? 36 0 144
169 < 180
O triângulo é acutângulo (2).
Letra E
Resolução
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas
iguais. O gabarito oficial é a letra C.
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com
medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também
deveria aceitar a letra B.
16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com
a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
Resolução
Letra C
a) O 2
T
b) O S3U V 2
T
c) O 3U
d) O
e) O 2
Resolução
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do
terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales,
45°
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois
lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos
concluir que os catetos são iguais.
/0 /0O
Letra D
5. Teorema de Tales
Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas...
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma
reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe.
a c
Feixe de retas
paralelas
b d
Transversais
Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então
o valor de X será de:
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Assim,
4 2 02
8 5 1
4∙ 5 1 8∙ 2 02
20 4 16 0 16
4 20
5
Letra B
19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande
matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales
poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são
paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
d) 96.
e) 98.
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
10 O
30 21
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21).
30 ∙ O 10 ∙ 21
30 ∙ O 210
O 7
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14.
2 0 2 14
2 12
6
Letra B
20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A,
segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas
paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o
segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm.
Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
Resolução
2 a
90
10 b
30
c
18
A B
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do
feixe mede 2 0 10 0 18 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente
o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo.
c a
O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de
hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos.
Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns
problemas envolvendo diretamente este assunto.
I. Diagonal do quadrado
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes
e todos os ângulos congruentes (retos).
ℓ > ℓ
>< 2ℓ<
> ℓ√2
Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge
o lado oposto formando um ângulo reto.
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois
segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é
igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2.
ℓ ℓ
ℎ
ℓ/2
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 33
RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPU
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
< <
ℓ <
ℓ ℎ 0Z [
2
ℓ<
ℓ< ℎ< 0
4
3ℓ< 4ℎ<
3ℓ<
ℎ<
4
ℓ√3
ℎ
2
4√3
ℎ 2√3
2
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
Resolução
Simon Singh
O Último Teorema de Fermat – Editora Record
a
b
/< 81 0 144
/< 225
/ 15
2 9 0 12 0 15 36
Letra A
22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com
a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na
primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km
do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c) 4 2 km
d) 3 km
e) 5 2 km
Resolução.
Resolução
O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o
segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do
poste).
<
+ 12< = 18 − <
< <
+ 144 = 324 − 36 +
36 = 324 − 144
36 = 180
=5
Letra B
24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a
base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Resolução
Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de
base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los
de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a
altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y.
O + O + 2 = 36
2O + 2 = 36
O+ = 18
O = 18 − C /çã ^
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o
Teorema de Pitágoras.
<
+ 2 +2 <
= O < C /çã ^^
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las.
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar
algumas alternativas:
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.
x=5
Da equação I, temos:
y = 18 − x ⇒ y = 13
Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida.
y 2 = (2 x + 2) 2 + x 2
13 2 = (2 × 5 + 2) 2 + 5 2
169 = 144 + 25
169 = 169
O 18 − C /çã ^
< <
+ 2 +2 = O < C /çã ^^
Como O = 18 − ,
< < <
+ 2 +2 = 18 −
< < <
+4 + 8 + 4 = 324 − 36 +
<
4 + 44 − 320 = 0
−K ± √K < − 4/
=
2/
−11 ± √441
=
2
−11 ± 21
=
2
−11 + 21
= =5
2
K = 2 = 2 ∙ 5 = 10
Letra B
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:
a) 15m
b) 16m
c) 17m
d) 19m
e) 21m
Resolução
11
E
9 4
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD.
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
<
7= 11< 0 13<
<
7= 290
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17< = 289, portanto:
7= ≅ 17
Letra C
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o
fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o
leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de,
aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
Resolução
6 a
3 a
11 a
2 a
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final
do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo.
<
= 8 < + 4<
<
= 80
≅9
Letra C
7. Semelhança de Triângulos
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com
isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são
semelhantes. Um é o outro “aumentado”.
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né?
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e
somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos
(correspondentes) proporcionais.
c b
c' b'
a a’
/ K
= = =a
/′ K′ ′
Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no
maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”.
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo
pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande.
Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é a, pode-se afirmar que a razão
entre as áreas dos triângulos é a <.
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada
por 16 = 4².
Resolução
5
=
15 3
3 = 75
= 25
Letra E
28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste.
Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra
da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
Resolução
80
=
5,4 60
60 = 432
= 7,2
Letra E
29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma
forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância
de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
Resolução
1,6
6 x
+6 8
=
1,6
+6
=5
5 = +6
4 =6
= 1,5 ,
Letra A
30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8.
Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
Resolução
Assim,
128
= 8<
7 b<
128
= 64
7 b<
64 ∙ 7b< = 128
7 b< = 2
Letra E
31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e
AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O
segmento AN mede:
a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
Resolução
(89)< = 100
89 = 10
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm
um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de 6. O outro ângulo agudo do triângulo ABC
e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de #.
#
6
8e c8
=
89 78
8e 5
=
10 8
8 ∙ 8e = 5 ∙ 10
50
8e = = 6,25
8
7e + 8e = 78
7e + 6,25 = 8
175 7
7e = 1,75 = =
100 4
Letra A
8. Quadriláteros
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a
soma dos ângulos internos é igual a 360º.
I. Trapézios
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes.
c b
a d
/ + K = + > = 180°
b b
a a
O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de
base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.
BM
8+K
8g =
2
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma:
(8 + K) ∙ ℎ
7=
2
II. Paralelogramo
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases.
7=K∙ℎ
III. Losango
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos
paralelogramos.
=×>
7=
2
IV. Retângulo
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de
Pitágoras.
a d
7 = /×K
V. Quadrado
7 = ℓ<
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que
∙ O = 36 (^)
2 + 2O = 26
+ O = 13
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as
alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as
condições do problema.
+ O = 13
O = 13
∙ O = 36 (^)
∙ (13 ) = 36
<
13 ∙ = 36
<
13 + 36 = 0
K L √K < 4/
=
2/
( 13) L N( 13)< 4 ∙ 1 ∙ 36
=
2∙1
13 L √169 144
=
2
13 L 5
=
2
Assim, = 9 ⇒ O = 13 9=4
Ou = 4 ⇒ O = 13 4 = 9.
Letra C
33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois
quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos
lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Resolução
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado
é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que
4 + 4O = 28
+O =7
Isolando o y:
O=7
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:
<
+ O < = 25
<
+ (7 )< = 25
< <
+ 49 14 + = 25
<
2 14 + 24 = 0
K L √K < 4/
=
2/
( 7) L N( 7)< 4 ∙ 1 ∙ 12
=
2∙1
7L1
=
2
Assim, =4⇒O=3
Ou =3⇒O=4
Letra A
Resolução
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula
passada) no triângulo ABE.
Assim,
<
+ 3< = 5 <
<
+ 9 = 25
<
= 16
=4
Letra D
35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e
44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
Resolução
(8 + K) ∙ ℎ
7=
2
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos
projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é
igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 –
x – 16 = 28 – x.
<
+ ℎ< = 17<
<
+ ℎ< = 289 (^)
Assim,
1.073 56 = 625
56 = 448
=8
ℎ< = 289 64
ℎ< = 225
ℎ = 15
(8 + K) ∙ ℎ
7=
2
9. Circunferência e Círculo
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é uma região
do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo.
j = 3,1415926535 …
9 = 2j
36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências
com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
Resolução
AB = 34, BC = 18 e CA = 30
/ + K = 34
K + = 18
/ + = 30
/ + K = 34
K = 18
/ + = 30
/ + / = 34 18 + 30
2/ = 46
/ = 23
Letra B
Resolução
<
A área de um círculo de raio r é igual a 7 = j .
=4
Assim, ℓ = 2 ∙ 4 = 8.
2 = ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4 ∙ ℓ = 4 ∙ 8 = 32
Letra A
Resolução
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de
preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é
igual à área do círculo dividida por 4.
Letra A
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
Resolução
Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza devemos
dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 100%.
12,56 1256
∙ 100% = % = 19,625%
64 64
Letra D
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de
vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B
e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,
com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e
P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o
total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares
colados.
14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode
ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com
a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
a) O = 2
T
b) O = S3U V 2
T
c) O = 3U
d) O =
e) O = 2
18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então
o valor de X será de:
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande
matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales
poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são
paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
d) 96.
e) 98.
20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A,
segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas
paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com
a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na
primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km
do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c) 4 2 km
d) 3 km
e) 5 2 km
24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a
base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:
a) 15m
b) 16m
c) 17m
d) 19m
e) 21m
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o
fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o
leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de,
aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste.
Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra
da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
29. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma
forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância
de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8.
Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC
= 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O
segmento AN mede:
a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois
quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos
lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja
E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e
44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências
com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro
do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado”
por um arco de circunferência.
39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de lado
tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
11. Gabaritos
01. C
02. B
03. A
04. D
05. D
06. C
07. A
08. C
09. B
10. C
11. ANULADA
12. ANULADA
13. A
14. E
15. C
16. C
17. D
18. B
19. B
20. A
21. A
22. A
23. B
24. B
25. C
26. C
27. E
28. E
29. A
30. E
31. A
32. C
33. A
34. D
35. D
36. B
37. A
38. A
39. D