Math 4

Professores: Micael Franklin e Vitor Trajano
MÓDULO IV - TEÓRICO 2020
GEOMETRIA:
1 – ÂNGULOS
2 – RETAS
3 – TRIÂNGULO
4 – ÁREAS DE QUADRILÁTEROS
5 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
6 – VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
7 – TEOREMA DE PITÁGORAS
8 – TEOREMA DE TALES
GEOMETRIA
1- ÂNGULOS
Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum,
chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.
 É a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

 Na figura:
 O é o vértice
 OA e OB são os
lados
B
lado
O
lado
Vértice
 
 AOB
 
INDICAÇÃO DO ÂNGULO:   BOA
Matemática - IAP CURSOS

O

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO:
 É semi-reta com origem no vértice do ângulo e

que o divide em dois outros ângulos congruentes.
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Lucas Gabriel de Araújo Florentino - 08989501474
Matemática – Vitor Trajano e Micael Franklin
O
B M
  
 Se AOM  MOB , e então OM é bissetriz de AOB .
Tipos de ângulos:
 Ângulo nulo - é um ângulo cuja amplitude é 0º
AĈB = 0º (zero)
 Ângulo agudo - é um ângulo compreendido entre 0º e 90º
0º < AĈB < 90º

 Ângulo reto - é um ângulo cuja amplitude é 90º
AĈB = 90º
 Ângulo obtuso - é um ângulo cuja amplitude é superior a 90º e inferior a 180º.
90º < AĈB <180º

 Ângulo raso - é um ângulo cuja amplitude é 180º
AĈB = 180º
 Ângulo giro - é um ângulo de 360º - que dá uma volta inteira.
AĈB = 360º
Podem ser:
 Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a
90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro;
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Por exemplo:
Os ângulos acima são complementares porque, ao somá-los, o resultado obtido é 90°. Sabendo que dois
ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Observe:
Sabendo que os ângulos α = 72° e β são complementares, determine a medida do ângulo β.
α + β = 90° (são complementares)
72° + β = 90°
β = 90° – 72°
β = 18°
 Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.
Neste caso, cada um é o suplemento do outro;
Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. Por exemplo:
Ângulos cuja soma resulta em 180°

Os ângulos da imagem acima são suplementares porque a soma de suas medidas é igual a 180°.Sabendo que
dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Por
exemplo:
Sabendo que o ângulo γ = 128° e o ângulo θ são suplementares, determine a medida de θ.

γ + θ = 180°
128° + θ = 180°
θ = 180° – 128°
θ = 52°
Quando dois ângulos, além de suplementares, são adjacentes, eles:

 São chamados adjacentes suplementares;
 Juntos formam um único ângulo de 180°.
 Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°.
Neste caso, cada um é o replemento do outro;
 Estes ângulos são aqueles que, quando somados, irão resultar em um ângulo giro, com valor igual a 360°.
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Os ângulos replementares podem ser formados por combinações de ângulos agudos, obtusos, retos,
e também por dois ângulos rasos, sempre seguindo a relação:
 A + D = 360o
Como você já deve ter percebido, em todas as nossas ilustrações temos um ângulo agudo “A”.
Vamos utilizar como exemplo o valor de A sendo 30°, assim vamos calcular o seu complementar, seu
suplementar e seu replementar:
A + B = 90o → B = 90 – A → B = 90 – 30 → B = 60o
A + C = 180o → C = 180 – A → C = 180 – 30 → C = 150o
A + D = 360o → D = 360 – A → D = 360 – 30 → D = 330o
Rapidamente obtemos que o ângulo complementar de 30° é 60°, seu suplementar é 150° e seu
replementar é 330°! Embora em todos os nossos exemplos tragam dois ângulos, isso não é condição
necessária, sendo utilizado apenas de forma didática! Podem ser realizadas operações com qualquer
quantidade de ângulos, desde que o seu resultado seja 90, 180 ou 360°.
 Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual
a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro;
 Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Duas figuras são congruentes quando suas medidas são iguais.
Observe que os ângulos α e β são adjacentes, assim como θ e β. Além disso, observe que α e θ
são opostos pelo vértice. Sendo assim, podemos escrever as seguintes somas:
α + β = 180°
θ + β = 180°
180 = 180
α+β=θ+β
α=θ+β–β
α=θ
Como α e θ são iguais, podemos dizer que ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida.
Exemplos
1º – Qual é a medida de cada ângulo na figura a seguir?
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Solução:
Observe que o ângulo β é oposto pelo vértice ao ângulo 50°, logo, β = 50°. Como α e θ são opostos pelo
vértice, também possuem medidas iguais. Para descobrir a medida de um deles, basta se lembrar da primeira
propriedade: α e θ são adjacentes a 50°, por isso:
50 + α = 180
α = 180 – 50
α = 130°.
2º – Qual a medida de cada ângulo na figura a seguir?
Solução:
As equações representam medidas de ângulos opostos pelo vértice. Assim, podemos escrever:
8x – 90 = 4x – 10
8x – 4x = – 10 + 90
4x = 80
x = 80
4
x = 20
Como queremos saber o valor de cada ângulo, devemos calcular um por um:
4x – 10 = 4·20 – 10 = 80 – 10 = 70°.
α + 70 = 180
α = 180 – 70
α = 110°
Como os outros dois ângulos são opostos pelo vértice a esses, suas medidas são iguais a 70° e a 110°.
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
MATEMÁTICA
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos
externos e colaterais externos.
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Retas paralelas quando cortadas por uma transversal formam oito ângulos com características de congruência
Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas
apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é paralela a s”), e
também uma reta transversal t que intercepte r e s, haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir,
identificamos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.
A interseção da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ângulos a, b, c, d, e, f, g, h

Experimente fazer um desenho semelhante a esse que foi mostrado de duas retas paralelas cortadas por uma
transversal. Ao finalizar seu desenho, divida-o ao meio, cortando-o entre as retas paralelas. Se você colocar os
ângulos formados pelas retas s e t exatamente em cima dos ângulos formados pelas retas r e s, observará que
eles são exatamente iguais.
Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a
posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos
são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os ângulos externos estão na
faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar
do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos
estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à
direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.
Os ângulos podem ser classificados como internos ou externos, e dois ângulos podem ser colaterais ou alternos
Sabendo que os ângulos formados pelas retas r e t são iguais aos formados pelas retas s e t, podemos afirmar
que os pares de ângulos abaixo são correspondentes:
 aee
 bef
 ceg
 deh
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Estes pares de ângulos colaterais correspondentes, acima mencionados, possuem a mesma medida. Mas
sabemos que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, também possuem a mesma medida. Então,
podemos dizer que:
 a=c=e=g
 b=d=f=h
Os ângulos d e f e também e e c podem ser classificados como ângulos alternos internos, pois estão na região
interna e em lados alternados. Os ângulos d e e, bem como os c e f, podem ser classificados como ângulos
colaterais internos, uma vez que estão na região interna e do mesmo lado em relação à reta t.
Semelhantemente, os ângulos a e h, assim como b e g, são ângulos colaterais externos, pois estão na região
externa e do mesmo lado em relação à reta t. Assim como os ângulos a e g, bem como b e h, são ângulos
alternos externos, pois estão na região externa e em lados alternados em relação à reta transversal t.
Na figura a seguir, podemos ver claramente os ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e
colaterais externos formados através de duas retas paralelas cortadas por uma transversal:
2- RETAS
A reta é formada por infinitos pontos que estão alinhados. Ela é ilimitada nos dois sentidos. Quando
construímos uma reta devemos utilizar letras minúsculas para representá-la. Observe:
Uma reta pode ser construída em três posições: horizontal, vertical ou inclinada.
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Duas ou mais retas podem ter as seguintes posições:
Concorrentes
Retas concorrentes possuem um ponto em comum, pois elas se cruzam.
Paralelas
As retas paralelas não possuem ponto em comum.
Segmento de Reta
O segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. Observe:
A parte entre os pontos A e B é chamado de segmento de reta. Veja mais segmentos de reta:
Semi-reta
A semi reta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui início, mas não tem fim.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são
estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar
ou formar ideias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes ideias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
 Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
 Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
 Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
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OBS:
 Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
 Semi-reta: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum
às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
 Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é
também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
AB e BC MN e NP EF e GH
são consecutivos são consecutivos não são consecutivos
 Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD MN e NP EF e FG
são colineares são colineares não são colineares
 Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são
congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de
congruência.
 Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum
apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em
comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
 Retas concorrentes: Se tiverem apenas um ponto em comum e não formarem entre si um ângulo de 900.
 Em um plano passam infinitas retas

 Há infinitos pontos em um plano;
 Há infinitos pontos em uma reta;
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3- TRIÂNGULO
É o polígono de três lados.
PRINCIPAIS ELEMENTOS
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LEI ANGULAR DE TALES
A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO É 180 0.
DEMONSTRAÇÃO
Considere o triângulo ABC e as retas paralelas r e s, de acordo com a figura abaixo:
Observe que há dois ângulos congruentes de medida b.
Observe que há dois ângulos congruentes de medida c.
Observe então a figura abaixo:

ALTURA E BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO

ALTURA
É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto, ou seu prolongamento.
TRIÂNGULO ISÓSCELES
Todo triângulo que possui dois lados congruentes.
EM TODO TRIÂNGULO ISÓSCELES, OS ÂNGULOS DA BASE SÃO CONGRUENTES.
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Todo triângulo que possui os três lados congruentes.
A MEDIDA DE CADA ÂNGULO INERNO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO É 600.
* ÁREA DO TRIÂNGULO
Exemplo 1: Calcule a área do triângulo abaixo.
Sol.:
b.h
A
2
12.5
A
2
60
A
2
A  30m 2
A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no ensino fundamental
é . Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é
a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O
nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.
onde: a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e s é o valor do

semiperímetro do triângulo.
Exemplo 2: Calcule a área do triângulo a seguir.
Sol.:
Primeiro vamos calcular o semiperímetro.
a  b  c 14  7  9 30
s    15
2 2 2
Agora que calculamos o semiperímetro podemos aplicar a fórmula.

A  12 5cm2
4- ÁREAS DE QUADRILÁTEROS
PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Os cálculos de perímetro e área são necessários, seja para a compra de um móvel, para saber as dimensões ou a
medida da superfície de um determinado cômodo, para saber quanto de papel é necessário para encapar um livro,
etc.
* PERÍMETRO
Perímetro de um polígono é a soma das

medidas dos lados desse polígono.
Observação: Para calcular o perímetro de um polígono, devemos usar a mesma unidade de medida para todos
os seus lados.
Exemplo 1: Determine o perímetro da figura abaixo.
Sol.:
P = 10 cm + 3 cm + 2 cm + 7 cm + 2 cm + 1 cm + 3 cm + 8 cm
P = 36 cm
Exemplo 2: Quanto mede o lado de um octógono equilátero cujo perímetro é igual a 120 cm?
Sol.: Um octógono equilátero possui todas as suas medidas iguais, e chamemos de x a medida de um dos lados
do octógono, então temos:
P  xxxxxxxx
120  8 x
120
x
8
x  15cm
* O METRO QUADRADO, MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
Quando precisamos medir uma superfície menor que o metro quadrado, podemos utilizar seus
submúltiplos: decímetro quadrado (dm 2), centímetro quadrado (cm 2) ou milímetro quadrado (mm2).
Quando precisamos medir uma superfície maior do que o metro quadrado, podemos utilizar seus
múltiplos: quilômetro quadrado (km 2), hectômetro quadrado (hm 2) ou decâmetro quadrado (dam 2).
Veja no esquema abaixo como as transformações de unidades de medida de superfície podem ser feitas.
Como a tabela nos mostra cada unidade é 100 vezes maior que a unidade posicionada à sua direita e 100 vezes
menor que a unidade posicionada à sua esquerda.
* ÁREA DO QUADRADO
Área do quadrado = medida do lado . medida do lado

 A = l2
Exemplo 1: Calcule a área de um terreno quadrado com 41,6 m de lado.

Sol.:
A=l.l
A = 41,6 . 41,6
A = 1 730,56 m2
Exemplo 2: Ache a medida do lado de um quadrado cuja área é de 121 cm 2.

Sol.:
A=l.l
121 = l2
l=±
l = ± 11  por se tratar de medida, não consideramos a resposta negativa
l = 11 cm
* ÁREA DO RETÂNGULO
Área do retângulo = medida da base . medida da altura  A =

b.h
ou
Área do retângulo = medida do comprimento . medida da
largura  A = c . l
Exemplo 1: Calcule a área do retângulo abaixo.

Sol.:
A=b.h
A = 12,5 . 6
A = 75 cm2
Exemplo 2: Quanto mede a altura de um retângulo, cuja base é igual a 26 cm e a área é igual a 364 cm 2:?
Sol.:
A=b.h
364 = 26 . h
h=
h = 14 cm
* ÁREA DO LOSANGO
Exemplo 1: Se um losango possui diagonal maior medindo 10cm e diagonal menor medindo 7cm, qual será o
valor de sua área?
Sol.:
Exemplo 2: Um losango apresenta área igual a 60 m 2. Sabendo que a diagonal menor mede 6m, encontre a
medida da diagonal maior.
Sol.:
* ÁREA DO TRAPÉZIO
Exemplo 1: Calcule a área da seguinte região.

Sol.:
A
10  6  .3
2
16.3
A
2
48
A
2
A  24m 2
Exemplo 2: Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m 2 é de
R$ 42,00.
Sol.:
A
 20  10  .14
2
30.14
A
2
420
A
2
A  210m 2
Preço do lote  210 . 42 = R$ 8820,00
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
Qual a diferença do círculo para circunferência?

Há quem pense que são a mesma coisa, mas isso não é verdade. Quando tratamos de círculo, devemos
considerar a o desenho com sua área interna. Exemplo: um prato de comida. Quando tratamos de circunferência,
devemos ater, apenas, ao conjunto de pontos que dão forma ao círculo, ou seja, devemos desconsiderar a área
interna. É o que acontece com um brinquedo chamado bambolê.
Uma curiosidade bastente interessante é o surgimento do π. PI (π), o valor da razão entre a circunferência de
qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. É também um dos poucos
objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente
qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do π, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com
efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, π é um dos poucos
que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar
novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma
das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
C  comprimento da circunferência;
D  Diâmetro da circunferência;
R  Raio da circunferência.
Comprimento
 
Diâmetro
6- VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS :
Volume de um cubo
O volume de um cubo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Como os três
comprimentos são iguais, tome um deles e o eleve ao cubo.
V =a³
Volume de um paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura. O
volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é:
V= a×b×c
Volume de um cilindro
O volume de um cilindro é igual ao produto da área de sua base por sua altura (Figura 16, ao lado). Se as bases
do cilindro são círculos de raio r, a área de uma delas é π.r2 . O volume do cilindro é:
V= π .r².h
7- TEOREMA DE PITÁGORAS:
O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira
vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados
de um triângulo retângulo, onde em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
HIP2  CAT1 2  CAT2 2

Exemplo: Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x 2  9 2  12 2
x 2  81  144
x 2  225
x  225
x  15
8- TEOREMA DE TALES
Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas
proporcionalmente correspondentes.
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:
Exemplo: Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e
BC na ilustração a seguir:
(2x-3)/5 = (x+2)/6
6(2x-3) = 5(x+2)
12x – 18 = 5x + 10
12x – 5x = 10 + 18
7x = 28
x = 28/7
x=4

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Professores: Micael Franklin e Vitor Trajano

MÓDULO IV - TEÓRICO 2020

 É a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

 É semi-reta com origem no vértice do ângulo e

 Ângulo nulo - é um ângulo cuja amplitude é 0º

 Ângulo agudo - é um ângulo compreendido entre 0º e 90º

0º < AĈB < 90º

90º < AĈB <180º

Ângulos cuja soma resulta em 180°

Sabendo que o ângulo γ = 128° e o ângulo θ são suplementares, determine a medida de θ.

Quando dois ângulos, além de suplementares, são adjacentes, eles:

 Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

1º – Qual é a medida de cada ângulo na figura a seguir?

2º – Qual a medida de cada ângulo na figura a seguir?

RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

A interseção da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ângulos a, b, c, d, e, f, g, h

Matemática - IAP CURSOS

Duas ou mais retas podem ter as seguintes posições:

Retas concorrentes possuem um ponto em comum, pois elas se cruzam.

As retas paralelas não possuem ponto em comum.

O segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. Observe:

 Em um plano passam infinitas retas

É o polígono de três lados.

Matemática - IAP CURSOS

LEI ANGULAR DE TALES

A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO É 180 0.

Observe que há dois ângulos congruentes de medida b.

Observe que há dois ângulos congruentes de medida c.

Observe então a figura abaixo:

ALTURA E BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO

EM TODO TRIÂNGULO ISÓSCELES, OS ÂNGULOS DA BASE SÃO CONGRUENTES.

A MEDIDA DE CADA ÂNGULO INERNO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO É 600.

Matemática - IAP CURSOS

Exemplo 1: Calcule a área do triângulo abaixo.

onde: a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e s é o valor do

Exemplo 2: Calcule a área do triângulo a seguir.

Agora que calculamos o semiperímetro podemos aplicar a fórmula.

PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Perímetro de um polígono é a soma das

Exemplo 1: Determine o perímetro da figura abaixo.

Área do quadrado = medida do lado . medida do lado

Exemplo 1: Calcule a área de um terreno quadrado com 41,6 m de lado.

Exemplo 2: Ache a medida do lado de um quadrado cuja área é de 121 cm 2.

Área do retângulo = medida da base . medida da altura  A =

Exemplo 1: Calcule a área do retângulo abaixo.

Exemplo 1: Calcule a área da seguinte região.

Preço do lote  210 . 42 = R$ 8820,00

Qual a diferença do círculo para circunferência?

6- VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS :

HIP2  CAT1 2  CAT2 2

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Matemática - IAP CURSOS

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